年輕人的事業(yè)-代數(shù)學(xué)的解放共56頁

1、年輕人的事業(yè) 代數(shù)學(xué)的解放服從真理，就能征服一切事物第十一章年輕人的事業(yè)代數(shù)學(xué)的解放長期以來,人們習(xí)慣于把數(shù)學(xué)籠統(tǒng)地劃分為幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)兩大分支19世紀(jì),古老的歐氏幾何發(fā)生了天翻地覆的變化幾乎在同一時期,代數(shù)學(xué)也經(jīng)歷著革命性的變革長期以來,人們習(xí)慣于把數(shù)學(xué)籠統(tǒng)地劃分為幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)兩大分支19世紀(jì),古老的歐氏幾何發(fā)生了天翻地覆的變化幾乎在同一時期,代數(shù)學(xué)也經(jīng)歷著革命性的變革分別從方程論和數(shù)概念擴展兩條線索進行代數(shù)學(xué)革命的介紹11.1從代數(shù)方程的解法到群論111.1問題的提出元高次方程方程論高等代數(shù)學(xué)近世代數(shù);多元一次方程組線性代數(shù)111.1問題的提出人們嘗試將一般高次方程的求解歸納為低一次的方

2、程的求解,從而得出任意高次方程的根式解。但嘗試以失敗告終到19世紀(jì),人們主要獲得了以下一些成果:(1)魯菲尼得出定理:如果一個方程能用根式解出,那么這一根式必定是已知方程的根和單位根的有理函數(shù)111.1問題的提出(2)高斯對代數(shù)基本定理給出完整證明。(任何復(fù)系數(shù)一元n次多項式、方程在復(fù)數(shù)域上至少有一個根(n1),由此推出,n次復(fù)系數(shù)多項式方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且只有n個根(重根按重數(shù)計算)(3)韋達得到根與系數(shù)的關(guān)系。111.1問題的提出(4)笛卡爾指出代數(shù)方程根的分布情況(5)拉格朗日認(rèn)為方程根的排列理論比方程根式解的理論更有意義,比如他在分析三、四次方程解法時看到了方程根的對稱性的作用,他在分析

3、時所運用的方法實際上已經(jīng)涉及一個新的數(shù)學(xué)概念,即置換群。但是,用根號解四次以上的方程不可能問題未能得到解決。11.1.2阿貝爾高于四次的代數(shù)方程不可根式解的問題最終由阿貝爾證明。他的在這方面的成就主要有(1)嚴(yán)格證明了如果一個方程可以根式求解,則出現(xiàn)在根的表達式中的每個根式都可以表示成方程的根和某些單位根的有理函數(shù)例如,對于一元三次方程:anx3+bx2+cx+d=0,(aO),把它的各個根減去、b,就可以變換成一個不含二次項的方x+px+g=o其中Ic-b262-9abct27adp=327a設(shè)x=uv,于是有x=+v+3v(+y)=+v+3x即x-3vx-(n+v)=0,從而有p3uv,q-(+y),可知,是二次方程y+q-=0的兩個根27!=-+4272427且t6、最大的驕傲于最大的自卑都表示心靈的最軟弱無力。斯賓諾莎7、自知之明是最難得的知識。西班牙8、勇氣通往天堂，怯懦通往地獄。塞內(nèi)加9、有時候讀書是一種巧妙地避開思考的方法。赫爾普斯10、閱讀一切好書如同和過去最杰出的人談話。笛卡兒 Th