34簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃

1、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃一、教學(xué)內(nèi)容分析這是一堂關(guān)于簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃的“問題教學(xué)”.線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的一個(gè)分支， 它能解決科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理等許多方面的實(shí)際問題.簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃（涉及兩個(gè)變量）關(guān)心的是兩類問題：一是在人力、物力、 資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù);二是給定一項(xiàng)任務(wù)， 如何合理規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成.突出體現(xiàn)了優(yōu)化的 思想.教科書利用生產(chǎn)安排的具體實(shí)例，介紹了線性規(guī)劃問題的圖解法，引出線性 規(guī)劃等的概念，最后舉例說明了簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃在飲食營(yíng)養(yǎng)搭配中的應(yīng)用.二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析本節(jié)課學(xué)生在學(xué)習(xí)了不等式

2、、直線方程的基礎(chǔ)上，又通過實(shí)例，理解了平面 區(qū)域的意義，并會(huì)畫出平面區(qū)域，還能初步用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示簡(jiǎn)單的二元線性規(guī) 劃的限制條件，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.從數(shù)學(xué)知識(shí)上看，問題涉及多個(gè)已 知數(shù)據(jù)、多個(gè)字母變量，多個(gè)不等關(guān)系，從數(shù)學(xué)方法上看，學(xué)生對(duì)圖解法的認(rèn)識(shí) 還很少，數(shù)形結(jié)合的思想方法的掌握還需時(shí)日，這都成了學(xué)生學(xué)習(xí)的困難.三、設(shè)計(jì)思想本課以問題為載體，以學(xué)生為主體，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為手段，以問題解決為目的，以幾何畫板作為平臺(tái)，激發(fā)他們動(dòng)手操作、觀察思考、猜想探究的興趣。注重引導(dǎo)幫助學(xué)生充分體驗(yàn)“從實(shí)際問題到數(shù)學(xué)問題”的建構(gòu)過程，“從具體到一般”的抽象思維過程，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的

3、學(xué)會(huì)分析問題、解決問題的能力。四、教學(xué)目標(biāo)了解線性規(guī)劃的意義，了解線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域和最優(yōu)解等概念；理解線性規(guī)劃問題的圖解法；會(huì)利用圖解法求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.在實(shí)驗(yàn)探究的過程中，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索與創(chuàng)造，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù) 據(jù)分析能力、探索能力、合情推理能力及動(dòng)手操作、勇于探索的精神；在應(yīng)用圖解法解題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的能力和化歸能 力，體驗(yàn)數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在建設(shè)節(jié)約型社會(huì)中的作用.五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題是重點(diǎn)；從數(shù)學(xué)思想上看，學(xué)生對(duì)為什么要將求目標(biāo) 函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為經(jīng)過可行域的直線在y軸上的截距的最

4、值問題？以及如何想到要 這樣轉(zhuǎn)化？存在一定疑慮及困難；教學(xué)應(yīng)緊扣問題實(shí)際，通過突出知識(shí)的形成發(fā)展過程，引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來突破這一難點(diǎn).六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)引入情景某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4 個(gè)A配件耗時(shí)1h，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個(gè)B配件耗時(shí)2h.該產(chǎn)每天最多 可從配件廠獲得16個(gè)A配件和12個(gè)B配件，按每天工作8h計(jì)算，該廠所有 可能的日生產(chǎn)安排是什么？請(qǐng)學(xué)生讀題，引導(dǎo)閱讀理解后，列表建立數(shù)學(xué)關(guān)系式-畫平面區(qū)域， 學(xué)生就近既分工又合作，教師關(guān)注有多少學(xué)生寫出了線性數(shù)學(xué)關(guān)系式，有多 少學(xué)生畫出了相應(yīng)的平面區(qū)域，在巡視中并發(fā)現(xiàn)代表性的練習(xí)進(jìn)行展示，強(qiáng) 調(diào)這是同一事物

5、的兩種表達(dá)形式數(shù)與形.【問題情景使學(xué)生感到數(shù)學(xué)是自然的、有用的，學(xué)生已初步學(xué)會(huì)了建立線 性規(guī)劃模型的三個(gè)過程：列表-建立數(shù)學(xué)關(guān)系式一 畫平面區(qū)域，可放手讓 學(xué)生去做，再次經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的過程，教師則在數(shù)據(jù)的 分析整理、表格的設(shè)計(jì)上加以指導(dǎo)】教師打開幾何畫板，作出平面區(qū)域.問題師：進(jìn)一步提出問題，若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品 獲利3萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利潤(rùn)最大？學(xué)生不難列出函數(shù)關(guān)系式.師：這是關(guān)于變量的一次解析式，從函數(shù)的觀點(diǎn)看的變化引起z的 變化，而是區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)于每一組的值都有唯一的z值與之對(duì) 應(yīng)，請(qǐng)算出幾個(gè)z的值.填入課前發(fā)下的實(shí)驗(yàn)探究報(bào)告單中的第

