第四章平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入4.2平面向量基本定理及其坐標表示課時規(guī)范訓練理北師大版

1、第四章平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入4.2平面向量基本定理及其坐標表示課時規(guī)范訓練理北師大版A級基礎(chǔ)演練1.(2014高考福建卷在下列向量組中，可以把向量a=(3,2)表示出來的是()Ae1=(0,0)，e2=(1,2)Be1=(1,2)，e2=(5，2)Ce1=(3,5)，e2=(6,10)De1=(2，3)，e2=(2,3)解析：由題意知，A選項中e1=0，C、D選項中兩向量均共線，都不符合基底條件，故選B(事實上，a=(3,2)=2e1+e2)答案：B2e1，e2是平面內(nèi)一組基底，那么()A若實數(shù)入1,入使入1e1+入2e2=,則入1=入2=B空間內(nèi)任一向量a可以表示為a=入1e1+入

2、2e2(入1,為2實數(shù))C.對實數(shù)入1,入2,入1e1+入不一定在該平面內(nèi)D.對平面內(nèi)任一向量a，使a=入1e1+入2有無數(shù)對解析：對于A,ve1?e2不共線，故入1=入20=正確；對于B，空間向量a應(yīng)改為與el,e2共面的向量才可以；C中，入1e1+入2e一定與el,e2共面；D中，根據(jù)平面向量基本定理，入1,入應(yīng)是惟對.答案：A3.（2016鄭州質(zhì)檢已知ABC中，平面內(nèi)一點P滿足=+,若|=t|，則t的值為（）B.A3TOC o 1-5 h zC2D.解析：由題意可知=()=，同理可得=,.|=2|,即t=2.答案：C4(2015高考江蘇卷)已知向量a=(2,1),b=(1,2),若ma+

3、nb=(9,8)(m,nR)，貝Umn的值為.解析：vms+nb=(2m+n,m2n)=(9,8),-m-n=25=3.答案：3(2016荊州模擬已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三點共線，則k=.解析：=(4-k,-7),=(-2k,-2),：AB,C三點共線，-2(4-k)-14k=0，解得k=-.答案：-(2016江西南昌模擬)已知向量a=(1,1)，b=(1，-1)，c=(cosa,sina)(aR)，實數(shù)n滿足ma+nb=c,則(m3)2n2的最大值為.解析：由ma+nb=c，可得故(m+n)2+(mn)2=2，即m2+n2=1，故點M(m,n)在單

4、位圓上，則點P(3,0)到點M的距離的最大值為|OP|+1=3+1=4，故(m3)2+n2的最大值為42=16.答案：16已知A(1,1)、B(3，-1)、C(a，b).若A、B、C三點共線，求a、b的關(guān)系式；若=2，求點C的坐標.解：(1)由已知得=(2，-2)，=(a-1，B-*4/5)，A、B、C三點共線，/，2(B-*4/5)2(a-1)=0，即ab=2.(2)=2，(a-1，B-*4/5)=2(2，-2)，解得點C的坐標為(5,-3).&已知點O為坐標原點，A(0,2),B(4,6),=t1+12.求點M在第二或第三象限的充要條件；求證：當t1=1時，不論t2為何實數(shù)，A，B，M三點

5、共線解：(1)=t1+t2=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2)當點M在第二或第三象限時，有故所求的充要條件為t20且t1+2t2半0.(2)證明：當t1=1時，由(1)知=(4t2,4t2+2)，=(4,4),=-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2，A，B，M三點共線B級能力突破1.(2015高考湖南卷已知點A,B,C在圓x2+y2=1上運動，且AB丄BC.若點P的坐標為(2,0)，則|+|的最大值為()A6B7C.8D.9解析：法一：AC為RtABC的斜邊，貝UAC為圓x2+y2=1的一條直徑，故AC必經(jīng)過原點，如圖，則+=2,|+|=|2+|=21+II，當

