小學(xué)奧數(shù)中巧解行程問(wèn)題的方法

1、小學(xué)奧數(shù)中巧解行程問(wèn)題的方法1.甲、乙兩人分別從相距 100 米的 A 、B 兩地出發(fā)，相向而行，其中甲的速度是 2 米每秒，乙的速度是 3 米每秒。一只狗從 A 地出發(fā)，先以 6 米每秒的速度奔向乙，碰到乙后再掉頭沖向甲，碰到甲之后再跑向乙，如此反復(fù)，直到甲、乙兩人相遇。問(wèn)在此過(guò)程中狗一共跑了多少米？解-這可以說(shuō)是最經(jīng)典的行程問(wèn)題了。不用分析小狗具體跑過(guò)哪些路程，只需要注意到甲、乙兩人從出發(fā)到相遇需要 20 秒，在這 20 秒的時(shí)間里小狗一直在跑，因此它跑過(guò)的路程就是 120 米。說(shuō)到這個(gè)經(jīng)典問(wèn)題，故事可就多了。下面引用某個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)家八卦帖子：John von Neumann （馮諾依曼）

2、曾被問(wèn)起一個(gè)中國(guó)小學(xué)生都很熟的問(wèn)題：兩個(gè)人相向而行，中間一只狗跑來(lái)跑去，問(wèn)兩個(gè)人相遇后狗走了多少路。訣竅無(wú)非是先求出相遇的時(shí)間再乘以狗的速度。Neumann 當(dāng)然瞬間給出了答案。提問(wèn)的人失望地說(shuō)你以前一定聽(tīng)說(shuō)過(guò)這個(gè)訣竅吧。Neumann 驚訝道：“什么訣竅？我就是把狗每次跑的都算出來(lái)，然后計(jì)算無(wú)窮級(jí)數(shù)”2.某人上午八點(diǎn)從山腳出發(fā)，沿山路步行上山，晚上八點(diǎn)到達(dá)山頂。不過(guò)，他并不是勻速前進(jìn)的，有時(shí)慢，有時(shí)快，有時(shí)甚至?xí)Ｏ聛?lái)。第二天，他早晨八點(diǎn)從山頂出發(fā)，沿著原路下山，途中也是有時(shí)快有時(shí)慢，最終在晚上八點(diǎn)到達(dá)山腳。試著說(shuō)明：此人一定在這兩天的某個(gè)相同的時(shí)刻經(jīng)過(guò)了山路上的同一個(gè)點(diǎn)。解-這個(gè)題目也是經(jīng)

3、典中的經(jīng)典了。把這個(gè)人兩天的行程重疊到一天去，換句話說(shuō)想像有一個(gè)人從山腳走到了山頂，同一天還有另一個(gè)人從山頂走到了山腳。這兩個(gè)人一定會(huì)在途中的某個(gè)地點(diǎn)相遇。這就說(shuō)明了，這個(gè)人在兩天的同一時(shí)刻都經(jīng)過(guò)了這里。3.甲從 A 地前往 B 地，乙從 B 地前往 A 地，兩人同時(shí)出發(fā)，各自勻速地前進(jìn)，每個(gè)人到達(dá)目的地后都立即以原速度返回。兩人首次在距離 A 地 700 米處相遇，后來(lái)又在距離 B 地 400 米處相遇。求 A 、 B 兩地間的距離。答案：1700 米。第一次相遇時(shí)，甲、乙共同走完一個(gè) AB 的距離；第二次相遇時(shí)，甲、乙共同走完三個(gè) AB 的距離。可見(jiàn)，從第一次相遇到第二次相遇的過(guò)程花了兩個(gè)

4、從出發(fā)到第一次相遇這么多的時(shí)間。既然第一次相遇時(shí)甲走了 700 米，說(shuō)明后來(lái)甲又走了 1400 米，因此甲一共走了 2100 米。從中減去 400 米，正好就是 A 、 B 之間的距離了。4.甲、乙、丙三人百米賽跑，每次都是甲勝乙 10 米，乙勝丙 10 米。則甲勝丙多少米？答案是 19 米?！耙覄俦?10 米”的意思就是，等乙到了終點(diǎn)處時(shí)，丙只到了 90 米處。“甲勝乙 10 米”的意思就是，甲到了終點(diǎn)處時(shí)，乙只到了 90 米處，而此時(shí)丙應(yīng)該還在 81 米處。所以甲勝了丙 19 米。5.哥哥弟弟百米賽跑，哥哥贏了弟弟 1 米。第二次，哥哥在起跑線處退后 1 米與弟弟比賽，那么誰(shuí)會(huì)獲勝？答案是

5、，哥哥還是獲勝了。哥哥跑 100 米需要的時(shí)間等于弟弟跑 99 米需要的時(shí)間。第二次，哥哥在 -1 米處起跑，弟弟在 0 米處起跑，兩人將在第 99 米處追平。在剩下的 1 米里，哥哥超過(guò)了弟弟并獲得勝利。6.如果你上山的速度是 2 米每秒，下山的速度是 6 米每秒（假設(shè)上山和下山走的是同一條山路）。那么，你全程的平均速度是多少？解：這是小學(xué)行程問(wèn)題中最容易錯(cuò)的題之一，是小孩子們死活也搞不明白的問(wèn)題。答案不是 4 米每秒，而是 3 米每秒。不妨假設(shè)全程是 S 米，那么上山的時(shí)間就是 S/2 ，下山的時(shí)間就是 S/6 ，往返的總路程為 2S ，往返的總時(shí)間為 S/2 + S/6 ，因而全程的平均

