考研中值定理課件

1、1解2例7分析1:3分析2:例74例8分析從結論想證明1:由羅而定理，5由羅而定理，例86證明2:則由已知條件得例87例9. 證明不等式2.證明不等式證由上式得又即8例10. 設函數在上二階可導,且證明由泰勒公式得兩式相減得證93. 證明有關中值問題的結論題型一.例11. 設分析：1011題型二.12例12. 設分析：用羅爾定理時找輔助函數的方法證13例13. 設證14例14. 設在內可導, 且證明至少存在一點上連續(xù), 在分析: 問題轉化為證：證明 設輔助函數顯然故至少使即有存在一點15分析:證明例1510年考研題16總之， 有關中值問題的解題方法:利用逆向思維 , 設輔助函數 .一般解題方法

2、:證明含一個中值的等式或根的存在 ,(2) 若結論中涉及含中值的兩個不同函數 ,(3) 若結論中含兩個或兩個以上的中值 ,可用原函數法找輔助函數 .多用羅爾定理,可考慮用柯西中值定理 .必須多次應用中值定理 .(4) 若已知條件中含高階導數 , 多考慮用泰勒公式 ,有時也可考慮對導數用中值定理 .17存在 (或為 )定理 1.(洛必達法則) 推論1.定理 1 中換為之一,推論 2.若理1條件, 則條件 2) 作相應的修改 , 定理 1 仍然成立.二、洛比達法則及其應用18存在 (或為)定理 2.(洛必達法則)說明: 定理中換為之一,條件 2) 作相應的修改 , 定理仍然成立.19例1解例2解2

3、0注意：1)條件充分但不必要.洛必達法則的使用條件.例如,極限不存在也不是無窮大2)對有些極限失效對數列極限失效.對不存在時失效.21有時出現循環(huán)，這時羅比達法則失效.如：事實上：有時會越用越復雜，這時不必用羅比達法則.如：223)用洛必達法則之前應先(1)檢查極限的類型是否為(2)結合以前的方法化簡函數，如等價無窮小代換、四則法則、變量代換等.注意： 洛必達法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結合使用，效果更好. 常用的有等價無窮小代換、重要極限、變量代換，極限的運算法則等.23三、函數單調性的判別法若有若有設函數在上連續(xù)，內可導，在則在上單調增加.則在上單調減少.注意：判別法的

4、條件是充分條件而非必要條件.問題：錯！一個點不存在單調性24四、函數的極值1.極值的定義：設函數在點的某個鄰域內有定對于該鄰域內異于的點如果對適合不等式則稱函數在點有極大值如果對適合不等式函數在點有極小值極大值、極小值通稱為極值.稱為極大點；極大點、極小點通稱為極值點.極值定義：極值點定義：將點則稱稱為極小點.點義，25注：極值與最值的區(qū)別：是對整個區(qū)間而言，絕對的、極值：最值：是對某個點的鄰域而言、相對的、可以不是唯一的.極大值不一定都大于極小值.如何求極值？觀察圖形知：可導函數極值點的導數是零.是整體的、唯一的.是局部的、262.取得極值的條件：設函數在點處可導，且在點(費馬定理)那么處取

5、得極值，注意1:可導函數的極值點一定是它的駐點，但函數的駐點卻不一定是極值點.可導函數的極值點駐點即如：是駐點，但不是極值點.2:在點連續(xù)但不可導，也可能是極值點.如：連續(xù)不可導，卻是極小值點.xyo27如：在處連續(xù)不可導，也不是極值點.3:極值點的可疑點：駐點，不可導點.283.取得極值的充分條件：設連續(xù)函數的極值可疑點的一個鄰域內在可除外可導.到大經過點時，若(1)在的兩側，由正變負，則是極大值.(2)在的兩側，由負變正，則是極小值.不變號，在的兩側，(3)則不是極值點.左正右負極大左負右正極小左右同號無極值當由小為(1)第一充分條件：29(2)第二充分條件：設函數在點處具有二階導數，那么

6、函數在點處取得極大值；(2)當時，函數在點處取得極小值.且注意使用的條件：在 x0處可導.對不可導點不能用.問題：五、函數的最值1.閉區(qū)間a,b上連續(xù)函數的最值的求法(比較法)步驟:(1)求駐點和不可導點;(2)求區(qū)間端點及駐點和不可導點的函數值,就是最小值;比較大小,最大的數就是最大值,最小的數302.在上連續(xù)，在內可導，且只有一個駐點，它是極大(小)點，則它一定是最大(小)值點.3.對于實際問題，且知最若在一定區(qū)間內有唯一駐點，大(小)值一定存在，而且一定在定義區(qū)間內取得，那么可以不必討論是否為極值，就可斷定該點就是最大(小)值點.六、曲線的凹凸性和拐點311.定義：(1) 若恒有(2)

7、若恒有連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點稱為拐點 .注意:拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.322.凹凸區(qū)間的求法如果在內具有二階導數，若在內(1)(2)則曲線在內是凹的.則曲線在內是凸的.注意：該定理換成其它區(qū)間仍然成立.3.拐點的求法(第一充分條件)33拐點的求法(第一充分條件)七、曲線的漸近線1.水平漸近線2.垂直漸近線3.斜漸近線34曲線彎曲程度的描述曲率;曲率圓(弧)可以近似代替曲線弧.(2)曲率(3)曲率半徑(1)弧微分:思考： 曲線在一點處的曲率圓與曲線有何密切關系?答: 有公切線 ;凹向一致 ;曲率相同.dydxds八、曲率、曲率半徑35典型例題分析題型一、證明不等式可以利用：1)單調

8、性2)中值定理3)泰勒公式4)凹凸性5)求最值36例1證37說明：1)用單調性證明不等式的步驟：將不等式變形為一邊為零,另一邊就是要設的輔助函數判斷 的單調性. 用單調性的定義與端點的函數值比較可得所證的不等式.2)為快速的證明,可先對不等式做恒等變形后再設輔助函數.3)為證不等式 可用 的單調性.思考: 證明時, 如何設輔助函數更好 ?提示:38例2. 證明證故時, 單調增加 ,從而所以原不等式成立.39例3分析取對數40(1)設是方程的一個解,則(A) 取得極大值 ;(B) 取得極小值 ;(C) 在某鄰域內單調增加 ;(D) 在某鄰域內單調減少 .提示:A(2)設則在點 a 處( ).B例

9、4題型二、極值和拐點41解 (3)42例5解43例6.求函數的極值與拐點.解 定義區(qū)間為列表確定函數升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:拐點極大值拐點44例7 求數列的最大項 .證求導得列表判別:因此在處也取最大值 .又因內只有唯一的極大點45試問 為何值時,在時取得極值 ,解由題意應有又取得極大值為例8求出該極值,并指出它是極大還是極小.46例9題型三、討論方程根的個數.解47oxy例948oxyoxy例9491)水平漸近線:2)垂直漸近線:3)斜漸近線:題型四.求曲線的漸近線50解沒有鉛直漸近線所以它沒有水平漸近線;例1051單調增區(qū)間為 ;的連續(xù)性及導函數(1) 設函數其導數圖形如圖所示,單調減區(qū)間為 ;極小值點為 ;極大值點為 .提示:的正負作 f (x) 的示意圖. 題型五、與曲線的圖形有關的問題例1152 .在區(qū)間 上是凸弧 ;拐點為 提示:的正負作 f (x) 的示意圖. 形在區(qū)間 上是凹弧; 則函數 f (x) 的圖 (2) 設函數的圖形如圖所示,53(3) 設函數 在 內連續(xù)，其導函數的圖形如圖所示，則 有(