2012美國建模A題

1、 PAGE - 19 -2012年美國大學生數(shù)學建模A題如何計算樹上樹葉的 重量1摘要 眾所周知，樹的 葉片在光合作用中起到的 重要作用，它是 用來與外界交換信息的 重要場所。不同的 樹有不同類型的 樹葉。相同的 樹木，我們提出了分類的 想法，然后建立樣品分類為不同類型的 樹葉，樹葉的 不同類型的 聚類分析模型是 相似的 。然后得到的 樣品在同一種樹，我們可以得到不同類型的 葉片生長的 信息。因此，可以知道陽光會影響葉片的 分布是 如何的 。自然界中的 大多數(shù)物體都可以利用分型所描述，分型，是 由美國數(shù)學家BBMandelbort首次提出的 ，已經被用來描述肺，腎，血管，花卉，海浪和云彩。樹是

2、 相似分形最常見的 例子之一。從樹的 樹枝樹干，各分支的 結構與樹的 整體結構是 相似的 。它還回答了這個問題,樹的 輪廓與分支結構,是 通過測量樹的 樹干直徑、長度和分支的 角度來確定的 ，也可以是 能夠建立結構模型。所以建立兩個分形模型 ，構造出一樹的 分形結構。可以計算模擬樹的 樹干和分行。使用假設的 方法，假設生長在外面的 樹枝、樹葉，樹的 個別分支的 重量是 可以測量，我們可以計算出整個樹的 葉片重量的 近似值，當?shù)玫綐淙~的 重量，我們可以聯(lián)系樹的 高度，質量和數(shù)量。我們建立了比較不同樣本的 葉形為基礎的 模型來描繪樹葉形狀和樹的 外形的 相關性。關鍵詞：分型，聚類分析，線性回歸，樹

3、葉的 重量，樹葉形狀2問題概述 “樹葉有多重？”怎么估計樹葉的 實際重量？如何分類樹葉？建立了一個數(shù)學模型來描述和分類的 樹葉?？紤]并回答下列問題：樹葉為什么有各種形狀？形狀的 “最小化”投影重疊，以便有最大限度地陽光照射嗎？樹葉及其分支機構在“量”的 分布效應的 形狀？說到樹葉的 輪廓，是 樹葉的 形狀/分支結構嗎？你將如何估計樹葉質量？樹葉的 質量和樹的 大小特點之間有關系嗎？3模型假設假設1：樹結構的 分形特征。詳細模式復制從樹木的 分支然后到葉脈。 假設2：樹葉的 質量大致確定由最外層枝葉（即是 最好的 分支機構），內葉的 整體質量幾乎沒有影響。假設3：樹干直徑定期更換。主干直徑與不同

4、點的 位置密切相關，。假設4：本地分型和整個樹的 形狀滿足自相似性的 特點。假設5：每片樹葉的 形狀是 軸對稱的 。假設6：在實驗中測得的 數(shù)據(jù)是 實際和有效的 。4符號D樹干的 直徑M軀干的 長度P在一定的 高度，樹干的 直徑，作為一個直徑-高度函數(shù)在父分支（或主干）及其支行之間的 長度減少的 因素(Xi, Yi)葉片的 邊緣點該點(Xi, Yi)到對稱軸的 距離an維向量和Xi 作為一個組成部分R向量a的 系數(shù)AV標準化模數(shù)的 向量aR1樹的 指標R2樹葉的 指標5術語分形：一個粗略的 或小幾何形狀可分為幾部分,每一部分是 降低整體形狀,這是 自相似的 形狀。準自相似或統(tǒng)計自相似。圖1：曼

