工程制圖畫圖方法

1、1、學習投影法，主要是正投影法的基本理論及其應用。2、研究在二維平面上表達三維空間形體（圖示法）及在平面上利用圖形來解決空間幾何問題（圖解法）。3、培養(yǎng)和發(fā)展空間想象能力、構思能力和創(chuàng)造能力。由于畫法幾何所研究的是空間形體與它在平面上的圖形之間的關系，因而在培養(yǎng)和發(fā)展學生對三維形狀和相關位置的空間邏輯思維和形象思維能力方面起著及其重要的作用。4、培養(yǎng)學生繪制和閱讀建筑工程圖樣的基本能力。學會使用各種繪圖工具，并熟悉制圖規(guī)定等；熟悉并能適當運用各種表達物體形狀和大學的方法。三、學習方法畫法幾何的特點是理論性強、實踐性強。因此，同學們在學習過程中要注意幾點方法：1、要循序漸進。本課程是按點、線、面

2、、體，由淺入深、由簡到繁、由易到難的順序編排的，前后聯系十分緊密。學習時，必須對前面的基本內容真正理解，基本作圖方法熟練掌握后，才能往下作進一步的學習。2、要下工夫培養(yǎng)空間思維能力。由于畫法幾何學研究的是圖示法和圖解法，涉及的是空間形體和平面圖形之間的對應關系。所以，學習時必須經常注意空間幾何關系的分析，以及空間幾何元素與平面圖形的聯系。對于每一個概念、每一個原理、每一條規(guī)律和每一種方法，都要弄清它們的空間意義和空間關系，遇到一時不懂的地方，要多問幾個為什么，這樣才能逐漸掌握相關知識、掌握讀圖和作圖的規(guī)律；掌握課程的基本內容并善于運用它們。無論是學習或做作業(yè)，都要畫圖和讀圖相結合。通過認真學習

3、，進一步掌握讀圖和作圖規(guī)律：讀圖平面圖形一=f空間形體（二維）作圖（三維）3、必須勤動手、多做題，不斷提高解題能力。復習時不能單純閱讀課文，做題的過程也是學生利用所學的知識解決問題的過程，這一方面可以鞏固知識、加深理解，另一方面也可提高學生的空間想像能力和邏輯思維能力，提高做題的速度和準確率。解題時，首先要弄清哪些是已知條件，哪些是需要求作的。然后利用已學過的內容進行空間分析，研究怎樣從已知條件獲得所要求作的結果，要通過怎樣的步驟才能達到最后的結果。初學時，可以把這些步驟記錄下來，最后利用基本作圖方法按照所確定的解題步驟一步步的進行作圖，作圖時要力求準確。最后還應作一次全面的檢查，看作圖過程中

4、是否有錯誤，作圖是否精確等。4、養(yǎng)成良好的學習習慣，提高自學能力。這門課程的基本理論多、空間幾何關系抽象。因此，要求學生一定要注意處理好課前、課中和課后的關系，即：課前認真做好預習，帶著問題聽課；上課時思想要集中，并要認真思考；課后要及時復習，并完成作業(yè)，及時消化、鞏固所學的內容；同時，做題要按照步驟逐步完成，力求準確。因此，我們在進行課堂教學的同時，也要布置作業(yè)和預習下節(jié)課的內容，以加強學生的學習、分析和理解問題能力的培養(yǎng)。總之，在這門課的學習過程中，一定要多思考、多做題，認真聽、認真記，及時復習、及時消化?？赡苡幸徊糠滞瑢W剛開始時也這樣做了，但學習的效果不太好，可能是因為你的三維立體感（空

5、間想像能力）尚不太強。我相信，只要大家多練習，循序漸進，不斷努力，一定能夠輕松學習好這門課程。四、工程上常用的幾種圖示法土木建筑工程中常用的投影法有多面正投影法、軸測投影法、透視投影法和標高投影法。上（其中相鄰的兩投影面互相垂直） 的投影面上的正投影所組成。 三級踏步和左、右各一塊巨型欄板所構成的臺階的三面正投影圖， 別向正立的、水平的和側面的三個 投影面所作的正投影組成圖中被遮 形畫成虛線。多面正投影圖是土木 最主要的圖樣，本書主要講述多面軸測投影法：是將物體連同其系，沿不平行于任一坐標平面的方 投影法將其投影在單一投影面上所 可以是正投影，也可以是斜投影，多面正投影法：由物體在兩個互相垂直

6、的投影面上的正投影，或在兩個以例如右圖是由由這個臺階分互相垂直的的不可見投建筑工程中正投形法。直角坐標體向，用平行得的圖形，通常省略不畫坐標軸的投形。具體將在本課程第九章講解。軸測投影有較強的立體感，在土木建筑工程中常用來繪制給排水、采暖通風和空氣調節(jié)等方面的管道系統圖。透視投影法：是用中心投影法將物體投射在單一投影面上所得的圖形透視投影圖，有較強的立體感，形象逼真，如拍攝的照片和人的視覺形象那樣，圖中通常也不畫出不可見的投影。當投射中心、投影面和物體的相對位置配置得不同時，可以獲得不同的透視圖，正如照相機在不同的地點、以不同的方向拍攝，會得到不同的照片，以及在不同的地點、以不同的方向視物，會

7、得到不同的視覺形象。在建筑設計中，常用透視圖作為表現房屋、道路和橋梁等的外貌、室內裝修與布置的視覺形象的效果圖。標高投影法：是在物體的水平投影上加注某些特征面、線以及控制點的高程數值和比例的單面正投形。它常用來表達地形和工程建筑物。本書將在第十章闡述標高投影的作圖原理和畫法，在土木建筑專業(yè)圖中還將應用到一些與地形有關的用等高線表示的土建圖樣。五、畫法幾何學發(fā)展概述在古代，由于丈量田地、興修水利和航海等的需要，產生了度量幾何。在繪畫、雕刻、建筑防御工事、水利工程和房屋等方面，都需要精確和富有表達性的表達方法。但應用文字和語言都不可能十分完整和清楚地描述所要表達的對象，因而提出了許多有關必須在平面

