高中數(shù)學(xué)：線性回歸方程知識(shí)點(diǎn)專項(xiàng)講解及典型例題歸納

1、 線性回歸方程知識(shí)點(diǎn)專項(xiàng)L與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種有關(guān)系，但不是 確定性的關(guān)系，2.能用直線方程=加+日近似表爾的相關(guān)關(guān)系叫做線性相 關(guān)關(guān)系，該方程叫*給出一組數(shù)據(jù)匕“y) I (XV旳) *t (Xrtt FJ ,線性回歸方程中的系數(shù)弘方滿足和Xv廠()()i 片1 /-I“ i2-()2 , TOC o 1-5 h z i= Ir= I上式還可以表示為n一. ._ W一一XrLH XyY (-)l-y)Mlb =,Srr_Jt_XVJ：(j )t=i=a y b X 乂*z想一想：1相關(guān)關(guān)系是不是都為線性關(guān)系？提示不是.有些變量間的相關(guān)關(guān)系是非線性相關(guān)的，2.散點(diǎn)圖只描述具有相關(guān)關(guān)糸

2、的兩個(gè)變量所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的圖形 嗎？提示不是.兩個(gè)變量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的圖形都是散點(diǎn)h相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)系函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系相同點(diǎn)兩者均足指兩個(gè)變量之間的關(guān)系不同點(diǎn)M 種確也性關(guān)系是一種非確定的關(guān)系是兩個(gè)變量之間的關(guān) 系一個(gè)為變量，另一個(gè)為隨機(jī) 變量?jī)扇攵际请S機(jī)變量是一種因果關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是 伴隨關(guān)系堆一種理想關(guān)系模型是更為一般的情況回歸直線方程冋歸直線方程的思想方法回歸胃線：觀察散點(diǎn)圖的特征，發(fā)現(xiàn)各點(diǎn)大致分布在一 條直線的附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)的關(guān)系，這 條直線叫做回歸右線可見，根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)可固出不同的直線來近似表示這種 線性關(guān)系.比如.可以連接最左側(cè)點(diǎn)和最右

3、側(cè)點(diǎn)得到一條直 線：也可以讓畫出的直線上方的點(diǎn)和下方的點(diǎn)數(shù)目相等， 這些辦法，能保證各點(diǎn)與此直線在整體上是最接近的嗎？它們 雖然那有一定的道理，但總止人感到可靠性不強(qiáng)*最小二乘法：實(shí)際上，求回歸貞線方程的關(guān)鍵是如何用 數(shù)學(xué)的方法來刻畫從整體上看各點(diǎn)與此直線的距離最小”, 即最貼近已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)*最能代表變量ry之間的關(guān)系.解制表.i12345合計(jì)旳2七345620 yi2:2MR5.56.57.0254.41L422032.542*01123491625369055A .r 4i y = 5 DF=90, D閃=1123112.3 5X4X5Eh %5文4LT加，=5-L23X4=0.08./.

4、所求線性回歸方程v=.23 + Og3 + 5 + 2+8+9+126 =65,4+6+3 十9+ 12+ 14 6 =8,fF27, ,r-3%,工W_6工yi 1:b= 43, u=yb 匚0.571 xl2x2 I二回歸直線方程為$=1.143兀+ 0刃1題型三利用回歸直線對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)【例3】（14分）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲 產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量兀（噸）與和應(yīng)的生產(chǎn)能耗宜噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾 組對(duì)照數(shù)據(jù).X3456y2.5344.5U請(qǐng)畫岀上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)拯，用最小平方法求出尹關(guān)于兀的線 性回歸方程；（3）已知該廠技改IOO甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為9U噸標(biāo)

5、準(zhǔn) 煤.試根據(jù)（2）求岀的線性回歸方程預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸中產(chǎn)品的生產(chǎn) 能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？（參考數(shù)值：32.5 + 43 + 5 X4+6X4.5 = 66.5）審題指導(dǎo)木題考查線性冋H方程的求解及利用冋歸直線對(duì)y廠樸X y總休進(jìn)行估計(jì)利用公式：B=a=v- X來求出 2 一 2 X-W xi-l系數(shù).【解題流程】規(guī)范解答(1)題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖，如右圖所示.M儀耗：噸標(biāo)準(zhǔn)煤)(3分) TOC o 1-5 h z 4 5 ； U)(2)由對(duì)照數(shù)據(jù),計(jì)算得:JL ,3+4 + 5+6LXr 86 X44.5丫(6分)2.5 + 3+4+4.5 y . 3.5J LI 1 aJPj

6、66,5【題后反思】解決此類問題首先根據(jù)所給數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn) 圖，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是否具冇相關(guān)關(guān)系，如果兩 個(gè)變量之間不具有和關(guān)關(guān)系，或者說，它們之間的關(guān)系不顯 著，即使求得線性回歸方程也是毫無意義的，而且用其估計(jì) 和預(yù)測(cè)的結(jié)果也是不可信的【變式3】以下址某地搜集到的新房屋的銷售價(jià)格丁和新房 屋的面積X的數(shù)據(jù)：新房屋面積(11511080135105銷售價(jià)格(萬元)24.821.618.429.222(i)數(shù)抵對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖；(2求線性冋歸方程，井在散點(diǎn)圖中加上回歸直線；據(jù)的結(jié)果佔(zhàn)計(jì)當(dāng)新房屋面積為150 m2時(shí)的銷售價(jià)格再誤區(qū)警示 最小二乘法的原理不清而出錨 【示例】已知心F之間的一組數(shù)據(jù)

7、如下表：X13678y12345對(duì)于表中數(shù)據(jù)，甲、乙兩同學(xué)給出的擬合直線分別為y= + 1 V=試?yán)米钚∫怀朔ㄋ枷肱袛嗄臈lII線擬合程度 更好.錯(cuò)解駐V作為點(diǎn)的坐標(biāo)，作出所給數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖”用y=x+1作為擬合育線時(shí)，散點(diǎn)圖上的點(diǎn)到擬合直線的距 離之和為1 =十-一J(4)*f ) +tI)2U-x6-3 + 1U-x7 -4 + I-xS 5 + I333-1十-1+ -1T _7_ /Io；1(T=ffl? + 作為擬合l線時(shí)敬點(diǎn)圖上的點(diǎn)到擬合氏線MT的距離之和為Dl Dl用打線學(xué) 理合程度更妹思維突碩題目要求利用最小一乘法思想判斷哪條宜線擬合程度更好，不是用散點(diǎn)圖上的點(diǎn)到擬合直線的距離之和最小來 判斷.正解I用尹=*+1作為擬合宜線時(shí)，所得7估計(jì)俏Aiy的實(shí) 際值的差的平方和為Sl=-1 2 + (2-2(3-3)2 + j-42十 b 5J3,用，=#+作為擬合直線時(shí)，所得y估計(jì)值與y的實(shí)際值的 差的平方和為(7仃、(9 y2=(I-Ir+(2-2)2+ 一3+(44f+ 弓一5 : 以 丿XZ JS.3J_ =86 二 4X 疋廠-4 7* 2/-Ia=yb X =3,5 0