數(shù)學(xué)精品-新北師大版必修二-4.2.4積化和差與和差化積公式課件

1、2.4積化和差與和差化積公式必備知識(shí)自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.積化和差公式與兩角和差公式有怎樣的關(guān)系?2.和差化積公式與積化和差公式有怎樣的關(guān)系?積化和差、和差化積公式(1)積化和差公式sin cos = sin(+)+sin(-),cos sin = sin(+)-sin(-),cos cos = cos(+)+cos(-),sin sin =- cos(+)-cos(-).(2)和差化積公式sin x+sin y=2sin cos ,sin x-sin y=2cos sin ,cos x+cos y=2cos cos ,cos x-cos y=-2sin sin .【思考】(1)積化和差公式是由什么

2、公式推導(dǎo)出來(lái)的?提示:兩角和與差的正弦、余弦公式.(2)和差化積公式是如何推導(dǎo)出來(lái)的?提示:如果令x=+,y=- ,則= ,= ,從而可以由積化和差公式得到和差化積公式.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“”,錯(cuò)的打“”)(1)sin xsin y= cos(x-y)-cos(x+y).()(2)cos +cos =2cos cos .()(3)已知-= ,cos +cos = ,則cos = .()提示:(1).積化和差公式.(2).和差化積公式.(3).因?yàn)?= ,cos +cos =2cos cos =2cos cos = ,所以cos = .2.若cos xcos y+sin xsin

3、y= ,sin 2x+sin 2y= ,則sin(x+y)=()A. B. C. D. 【解析】選D.因?yàn)閏os xcos y+sin xsin y= ,所以cos(x-y)= ,因?yàn)閟in 2x+sin 2y= ,所以2sin(x+y)cos(x-y)= ,所以2sin(x+y) = ,所以sin(x+y)= .3.(教材二次開發(fā):例題改編) =_.【解析】原式= 答案: 關(guān)鍵能力合作學(xué)習(xí)類型一利用積化和差、和差化積公式化簡(jiǎn)、求值、證明(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)角度1利用積化和差、和差化積公式化簡(jiǎn)求值【典例】求下列各式的值:(1)sin +sin ;(2)cos -cos ;(3)cos273+

4、cos247+cos 73cos 47;(4)2cos cos +cos +cos .【思路導(dǎo)引】(1)利用和差化積公式,進(jìn)行化簡(jiǎn)所求表達(dá)式.(2)利用和差化積公式,進(jìn)行化簡(jiǎn)所求表達(dá)式.(3)利用配方法,結(jié)合積化和差公式,化簡(jiǎn)求得表達(dá)式的值.(4)利用積化和差公式、誘導(dǎo)公式,化簡(jiǎn)求得表達(dá)式的值.【解析】(1)sin +sin =2sin cos = cos .(2)cos -cos =-2sin sin =- sin .(3)cos273+cos247+cos 73cos 47= -cos 73cos 47=4cos2 60cos213- =cos213+ -cos213+ = .【變式探究】

5、本題考查三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題,同時(shí)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).若把本例(3)改為 試求其值.【解析】角度2利用積化和差、和差化積公式證明恒等式【典例】證明:(1) (2) 【思路導(dǎo)引】(1)利用和差化積公式證明左邊式子等于右邊式子即可;(2)利用和差角公式展開,之后再利用和差化積公式化簡(jiǎn)整理得到結(jié)果.【證明】(1)(2)【解題策略】(1)套用和差化積公式的關(guān)鍵是記準(zhǔn)、記牢公式,為了能夠把三角函數(shù)式化為積的形式,有時(shí)需要把常數(shù)首先化為某個(gè)角的三角函數(shù),然后再化積,有時(shí)函數(shù)不同名,要先化為同名再化積,化積的結(jié)果能求值則盡量求出值來(lái).(2)在運(yùn)用積化和差求值時(shí),盡量出現(xiàn)特殊角,同時(shí)注意互余