8、上表達表達空間物體的新的幾何問題。由于人們的長期努力，逐漸的規(guī)定出一些解決問題的方法，據此可以在一定條件下和一定程度上滿足所提出的要求。畫法幾何學正是由于人們生產實踐的需要而產生和發(fā)展的科學理論。然而，在其形成為一個科學體系的很久以前，畫法幾何學的各種方法和規(guī)則早已由于世間的需要而應用于技術和藝術的各個領域中。例如，根據我國古代文獻的記載，從傳說中的禹開始就進行了大規(guī)模的治水工程，以便從事農業(yè)生產。在治水工程中，必先探測地形、水路，因此繪制地形圖就發(fā)展起來了。營造技術在我國也是最早的科學之一。自周代以來，就有很多關于建筑的記載。其中完整無遺、保存至今的是宋代李誡所著的營造法式，該書著于1103

9、年，這部書完整的總結了兩千多年間的我國建筑的偉大成就。全書共36卷，其中6卷為圖冊，所列圖樣大都是正確地按正投影規(guī)則繪制的，也有很多圖樣已完全脫離了藝術畫的范疇，而用軸測畫法來表達。此外在其他技術書籍中也可看到很多圖樣。例如明代宋應星所著的天工開物中就有大量插圖，其中的很多圖樣就和現代的軸測投影相差不多，有的還適當運用了陰影。畫法幾何學完整而系統的著述，直到公元1795年才有法國的工程師和數學家加斯帕蒙日所發(fā)表，蒙日所說明的畫法是以互相垂直的兩個平面作為投影面的正投影法。該方法保證了物體在平面上的圖像明顯、正確，且便于度量。蒙日著作發(fā)表后對世界各國科學技術是第一生產力的發(fā)展產生了巨大的影響。在

10、以后的一個多世紀內畫法幾何學得到了廣泛的應用和發(fā)展。畫法幾何這一中文名稱是由我國著名物理學家薩本棟和著名教育家蔡元培大約在1920年翻譯定名的。在我國社會主義現代化建設中，畫法幾何學在國民經濟建設和智力資源開發(fā)等方面都起著重要的作用。最近20多年來，隨著計算機繪圖系統在我國的研制、引進和開發(fā)，計算機繪圖和圖形顯示技術在實際實用中得到了迅速的發(fā)展。為了適應科學技術的需要，在畫法幾何學方面把解析幾何的數解法和畫法幾何的圖解法有機地結合起來，使空間幾何問題的解決得以從手工繪圖轉變?yōu)橛嬎銠C繪圖和圖形顯示，并實現對本課程的計算機輔助教學。這將對畫法幾何學的教學及其應用產生及其深遠的影響。六、推薦參考書1

11、、何銘新主編畫法幾何及土木工程制圖（第二版），武漢理工大學出版社；2、汪穎、龔偉主編畫法幾何與建筑工程制圖，科學出版社；3、何斌、陳錦昌、陳熾坤主編建筑制圖，高等教育出版社；4、陳文耀、陳啟粱主編建筑工程制圖，同濟大學出版社。同時，同學們還可以利用網上資源進行學習。第二節(jié)投影的基本知識一、投影的概念投影法是從日常生活中光照物體的呈影現象中進行幾何抽象、概括出來的。投影面：承受影子的平面Azabc為物體ABC在投影面上的投影。從幾何意義上解釋，點A、線段AR空間平面ABC的投影。投影法的概念：投射線通過物體，向選定的面投射得到物體投影的方法稱為投影法。畫法幾何的基礎是投影法。構成投影體系的五項要

12、素：投影中心：發(fā)出投射線的投射源投射線：從投射中心經過物體到達投影面的連線空間物體：被表達的物體投影面：用于承影的平面投影：物體在投影面上得到的投影圖二、投影的分類按照投影中心與投影面的距離，投影分為：1、中心投影投影中心距離投影面有限遠，投射線相交于該點時，所得到物體的投影。如圖1。中心投影的大小由投影面、空間物體和投射中心三者的相對位置來確定。投影中心：投射中心為一點。投射線：由一點發(fā)出，呈放射狀。應用舉例：透視投影法。2、平行投影投影中心距離投影面無限遠，投射線互相平行時，所得到物體的投影。如太陽光產生的投影。只要給出投影面和投影方向，空間物體與投影面距離遠近不影響投影的大小。投影中心：

13、投射中心為無窮遠處投射線：投射線相互平行應用舉例：正投影法、軸測投影法、標高投影法根據光線與投影面的相對關系，平行投影又分兩種：2o斜投影：投射線與投影面傾斜時所得到的平行投影。投軸心幾何除正投影：投射線與投影面垂直時所得到的平行投影。如圖樣的主要方法。1、同素性:DEE2、從屬性:3、定比性:A BG以后提到的投影均為正投影，它有7個特性。若點在直線上，則該點的正投影在直線的正投影上。如點、直線、平面的正投影仍分別為點、直線、平面。如:若點在直線上，則點分線段所成的比例等于該點的正投影分線段的正投影所成的比例。如：BG:GC=bg:gG4、真實性：若線段或平面圖線平行于投影面，則它們的正投影

14、反映線段實長或平面圖形的實形。如：BObc,ADEFAdef05、積聚性：若直線或平面垂直于投影面，則直線的正投影為一點，平面的正投影為一線。6、平行性：若兩直線段平行，則它們的正投影也平行，且兩線段的長度之比等于其正投影的長度之比。7、類似性：若平面圖形傾斜于投影面，則它的正投影不反映實形，而是原平面圖形的類似性。四、立體的三面投影通常，我們多是選用僅憑物體的單面正投影是不足以確定空間形體的形狀三面正投影來完整地表達并確定空間形體的形狀。1、立體三面投影的形成(1)、建立三面投影體系：V，H、HlWWLVOXLO/。乙投影軸(2)、立體的三面投影及展開投影線V面不動，H面繞OX軸向下旋轉90

