北京市東城區(qū)匯文2022年高三適應性調研考試數學試題含解析

1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項：1 答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1周易是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離

2、、艮、兌八卦（每一卦由三個爻組成，其中“”表示一個陽爻，“”表示一個陰爻）若從八卦中任取兩卦，這兩卦的六個爻中恰有兩個陽爻的概率為（ ）ABCD2已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，甲、丁兩人必須相鄰，則滿足要求的排隊方法數為（ ）.A432B576C696D9603若，則函數在區(qū)間內單調遞增的概率是（ ）A B C D4已知為等腰直角三角形，為所在平面內一點，且，則（ ）ABCD5甲、乙兩名學生的六次數學測驗成績(百分制)的莖葉圖如圖所示.甲同學成績的中位數大于乙同學成績的中位數；甲同學的平均分比乙同學的平均分高；甲同學的平均分比乙同學的平均分低；甲同學成績的方差小于乙同學成

3、績的方差.以上說法正確的是（ ）ABCD6已知集合則（ ）ABCD7已知函數，若對于任意的，函數在內都有兩個不同的零點，則實數的取值范圍為（ ）ABCD8某三棱錐的三視圖如圖所示，那么該三棱錐的表面中直角三角形的個數為（ ）A1B2C3D09如圖在一個的二面角的棱有兩個點，線段分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于棱，且，則的長為（ ）A4BC2D10點為不等式組所表示的平面區(qū)域上的動點，則的取值范圍是（ ）ABCD11點在所在的平面內，且，則（ ）ABCD12已知雙曲線的漸近線方程為，且其右焦點為，則雙曲線的方程為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知拋物

4、線的焦點為，斜率為2的直線與的交點為，若，則直線的方程為_14已知，如果函數有三個零點，則實數的取值范圍是_15已知向量，若向量與向量平行，則實數_16已知函數在處的切線與直線平行，則為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在四棱錐的底面中，平面，是的中點，且（）求證：平面；（）求二面角的余弦值；（）線段上是否存在點，使得，若存在指出點的位置，若不存在請說明理由.18（12分）正項數列的前n項和Sn滿足： (1)求數列的通項公式； (2)令，數列bn的前n項和為Tn，證明：對于任意的nN*，都有Tn .19（12分）在ABC中，角所對的邊分別為向量，向

5、量，且.（1）求角的大??；（2）求的最大值.20（12分）如圖，在三棱錐中，是的中點，點在上，平面，平面平面，為銳角三角形，求證：（1）是的中點；（2）平面平面.21（12分）已知，函數，（是自然對數的底數）.（）討論函數極值點的個數；（）若，且命題“，”是假命題，求實數的取值范圍.22（10分）已知橢圓：的離心率為，右焦點為拋物線的焦點.（1）求橢圓的標準方程；（2）為坐標原點，過作兩條射線，分別交橢圓于、兩點，若、斜率之積為，求證：的面積為定值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】分類討論，僅有一個陽爻的

6、有坎、艮、震三卦，從中取兩卦；從僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦中取一個，再取沒有陽爻的坤卦，計算滿足條件的種數，利用古典概型即得解.【詳解】由圖可知，僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦滿足條件，其種數是；僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦，沒有陽爻的是坤卦，此時取兩卦滿足條件的種數是，于是所求的概率故選：C【點睛】本題考查了古典概型的應用，考查了學生綜合分析，分類討論，數學運算的能力，屬于基礎題.2B【解析】先把沒有要求的3人排好，再分如下兩種情況討論：1.甲、丁兩者一起，與乙、丙都不相鄰，2.甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰.【詳解】首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有種不同排列方

7、式，甲、丁排在一起共有種不同方式；若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰，插入余下三人產生的空檔中，共有種不同方式；若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰，插入余下三人產生的空檔中，共有種不同方式；根據分類加法、分步乘法原理，得滿足要求的排隊方法數為種.故選：B.【點睛】本題考查排列組合的綜合應用，在分類時，要注意不重不漏的原則，本題是一道中檔題.3B【解析】函數在區(qū)間內單調遞增， ，在恒成立， 在恒成立， ， 函數在區(qū)間內單調遞增的概率是，故選B.4D【解析】以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標系，結合向量的坐標運算，可求得點的坐標，進而求得，由平面向量的數量積可得答案.【詳解】如圖建系，則，由，易得，則.