6、角、互補(bǔ)角的三角函數(shù)間的關(guān)系.總之,在進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)要看角的形式,通過(guò)看角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理的拆分,通過(guò)“湊角法”對(duì)“已知角”與“未知角”建立聯(lián)系,合理選擇和、差角,輔助角,積化和差與和差化積公式等方法進(jìn)行.【題組訓(xùn)練】1.已知cos2-cos2=a,那么sin(+)sin(-)等于() A.- B. C.-aD.a【解析】選C.sin(+)sin(-)=(sin cos +cos sin )(sin cos -cos sin )=sin2cos2-cos2sin2=(1-cos2)cos2-cos2(1-cos2)=cos2-cos2=-a.2.證明: 【證明】方法一:方法二:【

7、補(bǔ)償訓(xùn)練】證明下列恒等式.【證明】類型二利用積化和差、和差化積公式解決三角函數(shù)問(wèn)題(邏輯推理)【典例】已知函數(shù)f(x)= 與g(x)=cos2x+a(1+cos x)-cos x-3的圖象在(0,)內(nèi)至少有一個(gè)公共點(diǎn),求a的取值范圍.四步內(nèi)容理解題意條件:已知f(x)= ;已知g(x)=cos2x+a(1+cos x)-cos x-3;f(x)與g(x)的圖象在(0,)內(nèi)至少有一個(gè)公共點(diǎn).結(jié)論:求滿足條件的a的取值范圍.四步內(nèi)容思路探求由和差化積公式將sin -sin 化簡(jiǎn)為2cos sin x,再利用和差角公式將sin x換成sin 展開化簡(jiǎn),再利用積化和差化簡(jiǎn),最后,參變量分離出a后利用基

8、本不等式求解.四步內(nèi)容書寫表達(dá)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)= 與g(x)=cos2x+a(1+cos x)-cos x-3的圖象在(0,)內(nèi)至少有一個(gè)公共點(diǎn),所以 =cos2x+a(1+cos x)-cos x-3在(0,)內(nèi)至少有一個(gè)解,即sin x-sin = 所以 四步內(nèi)容書寫表達(dá)2cos xcos =cos2x+a(1+cos x)-cos x-3,cos 2x+cos x=cos2x+a(1+cos x)-cos x-3,所以a=(1+cos x)+ ,令1+cos x=t,t(0,2),所以a2,當(dāng)且僅當(dāng)x= 時(shí)等號(hào)成立,所以a的取值范圍是2,+).注意書寫的規(guī)范性:注意換元后的新元的取值范圍

9、,這也是本題的易錯(cuò)之處. 題后反思不同角的正余弦和差及乘積出現(xiàn)時(shí),通常利用和差化積與積化和差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)與求值,此時(shí)需熟悉并能正確地應(yīng)用好此公式.【解題策略】(1)利用積化和差、和差化積公式,一定要清楚這些公式的形式特征,理解公式間的關(guān)系.(2)求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到的類型:形如y=asin x+bcos x+c的三角函數(shù)化為y=Asin(x+)+c或y=Acos(x+)+c的形式,再求值域(最值);形如y=asin2x+bsin x+c或y=acos2x+bcos x+c的三角函數(shù),可先設(shè)sin x=t或cos x=t,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值).【題組訓(xùn)練】求函數(shù) 的最值

10、.【解析】因?yàn)閤 所以 所以 所以f(x)的最大值為 ,最小值為 【拓展延伸】積化和差與和差化積公式在三角形中的應(yīng)用涉及三角形的有關(guān)問(wèn)題時(shí),在化簡(jiǎn)過(guò)程中要注意隱含條件A+B=-C及 的利用,要注意運(yùn)用三角恒等變換(切化弦、常值代換、引入輔助角、和差化積與積化和差、角的代換)來(lái)解決問(wèn)題.【典例】若ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C滿足cos 2A-cos 2B=2sin2C,試判斷ABC的形狀. 【思路導(dǎo)引】利用和差化積公式得到sin(A-B)+sin(A+B)=0,化簡(jiǎn)得到2sin Acos B=0,進(jìn)而求得答案.【解析】cos 2A-cos 2B=-2sin(A+B)sin(A-B)=2sin2C,