15、度，W而繞OZ軸向后旋轉90度，從而使V、H、W三個面處于同一平面上。由三個投影可知：立體的每個投影反映立體兩個方向的尺寸。即：水平：長、寬；正面：長、高；側面：高、寬。2、立體三面投影的性質(H水平，V正，W則)正面投影和水平投影“長對正”；正面投影和側面投影“高平齊”；水平投影和側面投影“寬相等”。正面投影：上、下、左、右；水平投影：前、后、左、右；側面投影：上、下、前、后。小結：這節(jié)課，我們主要講了兩部分內容。對于第一部分，大家了解就可以了，但一定要注意本課程的學習方法，并不斷總結、完善，尤其要注意提前預習、做好練習、課后復習。第二部分，同學們要掌握正投影的特性(7個)和三面投影的“三等

16、關系”，這是以后的學習和工作都要經常用到的。作業(yè)題：預習點的投影。第一節(jié)點的兩面投影點在單一投影面上的投影能否唯一確定空間點的位置?一、點的兩面投影及表示法空間點在投 只有點的一 間位置的。對 的投影面體 影，才可確定根據正投影的同素性，影面上的投影仍是點。但是個投影是不能確定點的空于空間點來說，在互相垂直系中，只有作出點的兩面投其空間位置。將空間點A放在水平投影面H及正立投影面V上所形成的兩面投影體系中，分別向H及V面作垂直投射線，形成：a：A的水平投影；a:A的正面投影注意：A、a、a各自表示的含義。二、點的兩面投影特性為使點的兩面投影畫在同一平面中，規(guī)定：V面不動，H面連同水平投影a繞O

17、X軸向下旋轉90,使其與V面重合，就得到點A的兩面投影，如下圖：通常在投影圖中不畫投影面的邊界，如上圖右。點A的兩面投影a、aW確定該A點的空間位置。由此可推出點的兩面投影特性：1、點的水平投影與正面投影的連線垂直于OX軸，即aaOX2、點的水平投影到ox軸的距離等于該點到V面的距離，aax=Aa0點的兩面投影規(guī)律（V/H兩面投影體系中）1、點的投影連線垂直于投影軸。2、點的投影到投影軸的距離，等于該點到相鄰投影面的距離。三、兩投影面的擴展在兩面投影體系中，若把H面向V面之后擴展，把V面向H面之下擴展，就可把投影平面分為4個部分，即4個分角，逆時針命名：第一分角：H面之上，V面之前；第二分角：

18、H面之上，V面之后；第三分角：H面之下，V面之后；第四分角：H面之下，V面之前。若在四個分角內，分別有四個空間點A、B、C、D位于I、H、m、IV角內，當將投影面展開，即V面不動，H面繞OX軸向下旋轉900（V面后的H面向上旋轉）至于V面重合。則四個點在各自分角內的兩面投影特點如下圖：I分角中：A點正面投影a位于OX軸之上，a位于OX軸之下；II分角中：B點正面投影b位于OX軸之上,b位于OX軸之上；in分角中：C點正面投影c位于ox軸之下，c位于ox軸之上;IV分角中：D點正面投影d位于OX軸之下，d位于OX軸之下第二節(jié)點的三面投影一、三面投影體系的建立在兩面投影體系基礎上，包含OY和OZ軸

19、做出第三個投影面一一側立投影面，即W面。三面投影體系的展開同兩面投影體系相似。二、點的三面投影形成及其特性假設三面投影體系中有一點A,過點A分別向三個投影面作投射線，投射線與投影面的交點分別記為a、a、a。為便于作圖，保持V面不動，將H面連同水平投影a繞OX軸向下旋轉90：W連同a繞OZ軸向后旋轉90,都與V面重合，就得到點的三面投影（如上圖）。由圖可知，三面投影有以下特性（點的三面投影規(guī)律）：1、點的投影連線垂直于投影軸。2、點的投影到投影軸的距離，等于點的坐標，也就是該點與對應的相鄰投影面的距離。如果將三投影面體系看成直角坐標系，則：投影軸看成坐標軸，投影面看成坐標面，點?？闯勺鴺嗽c。根

20、據解析幾何，空間點的位置可由其三維坐標決定，點到投影面的距離也可用坐標值表示，即X、Y、Z分別表示空間點到WV、H面的距離。從而點的投影與坐標關系如下:1、點的投影與空間坐標有惟一對應關系。2、點的投影到投影軸的距離，等于點的坐標。點的正面投影到OZ軸的距離,等于X坐標值；點的水平投影到OX軸的距離，等于Y坐標值；點的正面投影到OX軸的距離，等于Z坐標值。即a（x，y）；a（x，z）；a”（y，z）。所以，在點的三面投影中，任何兩個投影都能反映出點到三個投影面的距離。因此，若已知點的兩面投影，便能確定該點的坐標值，進而確定其空間位置。反之，已知點的坐標，可以畫出三面投影。例1：已知a、a,求a

21、”。解：略例2：已知點B的坐標為（2，3，4），作點的三面投影。解：略三、各種位置點的投影點除位于空間位置外（前面已講），還有：投影面上的點，點的一個坐標為零；投影軸上的點，兩個坐標為零；與原點。重合的點，三個坐標均為零。投影面和投影軸上的點投影特性：1、投影面上的點有一個坐標為零，在該投影面上的投影與點自身重合，在相鄰投影面上的投影分別在相應的投影軸上。2、投影軸上的點有兩個坐標為零，在包含這條投影軸的兩個投影面上的投影都與該點自身重合，在另一投影面上的投影則與原點O重合。3、與原點。重合的點，三個坐標都為零，三個投影重合于原點。第三節(jié)兩點相對位置和無軸投影一、兩點的持相對位置相對位置是指空

22、間兩點的上下、左右、前后關系。正面投影，判斷上下、左右位置關系；水平投影，判斷前后、左右關系；側面投影，判斷前后、上下關系。（1）、兩個點的投影沿左右、前后、上下三個方向所反映的坐標差，即兩點相對投影面W、V、H的距離差，能確定兩點的相對位置。坐標值越大，就越左、越前、越上。（2）、特別要注意的是：對于水平投影而言，由OX軸向下代表向前；對側面投影而言，由OZ軸向右也代表向前通常判別兩點在空間的位置，是將其中的一點作為基準點，判斷另一點（即比較點）在基準點之上（下）、前（后）、左（右）多少距離。反映在投影中，是在確定了基準點的前提下，找出兩點在同一投影面上的投影的同名坐值的代數差（比較點的坐標

