數(shù)理方程與特殊函數(shù)：無(wú)界域上三維波動(dòng)方程求解

1、1本次課主要內(nèi)容(一)、三維波動(dòng)方程定解問(wèn)題的泊松公式(二)、泊松公式的物理意義無(wú)界域上三維波動(dòng)方程求解2三維空間的自由振動(dòng)的波動(dòng)方程定解問(wèn)題為：(一)、三維波動(dòng)方程定解問(wèn)題的泊松公式求解方法：行波法31、球?qū)ΨQ解的求法球?qū)ΨQ的定義：三維波動(dòng)方程：在球坐標(biāo)變換下，可化為：4如果波函數(shù)u與，無(wú)關(guān)，稱u具有球?qū)ΨQ。所以，如果u具有球?qū)ΨQ，那么，在球面坐標(biāo)下，方程為：進(jìn)一步可變形為：5于是得到球?qū)ΨQ通解為：即： 這說(shuō)明，對(duì)于具有球?qū)ΨQ解的三維無(wú)界域上波動(dòng)方程定解問(wèn)題，可以采用先求通解，再求定解的方法求解。6例1、求證球面波問(wèn)題：的解為：7分析：從初始條件看出，問(wèn)題是球?qū)ΨQ的，因此，可將其化為一維問(wèn)題

2、來(lái)處理。證明：在球?qū)ΨQ情況下有：其通解為：將初始條件代入得：8求出其解：將上面兩式中r換為(r+at)，再代入通解表達(dá)式中得：9例2、均勻氣體的初始振動(dòng)區(qū)域是一個(gè)半徑為R的球，所有氣體質(zhì)點(diǎn)的初始速度為零，而初始濃聚度在球內(nèi)是常數(shù)u0,在球外是零，求任意位置M點(diǎn)處的濃聚度。解；定解問(wèn)題為：這是球?qū)ΨQ問(wèn)題。由例1可以求解。這里，r是擾動(dòng)區(qū)域中心到球外任意一點(diǎn)的距離。10(1)、若M點(diǎn)在球外，因r R,有 r+atR,但r-at就不一定大于、小于或等于0了。由例1的公式得：(2)、若M點(diǎn)在球內(nèi)，即:rR情形1、r+atR,則|r-at|R,所以得：11由此得到：當(dāng)R-ratR+r時(shí)有：情形2、r+a

3、tR,即atR-r時(shí)，而當(dāng)|r-at|R+r時(shí)有：12 方法是通過(guò)討論波函數(shù)的球面平均值具有的性質(zhì)，得到自由振動(dòng)的三維波動(dòng)方程的定解公式泊松公式.2、泊松公式的推導(dǎo)(1)、波函數(shù)的球面平均值定義：稱為以M (x, y, z)為心，r為半徑的球面上的平均值。 對(duì)于不具有球?qū)ΨQ解的波動(dòng)方程定解問(wèn)題，如何求其定解？13M (x, y, z)是球面上的點(diǎn)。在球坐標(biāo)下有：在球面坐標(biāo)下，球面面積微元為：又稱：為面積微元dS對(duì)球心所張成的立體角.14顯然：波函數(shù)與它的球面平均值的關(guān)系為：(2)、球面平均值的表達(dá)式對(duì)于波動(dòng)方程：兩邊作三重積分得：由高斯公式得：15對(duì)于對(duì)于16于是由*與*得到等式：兩端對(duì)r求偏

4、導(dǎo)并除以r2得：17于是得到：即：于是得到：(3)、的表達(dá)式由*式得：18將上式兩端對(duì)t求導(dǎo)數(shù)得：又對(duì)*兩端對(duì)r求導(dǎo)并令r=0得：由(1)與(2)得：(4)、泊松公式19將*兩端對(duì)t求導(dǎo)并除以a 得：由(4)+(5)得：將*兩端對(duì)r求導(dǎo)得：20在(6)中令t=0 得：由初始條件得：21在上式中令r=at 得：所以得到：22稱公式為無(wú)界三維空間自由振動(dòng)的泊松公式。泊松公式應(yīng)用舉例例1、求如下定解問(wèn)題：23分析：這是三維空間自由振動(dòng)問(wèn)題，所以直接代入泊松公式計(jì)算。球坐標(biāo)變換為：24解：由泊松公式25例2、用泊松公式解如下定解問(wèn)題 解： 26例3、求定解問(wèn)題：分析：可看成無(wú)界三維空間中一般強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題，跟一維處理方法相同，用函數(shù)分解方法求解。解：令u=V+W,可將定解問(wèn)題分解為：27對(duì)于(1)，直接代泊松公式求解：對(duì)于(2)，采用齊次化原理求解：28(2)對(duì)應(yīng)的齊次化定解問(wèn)題為：令：29由泊松公式：其中：由齊次化原理得：30無(wú)界三維空間自由振動(dòng)的泊松公式為：(二)、泊松公式的物理意義1、公式表明：振動(dòng)以速度a 傳播2、惠更斯原理(無(wú)后效現(xiàn)象)31作業(yè)P99習(xí)題4.3第1、3題 P101習(xí)題4.4第1、4題32 作業(yè)提交信