北京西城區(qū)北京市2021-2022學年高三最后一卷數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認真閱讀答題紙上的注意事項，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知函數(shù)，若，對任意恒有，在區(qū)間上有且只有一個使，則的最大值為（ ）ABCD2已知實數(shù)滿足約束條件，則的最小值是ABC1D43若不等式對于一切恒成立，則的最小值是 （ ）A0BCD4已知F為拋物線y24x的焦點，過點F且斜率為1的直線交拋物線

2、于A，B兩點，則|FA|FB|的值等于（）AB8CD45已知拋物線和點，直線與拋物線交于不同兩點，直線與拋物線交于另一點給出以下判斷：以為直徑的圓與拋物線準線相離；直線與直線的斜率乘積為；設過點，的圓的圓心坐標為，半徑為，則其中，所有正確判斷的序號是（ ）ABCD6已知四棱錐的底面為矩形，底面，點在線段上，以為直徑的圓過點.若，則的面積的最小值為（ ）A9B7CD7某中學有高中生人，初中生人為了解該校學生自主鍛煉的時間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中抽取一個容量為的樣本.若樣本中高中生恰有人，則的值為（ ）ABCD8若為虛數(shù)單位，則復數(shù)，則在復平面內對應的點位于( )A第一象限B第二象限C

3、第三象限D第四象限9已知為一條直線，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則10已知是等差數(shù)列的前項和，則（ ）A85BC35D11已知是虛數(shù)單位，則復數(shù)（ ）ABC2D12已知集合A=y|y=|x|1，xR，B=x|x2，則下列結論正確的是（ ）A3A B3B CAB=B DAB=B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13若展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式各項系數(shù)和為_14若函數(shù)為偶函數(shù)，則 15設（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)恰有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為_.16對任意正整數(shù)，函數(shù)，若，則的取值范圍是_；若不等式恒成立，則的最大

4、值為_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項和為，滿足，且成等差數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求的值.18（12分）某商店舉行促銷反饋活動，顧客購物每滿200元，有一次抽獎機會（即滿200元可以抽獎一次，滿400元可以抽獎兩次，依次類推）.抽獎的規(guī)則如下：在一個不透明口袋中裝有編號分別為1，2，3，4，5的5個完全相同的小球，顧客每次從口袋中摸出一個小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球編號一次比一次大（如1，2，5），則獲得一等獎，獎金40元；若摸得的小球編號一次比一次?。ㄈ?，3，1

5、），則獲得二等獎，獎金20元；其余情況獲得三等獎，獎金10元.（1）某人抽獎一次，求其獲獎金額X的概率分布和數(shù)學期望;（2）趙四購物恰好滿600元，假設他不放棄每次抽獎機會，求他獲得的獎金恰好為60元的概率.19（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓的方程為.(1)寫出直線的普通方程和圓的直角坐標方程；(2)若點坐標為，圓與直線交于兩點，求的值20（12分）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足，恰為等比數(shù)列的前3項（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和為；若對均滿足，求整數(shù)的最大值；（3）是否存在數(shù)列滿足等式成立，若存

6、在，求出數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由21（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)不存在單調遞減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)的兩個極值點為，求的最小值.22（10分）如圖1，與是處在同-個平面內的兩個全等的直角三角形，連接是邊上一點，過作，交于點，沿將向上翻折，得到如圖2所示的六面體（1）求證：（2）設若平面底面，若平面與平面所成角的余弦值為，求的值；（3）若平面底面，求六面體的體積的最大值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】根據(jù)的零點和最值點列方程組，求得的表達式（用表示），根據(jù)在上有且只有一個最大

7、值，求得的取值范圍，求得對應的取值范圍，由為整數(shù)對的取值進行驗證，由此求得的最大值.【詳解】由題意知，則其中，又在上有且只有一個最大值，所以，得，即，所以，又，因此當時，此時取可使成立，當時，所以當或時，都成立，舍去；當時，此時取可使成立，當時，所以當或時，都成立，舍去；當時，此時取可使成立，當時，所以當時，成立；綜上所得的最大值為故選:C【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點和最值，考查三角函數(shù)的性質，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，考查分類討論的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.2B【解析】作出該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖中陰影部分所示，設，則，易知當直線經(jīng)過點時，z取得最小值，由，解得，所以，所