23、減去基準點的坐標）X、AZo如果為正，則比較點在基準點的左、前、上方；若為負值，則相反。二、重影點及其可見性（1）、兩個或兩個以上的空間點在某投影面上的投影重合，稱為該投影面上的重影點。該兩點同面投影重合于一點的性質稱為重影性。（2）、對WV、H重影點的可見性判別原則分別為左遮右、前遮后、上遮下。點的不可見投影應加注（）。三、無軸投影對于不涉及點到投影面距離的作圖問題，可不畫出投影軸，即為無軸投影。第四節(jié)點的輔助投影一、輔助投影的基本概念如下圖（a）所示，AABC是鉛垂面，它在HKV投影體系中的兩個投影都不反映實形。如何使，ABC的投影反映實形呢？取一個平行于AABCfi垂直于H面的V1面來代

24、替V面，則構成一個新的HKV1投影體系。AABC在V1面上的投影Aa1blcl就反映三角形的實形。再以V1面和H面的交線X1為軸，使V1面旋轉至和H面重合，就得出在H/V1體系的投影圖，如下圖（b）所示。ccz（a）（b）圖V/H體系變?yōu)閂i/H體系總結一下：新投影面的選擇原則是：（1）新投影面必須和空間幾何元素處于有利于解題的位置。（2）新投影面必須垂直于原投影體系中的一個投影面，并與它組成新投影面體系。二、點的投影變換規(guī)律點是最基本的幾何元素，其投影變換本身沒有意義，但研究點的投影變換規(guī)律是學習換面法的基礎，能推導出換面法的一些基本規(guī)律。點的一次變換(輔助投影)在作點的一次變換時，可以變換

25、V面，也可以變換H面。(1)變換V面如圖6-2(a)所示，空間有一個點A,它在V-H體系中的投影是a和a，用垂直于H面的V面代替V面和H面構成一新的直角投影體系(H、VoA點在M-H體系中的投影是a和al。M和H的交線X1為新投影軸。Vi繞新軸Xi按圖示箭頭所指的方向旋轉90口與H面重合，就得到圖6-2(b)所示的投影圖。從圖中可看出,a/a，X軸；a/axi=aaxaaiaxAi新投影ai(a)(b)圖點的一次變換(變換V面)具體作圖步驟如下：(1)在被保留的水平投影a附近作新軸Xi(2)自a向新軸X引垂線。(3)在此垂線上，從新軸Xi起截取aJaxi=aax,aJ即為所求。注意：新舊兩投影

26、體系具有公共水平面H,故Aa=aax=aiaxi(2)變換H面如圖6-3(a)所示，空間有一個點B,它在V-H體系中的投影是b和b。用垂直于V面的H面代替H面和V面構成一新的直角投影體系(H、V)新投影bi(a)(b)圖點的一次變換(變換H面)B點在H-V體系中的投影是bi和b。V和H的交線X為新投影軸。H繞新軸Xi按圖示箭頭所指的方向旋轉90口與V面重合，就得到如圖6-3(b)所示的投影圖。從圖中可看出，bbX軸；bibxi=bbx。具體作圖步驟如下：(1)在被保留的水平投影b附近作新軸Xi(2)自b向新軸Xi引垂線。(3)在此垂線上，從新軸Xi起截取bibx尸bbx,bi即為所求。綜上所述

27、，無論變換V面或H面，可以得到點的一次投影變換的規(guī)律是:(1)點的新投影和不變投影的連線必垂直于新投影軸。(2)點的新投影到新投影軸的距離等于被替換的舊投影到舊投影軸的距離。(3)按實際需要確定投影軸。2點的二次變換(復輔助投影)在解決實際問題時，有時需要連續(xù)地更換兩次、甚至更多次的投影面。但當你掌握了點的一次換面規(guī)律以后，就不難解決了。請看圖例。在圖5-4(a)中，第一次變換，用垂直于H面的Vi面代替V面，將V/H體系變換成Vi/H體系。第二次變換，用垂直于V面的H面代替H面，將Vi/H體系變換成V/H體系。在每一次更換投影面過程中，點的投影作圖均與更換一次投影面相同，如圖5-4(b)所示。

28、注意：在多次變換投影面時，新投影面的建立除了符合前面講的兩個條件外,還必須交替變換H面和V面。2-1直線的投影大家知道，通過兩點可以畫一條直線，而空間一直線可由該直線上的任意兩點所決定，直線的投影一般仍是直線。因此，作直線上的投影，需先作出直線上任意兩點的投影，并連接該兩點在同一投影面上的投影即可。性：除直線垂直于投影面，在該投影面上的投影積聚成點外，直線Yh.的投影仍為直線，只要作出兩個端點的投影，連線即為直線投影。平行于投影面的直線在該投影面上的投影，與直線本身平行且等長；傾斜于投影面的直線在該投影面上的投影短于直線的真長。22、直線上的點一、直線上點的投影特性從下圖可以看出，直線AB上的

29、任一點K有以下投影特性：.直線上的點的投影必在該直線的同面投影上(從屬性)；.直線的點分割線段的長度比，與該點的投影分該線段的投影的長度比相等(定比性)。如下圖所示，K分AB為AK:KB,則ak:kb=ak:kb=ak:kb反之，若一點的各個投影在一直線的同面投影上，分線段各投影長度成相同之比，則該點定在此直線上。這是我們判斷點是否在直線上的依據。一般情況，根據點的兩個投影是否在直線的同面投影上就可確定該點是否屬于直線。但當直線是某一投影面平行線時，還需分析點在直線所平行的投影面上的投影是否滿足從屬性，或利用定比性判斷。例1:已知直線AB的投影圖，試將AB直線分成2:3兩段，求分點C的投影。分

