電磁場(chǎng)理論基礎(chǔ)電子教案：第七章 時(shí)變電磁場(chǎng)

1、第七章 時(shí)變電磁場(chǎng)7.1 位移電流和推廣的安培回路定律1、問(wèn)題的提出高斯定理(庫(kù)侖定律） 安培回路定律（安培磁力定律） 法拉第定律（電磁感應(yīng)定律） 電流連續(xù)方程（電荷守恒原理） 前面各章的總結(jié)：靜態(tài)場(chǎng)結(jié)論時(shí)變場(chǎng)結(jié)論考察在時(shí)變場(chǎng)中的適用性：靜態(tài)場(chǎng)成立時(shí)變場(chǎng)不成立對(duì) 兩邊取散度，有2、推廣的安培回路定律 麥克斯韋提出安培回路定律的修正 于是即若要滿足 ，必須為了得到 的表達(dá)式，進(jìn)一步假設(shè) 對(duì)時(shí)變場(chǎng)成立 由此可得比較兩邊，得因此得到推廣的安培回路定律：積分形式 微分形式 3、位移電流密度來(lái)源a. 電場(chǎng)隨時(shí)間的變化率b. 極化電介質(zhì)的極化強(qiáng)度隨時(shí)間的變化率 全電流密度全電流連續(xù)性方程對(duì) 兩邊取散度，得

2、積分形式為 全電流的無(wú)散性和連續(xù)性 4、推廣的安培回路定律的幾點(diǎn)說(shuō)明：分布電流和時(shí)變的電場(chǎng)都是磁場(chǎng)的源 定律本身無(wú)法用實(shí)驗(yàn)直接驗(yàn)證。但由此得到的電磁理論與時(shí)變場(chǎng)的所有現(xiàn)象相吻合，從而被間接的得到驗(yàn)證。 位移電流 與分布電流 有著本質(zhì)的區(qū)別， 的存在并不要求伴隨電荷的定向運(yùn)動(dòng)，而只是電場(chǎng)的變化率。 例7.1 試證明電容器中的位移電流等于導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流 證明：導(dǎo)線上的傳導(dǎo)電流是 假設(shè)電容器極板面積為S，電荷在極板上均勻分布，則 所以傳導(dǎo)電流為由導(dǎo)體的邊界條件知 則位移電流為因此位移電流作為傳導(dǎo)電流的繼續(xù)，從電極1 流到電極2 若作一閉合曲面S包圍電極1，則：傳導(dǎo)電流 I 流入閉合面為負(fù)值 位移電

3、流 Id 流出閉合面為正值 閉合面S上總電流滿足全電流連續(xù)性方程 7.2 麥克斯韋方程組1、微分形式描述宏觀電磁現(xiàn)象的基本方程組 動(dòng)電生磁動(dòng)磁生電電流與電荷關(guān)系 高斯定律與電流連續(xù)方程的等價(jià)性 證明：所以對(duì)比可知反之亦然因?yàn)槠渲?可以由 導(dǎo)出 Maxwell 方程組我們采用高斯定律，而將電流連續(xù)方程略去。 因此，不要這個(gè)方程也不會(huì)影響基本方程組的正確性和完備性，但增加該方程使基本方程組具有了對(duì)稱性，為方程組的求解提供了方便。2、積分形式 3、媒質(zhì)本構(gòu)方程（輔助方程） 僅由麥克斯韋方程組的四個(gè)基本方程還無(wú)法求解出電磁場(chǎng)的具體分布需要補(bǔ)充如下3個(gè)方程 通過(guò)對(duì)上述方程的分析，麥克斯韋預(yù)言了時(shí)變的電磁