8、以，故選B3C【解析】試題分析：將參數(shù)a與變量x分離，將不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)最值問題，即可得到結論解：不等式x2+ax+10對一切x(0，成立，等價于a-x-對于一切成立，y=-x-在區(qū)間上是增函數(shù)a-a的最小值為-故答案為C考點：不等式的應用點評：本題綜合考查了不等式的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，屬于中檔題4C【解析】將直線方程代入拋物線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關系和拋物線的定義即可得出的值【詳解】F（1，0），故直線AB的方程為yx1，聯(lián)立方程組，可得x26x+10，設A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數(shù)的關系可知x1+x26，x1x2

9、1由拋物線的定義可知：|FA|x1+1，|FB|x2+1，|FA|FB|x1x2|故選C【點睛】本題考查了拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題5D【解析】對于，利用拋物線的定義，利用可判斷；對于，設直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，用坐標表示直線與直線的斜率乘積，即可判斷；對于，將代入拋物線的方程可得，從而，利用韋達定理可得，再由，可用m表示，線段的中垂線與軸的交點（即圓心）橫坐標為，可得a，即可判斷.【詳解】如圖，設為拋物線的焦點，以線段為直徑的圓為，則圓心為線段的中點設，到準線的距離分別為，的半徑為，點到準線的距離為，顯然，三點不共線，則所以正確由題意可設直線的方程為，代入拋物線的方

10、程，有設點，的坐標分別為，則，所以則直線與直線的斜率乘積為所以正確將代入拋物線的方程可得，從而，根據(jù)拋物線的對稱性可知，兩點關于軸對稱，所以過點，的圓的圓心在軸上由上，有，則所以，線段的中垂線與軸的交點（即圓心）橫坐標為，所以于是，代入，得，所以所以正確故選：D【點睛】本題考查了拋物線的性質綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)形結合，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.6C【解析】根據(jù)線面垂直的性質以及線面垂直的判定，根據(jù)勾股定理，得到之間的等量關系，再用表示出的面積，利用均值不等式即可容易求得.【詳解】設，則.因為平面，平面，所以.又，所以平面，則.易知，.在中，即，化簡得.在中，.所以.因為，當

11、且僅當，時等號成立，所以.故選：C.【點睛】本題考查空間幾何體的線面位置關系及基本不等式的應用，考查空間想象能力以及數(shù)形結合思想，涉及線面垂直的判定和性質，屬中檔題.7B【解析】利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比計算即可.【詳解】由題意，解得.故選：B.【點睛】本題考查簡單隨機抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比，本題是一道基礎題.8B【解析】首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復數(shù)化為，求出，再利用復數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，則在復平面內對應的點的坐標為，位于第二象限.故選：B【點睛】本題考查了復數(shù)的幾何意義、共軛復數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎題.

12、9D【解析】A. 若，則或，故A錯誤；B. 若，則或故B錯誤；C. 若，則或，或與相交；D. 若，則，正確.故選D.10B【解析】將已知條件轉化為的形式，求得，由此求得.【詳解】設公差為，則，所以，.故選：B【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式的基本量計算，考查等差數(shù)列前項和的計算，屬于基礎題.11A【解析】根據(jù)復數(shù)的基本運算求解即可.【詳解】.故選：A【點睛】本題主要考查了復數(shù)的基本運算,屬于基礎題.12C【解析】試題分析：集合 考點：集合間的關系二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。131【解析】由題意得展開式的二項式系數(shù)之和求出的值，然后再計算展開式各項系數(shù)的和.【詳解】由題

13、意展開式的二項式系數(shù)之和為，即，故，令，則展開式各項系數(shù)的和為.故答案為：【點睛】本題考查了二項展開式的二項式系數(shù)和項的系數(shù)和問題，需要運用定義加以區(qū)分，并能夠運用公式和賦值法求解結果，需要掌握解題方法.141【解析】試題分析：由函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù)，考點：函數(shù)的奇偶性【方法點晴】本題考查導函數(shù)的奇偶性以及邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力、特殊與一般思想、數(shù)形結合思想與轉化思想，具有一定的綜合性和靈活性，屬于較難題型首先利用轉化思想，將函數(shù)為偶函數(shù)轉化為 函數(shù)為奇函數(shù)，然后再利用特殊與一般思想，取15【解析】求函數(shù)，研究函數(shù)的單調性和極值，作出函數(shù)的圖象，設，若函數(shù)恰有4個零點，則