6、2 4列 進(jìn)行觀察,看看你有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生會(huì)選擇比較好算的點(diǎn)，比如整點(diǎn)、邊界點(diǎn)等.【學(xué)生思維的最近發(fā)現(xiàn)區(qū)是上節(jié)的相關(guān)知識(shí)，因此教師有目的引導(dǎo)學(xué)生利用 幾何直觀解決問題，雖然這個(gè)過程計(jì)算比較繁瑣，操作起來有難度，但是教 學(xué)是一個(gè)過程，從中讓學(xué)生體會(huì)科學(xué)探索的艱辛，這樣引導(dǎo)出教科書給出的 數(shù)形結(jié)合的合理性，也為引入信息技術(shù)埋下伏筆】實(shí)驗(yàn)教師打開畫板，當(dāng)堂作出右圖，在區(qū)域內(nèi)任意取點(diǎn)，進(jìn)行計(jì)算請(qǐng)學(xué) 生與自己的數(shù)據(jù)對(duì)比，繼續(xù)在實(shí)驗(yàn)探究報(bào)告單上補(bǔ)充填寫畫板上的新數(shù) 據(jù).利潤(rùn)最大的實(shí)驗(yàn)探究報(bào)告單實(shí)驗(yàn)?zāi)康膞 + 2 y 8,4 x 16，求七=2x + 3y的最大值，使x, y滿足約束條件 4y 0, y 0

7、.(2)理解用圖解法求線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.進(jìn)行實(shí)驗(yàn)與收集數(shù)據(jù)打開幾何畫板依次畫出點(diǎn)、線構(gòu)造平面區(qū)域；在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)M，度量橫坐標(biāo)及縱坐標(biāo)，計(jì)算z = 2x + 3y的值，并制表顯示在屏幕上；拖動(dòng)點(diǎn)M在區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，觀察度量值z(mì)的變化，猜想z取得最大值時(shí)點(diǎn)M的位置. 同時(shí)請(qǐng)學(xué)生將有代表性的位置的數(shù)據(jù)記錄在下表中的第25列：計(jì) 數(shù) 點(diǎn)八、nxy2 x + 3 y點(diǎn)的坐標(biāo)直線的 方程直 線 在y 軸 上 的 截 距123教師引導(dǎo)學(xué)生提出猜想：點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，2 )時(shí)，二取得最大值14.【在信息技術(shù)與課程整合過程中，為改變老師單機(jī)的演示學(xué)生被動(dòng)觀看 的現(xiàn)狀，讓學(xué)生參與進(jìn)來，老師

8、(可以根據(jù)學(xué)生要求)操作，學(xué)生記錄，共 同提出猜想，在當(dāng)前技術(shù)條件受限時(shí)不失為一個(gè)好方法】師：這有限次的實(shí)驗(yàn)得來的結(jié)論可靠嗎？我們畢竟無法取遍所有點(diǎn)， 因?yàn)閰^(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是無數(shù)的！況且沒有計(jì)算機(jī)怎么辦，數(shù)據(jù)復(fù)雜手工無法計(jì) 算怎么辦？因此，有必要尋找操作性強(qiáng)的可靠的求最優(yōu)解的方法.【形成認(rèn)知沖突，激發(fā)求知欲望，調(diào)整探究思路，尋找解決問題的 新方法】繼續(xù)觀察實(shí)驗(yàn)報(bào)告單，聚焦每一行的點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)的度量值，比如M (3.2, 1.2)時(shí)方程是，填寫表中的第67列，引導(dǎo)學(xué)生先在點(diǎn)與直線 之間建立起聯(lián)系點(diǎn)M的坐標(biāo)是方程的解，那么點(diǎn)M就應(yīng)該在直線上，反過來直線經(jīng)過點(diǎn)M，當(dāng)然也就經(jīng)過平面區(qū)域，所以點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)就可

9、轉(zhuǎn)化為直線的平移運(yùn)動(dòng)。教師拖動(dòng)直線并跟蹤，學(xué)生看到直線平移時(shí)可以取遍區(qū)域內(nèi)的所有點(diǎn)！這樣我們的猜想就非常合乎情理了.然后順利過渡到直線與平面區(qū)域 之間的關(guān)系.師：由于我們可以將x，y所滿足的條件用平面區(qū)域表示了，你能否也給利潤(rùn)z=2x+3y作出幾何解釋呢？學(xué)生很自然地聯(lián)想到上面實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，將等式z=2x+3y視為關(guān)于x，y的一次方程，它在幾何上表示直線，當(dāng)z取不同的值時(shí)可得到一族平行 直線.請(qǐng)把你猜想1換一種說法：猜想與假設(shè)直線二經(jīng)過點(diǎn)（4,2 ）時(shí)，二取得最大值14.將直線二改寫為，這時(shí)你能把猜想2再換一種說法嗎？ 此時(shí)水到渠成.猜想與假設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，在y軸上的截距最大，此時(shí)二取得最大值

