昌樂二中高一不等式專題

1、昌樂二中不等式證明專題不等式的證明（1）教學(xué)目的：不等式的常用證明方法之一比較法，要求學(xué)生能教熟練地運(yùn)用作差、作商比較法證明不等式。教學(xué)重點(diǎn)：比較法的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：常見解題技巧教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1.判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的充要條件對于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b，在ab，a= b，ab三種關(guān)系中有且僅有一種成立判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的充要條件是：由此可見，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號就可以了2. 若a0,b0, 則二、講解新課：1比較法之一（作差法）步驟：作差變形判斷與0的關(guān)系結(jié)論2比較法之二（作商法）步驟：作商變形判斷與1的關(guān)系結(jié)論三、講解范例：例1 求證：x2 + 3 3x例2已知a, b

2、都是正數(shù)，并且a b，求證：a5 + b5 a2b3 + a3b2例3 a ,b R+，求證：例4 甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)。甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m n，問：甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)？思考：若m = n，結(jié)果會怎樣？例5 證明函數(shù)上是增函數(shù).四、作業(yè)：1. 已知非零且不相等的實(shí)數(shù)a 、b，求證（a4+b4）(a2+b2)(a3+b3)2. 2.已知a1,求證 3.已知abc0,求證：不等式的證明（2）教學(xué)目的：1.掌握綜合法證明不等式；2.熟練掌握已學(xué)的重要不等式；3.增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力.

3、教學(xué)重點(diǎn)：綜合法教學(xué)難點(diǎn)：不等式性質(zhì)的綜合運(yùn)用教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：重要不等式：（1）如果（2）如果a,b都是正數(shù)，那么 當(dāng)且當(dāng)a=b時(shí)等號成立. （3）如果ab0，那么. 當(dāng)且當(dāng)a=b時(shí)等號成立.（4）如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”）（5）如果，那么 （當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”）二、講解新課：1綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.2用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是： 3綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法。三、講

4、解范例：例1 已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：例2 已知a，bR，證明：log2（2a2b）.例3 若a，b，cR，且abc1，求證：.證明：例4 設(shè)a, b, c R，求證：例5 已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：提示：先用比較法，左右=2（ab+bcac）再用綜合法證明.四、作業(yè)： 1.已知a,b,c(0,+),且a+b+c=1,求證：（1-a）(1-b)(1-c) 8abc; 2.已知a1,a2,b1,b2均為正數(shù)，求證 3.已知(a+b)(x+y)2(ay+bx),求證： 4. 5. 若a + b = 1, 求證：； 6.若a , b, cR+, 求證： 不等

5、式的證明（3）教學(xué)目的：1 掌握分析法證明不等式；2理解分析法實(shí)質(zhì)執(zhí)果索因；3提高證明不等式證法靈活性.教學(xué)重點(diǎn)：分析法教學(xué)難點(diǎn)：分析法實(shí)質(zhì)的理解教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 1重要不等式.2比較法之一（作差法）步驟：作差變形判斷與0的關(guān)系結(jié)論比較法之二（作商法）步驟：作商變形判斷與1的關(guān)系結(jié)論3綜合法證不等式：利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法。二、講解新課：1.分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不

6、等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題。2用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：3分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因。4分析法的書寫格式： 要證明命題B為真， 只需要證明命題為真，從而有 這只需要證明命題為真，從而又有 這只需要證明命題A為真.而已知A為真，故命題B必為真。三、例題：例1 求證證明：當(dāng)周長相等時(shí)，圓的面積比正方形的面積大.已知a,b,c是正數(shù)，求證若a,b,c是不全等的正數(shù)，求證若a,b,cR+,求證：四、作業(yè)： 1.選擇題(1)若logab為整數(shù),且logalogalogba2,那么下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（ ）。a2 logab+logba=0 0ab2

7、且|x2|2 B.|x1+x2|4 C.|x1+x2|4 D.|x1|=4且|x2|=1 (3)若x,yR+,且xy,則下列四個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)是（ ）A. B. C. D.(5)已知a,bR+,則下列各式中成立的是（ ）A.cos2lga+sin2lgblg(a+b)C.acos2bsin2=a+b D.acos2bsin2a+b (6)設(shè)a,bR+,且ab-a-b1,則有（ ）A.a+b2(+1) B.a+b+1 C.a+b(+1)2 D.a+b2(+1)3.若a,b0,2ca+b,求證:c-a 0 , y 0，2x + y = 1，求證：分析1：“乘1”，用綜合法證明.分析2：用換元法.