11、所以sin(A-B)+sin(A+B)=0,sin(A-B)+sin(A+B)=2sin Acos B=0,所以cos B=0,所以B= ,故ABC為直角三角形.【解題策略】判定三角形形狀的基本思路對(duì)已知三角恒等式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形,可以把三角函數(shù)關(guān)系式最終化成角之間的關(guān)系,利用角之間的關(guān)系判定形狀,在變形時(shí)注意合理利用內(nèi)角和公式及其變形.【拓展訓(xùn)練】已知A+B+C=,求證:sin A+sin B+sin C=4cos cos cos .【證明】因?yàn)锳+B+C=,所以C=-（A+B）, = ,所以類型三積化和差與和差化積公式在最值方面的應(yīng)用(邏輯推理)【典例】1.(2020洛陽(yáng)高一檢測(cè))函數(shù)f(x)

12、= 則f(x)的最小正周期和最大值分別為()A., B., C.2, D.2, 2.在ABC中,若B=30,求cos Asin C的取值范圍.【思路導(dǎo)引】1.利用積化和差公式化簡(jiǎn)并整理成正弦型函數(shù)再求解;2.利用積化和差公式將兩個(gè)角的兩種名稱改為兩個(gè)角的一種名稱,然后分析求解.【解析】1.選B.f(x)所以最小正周期為,最大值為 .2.由題意得因?yàn)锽=30,所以-150A-CC- ,故2A+CC- .所以2A+C+C- =A+C= .(2) =2sin A+2sin C=2sin A+2sin =2sin A+2 cos A-2 sin A=3sin A+ cos A=2 sin ,因?yàn)锳 ,

13、故當(dāng)A+ = 時(shí),2 sin 有最大值2 ,所以m2 ,即實(shí)數(shù)m的最小值為2 .備選類型三角恒等式的一個(gè)推廣(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】求sin220+cos250+sin 20cos 50的值.【思路導(dǎo)引】本題中涉及到的角是非特殊的角,通常利用積化和差與和差化積公式進(jìn)行計(jì)算化簡(jiǎn).【解析】令a=sin220+cos250+sin 20cos 50,b=cos220+sin250+cos20sin 50,于是a+b=2+sin 70,a-b=-cos 40+cos 100+sin(-30)=-2sin 70sin 30- =-sin 70- ,兩式相加可得a= ,故sin2 20+cos2 5

14、0+sin 20cos 50= .【解題策略】三角恒等式的一個(gè)推廣若x+y=k360+60(kZ),則sin2x+sin2y+sin xsin y為定值 ;若x+y=k360+120(kZ),則sin2x+sin2y-sin xsin y為定值 .【跟蹤訓(xùn)練】cos 2-cos cos(60+)+sin 2(30-)的值為() A. B. C. D. 【解析】選C.原式=cos cos -cos cos(60+)+sin(30-)sin(30-)=1+ cos 2- cos (60+2)- - cos (60-2)= - cos (60+2)+cos (60-2)+ cos 2= - 2cos

15、 60cos 2+ cos 2= .1.sin 37.5cos 7.5=() A. B. C. D. 【解析】選C.原式= sin(37.5+7.5)+sin(37.5-7.5)= (sin 45+sin 30)= 課堂檢測(cè)素養(yǎng)達(dá)標(biāo)2.函數(shù)f(x)=2sin sin 的最大值是()A. B. C.- D.- 【解析】選A. 即f(x)的最大值為 .3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)(2020吳忠高一檢測(cè))已知,均為銳角,且sin 2=2sin 2,則()A.tan(+)=3tan(-)B.tan(+)=2tan(-)C.3tan(+)=tan(-)D.3tan(+)=2tan(-)【解析】選A.因