14、等價為函數(shù)有兩個零點，滿足或，利用一元二次函數(shù)根的分布進行求解即可【詳解】當時，由得：，解得，由得：，解得，即當時，函數(shù)取得極大值，同時也是最大值，（e），當，當，作出函數(shù)的圖象如圖，設，由圖象知，當或，方程有一個根，當或時，方程有2個根，當時，方程有3個根，則，等價為，當時，若函數(shù)恰有4個零點，則等價為函數(shù)有兩個零點，滿足或，則，即（1） 解得：，故答案為：【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應用，利用換元法進行轉化一元二次函數(shù)根的分布以及求的導數(shù)，研究函數(shù)的的單調性和極值是解決本題的關鍵，屬于難題16 【解析】將代入求解即可；當為奇數(shù)時,則轉化為,設,由單調性求得的最小值；同理,當為偶數(shù)時,則

15、轉化為,設,利用導函數(shù)求得的最小值,進而比較得到的最大值.【詳解】由題,解得.當為奇數(shù)時,由,得,而函數(shù)為單調遞增函數(shù),所以,所以；當為偶數(shù)時,由,得,設,單調遞增,所以,綜上可知,若不等式恒成立,則的最大值為.故答案為:(1)；(2)【點睛】本題考查利用導函數(shù)求最值,考查分類討論思想和轉化思想.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）【解析】（1）由公比表示出，由成等差數(shù)列可求得，從而數(shù)列的通項公式；（2）求（1）得，然后對和式兩兩并項后利用等差數(shù)列的前項和公式可求解【詳解】（1）是等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，即，解得：或，（2）【點睛】本題考查等比數(shù)列的通

16、項公式，考查并項求和法及等差數(shù)列的項和公式本題求數(shù)列通項公式所用方法為基本量法，求和是用并項求和法數(shù)列的求和除公式法外，還有錯位相關法、裂項相消法、分組（并項）求和法等等18（1）分布見解析，期望為；（2）.【解析】（1）先明確X的可能取值，分別求解其概率，然后寫出分布列，利用期望公式可求期望；（2）獲得的獎金恰好為60元，可能是三次二等獎，也可能是一次一等獎，兩次三等獎，然后分別求解概率即可.【詳解】（1）由題意知，隨機變量X的可能取值為10，20，40且，所以，即隨機變量X的概率分布為X102040P所以隨機變量X的數(shù)學期望.（2）由題意知，趙四有三次抽獎機會，設恰好獲得60元為事件A，因

17、為60203401010，所以【點睛】本題主要考查隨機變量的分布列及數(shù)學期望，明確隨機變量的所有取值是求解的第一步，再求解對應的概率，側重考查數(shù)學建模的核心素養(yǎng).19（1）（2）【解析】試題分析：（1）由加減消元得直線的普通方程,由得圓的直角坐標方程；（2）把直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程，由直線參數(shù)方程幾何意義得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根據(jù)韋達定理可得結果試題解析：解：（）由得直線l的普通方程為x+y3=0又由得 2=2sin，化為直角坐標方程為x2+（y）2=5；（）把直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程，得（3t）2+（t）2=5，即t23t+4=

18、0設t1，t2是上述方程的兩實數(shù)根，所以t1+t2=3又直線l過點P，A、B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2，所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=320（2），（2），的最大整數(shù)是2（3）存在，【解析】（2）由可得（），然后把這兩個等式相減，化簡得，公差為2，因為，為等比數(shù)列，所以，化簡計算得，從而得到數(shù)列的通項公式，再計算出 ，從而可求出數(shù)列的通項公式；（2）令，化簡計算得，從而可得數(shù)列是遞增的，所以只要的最小值大于即可，而的最小值為，所以可得答案；（3）由題意可知，即，這個可看成一個數(shù)列的前項和，再寫出其前（）項和，兩式相減得，利用同樣的方法可得.【詳解】解：（2）由題，

19、當時，即當時， -得，整理得，又因為各項均為正數(shù)的數(shù)列故是從第二項的等差數(shù)列，公差為2又恰為等比數(shù)列的前3項，故，解得又，故，因為也成立故是以為首項，2為公差的等差數(shù)列故即2，4，8恰為等比數(shù)列的前3項，故是以為首項，公比為的等比數(shù)列，故綜上，（2）令，則 所以數(shù)列是遞增的，若對均滿足，只要的最小值大于即可因為的最小值為，所以，所以的最大整數(shù)是2（3）由，得， -得， ， -得，所以存在這樣的數(shù)列，【點睛】此題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，最值，恒成立問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.21（1）（2）【解析】分析：（1）先求導，再令在上恒成立，得到上恒成立，利用基本不等式得到m的取值范圍.(2)先由得到，再求得，再構造函數(shù)再利用導數(shù)求其最