30、析：因點C將AB直線分成2:3,則C點必在AB直線上，c在ab上,c在ab上，且ac:cb=ac:cb=2:3。作圖時，可過a點任作一直線aDo,并在此直線上以任意長度取5等分，得端點B0。在aB0上取第二等分點Co,利用平行定比性求得c、co例2:已知側平線AB及點C的兩面投影，判斷C是否在直線AB上解：方法一：作圖。方法二：定比性判斷解題時穿插提問：判斷點是否屬于直線可用幾種方法？二、直線的跡點跡點：直線與投影面的交點。它是直線與投影面的共有點，具有直線上的點和投影面上點的投影特性。在三面投影體系中，特殊位置直線跡點為：投影面平行線只有兩個跡點。投影面垂直線只有一個跡點。我們一般是在兩面投

31、影體系中來討論一般位置直線的跡點。L水平跡點：H面上跡點，記為M。跡點分為Y正面跡點：V面上跡點，記為N。側面跡點：W面上跡點，記為S。1、求水平跡點M,M屬于H面，故m必OX軸上；又點M屬直線AB,故m必在ab上，m在ab上。2、求正面跡點NN屬V面，故n必在OX軸上，又N屬直線AB,故n在ab上，n在ab上?？偨Y，跡點的投影特性：跡點在投影面上的投影是跡點本身。即M-m,Nn,S=s；跡點的另一投影必是直線相應投影與投影軸的交點因跡點屬于投影面，故各跡點就將直線分為居于不同分角的幾部分。23直線的實長及其對投影面的傾角一、直線的實長及其對投影面的傾角那么怎樣求得一般位置直線的實長及其與投影

32、面的傾角呢？我們將借助直角三角形的方法。求一般位置直實長和傾角，不如特置的直線（投影面平和垂直線）直觀、易只有利用直角三角法。利用直線的某影（如水平投影ab）線兩端點與這個投影面坐標差（如Az）求一般位置直線的實長及與投影面夾角的方法稱為直角三角形法?，F以下例說明具體的求解步驟。例4：如圖（a）所示，已知直線AB的兩面投影ab和ab,求直線AB的實長及與水平面夾角a的實大。分析：以水平投影ab和Az為兩條直角邊構成直角三角形，其斜邊是直線AB的實長，Az的對角反映直線與水平面夾角a的實大，如圖（b）。結論:當用直角三角形法求線段的實長及其對某投影面的傾角時，應以線段在該投影面上的投影長度為一直

33、角邊，以線段兩端點到該投影面的距離差為另一直角邊，構建直角三角形。直角三角形的斜邊為線段的實長，斜邊與投影長度的夾角即為空間直線對該投影面的傾角。構造直角三角形的四個條件為：斜邊、兩直角邊和銳角，即線段的投影長，兩點坐標差、真長及傾角。用直角三角形法求線段的實長及其對某投影面的傾角時，應注意：求直線的真長，只要以它的任一投影的長度為一直角邊，作出相應的直角三角形即可；若需求直線對某一投影面的傾角，則必須以直線在這個投影面上的投影長度為一直角邊作行營的直角三角形。在H、V兩面體系中，只有當直線上所有點的x坐標都相等時，亦即為側平線、鉛垂線、正垂線時，a+由90;其余各種情況，a+伊90。同樣，在

34、V、W兩面體系中，只有當直線上所有點的z坐標都相等時，亦即為水平線、側垂線、正垂線時，丫+伊90;其余各種情況，丫+背90。例5:已知直線AB長30cm,試補全其水平投影ab。定位和度量問的真長和傾 傾角求解有關注意：一定要理解該法的原理，從而才能通過做題掌握其方法。二、已知直線的實長和傾角求解有關的題用直角三角形法不僅可以求作直線角，也可以反過來由已知直線的真長和的度量和定位問題。舉例講解。（略）2-4各種位置直線的投影特性在三投影面體系中，根據直線對投影面的相對位置，可分為：投影面平行線和投影面垂直線(特殊位置直線)、一般位置直線。一般位置直線定義：對H、V、W面都處于傾斜位置的直線。于空

35、間線段的實長，也不反映直線對投影面的傾角Yn般位置直線的a、印丫都大于0。且小于90。；其三個投影為斜線，小投影特性：三個投影都仍為直線，且都小于線段的實長；三個投影都傾斜于投影軸，且不能反映直線對投影面的傾角。投影面平行線定義：平行于某一投影面、傾斜于另兩個投影面的直線。它有三種情況:水平線：平行H面，傾斜V、W;正平線：平行V面，傾斜H、W;側平線：平行W由JK斜V、H面。同時，直線對HV、W的傾角分別為a、0、丫表示。s a、s反映與 投影分特性： 投影反 傾角。 別平行左圖中：正平線為SA、SC,c為實長，與OX、OZ的夾角分別H、W面的傾角，水平投影和側面別平行于OX、OZ軸，不反映

36、實長。水平線：AB、BC。側平線：SB。通過講解，總結平行線的投影(1)、在所平行的投影面上的映線段的真長及另外兩個投影面的(2)、直線段的另兩個投影分于相應的投影軸，長度縮短投影面垂直線定義：垂直于某一個投影面，而平行于另兩個投影面的直線。它有三種情況：鉛垂線：H,/V和W;正垂線：XV,/H和W;側垂線：LW,/V和H。右圖中：a(b)a)鉛垂線：AB正垂線：AC:積聚為點，并垂直于側垂線：ADJ相應的座標軸，且反映實長。總結出其特性:(1)、在所垂直的投影面上的投影積聚成一點。(2)、在另兩個投影面上的投影反映真長，且分別垂直于相應的投影軸(平行于投影軸)。25兩直線的相對位置我們在“點

37、的投影”中討論過空間兩點的相對位置，即前后、左右、上下關系?？臻g兩直線的相對位置，利用中學時學到的幾何知識，知道有平行、相交和交叉三種情況。平行、相交兩直線都位于同一平面上，是共面直線；交叉兩直線彼此既不平行，又不相交，它們不在同一平面上，為異面直線。一、兩直線平行根據緒論中講到的平行投影的基本性質，即正投影的平行性，可知：若空間兩直線互相平行，則其同面投影互相平行，且兩平行線段長度之比等于其同面投影長度之比。P26圖2.32中：AB/CD,貝Uab/cd,ab/cd。也知ab/cd，且AB:CD=ab:cd=ab:cd。反之，若兩直線的同面投影分別平行且成定比，則該兩直線在空間必平行。證明：

