知識梳理-平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用講解

1、PAGE 第 頁平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用編稿：李霞 審稿：孫永釗【考綱要求】1理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義，了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算，能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.2會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題，會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題.【知識網(wǎng)絡(luò)】平面向量數(shù)量積及應(yīng)用平面向量的數(shù)量積平面向量的應(yīng)用平面向量的坐標運算【考點梳理】考點一、向量的數(shù)量積1. 定義：已知兩個非零向量和，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做和的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積

2、為0.要點詮釋：（1）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是個數(shù)量，而不是向量，它的值為兩向量的模與余弦值決定 .（2）在運用數(shù)量積公式解題時，一定注意兩向量夾角范圍0180.此外，由于向量具有方向性，一定要找準 是哪個角.2. 平面向量的數(shù)量積的幾何意義我們規(guī)定叫做向量在方向上的投影，當為銳角時，為正值；當為鈍角時，為負值；當=0時，；當=90時，；當=180時，.的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與 在方向上的投影的乘積.要點詮釋：在方向上的投影是一個數(shù)量，它可正、可負，也可以等于0.3. 性質(zhì)：（1） (2) 當與同向時，；當與反向時，. 特別地(3) (4) 4. 運算律設(shè)已知向量、和實數(shù)，則向量的數(shù)量積

3、滿足下列運算律：(1) (交換律)(2) (3) 要點詮釋：當時，由不一定能推出，這是因為對任何一個與垂直的向量，都有；當時，也不一定能推出，因為由，得，即與垂直.也就是向量的數(shù)量積運算不滿足消去律.對于實數(shù)，有，但對于向量來說，不一定相等，這是因為表示一個與共線的向量，而表示一個與共線的向量，而與不一定共線，所以與不一定相等.5. 向量的數(shù)量積的坐標運算已知兩個非零向量，那么；若，則；若，則，這就是平面內(nèi)兩點間的距離公式；若，則6. 重要不等式若，則 考點二、向量的應(yīng)用（1）向量在幾何中的應(yīng)用 證明線段平行，包括相似問題，常用向量平行（共線）的充要條件；（）證明垂直問題，常用垂直的充要條件；

4、求夾角問題；利用夾角公式：.平面向量的夾角求線段的長度，可以用向量的線性運算，向量的?；?（2）向量在物理中的應(yīng)用向量的加法與減法在力的分解與合成中的應(yīng)用；向量在速度的分解與合成中的應(yīng)用.【典型例題】類型一、數(shù)量積的概念例1已知，分別滿足下列條件，求與.(1) ； (2)； (3)夾角為【解析】(1) 當時，分兩種情況：若同向，則，。若反向，則，。(2)當時，。(3)當?shù)膴A角為時，.【總結(jié)升華】仍舊是一個向量，它們的模根據(jù)公式即為自身數(shù)量積的平方根. 數(shù)量積運算是溝通向量與數(shù)量的橋梁.舉一反三：【變式1】已知向量與的夾角為，且，那么的值為 【答案】0；【解析】.【變式2】已知向量與的夾角為12

5、0，則_【答案】7【解析】 ,.【變式3】兩個非零向量、互相垂直，給出下列各式：；. 其中正確的式子有（ ）A2個 B3個 C4個 D5個【答案】B【解析】顯然正確；由向量運算的三角形法則知與長度相等，但方向不同，所以錯誤；正確；由向量數(shù)量積的運算律可知正確；只有在時，與才互相垂直，錯誤，故正確，故選B.例2.（2016 北京高考）已知向量 ，則與夾角的大小為_.【答案】30【解析】（），所以，根據(jù)數(shù)量積公式，得故與夾角的大小為30?！究偨Y(jié)升華】考查平面向量數(shù)量的角度問題，注意運用數(shù)量積的運算性質(zhì)及夾角的范圍，公式合理的選用有助于分析解決問題.舉一反三： 【變式1】若向量滿足，與的夾角為，則（

6、 ）2【答案】B；【解析】，故?！咀兪?】若，且與的夾角為鈍角，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）。A. B.（2，+） C. D.【答案】A；【解析】與的夾角為鈍角，且與不能反向，即且故【高清課堂：平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用401196 例1】【變式3】若，且，則向量與的夾角為（ ）（A）300 （B）600 （C）1200 （D）1500 【答案】C例3.若、均為單位向量，且，的最大值為_【答案】【解析】因為、均為單位向量，且，設(shè)=（1，0），=（0，1），,故的最大值為.【總結(jié)升華】考查平面向量數(shù)量積和模的問題，考查我們運用知識分析解決問題的能力. 注意本題是轉(zhuǎn)換為代數(shù)運算求最值問題.舉一反三：【變

7、式】已知、是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（ ）A1 B2 C D【答案】C【解析】，的最大值為.故選C. 類型二、數(shù)量積的綜合應(yīng)用例4. （2015淮北二模）在平面直角坐標系中，已知A（ cosx，1），B（l，sinx），X R，（）求|AB|的最小值；（）設(shè)，將函數(shù)f（x）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)g（x）的圖象求函數(shù)g（x）的對稱中心【解析】（）|AB|=|AB|的最小值為=1；（）=cosxsinx=cos（x+），將函數(shù)f（x）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)g（x）=cos（x+），令x+=

8、k+，可得x=2k+，函數(shù)g（x）的對稱中心為（2k+，0）（k Z）【總結(jié)升華】平面向量有幾何和代數(shù)兩種形式，并通過平面直角坐標系將它們聯(lián)系起來，所以可以說，向量實際上是解析幾何的內(nèi)容，它把數(shù)形很好地結(jié)合在一起，這正是數(shù)學學習中的一個重要思想方法，因此在解決數(shù)學問題時被廣泛應(yīng)用.高考中，除了對平面向量本身的概念、運算加以考察外，更重要的是他與其他知識的聯(lián)系，即用向量來解決代數(shù)、幾何等綜合問題，從而考察學生綜合解決問題的能力.舉一反三：【變式1】（2015浦東新區(qū)一模）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b=c，A的平分線為AD，若（1）當m=2時，求cosA的值；（2）當時，求實數(shù)m的取值范圍