5、德拉博設置 圖2：分形樹直徑縮小率：樹干直徑下降，從根到尖。直徑縮小率是 用來描述直徑減少的 因素，作為一個函數(shù)的 底部的 距離。長度減少率：其樹枝和它的 分支長度減少的 因素。聚類分析：指將物理或抽象對象的 集合分組成為由類似的 對象組成的 多個類的 分析過程。它 是 一種重要的 人類行為。聚類分析的 目標就是 在相似的 基礎上收集數(shù)據(jù)來分類。6.分析6.1為什么樹葉有不同的 形狀6.1.1葉脈直接決定樹葉的 形狀和大小各不相同是 植物區(qū)系的 主要特點顯著。一些幾何術語，如橢圓形（橢圓形），橢圓（橢圓）或鉆石（菱形），已經由植物學家介紹，描述各葉的 形狀。千姿百態(tài)的 樹葉外表特征不同。葉脈可

6、以揭示植物的 大量信息。例如，打開植物葉片上的 洞（即“葉孔”），以吸收更多的 二氧化碳，進行光合作用，樹葉會失去蒸騰水的 數(shù)量（這個與天氣和氣候因素密切相關）。這個過程需要很多導管來運輸水，這意味著需要大量較大的 葉脈。另一個例子是 ，如果一種植物不斷需要大量的 水，這將為葉脈的 特殊幾何分布奠定了基礎，即整個葉片的 形狀。因此，它是 樹葉的 最主要的 部分，確定它們是 否是 古典楓葉或刀片柳樹葉形狀或其他的 葉脈。在一般情況下，葉脈決定一切葉片，包括提供給樹葉的 支持，抵抗侵略，運送營養(yǎng)，甚至幫助傳遞化學信號（植物在這方面，像動物的 神經葉脈）。6.1.2基因決定眾所周知，樹分支的 形象是

7、 一個典型的 分形結構，分支配置重新出現(xiàn)在規(guī)模較小的 分支。葉脈，樹枝，整個樹的 結構是 類似的 。植物形態(tài)多樣性由先天或遺傳控制決定；因此，葉脈紋理的 參數(shù)，如分枝的 數(shù)目，分枝角度，減少的 幅度，和迭代次數(shù)的 參數(shù)，可以用來確定樹分析剖面的 資料。樹分形的 輪廓，主要是 由基因決定。6.1.3環(huán)境的 影響然而，它也可以受到環(huán)境因素的 影響。例如，同一品種在不同環(huán)境中可能有不同的 葉型，亞麻葉的 形狀受到太陽光線的 影響。（如圖3所示）熱帶樹的 樹葉比那些從寒冷氣候的 樹葉更可能是 圓，厚，平滑的 邊緣。在干旱條件下的 植物的 樹葉一般都比較小，針狀，以維持水植物失水，因為90是 通過葉片蒸

8、發(fā)。其中在同一棵樹上的 樹葉，頂端的 樹葉與在底部或內部的 相比會更小，由于更多的 太陽光線照射的 樹冠的 是 形狀。此外，樹冠頂部的 樹葉一般有鋸齒，促進散熱。雖然在底部有較少的 陽光照射，而樹冠葉通常有較大的 表面積和平滑的 邊緣，以增加吸收太陽光。A b c d e圖3.亞麻葉的 形狀或型材的 太陽光線的 影響A：實驗對照組B：每天8小時的 輕處理，處理一個月C：每天8小時光照處理，處理2個月D：每天6小時光照，每個月一天E：每天6小時光照，處理2個月6.2陰影的 影響在不同的 樹種上這個位置的 樹枝,樹葉和花是 不同的 。它們的 定位是 按一定的 順序排列的 ,這就是 所謂的 葉序。葉

9、序分為交替,相反的 ,螺紋和成束的 。圖4 不管樹葉在莖,枝的 排列方式,相鄰兩個從未重疊的 葉片卻以mosaidy排列垂直于陽光中. 這種現(xiàn)象被命名為”葉鑲嵌”。 葉鑲嵌，可以使所有的 樹葉，以獲得最大的 效率做光合作用的 光照。陽光是 最重要的 因素，影響葉形。由于光照強度和照明面積的 不同，樹葉的 形狀有相應的 不同。一棵樹的 樹葉可以通過聚類分析模型之一歸類，然后葉片各種傳播可以被認識。 與太陽光的 投影分析相結合，可以得到一定程度受到陽光的 影響的 各種葉片。6.3葉片的 形狀和樹和分支結構的 輪廓之間的 關系根據(jù)分形理論，樹的 輪廓和分支結構相似，因此，葉片的 輪廓和分支結構之間的