38、ab/cd|=面abBA/平面cdDC;又ab/cd面abBA/平面cdDC平面abBA與平面abBA相交于AB認B/CD平面cdDC與平面cdDC相交于CD-般情況下，根據直線的任意兩個同面投影是否平行，即可確定該兩直線是否平行。但當兩直線同時平行于某一投影面時，即對于平行于同一投影面的兩直線，最好要有一組是被平行的投影面上的投影，這樣便于檢驗兩直線是否平行。對于特殊位置直線，只有兩個同名投影互相平行，空間直線不一定平行。在投影圖上判別兩直線是否平行時，若兩直線處于一般位置，則只需判斷兩直線的任何兩個同面投影是否平行即可確定，如下圖中由于直線AB、CD均為一般位置直線，且ab/cd、ab/c

39、d,則AB/CD。b否則，則通常還需根據兩直線在所平行的投影面上的投影是否平行來確定（或根據定比性判斷）。例6試判斷AB與CD直線是否平行。分析：若兩直線同時平行于某一投影面時，則還必須判斷兩直線在所平行的那個投影面上的投影是否相互平行來確定。如下圖所示，直線AB、CD為兩條側平線,雖然ab/cd、ab/cd,但還要通過判斷側面投影，知ab/cd,從而判定AB/CD。例7試判斷AB與CD直線是否平行。分析：若兩直線同時平行于某一投影面時，則還必須判斷兩直線在所平行的那個投影面上的投影是否相互平行來確定。如下圖所示，直線AB、CD為兩條側平線,雖然ab/cd、ab/cd,但還要通過判斷側面投影,

40、知ab與cd相交，從而判定AB與CD不平行。二、兩直線相交相交兩直線的同面投影都分別相交；并且，同面投影的交點是同一點的投影反之，亦然。一般情況下，兩直線在空間是否相交，根據兩面投影就可以直接判斷，如下圖所示。但如果兩直線中有一條直線平行于某一投影面，則要加以判斷。例8已知兩直線AB、CD相交，試補全投影Cb分析：從圖（a）可知，ab與cd相交于k,利用相交兩直線的投影規(guī)作cc的平行線交ab于k,連ck并延長求得d。三、兩直線交叉在空間既不平行，也不相交的兩直線稱為交叉兩直線。交叉兩直線的投影不具備平行或相交兩直線的投影特性。交叉兩直線的同面投影有的相交，有的平行；或者同面投影都分別相交，但同

41、面投影的交點不是同一點的投影，不符合點的投影規(guī)律。此時，兩直線投影的交點實際上是兩直線對投影面的重影點，按照重影點檢定它們的可見性。交叉兩直線有一個投影或兩個投影平行：交叉兩直線可能有一個或兩個投影平行，如圖所示，但不會有三個同面投影平行。兩直線在三個投影面上的同面投影有四種模式：各組同面投影都分別互相平行。(平行)有的同面投影相交，有的同面投影平行。(交叉)各組同面投影都分別相交，且同面投影的交點是同一點的投影。(相交)各組同面投影都分別相交，但同面投影的交點不是同一點的投影。(交叉)交叉兩直線中重影點的分析：如圖中水平投影ab和cd的交點1(2),其實是AB直線上的I點與CD直線上的II點

42、對水平投影的重影點。同理，3(4)是CD直線上的III點與AB直線上IV點對正面投影的重影點。根據重影點可見性的判別方法可知，水平投影中，位于AB線上的I點可見，而位于CD線上的II點不可見，即投影為1(2)。正面投影中，位于CD線上的III點可見，而位于AB線上的IV點不可見，即投影為3(4)。26一邊平行于投影面的直角的投影投影特性共有三點：1、當直角的兩邊都與投影面不平行時，在該投影面上的投影不是直角。2、當直線的兩邊都與投影面平行時，在該投影面上的投影仍是直角。3、當直角的一邊平行于投影面，另一邊傾斜與投影面時，在該投影面上的投影仍是直角（直角投影法則或定理）；而另一邊垂直于投影時，在

43、該投影面上的投影稱為一條直線。直角投影法則或定理的三個條件：空間兩直線垂直，一邊平行于投影面，投影仍互相垂直。由任意兩個條件，即可推出第三條成立。因此，得出逆定理：若兩直線在某投影面的投影互相垂直，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線必定互相垂直。另外：若兩直線互相垂直，它們在某投影面上的投影也互相垂直，則此兩直線中至少有一條直線平行于該投影面。講教材例26、例27。27直線的投影變換直線由兩點確定，求直線的投影變換，只需求出直線上兩個點的投影變換，連接起來就得到該直線的投影變換后的投影。前面已經講過，設置新投影軸必須遵循的原則是：新投影面一定要垂直于原有兩面體系中的一個投影面。故在投影圖

44、上，新投影面的設置，就表現為新投影軸的設置。下面看該問題的幾種情況。.把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€其方法就是使建立的新投影軸平行于空間直線，利用正平線或水平線的投影特性，從而得到線段的實長及其與投影面的夾角。如圖所示，直線AB在H/V體系中是一般位置直線。如何變換投影面使AB變成平行線呢？變換V面為Vi面，并使Vi/AR那么，直線AB在H/Vi體系中就成為平行線（正平線）。AB的新投影arbi必反映實長；ab與OXi軸的夾角必等于AB本身對H面的傾角0作圖步驟：(1)引新軸OXi/ab；(2)作出兩端點A和B的新投影，得到a?bi=AB在V面上的投影反映實長和口角。b(b)(c)biO(a)

45、如果變換 平線)。圖把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€H為H,并使H/AB,那么AB在H/V體系中也成為平行線(水作圖步驟如圖所示(咯)，AB在H面上的投影反映實長和P角。因此，若求豆，則應變換V面，若求P,則應變換H面。注：OX只需與ab平行，它們間的距離對于求AB的實長是沒有影響的。把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€的作圖方法小結：(D將一般位置直線變換成新投影面的平行線只需進行一次變換。(2)新投影軸應平行于直線的某一投影(Xi/ab或Xab)o.將投影面平行線變換為投影面的垂直線只需要建立一個新的投影面與該平行線垂直。若為正平線，新投影面應垂直于V面，變?yōu)殂U垂線；若為水平線，新投影面應垂直于H