4、場(chǎng)將以波的形式按光速傳播 。并在1888年，由物理學(xué)家赫茲首次用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了上述預(yù)言的正確性。4、麥克斯韋方程組的限定形式 將本構(gòu)方程各式代入麥克斯韋方程組的微分形式中，得 5、麥克斯韋方程組的局限性帶電體的受力問(wèn)題離散連續(xù)機(jī)械力問(wèn)題牛頓定律微觀領(lǐng)域問(wèn)題量子力學(xué)7.3 正弦電磁場(chǎng)時(shí)變電磁場(chǎng)隨時(shí)間的變化規(guī)律可以有多種形式： 正弦波、方波、鋸齒波、脈沖 按照付里葉理論 周期的函數(shù)可以展開(kāi)為付里葉級(jí)數(shù) 非周期函數(shù)可以展開(kāi)為付里葉變換 因此，不論對(duì)周期性或非周期性的時(shí)變電磁場(chǎng)，都可以通過(guò)對(duì)正弦電磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)變換來(lái)進(jìn)行分析和求解。 一. 正弦電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示法 基礎(chǔ)：正弦電磁場(chǎng)的時(shí)間變量和空間坐標(biāo)變量可以進(jìn)

5、行分離 約定：用余弦函數(shù)表示正弦電磁場(chǎng)1、振幅例：將 點(diǎn)的正弦電場(chǎng)寫(xiě)作其中、振幅初位相角頻率 單位：rad / s頻率 單位：Hz 或 s-1 只與位置有關(guān)2、復(fù)振幅先求解空間變化，然后再考慮其時(shí)間因素，降低求解難度。利用歐拉公式 ，則有令 ，則表達(dá)式更為簡(jiǎn)潔 考慮 x 分量 稱為復(fù)振幅，一般是坐標(biāo)變量的復(fù)函數(shù)，包含著振幅和初相信息 為避免混淆 復(fù)振幅寫(xiě)成 或 ，也可簡(jiǎn)寫(xiě)成 瞬時(shí)值寫(xiě)成 ，也可以簡(jiǎn)記為 振幅寫(xiě)成 ，也可簡(jiǎn)記為 3、復(fù)矢量利用復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算法則，電場(chǎng)表示為 上式稱為電場(chǎng)矢量 的復(fù)數(shù)表示法 稱為電場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)矢量 它的各分量就是每個(gè)瞬時(shí)分量的復(fù)振幅。 特別強(qiáng)調(diào)指出：復(fù)振幅和復(fù)矢量都只

6、是場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)或常量，因此在它們的表達(dá)式中不應(yīng)出現(xiàn)時(shí)間變量 t ；而瞬時(shí)場(chǎng)矢量或分量都是實(shí)數(shù)域內(nèi)的函數(shù)，在它們的表達(dá)式中不能出現(xiàn)復(fù)數(shù)的標(biāo)記 j 。 例7.2 已知一電場(chǎng)的瞬時(shí)矢量為 寫(xiě)出它的復(fù)矢量。解： 首先利用三角關(guān)系將電場(chǎng)瞬時(shí)矢量的 z 分量寫(xiě)成余弦函數(shù) 所以復(fù)矢量表達(dá)式為 例7.3 已知一磁場(chǎng)分量的復(fù)振幅為 頻率為，寫(xiě)成對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)表達(dá)式。對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)分量表達(dá)式為 將所給表達(dá)式寫(xiě)成模值和輻角的形式 解： 利用公式二. 麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式 考察瞬時(shí)安培回路定律利用復(fù)數(shù)表達(dá)式得因?yàn)槿?shí)和微分可互換順序，則因此可以得到安培回路定律的復(fù)數(shù)表示利用同樣的方法，還可以得到 這組復(fù)矢量的方程組稱為麥