8、由x 0 , y 0，2x + y = 1，可設(shè)例3 若，求證：提示：設(shè)， 例4 若x 1，y 1，求證： 提示：設(shè)例5已知：a 1, b 0 , a b = 1，求證：提示：a 1, b 0 , a b = 1 不妨設(shè)小結(jié)：若0 x1，則可令x = sin ()或x = sin2 ()。若，則可令x = cos , y = sin ()。若，則可令x = sec, y = tan ()。若x1，則可令x = sec ()。若xR，則可令x = tan ()。例6證明：若a 0，則提示：設(shè)三、作業(yè)若，求證：若|a| 1，|b| 2 時(shí)，求證：例3 求證：提示：用放縮法，設(shè)0 a, b, c 0

9、，ab + bc + ca 0，abc 0，求證：a, b, c 0 提示：用反證法. 四、課后作業(yè)：證明下列不等式：1設(shè)x 0, y 0, ，求證：a b2lg9lg11 b c, 則456設(shè)0 a, b, c 0，且x + y 2，則和中至少有一個(gè)小于2不等式的證明（6）教學(xué)目的：要求學(xué)生逐步掌握利用函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想法證明不等式。教學(xué)重點(diǎn)：利用函數(shù)與方程思想法證明不等式。 教學(xué)難點(diǎn)：巧妙地構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造方程. 教學(xué)過程：一、引入：函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想是重要的數(shù)學(xué)思想，函數(shù)、方程、不等式有密切的聯(lián)系；通過構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造方程，利用函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)或簡單的方程論可以有效地解決一些不等式的證

10、明問題.二、講解范例：例1已知x 0，求證： 提示：構(gòu)造函數(shù) ，判斷f (x)在上單調(diào)性，問題便可得證. 例2 提示：對于任意實(shí)數(shù)x，總有 （aix-bi）20 (i=1,2,，n),即 ai2x2-2aibix+bi20 當(dāng)i=1,2,，n 時(shí)，將上面n個(gè)不等式相加，有由于0,且上面不等式是絕對不等式，因而判別式0，不等式得證.說明：該不等式為著名的柯西不等式.例3 已知實(shí)數(shù)a, b, c，滿足a + b + c = 0和abc = 2，求證：a, b, c中至少有一個(gè)不小于2。提示：由題設(shè)顯然a, b, c中必有一個(gè)正數(shù)，不妨設(shè)a 0，則 ，于是可以構(gòu)造以a,b為兩實(shí)數(shù)根的一元二次方程.例

11、4 求證： 提示：設(shè) ，則(y 1)tan2 + (y + 1)tan + (y 1) = 0 .分當(dāng) y = 1時(shí)，和當(dāng) y 1時(shí)，關(guān)于tg的方程有實(shí)數(shù)根的條件命題即可獲證.三、課后作業(yè)：證明下列不等式：12已知關(guān)于x的不等式(a2 1)x2 (a 1)x 1 0, y 0, x + y = 1，則4若，且a2 a b，則5.求證： .不等式的證明（7）教學(xué)內(nèi)容：不等式證明綜合練習(xí)教學(xué)目的：系統(tǒng)小結(jié)不等式證明的幾種常用方法，滲透“化歸”“類比”“換元”等數(shù)學(xué)思想方法。重點(diǎn)難點(diǎn)：培養(yǎng)發(fā)散思維，一題多解的能力.教學(xué)過程：簡述不等式證明的幾種常用方法比較、綜合、分析、換元、反證、放縮、構(gòu)造例題：例

12、一、已知0 x 1, 0 a 1，試比較的大小。解一： 0 1 x2 1, 解二： 0 1 - x2 1, 解三：0 x 1, 0 1 - x 1, 1 1 + x 2, 左 右 = 0 1 - x2 1, 且0 a 0且a 1，其余條件不變。例二、已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均為正，求證：xyac + bd證一：（分析法）a, b, c, d, x, y都是正數(shù) 要證：xyac + bd 只需證：(xy)2(ac + bd)2 即：(a2 + b2)(c2 + d2)a2c2 + b2d2 + 2abcd 展開得：a2c2 + b2d2 + a2d2 +

13、 b2c2a2c2 + b2d2 + 2abcd 即：a2d2 + b2c22abcd 由基本不等式，顯然成立 xyac + bd證二：（綜合法）xy = 證三：（綜合法）根據(jù)柯西不等式， 證四：（三角代換法） x2 = a2 + b2，不妨設(shè)a = xsin, b = xcosy2 = c2 + d2 c = ysin, d = ycos ac + bd = xysinsin + xycoscos = xycos( )xy例三、已知x1, x2均為正數(shù)，求證：證一：（分析法）由于不等式兩邊均為正數(shù)，平方后只須證： 即： 再平方： 化簡整理得： （顯然成立） 原式成立證二：（等價(jià)轉(zhuǎn)化）由于x1

14、,x2均為正數(shù)，原不等式等價(jià)于： 根據(jù)柯西不等式，原不等式成立.證三：（反證法）假設(shè) 化簡可得： （不可能） 原式成立作業(yè)：1已知a, b, c 0, 且a2 + b2 = c2，求證：an + bn cn (n3, nR*)2.已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a2+b2=1,c2+d2=1,求證：|ac+bd|1.3.4設(shè)0 a, b, c 0,b0,a+b=1.求證：16解不等式：17已知，解關(guān)于的不等式1. 若，下列不等式恒成立的是（ ）ABC D2. 若且，則下列四個(gè)數(shù)中最大的是 （ ） 2aba 3. 設(shè)x0,則的最大值為 （ ）3 14. 設(shè)的最小值是( ) A. 10 B. C. D.