6、P,O,B三點共線時取等號，即當B落在點(1,0)處時|+|取得最大值，此時，=(2,0),=(3,0),2|+|=2X2+3=7,故|+|的最大值為7.法二：同解法一，得|+|=|2+|.又=_,丨+十=|2+|=|3|=w=7,當且僅當/PO=180時取“等號”,故+|的最大值為7.法三：同法一，得|+|=|2+|.設(shè)B(COSa,Sina)，則2+|=|2(2,0)+(cosa2,sina)|=|(6+cosa,sina)|=7(當cosa=1，即B落在點(一1,0)處時取等號).故|+|的最大值為7.答案：B(2016保定模擬在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,設(shè)向量p=

7、(a+c,b),q=(b-a,ca)，若pIIq,則角C的大小為()A30B60C90D120解析：由p/q得(a+c)(ca)=b(ba)，整理得b2+a2c2=ab,由余弦定理得cosC=,.C=60.答案：B(2016河北邯鄲一模已知向量a=(2,3),b=(1,2)，若TOC o 1-5 h z(ma+nb)/(a2b)，則等于()A2B2CD.解析：由題意得manb=(2mn,3m2n),a2b=(4,1),v(ma+nb)/(a2b),二(2mn)4(3m+2n)=0，二=，故選C.答案：C4已知兩點A(1,0)，B(1,1)，O為坐標原點，點C在第二象限，且/AOC=135,設(shè)=

8、+入(入R)*的值為設(shè)點入)，得消BQ的b表示)(用a,+得，2=a+b解析：由/AOC-135知，點C在射線y=x(x0)上，C的坐標為(a,a),a0，則有(a,a)=(1+入，去a得入=答案:5如圖，在ABC中,設(shè)=a,=b,AP的中點為Q,=()二將代入得，2=a+b(a),解得=a+b.答案：a+b.(2014高考湖南卷在平面直角坐標系中，O為原點，A(-1,0),B(0,),C(3,0)，動點D滿足|=1，則|+|的最大值是解析：設(shè)D(x,y)，由=(x-3,y)及|=1知(x-3)2+y2=1,即動點D的軌跡為以點C為圓心的單位圓.又+=(-1,0)+(0,)+(x,y)=(x-

9、1,y+).a|+=.問題轉(zhuǎn)化為圓(x-3)2+y2=1上的點與點P(1，-)間距離的最大值.圓心C(3,0)與點P(1,-)之間的距離為=,故的最大值為+1.答案：+1已知向量u=(x,y)與向量v=(y,2yx)的對應(yīng)關(guān)系用v=f(u)表示.設(shè)a=(1,1),b=(1,0)，求向量f(a)與f(b)的坐標；求使f(c)=(p，q)(p、q為常數(shù))的向量c的坐標；證明：對任意的向量a、b及常數(shù)m、n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.解：(1)va(=,1),-f(a)=(1,2X1)(1,1).又vb=(1,0),f(b)=(0,2X10=(0,-1).設(shè)c=(x,y)，則

10、f(c)=(y,2y-x)=(p,q),c=2p-q,p)(3)證明：設(shè)a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，則manb=(ma1nb1，ma2nb2)，f(manb)=(ma2nb2,2ma22nb2-ma1-nb1)tmf(a)m(a2,2a2a1),nf(b)=n(b2,2b2b1),mf(a)-ffrf(b)=(ma2nb2,2ma22nb2-ma1-nb1)，f(maHnb)=mf(a)+nf(b)成立.第四章平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入4.2平面向量基本定理及其坐標表示課時規(guī)范訓練理北師大版A級基礎(chǔ)演練(2014高考福建卷在下列向量組中，可以把向量a=(3,2)表示出來的是(

11、)e1=(0,0)，e2=(1,2)e1=(1,2)，e2=(5，2)e1=(3,5)，e2=(6,10)D.el=(2,-3),e2=(-2,3)解析：由題意知，A選項中el=0,C、D選項中兩向量均共線，都不符合基底條件，故選B(事實上，a=(3,2)=2e1+e2).答案：B2e1，e2是平面內(nèi)一組基底，那么()若實數(shù)入1，入使入1e1+入2e2&,則入1=入24空間內(nèi)任一向量a可以表示為a=入1e1+入2e2(入1,為實數(shù))對實數(shù)入1，入2,入1e1+入不一定在該平面內(nèi)D.對平面內(nèi)任一向量a，使a=X1e1+入2e的實數(shù)入1，入使無數(shù)對解析：對于A，Te1，e2不共線，故入1=入24正