8、故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理的運用、數量積的運算，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.5A【解析】由莖葉圖中數據可求得中位數和平均數,即可判斷,再根據數據集中程度判斷.【詳解】由莖葉圖可得甲同學成績的中位數為,乙同學成績的中位數為,故錯誤；,則,故錯誤,正確；顯然甲同學的成績更集中,即波動性更小,所以方差更小,故正確,故選:A【點睛】本題考查由莖葉圖分析數據特征,考查由莖葉圖求中位數、平均數.6B【解析】解對數不等式可得集合A，由交集運算即可求解.【詳解】集合解得由集合交集運算可得，故選：B.【點睛】本題考查了集合交集的簡單運算，對數不等式解法，屬于

9、基礎題.7D【解析】將原題等價轉化為方程在內都有兩個不同的根，先求導，可判斷時，是增函數；當時，是減函數.因此，再令，求導得，結合韋達定理可知，要滿足題意，只能是存在零點，使得在有解，通過導數可判斷當時，在上是增函數；當時，在上是減函數；則應滿足，再結合，構造函數，求導即可求解；【詳解】函數在內都有兩個不同的零點，等價于方程在內都有兩個不同的根.，所以當時，是增函數；當時，是減函數.因此.設，若在無解，則在上是單調函數，不合題意；所以在有解，且易知只能有一個解.設其解為，當時，在上是增函數；當時，在上是減函數.因為，方程在內有兩個不同的根，所以，且.由，即，解得.由，即，所以.因為，所以，代入

10、，得.設，所以在上是增函數，而，由可得，得.由在上是增函數，得.綜上所述，故選：D.【點睛】本題考查由函數零點個數求解參數取值范圍問題，構造函數法，導數法研究函數增減性與最值關系，轉化與化歸能力，屬于難題8C【解析】由三視圖還原原幾何體，借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個數.【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，其中，為直角三角形.該三棱錐的表面中直角三角形的個數為3.故選：C.【點睛】本小題主要考查由三視圖還原為原圖，屬于基礎題.9A【解析】由，兩邊平方后展開整理，即可求得，則的長可求【詳解】解：，故選：【點睛】本題考查了向量的多邊形法則、數量積的運算性質、向量垂直與數量積的關系，考查

11、了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題10B【解析】作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，利用的幾何意義即可得到結論【詳解】不等式組作出可行域如圖：，的幾何意義是動點到的斜率，由圖象可知的斜率為1，的斜率為：，則的取值范圍是：，故選：【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，根據目標函數的幾何意義結合斜率公式是解決本題的關鍵11D【解析】確定點為外心，代入化簡得到，再根據計算得到答案.【詳解】由可知，點為外心，則，又，所以因為，聯立方程可得，因為，所以，即故選：【點睛】本題考查了向量模長的計算，意在考查學生的計算能力.12B【解析】試題分析：由題意得，所以，所求雙曲線方程為考點

12、：雙曲線方程.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】設直線l的方程為，聯立直線l與拋物線C的方程，得到A，B點橫坐標的關系式，代入到中，解出t的值，即可求得直線l的方程【詳解】設直線由題設得，故，由題設可得由可得，則，從而，得，所以l的方程為,故答案為：【點睛】本題主要考查了直線的方程，拋物線的定義，拋物線的簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題.14【解析】首先把零點問題轉化為方程問題，等價于有三個零點，兩側開方，可得，即有三個零點，再運用函數的單調性結合最值即可求出參數的取值范圍.【詳解】若函數有三個零點，即零點有，顯然，則有，可得，即有三個零點，不妨令，對