7、克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式，或復(fù)麥克斯韋方程組。 頻域方法：首先求解復(fù)麥克斯韋方程組，得到所求的復(fù)矢量后， 再利用瞬時(shí)矢量與復(fù)矢量的關(guān)系式得到瞬時(shí)場(chǎng)量。時(shí)域方法：直接求解瞬時(shí)麥克斯韋方程組獲得瞬時(shí)場(chǎng)量。時(shí)域方法、頻域方法例7.4 假設(shè)真空中有一電場(chǎng)矢量為 求磁場(chǎng)矢量 解法1: 將電場(chǎng)表達(dá)式代入瞬時(shí)麥克斯韋方程組第2式，得 兩邊對(duì) t 積分，得到 解法2: 電場(chǎng)的復(fù)矢量為 代入復(fù)麥克斯韋第二方程，得 7.4 媒質(zhì)的色散與損耗一. 媒質(zhì)的色散和復(fù)電磁參數(shù)1、色散現(xiàn)象 在時(shí)變電磁場(chǎng)中，媒質(zhì)參數(shù)隨頻率變化的現(xiàn)象稱為媒質(zhì)色散。2、色散現(xiàn)象來(lái)源 媒質(zhì)的極化、磁化、載流子的定向運(yùn)動(dòng) 在時(shí)變電磁場(chǎng)的作用下，極化、

8、磁化及載流子運(yùn)動(dòng)都將隨著電場(chǎng)和磁場(chǎng)的指向變化而不斷改變方向。由于電荷載體粒子的慣性影響，粒子的運(yùn)動(dòng)將落后于場(chǎng)的變化，產(chǎn)生滯后效應(yīng)。 以極化為例：當(dāng)頻率很高時(shí)，只有電子極化的建立能夠跟上場(chǎng)的周期變化，以電子極化的貢獻(xiàn)為主，所以一般媒質(zhì)的極化強(qiáng)度都有隨場(chǎng)頻率增高而逐漸減小的趨勢(shì) 3、復(fù)電容率 由于極化狀態(tài)滯后于電場(chǎng)狀態(tài)，因此除了極化強(qiáng)度的模值隨頻率變化外，其相位也要滯后于電場(chǎng)的相位 為滯后相位是與頻率f 有關(guān)的函數(shù) 對(duì)于時(shí)變場(chǎng) ，一般不成立，因?yàn)橄辔徊灰恢?。與 有著復(fù)雜的關(guān)系由于輔助方程不具備正比形式，所以對(duì)色散媒質(zhì)必須用頻域法。 對(duì)于某個(gè)特定頻率，可以象靜態(tài)場(chǎng)一樣，有對(duì)色散媒質(zhì)，可令 由此得到電

9、通量密度的復(fù)矢量 由于 的相位滯后于 ，復(fù)極化率 的輻角應(yīng)小于零，所以 的輻角也小于零，因此可以將 寫(xiě)作其中 稱為復(fù)電容率 可見(jiàn)，在復(fù)頻域內(nèi)，復(fù)矢量 與 之間也有簡(jiǎn)單的正比關(guān)系，只不過(guò)比例系數(shù)是一個(gè)復(fù)數(shù)。 根據(jù)物理學(xué)原理，可知色散公式4、復(fù)磁導(dǎo)率對(duì)于一般的非鐵磁媒質(zhì) 而對(duì)鐵磁材料 在頻域內(nèi)，同樣有其中 ，稱為復(fù)磁導(dǎo)率5、電導(dǎo)率 與極化和磁化相比，電導(dǎo)率的色散效應(yīng)很弱，從直流到光頻都可以近似用一個(gè)實(shí)常數(shù)表示。 因此，在時(shí)域和頻域內(nèi)，本構(gòu)方程具有簡(jiǎn)單的正比關(guān)系 媒質(zhì)的復(fù)參數(shù)是在頻域方法中引入的，只能在頻域中使用， 對(duì)于瞬時(shí)場(chǎng)是沒(méi)有意義的。二. 媒質(zhì)的損耗和等效電容率 1、媒質(zhì)損耗的來(lái)源焦耳損耗極化