12、確；對于B，空間向量a應(yīng)改為與e1，e2共面的向量才可以；C中，入1e1+入2e一定與e1，e2共面；D中，根據(jù)平面向量基本定理，入1,入應(yīng)是惟一一對.答案：A(2016鄭州質(zhì)檢已知ABC中，平面內(nèi)一點P滿足=+，若|=t|,則t的值為()A.3B.C.2D.解析：由題意可知444(一)=,同理可得4，二|24,即t=2.答案：C(2015高考江蘇卷已知向量a4(2,1),b=(1,2)，若ma+nb=(9,8)(m,nR)，則mn的值為.解析：ma+nb4(2m+n,m2n)=(9,8),-m-n425=3.答案：3(2016荊州模擬已知向量4(k,12),4(4,5),4(k,10)，且A

13、,B,C三點共線，則k=解析：4(4k,7),4(2k,2)A,B,C三點共線，2(4k)14k40，解得k=答案：(2016江西南昌模擬已知向量a4(1,1),b4(1,1),C4(cosa,sina)(aR)，實數(shù)m,n滿足ma+nb=c,則(m3)2+n2的最大值為.解析：由ma+nb=c,可得故(m+n)2+(mn)2=2，即m2+n2=1，故點M(m,n)在單位圓上，則點P(3,0)到點M的距離的最大值為|0P|+1=3+1=4，故(m3)2+n2的最大值為42=16.答案：167已知A(1,1)、B(3，1)、C(a，b)若A、B、C三點共線，求a、b的關(guān)系式；若二2，求點C的坐標

14、.解：(1)由已知得二(2,2)，二(a1,B*4/5),A、B、C三點共線，二/,2(B4/5)+2(a1)=0,即卩a+b=2.,(a,B*4/5)=2(2,2),解得點C的坐標為(5，3).8已知點O為坐標原點，A(0,2),B(4,6)，二t1+12.求點M在第二或第三象限的充要條件；求證：當t1=1時，不論t2為何實數(shù)，A,B,M三點共線.解：(1)=t1+t2=t1(0,2)+12(4,4)=(4t2,2t1+4t2).當點M在第二或第三象限時有故所求的充要條件為t20且t1+2t2工0.證明：當t1=1時,由(1)知二(4t2,4t2+2),=(4,4),(4t2,4t2)=t2

15、(4,4)=t2ABM三點共線.B級能力突破由余弦定理得cosC，二C60TOC o 1-5 h z1.(2015高考湖南卷已知點A,B,C在圓x2+y2=1上運動，且AB丄BC.若點P的坐標為(2,0)，則|+|的最大值為()A.6B.7C.8D.9解析：法一：AC為RtABC的斜邊，則AC為圓x2+y2=1的一條直徑，故AC必經(jīng)過原點，如圖，貝U+=2，|+匸|2+|21+II，當P，O，B三點共線時取等號，即當B落在點(-1,0)處時|+|取得最大值，此時，二(-2,0)，二(-3,0)，2|+|=2X2+3=7,故|+|的最大值為7.又=_，丨+|2+|=|3|=7，當且僅當/POB=

16、180時取“等號”，|故+|的最大值為7.法三：同法一，得|+|2+|.設(shè)B(cosa，sina)，貝2+|12(2,0)+(cosa2，sina)|6+cosa，sina)|7(當cosa-1，即B落在點(一1,0)處時取等號).故|+|的最大值為7.答案：B(2016保定模擬在ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,設(shè)向量p(a+c，b)，q(ba，ca)，若p/q，則角C的大小為()A.30B.60C.90D.120解析：由p/q得(a+c)(ca)b(ba)，整理得b2+a2c2ab，答案：B(2016河北邯鄲一模已知向量a=(2,3),b=(-1,2)，若(ma+nb)/(a2b)，則等于()A.-2B.2C.D.解析：由題意得ma+nb=(2mn,3m+2n),a2b=(4,1),v(ma+nb)/(a2),二一(2mn)4(3m+2n)=0,二=,故選C.答案：C已知兩點A(1,0),B(1,1),O為坐標原點，點C在第二象限，且/AOG135,設(shè)二一+入(入R),的值為.解析：