10、 關系，類似于葉片和結構的 形狀和樹的 輪廓之間的 關系。假設有N = 7 。然后，我們使用聚類分析，分類采樣的 樹葉。6.4 一棵樹葉片的 重量使用分形理論去建立兩個模版. 自然界中的 許多植物顯然是 分形形式。主要的 分支機構一再劃分為更小的 子技能.使用適當?shù)?規(guī)模，觀察到的 一些樹木和根和其他一些植物。（尤其是 最原始的 植物，如農業(yè)用地，苔順，海藻）看起來都是 分形特征，這意味著他們是 分形生長的 形式。當計算一個樹葉的 重量，根據(jù)分形理論，它是 比較容易計算，一棵樹的 一些基本參數(shù)，例如，分行數(shù)目，分支直徑等. 我們可以成功地估算葉片的 平均數(shù)量在過去的 分行等級，所以，我們可以計

11、算出樹的 樹葉數(shù)量.有了葉數(shù)，很容易計算一棵樹的 樹葉重量。6.5一棵樹的 葉片重量和高度，質量，體積之間的 關系如果我們改變模型 II 中減少率的 直徑，我們將得到不同的 樹木和不同的 樹高、 質量、 體積重量的 葉片重量。然后我們使用的 回歸分析在 SPSS 軟件獲取它們之間的 相關系數(shù)。7模型設計及解決方案7.1模型一：樹葉的 分類7.1.1 葉分類的 原則：首先，軸的 距離是 邊界點的 距離（x,y）對稱軸。圖形的 旋轉不會改變從邊界點到對稱軸的 距離。對稱軸平均分為N個部分。 N的 值越大，我們的 結果會更精確。圖片5在這里，我們使用的 最短距離的 方法，在系統(tǒng)聚類分析方法進行分類。

12、最短距離的 方法是 使用下面的 公式系統(tǒng)聚類的 類之間的 距離。圖片67.1.2葉片分類計算步驟我們假設，軸的 距離已知： ,看到軸的 距離為一個n維向量，這是 7維向量。=(,)。恐怕各類葉片的 大小，可能會影響葉形分類。我們得到的 7維向量的 標準化。=().我們使用歸向量代表的 兩片樹葉的 親和力之間的 歐幾里德距離。然后使用SPSS軟件。我們用最短距離法，系統(tǒng)聚類分類i葉片。| iR.分類的 特點是 ，歐幾里德的 類之間的 距離是 長的 ，一類是 由歐氏距離短。也就是 說,同一類型的 樹葉是 相似的 。但不同類型的 不知道。7.1.3不同樹種的 分類葉不同的 樹種有不同的 樹葉，這是

13、由兩個基因決定，后天的 環(huán)境，因此，不同的 樹的 樹葉的 分類是 不同樹種的 分類。所以歸入類似的 樹葉，他們的 血管當然是 相似的 ，因為靜脈直接決定了樹葉的 形狀。同樣地伸出，他們是 在提供結構支撐和保護，不受侵犯，輸送養(yǎng)分，化學信號類似。它為我們提供一個新的 概念，了解不同品種的 樹木。7.1.4同一棵樹上的 樹葉的 分類根據(jù)相同的 樹葉分類，我們可以得到不同類型的 刀片分布， samply不同類型的 樹葉。同時，我們紀念的 取樣位置，所以葉片的 樣本，可以恢復到一棵樹，就可以知道不同類型的 樹葉的 樹木分布。因為沒有真正的 數(shù)據(jù)，我們假定可以分為兩大類，小樹葉和大葉的 樹葉。其分布可能

14、是 兩種。1，是 在頂部的 小樹葉，在底部的 大樹葉圖7 ：紅色小樹葉，大葉黃在陽光的 照射下，通過上面的 樹葉產生的 陰影是 小，從而有更多的 陽光照射在底部的 大葉，大葉中含有較多的 葉綠體，因此比小樹葉，下面的 樹葉可以更好地吸收太陽能，從而能更好地進行光合作用，吸收二氧化碳。2，在頂部的 大葉，在底部的 小樹葉。圖8 ：紅色小樹葉，大葉黃在陽光的 照射下，在樹的 頂端，葉大，因此，將有很多陰影，下面的 樹葉不能獲得更多的 太陽能，而下面的 葉所含的 葉綠體少，所以下面的 樹葉吸收的 光線越少的 能源，它的 作用將是 較小的 ，不再有必要的 ，因此這種類型的 樹被淘汰。7.2模型二：分形

15、主干模型7.2.1模型的 建立理論:一棵樹上的 樹葉重量=每片葉片的 平均重量一棵樹上的 樹葉數(shù)量。一棵樹上葉片的 數(shù)量=每個最小分支的 葉片數(shù)量最小分支的 數(shù)量根據(jù)樹木的 分形理論，可以得到最小分支的 數(shù)量。根據(jù)平均采樣數(shù)據(jù)，可以得到每個最小分支和每片葉片的 平均重量。7.2.2分析步驟如下（1）由于某種樹，得到以下的 數(shù)據(jù)可以通過測量：主干AO的 直徑是 .主干AB的 直徑是 .主干AD的 直徑是 .分支點和最低點之間的 距離是 OA ，OD， AB和AE 。因此，減少系數(shù)和減少每個分支點的 系數(shù)，可以計算出（如圖9所示） 。（2）我們可以計算出其他分支的 長度,通過降低利率計算第一步(圖

16、9)（3）根據(jù)直徑減按步驟之一。我們可以計算出每個節(jié)點（圖9）的 直徑。（4） 為直徑指定的 最低值，當,繼續(xù)構建模型樹，重復計算過程of.steps 2和3， （例如，圖10 ）（5）當,計算分支機構的 總數(shù)。（6）多次稱量最小分支樹葉的 重量，然后計算平均值（7）計算樹的 樹葉的 重量7.2.3模型的 解決方案（1）電腦處理如下（系統(tǒng)流程圖）（2）數(shù)據(jù)存儲形式計算機數(shù)據(jù)存儲的 形式是 一個樹狀結構，根據(jù)樹木的 實際情況，多個分支機構的 幾個樹在每個節(jié)點中存儲的 數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)包括了D （直徑） ，L（距離，這給它的 節(jié)點是 父節(jié)點，根是 0 ） ，N（下一個子節(jié)點） 。最后只需要確定葉節(jié)點的

17、數(shù)量，將能夠確定最低數(shù)量的 樹枝。D,L,ND,L,ND,L,ND,L,ND,L,ND,L,ND,L,NOADCFEB圖片12（3）數(shù)據(jù)分析Trunk diameterD1/1D2/2D3/3NNumber of branchesLeaf weight 4530/0.6624/0.53258435843*g2515/0.6015/0.60220482048*g2316/0.7012/0.5210/0.4436147261472*g4030/0.7524/0.626489364893*g157/0.479/0.6030.2315131513*g5037/0.7430/0.627949979499

18、*g表1注：G的 平均體重的 樹葉上最小的 分支D1，D2和D3是 第一級分支的 直徑1 ， 2 ， 3是 狹隘的 第一級分支樹樹干圖片13這張圖片是 由C + +創(chuàng)建。我們可以得到的 分行數(shù)目，如果我們在其中輸入數(shù)據(jù)7.3模式三：樹葉和樹模型的 原理：樹索引=樹高/冠冠=(東西冠的 直徑+南北冠的 直徑)/2葉長/葉寬以下是 10個9歲的 短枝型紅星的 例子，numTree index r1Leave index r211.231.821.221.8131.051.8941.181.8351.211.861.061.8771.341.7681.511.791.081.88101.121.8表