15、 5. 若x, y是正數(shù)，且，則xy有（ ）最大值16 最小值 最小值16最大值6. 若a, b, cR，且ab+bc+ca=1, 則下列不等式成立的是 （ ）A BC D7. 若x0, y0,且x+y4,則下列不等式中恒成立的是 （ ） A B C D8. a,b是正數(shù)，則三個(gè)數(shù)的大小順序是（ ） 9. 某產(chǎn)品的產(chǎn)量第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，設(shè)這兩年平均增長率為x，則有（ ） 10. 下列函數(shù)中，最小值為4的是 （ ） 11. 函數(shù)的最大值為 .12. 建造一個(gè)容積為18m3, 深為2m的長方形無蓋水池，如果池底和池壁每m2 的造價(jià)為200元和150元，那么池的最低造價(jià)為 元.

16、13. 若直角三角形斜邊長是1，則其內(nèi)切圓半徑的最大值是 .14. 若x, y為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值恒為正，對嗎？答 .15. 已知：, 求mx+ny的最大值.16. 已知若、, 試比較與的大小，并加以證明.17. 已知正數(shù)a, b滿足a+b=1（1）求ab的取值范圍;（2）求的最小值.18. 設(shè).證明不等式 對所有的正整數(shù)n都成立.必修5 第3章 不等式3.5不等式單元測試1設(shè)，則下列不等式中一定成立的是（ ）A B C D 2 “”是“”的（ ）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件3不等式的解集不可能是（ ） A B C D 4不等式的解集是，則的值等于

17、（ ）A14 B14 C10 D10 5不等式的解集是（ ） AB C或 D6若，則下列結(jié)論不正確的是（ ）A B C D7若，則與的大小關(guān)系為（ ）A B C D隨x值變化而變化8下列各式中最小值是2的是（ ）A B Ctanxcotx D 9下列各組不等式中，同解的一組是（ ）A與 B與C與 D與10如果對任意實(shí)數(shù)x總成立,則a的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 11若，則與的大小關(guān)系是 .12函數(shù)的定義域是 .13某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則 噸.14. 已知, 則不等式的解集_ _

18、 _.15已知是奇函數(shù)，且在（，）上是增函數(shù)，則不等式的解集是_ _ _.7.設(shè)a、b、c均為實(shí)數(shù)，求證：+.證明:a、b、c均為實(shí)數(shù)， （），當(dāng)a=b時(shí)等號成立； （），當(dāng)b=c時(shí)等號成立； （）,當(dāng)c=a時(shí)等號成立 三個(gè)不等式相加即得，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號成立.證明：，又所以，=7。2.已知a、b、c為三角形的三邊，求證：。2定理1：如果a,bx|x是正實(shí)數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號）.該不等式可推出:當(dāng)a、b為正數(shù)時(shí),（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“=”號）即:平方平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)2.含立方的幾個(gè)重要不等式（a、b、c為正數(shù)）： （1），();（2）如果a,b,

19、cx|x是正實(shí)數(shù)，那么.（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號）3.絕對值不等式：1設(shè)集合Aeq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(x,x1)0)，Beq blcrc(avs4alco1(x|0 x3)，則AB ()A.eq blcrc(avs4alco1(x|1x3)B.eq blcrc(avs4alco1(x|0 x3) C.eq blcrc(avs4alco1(x|0 x0的解集為eq blcrc(avs4alco1(x|2x4)，則不等式cx2bxaf(1,2) B.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(1,

20、4) C.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(1,4)xf(1,2)或x+2的解集是x2,b2,則a+b與ab的大小關(guān)系是( )A.a+bab B.a+b2,b2,a-11,b-11,(a-1)(b-1)1,即ab-a-b0,aba+b,故選B.答案:B已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f(x)x22x ()求函數(shù)g(x)的解析式； ()解不等式g(x)f(x)|x1|已知二次函數(shù)滿足，且對一切實(shí)數(shù)恒成立. 求； 求的解析式； 解：（1）由已知令得： （2）令由得：即則對任意實(shí)數(shù)恒成立就是 對任意實(shí)數(shù)恒成立，即：則19已知x、y滿足不等式,求z=3x+y的最大值與最小值。7,若關(guān)于x 的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則（A） （B） （C） （D）18、正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求證：(1-a)(1-b)(1-c)8abc。1設(shè)，R，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A B C D93.已