13、于，函數單調遞增，所以函數在區(qū)間上只有一解，對于函數，解得，解得，解得，所以函數在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，當時，當時，此時函數若有兩個零點，則有，綜上可知，若函數有三個零點，則實數的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題考查了函數零點的零點，恰當的開方，轉化為函數有零點問題，注意恰有三個零點條件的應用，根據函數的最值求解參數的范圍，屬于難題.15【解析】由題可得，因為向量與向量平行，所以，解得16【解析】根據題意得出，由此可得出實數的值.【詳解】，直線的斜率為，由于函數在處的切線與直線平行，則.故答案為：.【點睛】本題考查利用函數的切線與直線平行求參數，解題時要結合兩直線的位置關系得出兩

14、直線斜率之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（）詳見解析；（）；（）存在，點為線段的中點.【解析】（）連結，則四邊形為平行四邊形，得到證明.（）建立如圖所示坐標系，平面法向量為，平面的法向量，計算夾角得到答案.（）設，計算，根據垂直關系得到答案.【詳解】（）連結，則四邊形為平行四邊形.平面.（）平面，四邊形為正方形.所以，兩兩垂直，建立如圖所示坐標系，則，設平面法向量為，則，連結，可得，又所以，平面，平面的法向量，設二面角的平面角為，則.（）線段上存在點使得，設，所以點為線段的中點.【點睛】本題考查了線面平行，二面角，根據垂直

15、關系確定位置，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.18（1）（2）見解析【解析】（1）因為數列的前項和滿足：，所以當時，即解得或，因為數列都是正項，所以，因為，所以，解得或，因為數列都是正項，所以，當時，有，所以，解得，當時，符合所以數列的通項公式，;（2）因為，所以，所以數列的前項和為：，當時，有，所以，所以對于任意，數列的前項和.19（1）（2）2【解析】（1）轉化條件得，進而可得，即可得解；（2）由化簡可得，由結合三角函數的性質即可得解.【詳解】（1），由正弦定理得，即，又 ，又 ， 由可得.（2）由（1）可得，的最大值為2.【點睛】本題考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等變換的應

16、用，考查了三角函數的性質，屬于中檔題.20（1）證明見解析；（2）證明見解析；【解析】（1）推導出，由是的中點，能證明是有中點（2）作于點，推導出平面，從而，由，能證明平面，由此能證明平面平面【詳解】證明：（1）在三棱錐中，平面，平面平面，平面，在中，是的中點，是有中點（2）在三棱錐中，是銳角三角形，在中，可作于點，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面平面【點睛】本題考查線段中點的證明，考查面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想，屬于中檔題21（1）當時，沒有極值點，當時，有一個極小值點.（2）【解析】試題分析 ：

17、（1），分，討論，當時，對，當時，解得，在上是減函數，在上是增函數。所以，當時，沒有極值點，當時，有一個極小值點.（2）原命題為假命題，則逆否命題為真命題。即不等式在區(qū)間內有解。設 ，所以 ，設 ，則，且是增函數，所以 。所以分和k1討論。試題解析：（）因為，所以，當時，對，所以在是減函數，此時函數不存在極值，所以函數沒有極值點；當時，令，解得，若，則，所以在上是減函數，若，則，所以在上是增函數，當時，取得極小值為，函數有且僅有一個極小值點，所以當時，沒有極值點，當時，有一個極小值點.（）命題“，”是假命題，則“，”是真命題，即不等式在區(qū)間內有解.若，則設 ，所以 ，設 ，則，且是增函數，所以 當時，所以在上是增函數，即，所以在上是增函數，所以，即在上恒成立.當時，因為在是增函數，因為， ，所以在上存在唯一零點，當時，在上單調遞減，從而，即，所以在上單調遞減，所以當時，即.所以不等式在區(qū)間內有解綜上所述，實數的取值范圍為.22（1）；（2）見解析【解析】（1）由條件可得，再根據離心率可求得，則可得