19、2模型的 解決方案：通過使用SPSS軟件和t-統(tǒng)計量顯著，結果是 ：, 。圖14：線性相關上述模型展示的 樹指標和樹葉面積指數(shù)是 負相關，并且有著顯著相關性。8.優(yōu)點和缺點8.1 優(yōu)點8.1.1 模型優(yōu)點1A) 通過對不同類型的 樹葉進行的 分類，我們可以得到不同類型的 樹葉之間的 相似性。這為研究不同樹木種類的 共性奠定了基礎。B)我們還可以探討光對樹木的 影響和樹葉的 空間分布對樹木的 影響。8.1.2 模型優(yōu)點2A)分形模型對樹木和樹枝之間的 相似特征做出了各個層次的 解釋。通過分形模型，我們可以得到一個更現(xiàn)實的 樹模型，它提供了一種來估計樹葉重量的 方法 。 B)根據(jù)分形特征來模擬植物

20、,然后模擬實體樹的 樹葉，計算模擬樹的 樹葉的 重量。這樣可避免為了求真正的 樹的 樹葉的 復雜計算。8.1.3 模型優(yōu)點3 取樣后，它很容易操作，這樣我們就可以迅速得到樹葉和樹之間的 相關性。8.2缺點8.2.1 模型缺點1聚類分析，閾值將直接影響分類的 結果。分類錯誤與對稱軸的 數(shù)目和其上面相等的 點有關，點越多越準確。8.2.2 模型缺點2 樹的 結構是 理想化的 ：樹木的 分形結構是 根據(jù)不同的 情況，如光照，溫度，濕度，等。它們會影響樹木生長和發(fā)展。模型樹和實體樹有很大的 不同。 B) 降低利率：我們認為降低利率是 不變的 ，但實際上降低率可能與其他因素，不是 一成不變的 。8.2.

21、3 模型缺點3因為樣品樹是 特殊的 ，所以，結果可能不會與實際完全吻合。因此我們需要得到大量的 其他樹木，收集相關的 數(shù)據(jù)來計算。從而得出有關結論。9.模型改進9.1 改進1在現(xiàn)實生活中，并不是 所有的 樹木都符合分形結構，因此使用上述模型，其結果可能會出現(xiàn)比較大的 錯誤。例如，當樹木被人工剪枝時，就不滿足樹的 分形結構了。為了解決這些問題，我們可以將樹木劃分成幾個小部分，雖然整個一棵樹不符合分形結構，但是 ，劃分之后的 每個部分是 滿足分形結構，然后我們就可以使用該模型計算出每一部分的 重量。最后，對各部分的 求和。9.2 改進2這棵樹,模擬了第二個模型，滿足分形結構,但它缺乏真實感。為了解

22、決這個問題，我們可以使用L-系統(tǒng)創(chuàng)建模型樹，實際上，它是 一個字符串重寫系統(tǒng)。我們解釋了字符串轉換成曲線(或者更準確的 說,作為圖形),所以生成字符串相當于生成圖。 這種改進有兩個優(yōu)點。首先,這種方法可以生成一個經典分形。第二,它可以模擬植物形態(tài)學，尤其是 能很好地表達植物的 分支結構。 樹葉的 模擬可以使用IFS系統(tǒng)的 理論，其基本思路是 ，在全局和局部的 意義自相似結構的 仿射變換的 對象，下面是 L系統(tǒng)模擬樹的 照片（圖15）和葉IFS系統(tǒng)模擬。（圖16） 圖15 圖16 參考文獻1 T.S. Ni, C. C. KING and Y. W.TANG THE EFFECT OF SHOR

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27、 biomass and dynamics, J. Veg. Sci.11 .Awal MA;Ishak W Determination of specific leaf area and leaf area-leaf mass relationship in oil palm plantation附錄#include #include using namespace std;typedef double ElemType;typedef struct LNode ElemType data; struct LNode *next;LinkList;void InitList(LinkList *&L) L=(LinkList *)malloc(sizeof(LinkList); L-next=NULL;int ListLength_L(LinkList *L) int n=0; LinkList *p; p=L-next ; while(p!=NULL) n+; p=p-nex