16、為sin 2=2sin 2,所以 即tan(+)=3tan(-).4.sin 20cos 70+sin 10sin 50=_.【解析】sin 20cos 70+sin 10sin 50答案: 5.如果A+B+C=,求證:cos A+cos B+cos C=1+4 【證明】因?yàn)锳+B+C=,所以C= 所以課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)三十二積化和差與和差化積公式【基礎(chǔ)通關(guān)水平一】(15分鐘30分)1.求值:sin 20+sin 40+sin 60-sin 80 =() A. B. C. D.1【解析】選C.sin 20+sin 40+sin 60-sin 80=2sin 30cos(-10)+sin 60-sin

17、 80=2 sin 80+ -sin 80= .【補(bǔ)償訓(xùn)練】cos 40+cos 60+cos 80+cos 160的值為_.【解析】原式=cos 40+cos 80+cos 60-cos 20=2cos cos +cos60-cos20=2cos60cos +cos60-cos20=cos60= .答案: 2.在ABC中sin C= ,則此三角形的形狀是()A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】選C.因?yàn)镃=-(A+B),所以sin C=sin(A+B)= ,所以 所以2cos2 =1,即cos(A+B)=0,所以A+B= ,所以C= .故此三角形為直角三角形.

18、3.函數(shù)y=sin cos x的最大值為()A. B. C.1D. 【解析】選B.因?yàn)?4.函數(shù)y=cos x+cos 的最大值是_.【解析】所以ymax= .答案: 5.已知sin +sin = ,cos +cos = ,求tan 的值.【解析】由sin +sin = ,cos +cos = 得,兩式相除得【能力進(jìn)階水平二】 (30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.若sin +sin = (cos -cos )且(0,),(0,),則-等于()A.- B.- C. D. 【解析】選D. 因?yàn)?(0,),所以sin +sin 0.所以cos -cos 0,cos cos ,又在

19、(0,)上,y=cos x是減函數(shù).所以,所以0-,由原式可知2sin 2.在ABC中,若B=45,則cos Asin C的取值范圍是()【解析】選B.在ABC中B=45,所以因?yàn)?1 1,所以 cos Asin C . 3.函數(shù)f(x)= 是()A.最小正周期為的奇函數(shù)B.最小正周期為的偶函數(shù)C.最小正周期為2的非奇非偶函數(shù)D.最小正周期為的非奇非偶函數(shù)【解析】選D.所以T= =,f(x)為非奇非偶函數(shù). 【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=g(x)cos ,若函數(shù)f(x)是周期為的偶函數(shù),則g(x)可以是() A.cos xB.sin xC.cos D.sin 【解析】選D.當(dāng)g(x)=cos

20、x時(shí),f(x)= 此時(shí)f(x)是非奇非偶函數(shù),周期為;當(dāng)g(x)=sin x時(shí),f(x)= 此時(shí)f(x)是非奇非偶函數(shù),周期為;此時(shí)f(x)是非奇非偶函數(shù),周期為;此時(shí)f(x)是偶函數(shù),周期為.4.(2020長(zhǎng)沙高二檢測(cè))在ABC中, sin A+sin Bsin C的最大值為 ()A. + B.2C. D. 【解析】選B. sin A+sin Bsin C= sin A+當(dāng)且僅當(dāng)sin B=sin C= ,sin A= 時(shí),等號(hào)成立,因此 sin A+sin Bsin C的最大值為2.【誤區(qū)警示】注意三角形中三角之間的關(guān)系,要充分利用這一關(guān)系實(shí)現(xiàn)多變角轉(zhuǎn)化為一變角形式.二、多選題(每小題5分

21、,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.設(shè)函數(shù)f(x)=sin +cos ,則()A.y=f(x)的最小值為- ,其周期為 B.y=f(x)的最小值為-2,其周期為 C.y=f(x)在 單調(diào)遞增,其圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱D.y=f(x)在 單調(diào)遞減,其圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱【解析】選AD. 所以y=f(x)在 內(nèi)單調(diào)遞減,周期為,又f = cos =- 是最小值,所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱.6.滿足sin 3x=cos x的x的值是()A. B. C. D. 【解析】選AB.由題意可得sin 3x-sin =0,由和差化積公式可得則方程的根滿足: