數(shù)理方程與特殊函數(shù)：習(xí)題課

1、1本次課主要內(nèi)容(一)、定解問題的建立(二)、方程的化簡習(xí)題課(三)、函數(shù)(四)、分離變量方法2(一)、定解問題的建立 寫出定解問題，需要建立偏微分方程、寫出邊界條件(包括銜接條件，自然條件）和初始條件。 建立偏微分方程的主要方法是微元法(1).明確物理過程與研究對象(待研究物理量);(2).進(jìn)行微元分析； 分析微元和相鄰部分的相互作用，根據(jù)物理定律用算式表達(dá)這種作用。3如何寫出三類邊界條件？(1)、明確環(huán)境影響通過的所有邊界；(2)、分析邊界所處的物理狀況；(3)、利用物理規(guī)律寫出表達(dá)邊界狀況的表達(dá)式。(3).化簡、整理算式。4例1 一根半徑為r,密度為，比熱為c，熱傳導(dǎo)系數(shù)為k的勻質(zhì)桿。如

2、果同截面上的溫度相同，其側(cè)面與溫度為u1的介質(zhì)發(fā)生熱交換，且熱交換系數(shù)為k1.求桿上溫度滿足的方程解：物理量為桿上溫度u(x,t),取微元x,x+dxx+dxxx在dt時間里，微元段獲得的熱量為：5該熱量一部分Q1用于微元段升溫，另一部分Q2從側(cè)面流出所以，微元段滿足的方程為：所以，方程為：61、寫出特征方程：2、計算3、作變換(1)、(二)、方程的化簡7(2)、8(3)、94、求出變換方程：其中：10二階線性方程分類：(1) 雙曲型 拋物型橢圓型 (2) (3) 說明：分類也指點的鄰域內(nèi)的分類！11例1 求方程 的通解 解：此方程是雙曲型的第二標(biāo)準(zhǔn)形，但我們要求解它可將其化成第一標(biāo)準(zhǔn)形的形式

3、，所以先得由特征方程求特征函數(shù)：12 所以1314可得 是原方程的通解 15例3 化下面方程為標(biāo)準(zhǔn)型解：方程屬于橢圓型16 所以17可得 標(biāo)準(zhǔn)型：18 函數(shù)是指滿足下面兩個條件的函數(shù) (三)、函數(shù) 例4、求證：19分析：需證明等式右端滿足函數(shù)兩條件。 又當(dāng)x不等于0時有：證明：當(dāng)x=0時，考慮到：20 由于21 例5、求證：其中證明：當(dāng)M不等于M0時，直接計算可得：22 另一方面： 所以：23(1)、分離變量(2)、求解固有值問題(3)、求解其它常微分方程對應(yīng)于固有值的解1、最基本的分離變量法求定解的步驟(4)、寫出疊加解，利用其余條件定出疊加系數(shù)。(四)、分離變量方法 2、常涉及的幾種固有值

4、問題 問題：最基本分離變量對定解問題的要求？242526273、固有函數(shù)值方法(一般分離變量求解)定解問題一般形式：求解步驟：28(1)、求下面齊次定解問題對應(yīng)的固有值問題固有函數(shù)為：Xn(x)(2)、令一般解為：29(3)、將一般解代入泛定方程并把自由項按固有函數(shù)系展開后通過比較系數(shù)得到Tn(t)的微分方程；(4)、由原定解問題初值條件把把初始函數(shù)按固有函數(shù)系展開后通過比較系數(shù)得出T n(t)的定解條件；(5)、求出T n(t) 。30齊次化原理14、齊次化原理求解如果滿足方程：那么非齊次柯西問題的解為：31齊次化原理2如果滿足方程：那么非齊次柯西問題的解為：325、邊界條件齊次化方法(1)

5、、一般方法采用未知函數(shù)代換法：選擇適當(dāng)?shù)腤(x,t)，使關(guān)于V(x,t)定解問題邊界條件是齊次的。(采用多項式函數(shù)待定法求W(x,t)。(2)、特殊情形下齊次化方法如果方程自由項和邊界條件表達(dá)式均與t無關(guān)，則可以令：33解：令 將其代入定解問題中得：例6 求如下定解問題 34可將其分解為：于是得：35由分離變量得一般解為：由初值條件得：由傅立葉級數(shù)展開得：3637所以，定解問題的解為：原定解問題的解為：38注：圓域、扇形域等圓弧形邊界圍城的區(qū)域上的定解問題分離變量求解，要在極坐標(biāo)下進(jìn)行。求解時要注意自然條件的使用。例7 在扇形域0,00上求定解問題：39解：1、分離變量：(5)代入(1)得：整

6、理后可令比值為：40得兩個常微分方程如下：如何構(gòu)造固有值問題？2、求解固有值問題41于是得固有值：固有函數(shù)為：423、求方程(7)的解方程(7)是二階歐拉方程，結(jié)合有限條件有：(7)的解為：434、一般解為：由另一邊界條件(2)得：將f()在0,上按奇式展開得：44所以定解為：45例8 求定解問題：解：1. 時空變量的分離： 46代入方程整理后得：得關(guān)于時空的微分方程：2. 作空間變量的分離 ： 代入方程(2)整理后得：473.求解固有值問題484.分別求出兩個固有值問題得：同時得到關(guān)于V(x,y)的固有值：494. 4. 求T(t)固有函數(shù)為：504.5. 一般解為：由初值條件，再由多元傅立葉展開得：51例9 在鈾塊中，除了中子的擴(kuò)散運(yùn)動外，還有中子的增值過程。每秒鐘在單位體積內(nèi)產(chǎn)生的中子數(shù)正比于該處的中子濃度u，從而可表示為u(反映增值快慢)。研究厚度為L的層狀鈾塊。求中子濃度不隨時間增加的最大厚度。分析: (1) 該問題屬于擴(kuò)散問題。盡管鈾塊是空間體，但是可以當(dāng)作一維問題處理，即考慮一個方向厚度即可！所以泛定方程為：(2) 鈾塊中有中子產(chǎn)生、散逸和吸收，但散逸與吸收可以忽略。所以，邊界條件為齊次。52(3) 初始條件可以一般假設(shè)。解：定解問題為：通過分離變量得到解為：53考慮n=1的一級近似：1、當(dāng) 時，濃度u將隨時間而增大，要產(chǎn)生爆炸