10、14.最后探究出“二最值問題可轉(zhuǎn)化為經(jīng)過可行域的直線在y軸上的截距 的最值問題”來解決，實(shí)現(xiàn)其圖解的目的.【借助計(jì)算機(jī)技術(shù)用運(yùn)動(dòng)變化的方法，創(chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)環(huán)境，形成多元聯(lián)系，展示數(shù) 學(xué)關(guān)系式、平面區(qū)域、表格等各種形態(tài)的表現(xiàn)形式，在數(shù)、圖、表的關(guān)聯(lián)中進(jìn) 行觀察、分析，從而逐步幫助學(xué)生進(jìn)行有層次的猜想，也為我們的研究提供一 種方向，這是新課程積極倡導(dǎo)的合情推理】教師介紹線性規(guī)劃、線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域和最優(yōu)解等概念.（三）探究師：在上述問題中，若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利3萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品 獲利2萬元，又應(yīng)當(dāng)如何安排生產(chǎn)才能獲得最大的利潤(rùn)？再換幾組數(shù)據(jù)試 試（課本第100頁(yè)）讓學(xué)生“主動(dòng)

11、”更換數(shù)據(jù)，教師借助幾何畫板“被動(dòng)”地進(jìn)行操作演示，師 生繼續(xù)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論同樣成立.進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)直線的縱截距與z的最 值之間的關(guān)系，有時(shí)并不是截距越大，z值越大.實(shí)驗(yàn)結(jié)論“目標(biāo)函數(shù)的最值問題可轉(zhuǎn)化直線z =2x+3y與平面區(qū)域有公共點(diǎn)時(shí)，在區(qū)域內(nèi)找一個(gè)點(diǎn)M，使直線經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)在y軸上的截距最大”【從筆算到計(jì)算，從點(diǎn)到直線再到平面（區(qū)域），從一個(gè)函數(shù)到多個(gè)函數(shù)， 從特殊到一般，從具體到抽象的認(rèn)識(shí)過程，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)現(xiàn)、 發(fā)展的過程，獲得問題的解決，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)】（四）練習(xí)小結(jié)學(xué)生練習(xí)P104第1題.及時(shí)檢驗(yàn)學(xué)生利用圖解法解線性規(guī)劃問題的情況，練習(xí)目的：會(huì)用數(shù)形結(jié)合

12、思想，將求的最大值轉(zhuǎn)化為直線與平面區(qū)域有公共點(diǎn)時(shí)，在區(qū) 域內(nèi)找一個(gè)點(diǎn)M,使直線經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)在y軸上的截距最小的問題，為節(jié) 省時(shí)間，教師可預(yù)先畫好平面區(qū)域，讓學(xué)生把精力集中到求最優(yōu)解的解 決方案上實(shí)例展示(課本第100頁(yè)例5飲食營(yíng)養(yǎng)搭配)營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食至少應(yīng)該提供0.075kg的碳水化 合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg的碳 水化合物，0.07kg的蛋白質(zhì)，0.14kg的脂肪，花費(fèi)28元；而1kg食物B 含有0.105kg的碳水化合物，0.14kg的蛋白質(zhì)，0.07kg的脂肪，花費(fèi)21 元.為了滿足營(yíng)養(yǎng)學(xué)家的指出的日常飲食要求，同時(shí)使花

13、費(fèi)最低，需要同 時(shí)食用食物A和食物B多少kg?【一是使學(xué)生認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中存在許多簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問 題，二是讓學(xué)生經(jīng)歷完整的分析研究問題、制定解決問題的策略的過程， 讓學(xué)生全面參與課堂教學(xué)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)體系】這里要關(guān)注平面區(qū)域本題是開放型的，而引例是封閉型的.課后伸申師：在上述線性規(guī)劃問題中，線性約束條件及線性目標(biāo)函數(shù)是確 定的，求最優(yōu)解.這是問題的一方面，另一方面若要求結(jié)果為整數(shù)呢？最優(yōu)解是在哪？若已知有唯一(或無數(shù))最優(yōu)解時(shí)，反過來確定線性約束條 件或目標(biāo)函數(shù)某些字母系數(shù)的取值(范圍)，又如何解決呢？小結(jié)求最優(yōu)解的一般步驟(板書)：畫線性約束條件所確定的平面區(qū)域；取目標(biāo)函數(shù)z=0,過原點(diǎn)作相應(yīng)的直線；平移該直線，觀察確定區(qū)域內(nèi)最優(yōu)解的位置；解有關(guān)方程組求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)得最值.作業(yè)：第104頁(yè)練習(xí)2，第106頁(yè)習(xí)題34，第107頁(yè)習(xí)題3.七、教學(xué)反思為了將學(xué)生從繁瑣的數(shù)字計(jì)算和畫區(qū)域圖中解脫出來，將精力放在對(duì)最優(yōu) 解的理解和突出思想方法上，可根據(jù)