10、損耗和磁化損耗2、媒質(zhì)損耗與頻率的關(guān)系3、等效復(fù)電容率由復(fù)麥克斯韋方程得 稱為等效復(fù)電容率，稱為相對(duì)等效復(fù)電容率 令 采用了等效電容率后，可以將導(dǎo)電媒質(zhì)視為一種等效的電介質(zhì)，從而使各種媒質(zhì)都可以用相同形式的麥?zhǔn)戏匠糖蠼狻?4、損耗角正切電損耗角正切磁損耗角正切 損耗角正切的值越大，表示媒質(zhì)對(duì)電磁能量的損耗越大。 例7.5 已知海水的 。若振幅為100 V / m，頻率為1kHz的電場(chǎng)存在于海水中，試求海水的損耗角正切和損耗功率密度。若頻率增高到1GHz又將如何?解: 由題意知，海水的極化損耗可以忽略，所以相對(duì)等效電容率為 f =1 KHz 時(shí) f =1 GHz 時(shí) 媒質(zhì)損耗功率密度與頻率無(wú)關(guān)

11、7.5 電磁場(chǎng)的能量關(guān)系坡印廷定理一. 瞬時(shí)坡印廷定理 聲明：為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)單，省略瞬時(shí)場(chǎng)量中的坐標(biāo)變量和時(shí)間變量。 設(shè)是時(shí)變電磁場(chǎng)媒質(zhì)空間的一個(gè)區(qū)域，其外表面記為S 考察安培回路定律兩邊同時(shí)點(diǎn)乘 ，再在區(qū)域內(nèi)作體積分，則有根據(jù)矢量關(guān)系可得所以有設(shè)媒質(zhì)無(wú)色散損耗，則瞬時(shí)輔助方程成立 同理 即于是有因此瞬時(shí)坡印廷定理 焦耳損耗功率 瞬時(shí)坡印廷矢量（功率流密度、能流密度）： 單位時(shí)間內(nèi)穿出閉合面S 的電磁場(chǎng)能量 單位時(shí)間內(nèi)電磁能量的減少量 物理意義 一個(gè)閉合曲面內(nèi)的電磁能量在單位時(shí)間內(nèi)的減少量等于兩部分功率之和：內(nèi)的導(dǎo)電損耗功率轉(zhuǎn)換為熱能散發(fā)， 以功率流的形式輻射到閉合面S之外。 這是電磁能量守恒定律

12、在一個(gè)閉合曲面上的表現(xiàn)形式 。穩(wěn)恒場(chǎng)情況 意義：對(duì)于穩(wěn)恒場(chǎng)，內(nèi)的焦耳損耗必須由外界提供能量。 對(duì)穩(wěn)恒場(chǎng)有根據(jù)瞬時(shí)坡印廷定理得例7.6 設(shè)同軸傳輸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，中間填充介質(zhì)的參量為和，內(nèi)外導(dǎo)體間加電壓U，導(dǎo)體上有直流I。試通過(guò)坡印廷矢量計(jì)算同軸線傳輸?shù)墓β省?解：內(nèi)外導(dǎo)體是理想導(dǎo)體令外導(dǎo)體接地（Ub= 0），并設(shè)內(nèi)導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電荷 則介質(zhì)中電場(chǎng)為在導(dǎo)體內(nèi)，即ra 及rb 時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度為零。內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差為所以介質(zhì)中再求磁場(chǎng)強(qiáng)度，利用安培回路定律得因此，坡印廷矢量為 沿同軸線傳輸?shù)墓β蕿?表明：同軸線傳輸?shù)墓β实扔陔妷号c電流的乘積， 即等于負(fù)載電阻所消耗的功率。 若