46、面，變?yōu)檎咕€。.把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€如果讓某一新投影面與一般位置直線垂直，那么，該投影面與原有的兩個投影面都不垂直，不符合建立新投影面的基本條件。故將一般位置直線變換成新投影面的垂直線經一次換面是不能實現的！投影面平行線能否經一次變換成為新投影面的垂直線呢？顯然是可以做到I圖中新投影面HiLAB,此時必定HLV。在新投影面體系H-V中，AB成為H的垂直線。根據投影面垂直線的投影特性，新投影軸Xiab,AB在H內的投影aibi積聚成一點，見圖。VXHai( bi圖把投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€因此，將一般位置直線變換成投影面垂直線的作圖步驟為：（1）將一般位置直線變換成投影面平行線；

47、（2）將投影面平行線變換成投影面垂直線。作圖步驟：（1）將AB變換成Vi面的平行線；作新投影軸Xab;求出AB在Vi內的投影aib。（2）將AB變換成H面的垂直線。作新投影軸kJab:;求出AB在H面內的投影a2b2,a2b2積聚成一點（a）（b）圖把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€31平面的表示法平面的投影表示有兩種方法：一種是用平面上的點、線和圖形的投影來表示，稱為平面的幾何元素表示法；另一種是用平面與投影面的交線來表示，稱為平面的跡線表示法。一、平面的幾何元素表示法所面的空間位置可由下圖所示的任何一組元素來確定。1）不在一直線上的三點，如圖（a）所示白t點A、B、C;2）一直線與直線外一點，

48、如圖（b）所示白t點C和直線AB;）相交兩直線，如圖（c）所示的直線AB和AC;4）平行兩直線，如圖（d）所示的直線AB和直線CD;5）任意平面圖形，如三角形、四邊形等，如圖（e）所示的AABC。上述五種表示平面的形式可以互相轉換，即從一種形式轉換為另一種形式。自二、平面的跡線表示法空間平面與投影面的交線（共有的線）即為跡線。用跡線表示的面即為跡線平面。平面與H、V、W投影面的交線分別稱為平面的水平跡線、正面跡線和側面跡線，具符號為Ph、Pv、Pw。Px為Ph、Pv兩跡線交于OX軸的同一點，稱為跡線共點。跡線是平面和投影面的交線，在投影面上的投影位于跡線原處，在其它面上的投影則位于相應的投影軸

49、上（在投影圖中不需表示）。一般位置平面的跡線和特殊位置平面的跡線圖如下：Qv綜上所述，兩種平面的表示法,本質是一致的，可以互相轉化。例1:試將下圖所表示的兩相交直線AB、CD表示的平面P,改用跡線表示解：平面的跡線無羋是該面上直線的跡點的集合。故只需求出面上兩直線的同面跡點即可。32各種位置平面的投影在三面投影體系中，根據平面對投影面的相對位置，可將平面分為:一般位置平面：傾斜于三個投影面的平面。投影面平行面：平行于某一個投影面的平面投影面垂直面：垂直于某一個投影面，同時傾斜于另外兩個投影面的平面?？臻g平面與投影面之間的夾角（兩個平面間的兩面角）稱為平面與投影面的傾角。平面與H、V、W投影面的

50、夾角，稱為該平面對投影面H、V、W的傾角。約定：平面對H面的傾角用a表示，平面對V面的傾角用b表示，平面對W面的傾角用g表示。在講述平面圖形的類似性、積聚性、真實性后，歸納出平面圖形的投影特性：當平面圖形傾斜于投影面時，投影為面積縮小的類似性；垂直于投影面時，投影積聚為直線；平行于投影面時，投影反應真形。一、一般位置平面凡與三個投影面都傾斜的平面稱為一般位置平面，如圖所示。它的三個投影既沒有積聚性，也不反映實形，而是小于實形的類似形。1、一般位置平面圖形的投影特性：它的三個投影都是面積縮小的類似形。2、一般位置的跡線平面投影特性：在三個投影面上都有跡線，每條跡線都傾斜于投影軸，并且每兩條跡線分

51、別相交于投影軸上的同一點。二、投影面垂直面.鉛垂面垂直于水平面的平面稱為鉛垂面。鉛垂面的投影特性：1）、鉛垂面的水平投影積聚成一直線段，且與該投影面上的OX軸的夾角等于該平面對V面的傾角b,與OYh軸的夾角等于該平面對W面的傾角g;2）鉛垂面的另外兩個投影為小于實形的類似形.正垂面垂直于正面的平面稱為正垂面。正垂面的投影特性：1）正垂面的正面投影積聚成一直線段，且與該投影面上的OX軸的夾角等于該平面對H面的傾角a,與OZ軸的夾角等于該平面對W面的傾角g;2）正垂面的另外兩個投影為小于實形的類似形。.側垂面垂直于側面的平面稱為側垂面。側垂面的投影特性：1）側垂面的側面投影積聚成一直線段，且與該投

52、影面上的OZ軸的夾角等于該平面對V面的彳K角b,與OYw軸的夾角等于該平面對H面的傾角a;2）側垂面的另外兩個投影為小于實形的類似形。由此可歸納出投影面的垂直面平面圖形的投影特性：在垂直的投影面上的投影積聚成直線，并反映與另兩投影面的傾角在另兩投影面的投影，為面積縮小的類似形。投影面的垂直面跡線平面的投影特性：在垂直的投影面上的跡線有積聚性，并反映與另兩投影面的傾角。在另兩投影面的跡線，分別垂直于相應的投影軸。、投影面平行面1、水平面平行于水平投影面的平面稱為水平面。水平面的投影特性：1）水平面的水平投影反映平面圖形的實形；2）水平面的另外兩個投影積聚為直線段，且分別平行于OX軸和OYw軸.正