6、速度為 2S / (S/2 + S/6) = 3 。 其實(shí)，我們很容易看出，如果前一半路程的速度為 a ，后一半路程的速度為 b ，那么總的平均速度應(yīng)該小于 (a + b) / 2 。這是因?yàn)?，你?huì)把更多的時(shí)間花在速度慢的那一半路程上，從而把平均速度拖慢了。事實(shí)上，總的平均速度應(yīng)該是 a 和 b 的調(diào)和平均數(shù)，即 2 / (1/a + 1/b) ，很容易證明調(diào)和平均數(shù)總是小于等于算術(shù)平均數(shù)的。7.船在靜水中往返 A 、 B 兩地和在流水中往返 A 、 B 兩地相比，哪種情況下更快？答案是，船在靜水中更快一些。這個(gè)問(wèn)題和前一個(gè)問(wèn)題本質(zhì)上完全一樣。注意船在順?biāo)械膶?shí)際速度與在逆水中的實(shí)際速度的平均

7、值就是它的靜水速度，但由前一個(gè)問(wèn)題的結(jié)論，實(shí)際的總平均速度會(huì)小于這個(gè)平均值。因此，船在流水中往返需要的總時(shí)間更久。考慮一種極端情況可以讓問(wèn)題的答案變得異常顯然，頗有一種荒謬的喜劇效果。假設(shè)船剛開(kāi)始在上游。如果水速等于船速的話，它將以原速度的兩倍飛速到達(dá)折返點(diǎn)。但它永遠(yuǎn)也回不來(lái)了8.船在流水中逆水前進(jìn)，途中一個(gè)救生圈不小心掉入水中，一小時(shí)后船員才發(fā)現(xiàn)并調(diào)頭追趕。則追上救生圈所需的時(shí)間會(huì)大于一個(gè)小時(shí)，還是小于一個(gè)小時(shí)，還是等于一個(gè)小時(shí)？解：物理競(jìng)賽中曾出現(xiàn)過(guò)此題，編程之美上也有一個(gè)完全相同的問(wèn)題。答案是等于一個(gè)小時(shí)。原因很簡(jiǎn)單：反正船和救生圈都被加上了一個(gè)水流的速度，我們就可以直接拋開(kāi)流水的影響不

8、看了。換句話說(shuō)，我們?nèi)粢粤魉疄閰⒄障?，一切就都如同沒(méi)有流水了。我們直接可以想像船在靜水當(dāng)中丟掉了一個(gè)救生圈并繼續(xù)前行一個(gè)小時(shí)，回去撿救生圈當(dāng)然也還需要一個(gè)小時(shí)。每當(dāng)有人還是沒(méi)想通時(shí)，我很愿意舉這么一個(gè)例子。假如有一列勻速疾馳的火車(chē)，你在火車(chē)車(chē)廂里，從車(chē)頭往車(chē)尾方向步行。途中你掉了一個(gè)錢(qián)包，但繼續(xù)往前走了一分鐘后才發(fā)現(xiàn)。顯然，你回去撿錢(qián)包需要的時(shí)間也是一分鐘。但是，錢(qián)包不是正被火車(chē)載著自動(dòng)地往遠(yuǎn)方走嗎？其實(shí)，既然你們都在火車(chē)上，自然就可以無(wú)視火車(chē)的速度了。前面的救生圈問(wèn)題也是一樣的道理。9.你需要從機(jī)場(chǎng)的一號(hào)航站樓走到二號(hào)航站樓。路途分為兩段，一段是平地，一段是自動(dòng)傳送帶。假設(shè)你的步行速度是一定

9、的，因而在傳送帶上步行的實(shí)際速度就是你在平地上的速度加上傳送帶的速度。如果在整個(gè)過(guò)程中，你必須花兩秒鐘的時(shí)間停下來(lái)做一件事情（比如蹲下來(lái)系鞋帶），那么為了更快到達(dá)目的地，你應(yīng)該把這兩秒鐘的時(shí)間花在哪里更好？解：很多人可能會(huì)認(rèn)為，兩種方案是一樣的吧？然而，真正的答案卻是，把這兩秒花在傳送帶上會(huì)更快一些。這是因?yàn)?，傳送帶能給你提供一些額外的速度，因而你會(huì)希望在傳送帶上停留更久的時(shí)間，更充分地利用傳送帶的好處。因此，如果你必須停下來(lái)一會(huì)兒的話，你應(yīng)該在傳送帶上多停一會(huì)兒。10.某工廠每天早晨都派小車(chē)按時(shí)接總工程師上班。有一天，總工程師為了早些到工廠，比平日提前一小時(shí)出發(fā)步行去工廠。走了一段時(shí)間后，遇到來(lái)接他的小車(chē)才上車(chē)?yán)^續(xù)前進(jìn)。進(jìn)入工廠大門(mén)后，他發(fā)現(xiàn)只比平時(shí)早到 10 分鐘. 總工程師在路上步行了多長(zhǎng)時(shí)間才遇到來(lái)接他的汽車(chē)？設(shè)人和汽車(chē)都做勻速直線運(yùn)動(dòng)。解：據(jù)說(shuō)，這是一道初中物理競(jìng)賽題（初中物理有“運(yùn)動(dòng)”一章）。答案是 55 分鐘。首先，讓我們站在車(chē)的角度去想（正如前一題那樣）。車(chē)從工廠出發(fā)，到半途中就遇上了總工程師并掉頭往回走，結(jié)果只比原來(lái)早到 10 分鐘。這說(shuō)明，它比原來(lái)少走了 10 分鐘的車(chē)程，這也就是從相遇點(diǎn)到總工程師家再到相遇點(diǎn)的路程。這就說(shuō)明，從相遇點(diǎn)到總工程師家需要 5 分鐘車(chē)程?，F(xiàn)在，讓我們把視角重新放回總工程師那里。讓我們假設(shè)總工程師遇上