13、導(dǎo)體不是理想導(dǎo)體( 值有限)，介質(zhì)是理想電介質(zhì) 內(nèi)導(dǎo)體中電場(chǎng)矢量為 根據(jù)邊界條件，導(dǎo)體外緊靠導(dǎo)體表面地方的電場(chǎng)矢量切向分量為 該處的磁場(chǎng)矢量為 因此，坡印廷矢量的法線分量為 在長(zhǎng)為 l 的圓柱面上進(jìn)入導(dǎo)體的功率為 其中R 等于長(zhǎng)為l的圓柱導(dǎo)體的電阻 表明：進(jìn)入導(dǎo)體的功率等于導(dǎo)體的損耗功率。 二. 復(fù)坡印廷定理瞬時(shí)坡印廷定理適用于任意時(shí)變場(chǎng)非色散媒質(zhì)區(qū)域考慮色散媒質(zhì)電磁場(chǎng)的平均功率引入復(fù)坡印廷定理1、定理證明對(duì)復(fù)安培回路定律兩邊取復(fù)共軛得交換哈密頓算子與共軛運(yùn)算的次序，有 兩邊點(diǎn)積 ，得到（a）根據(jù)矢量關(guān)系可得代入a式中，并兩邊同乘以1/2，得兩邊對(duì)體積積分，并對(duì)左邊應(yīng)用散度定理，得 考慮媒質(zhì)的

14、色散性質(zhì)，則有因此得到復(fù)坡印廷定理將定理分寫(xiě)成實(shí)部和虛部 2、有功功率和無(wú)功功率有功功率（實(shí)部）實(shí)部的右邊分別表示著內(nèi)各種損耗焦耳損耗極化損耗磁化損耗表明：在無(wú)源區(qū)域內(nèi)，各種損耗功率的平均值之和等于從閉合面外流入的平均輸入功率，反映了S 面上有功功率平均值的平衡關(guān)系。 實(shí)部的左邊表示一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)入S 面的瞬時(shí)功率的平均值，即 平均坡印廷矢量復(fù)坡印廷矢量為避免與混淆： 復(fù)坡印廷矢量記作而瞬時(shí)坡印廷矢量記作 或 表示垂直方向上單位面積所通過(guò)的有功功率的平均值 無(wú)功功率（虛部）無(wú)功功率是指在S 面內(nèi)外振蕩交換的功率。 對(duì)應(yīng)著單位體積內(nèi)正弦電場(chǎng)能量的平均值和磁場(chǎng)能量的平均值 舉例a. 進(jìn)入S 面的有功

15、功率就是電阻R上消耗的焦耳功率 b. 無(wú)功功率是電容C和電感L的電磁儲(chǔ)能與電源能量之間的交換功率。 c. 閉合面S上用于振蕩交換的平均無(wú)功功率等于內(nèi)磁場(chǎng)儲(chǔ)能平均值與電場(chǎng)儲(chǔ)能平均值之差的2倍。 例7.7 已知正弦電磁場(chǎng)的表達(dá)式為 解： 瞬時(shí)坡印廷矢量為 電場(chǎng)和磁場(chǎng)的復(fù)矢量為 平均坡印廷矢量為 求點(diǎn)P（1，2，0）處的 和 。 7.6 電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程1、瞬時(shí)波動(dòng)方程討論范圍：限定在非色散均勻媒質(zhì)的無(wú)源區(qū)域內(nèi)。 非色散：電磁參數(shù)是與f 無(wú)關(guān)均勻： 電磁參數(shù)是與坐標(biāo)無(wú)關(guān)無(wú)源：非齊次矢量波動(dòng)方程考察麥克斯韋方程限定形式 (a)(b)(c)(d)令（a）式兩邊對(duì)時(shí)間 t 求偏導(dǎo)，得對(duì)（b）式兩邊取旋度，