53、平面平行于正面的平面稱為正平面。正平面的投影特性：1）正平面的正面投影反映平面圖形的實形；2）正平面的另外兩個投影積聚為直線段，且分別平行于OX軸和OZ軸.側平面平行于側面的平面稱為側平面。側平面的投影特性：1）側平面的側面投影反映平面圖形的實形；2）側平面的另外兩個投影積聚為直線段，且分別平行于OYh軸和OZ軸由此可歸納出投影面的平行面平面圖形的投影特性：在平行的投影面上的投影反映平面圖形的真形；在另外兩個投影面上的投影，分別積聚為直線，且平行于相應的投影軸投影面的平行面跡線平面的投影特性：在平行的投影面上無跡線。在另兩投影面的跡線有積聚性，且平行于相應的投影軸3-3平面上的點和直線、平面上

54、的點和直線1、平面上的點由立體幾何知道，點在平面內的條件是：點在平面內的一條直線上。在平面內取點，可以直接在平面內的已知直線上選取，或先在平面內取一直線（輔助線），然后在該直線上選取符合要求的點（定點先定線）。例2兩相交直線ARBC組成平面，K點屬于該平面，已知k,求k。分析：因為K屬于ABBC組成的平面，所以k屬于平面的水平投影，k屬于平面的正面投影。X%例3已知AABC的兩個投影，如圖（a）,試在AABC平面內取一點K,使K點的坐標為：X=25mmZ=10mm。分析：給出點K的Z坐標，表示它位于該平面上的一條距H面為10mm的水平線上。平面內的水平線是該平面內與H面等距離的點的軌跡：點的X

55、坐標，表示它與W面的距離，平面內的側平線是該平面與W面等距離的點的軌跡。則此兩軌跡的交點,即平面內的水平線與平面內的側平線的交點,必同時滿足與H和W面為定距離的要求。2、平面上的直線由立體幾何中知道，直線在平面內的條件是下列兩條件之一：1.通過平面內的兩點；2.通過平面內的一點并平行于平面內的另一直線。在平面內取直線，必須先在平面內的已知直線上取點（作線先找點）。例4如圖（a）（b）所示，平面P由相交兩直線AB和BC所決定。在AB和BC線上各取一點D和E,則D、E兩點必在平面P內，因此，D、E連線也必在平面P內。例5已知直線段AB在ADEF內，正面投影如圖所示，求水平投影。分析：已知AB在AD

56、EF內，所以ab屬于Adef,ab屬于Adef。、平面上的投影面平行線平面上的投影面平行線，應符合直線在平面上的幾何條件，又符合投影面平行線的投影特性。例6一般位置平面內的投影面平行線（見表3-2）3-2孱于平面內的投影面平行曲+曲內的正行線。平面內的側平嶙肱投ck/OX ekctbcbk/OY*匕口4七”三、平面的最大斜度線平面上與某一投影面成最大傾角的直線，稱為平面上對該投影面的最大斜度線。在平面上對某一投影面的最大斜度線有無數條，它們是平面上的一組互相平行的直線平面上對某一投影面的最大斜度線，是與平面上的該投影面的平行線和跡線相垂直的直線；它與該投影面的傾角，也就是平面對該投影面的傾角。

57、34平面的輔助投影.把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵娓鶕善矫娲怪钡膸缀螚l件可知，要把一個一般位置平面變?yōu)樾峦队懊娴拇怪泵?，只需使屬于該平面的任一條直線垂直于新投影面。依前面所講，把投影面平行線變?yōu)榇怪本€只需依次換面。因此，我們可將已知平面內的一條投影面平行線(水平線或正平線)作為輔助線，變換為新投影面的垂直線則可。如圖所示，平面ABCS H/V體系中是般位置平面，如何變換投影面使ABC(a)(b)圖把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵鏋榱税岩话阄恢闷矫孀優(yōu)橥队懊娲怪泵?，只需使該平面內的任意一條直線垂直于新投影面，并且新投影面還要滿足與舊投影面垂直的關系，因此，若變換H面,則要在平面內取一條正平線，作

58、與該正平線垂直的新投影面,該新投影面與V面滿足垂直關系，則平面ABC成為新投影體系UH中的垂直面(鉛垂面)，且反映該平面與V面的真實夾角B。作圖步驟：(1)在AABC內，任意作一條正平線AI,(2)選新軸OXa1(3)作出三角形端點AB和C的新投影，得到aibiCi。ABCSH面上的投影具有積聚卜t且反映三角形與V面的真實夾角B。思考：若變平面為正垂面，且求角口，作圖過程如何？把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪泵娴淖鲌D方法小結：(1)將一般位置平面變換成新投影面的垂直面只需進行一次變換。(2)新投影軸應垂直于平面內的平行線的某一投影。(3)若求小，則應變換V面，若求P,則應變換H面。.將投影面垂直面

59、變換為投影面的平行面新投影面要平行于已知垂直面。若已知為鉛垂面，則新面V1LH面；若已知為正垂面，則新面V1LV面.把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻嫒绻岩话阄恢闷矫孀優(yōu)橥队懊嫫叫忻?，只更換一次投影面也是不行的。因為若取新投影面平行于一般位置平面，則這個新投影面也一定是一般位置平面，它和原體系的哪一個投影面都不能構成兩面直角體系。要解決這個問題，必須更換兩次投影面。第一次把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?，第二次再把投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻妗Ｗ鲌D步驟：(1)將一般位置平面變換成垂直面(2)將垂直面變換成平行面取OX/bi&ci作出三頂點在面上的新投影a2b2匕2，,則AABC變換成正平面,.汨

60、2b2c2便反映三角形ABC勺實形。aVHa圖把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻嫠伎迹喝糇円话阄恢闷矫鏋樗矫妫鲌D過程如何？把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫忻娴淖鲌D方法小結：(1)將一般位置平面變換成新投影面的平行面需進行二次變換。(2)求平面的實形，既可先變換V面，將平面變換成水平面，又可先變換H面，將平面變換成正平面。4、綜合舉例【例題11過G點作直線與直線AB垂直相交(如圖所示)a：Xgb(b)(a)圖過G點作直線與直線AB垂直相交分析：根據直角投影定理可知，若互相垂直的兩條直線，其中有一條直線平行于某一投影面時，則此兩條直線在該投影面上的投影仍互相垂直。由此可知，由G點向直線AB作垂直相交的