16、得比較上面兩式，得到利用矢量恒等式 ，并注意 ，上式變成 非齊次矢量波動(dòng)方程 同理可得時(shí)變的電磁場(chǎng)是電磁波 。齊次矢量波動(dòng)方程 若媒質(zhì)是 = 0 的非導(dǎo)電介質(zhì) ，則有2、矢量亥姆霍茲方程（復(fù)波動(dòng)方程） 討論范圍：均勻媒質(zhì)無(wú)源區(qū)域其中 對(duì)于正弦電磁場(chǎng)，利用復(fù)麥克斯韋方程可得 此時(shí)的媒質(zhì)可以包括色散媒質(zhì) 7.7 標(biāo)量位和矢量位1、瞬時(shí)位函數(shù)定義式動(dòng)態(tài)矢量磁位： 動(dòng)態(tài)電位： 洛倫茲規(guī)范討論范圍：均勻和非色散媒質(zhì) 考察安培回路定律代入本構(gòu)方程，得再代入位函數(shù)定義式，得利用矢量恒等式 ，上式變成考察高斯定律代入位函數(shù)定義式，得所以有為了得到每個(gè)輔助位函數(shù)的獨(dú)立方程，必須增加新的限制條件 洛倫茲規(guī)范達(dá)朗貝

17、爾方程2、復(fù)位函數(shù)利用瞬時(shí)位函數(shù)的結(jié)果可以得到關(guān)于復(fù)位函數(shù)的方程定義式 洛倫茲規(guī)范達(dá)朗貝爾方程其中對(duì)色散媒質(zhì)，,是復(fù)數(shù)由 表示電磁場(chǎng)3、靜態(tài)場(chǎng)與時(shí)變場(chǎng)當(dāng)電磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化時(shí)= 0 ，亥姆霍茲方程退化為泊松方程 或者從瞬時(shí)達(dá)朗貝爾方程出發(fā)，也可以得到上面的結(jié)果。4、位函數(shù)的任意性矢量電位和標(biāo)量磁位電赫茲矢量磁赫茲矢量7.8 時(shí)變電磁場(chǎng)的邊界條件1、瞬時(shí)邊界條件 切向問(wèn)題利用環(huán)路積分法向問(wèn)題利用閉合曲面積分可得邊界條件其中 是界面上的分布面電荷密度 是界面上的分布面電流密度。由媒質(zhì)2指向媒質(zhì)12、復(fù)邊界條件 利用復(fù)麥克斯韋方程推導(dǎo)，會(huì)得到與以上四式完全相同的邊界條件表達(dá)式，不過(guò)此時(shí)各式中的物理量應(yīng)

18、為復(fù)矢量和復(fù)振幅。 3、理想導(dǎo)體的邊界條件設(shè)1區(qū)是一般媒質(zhì)，2區(qū)是2的理想導(dǎo)體 此時(shí)2區(qū)中的電場(chǎng)強(qiáng)度必須為0，否則利用歐姆定律有這在實(shí)際中是不可能的。因此同時(shí)，由麥克斯韋方程可得到 可見(jiàn)2區(qū)的磁場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān) 由此可知，2區(qū)理想導(dǎo)體內(nèi)不存在時(shí)變的電磁場(chǎng) 此時(shí)1區(qū)有電磁場(chǎng)，省略1區(qū)場(chǎng)量的下標(biāo)，則4個(gè)邊界條件寫(xiě)成 理想導(dǎo)體外側(cè)的電場(chǎng)必垂直于導(dǎo)體表面，且 ； 理想導(dǎo)體外側(cè)的磁場(chǎng)必平行于導(dǎo)體表面，且 。可見(jiàn)：例7.8 一時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)表達(dá)式為 其中 求對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng) ；證明此電磁波可以在兩塊無(wú)限大導(dǎo)體平板間傳播；求兩導(dǎo)體板內(nèi)表面上的表面電流密度； 求兩導(dǎo)體板間的 和 。解： 將電場(chǎng)的復(fù)矢量 代入麥克斯韋方程 得磁場(chǎng)復(fù)矢量 所以磁場(chǎng)的瞬時(shí)值為一個(gè)電磁波能夠在給定的區(qū)域內(nèi)傳播，其和必須滿足兩個(gè)條件： 一是要滿足波動(dòng)方程或亥姆霍茲方程； 二是要滿足區(qū)域的邊界條件。 下面驗(yàn)證這兩個(gè)條件： a