平面向量高中數(shù)學基礎(chǔ)知識與典型例題

1、學習必備歡迎下載減法OA+OB=OC記OA=(x1,y1),OB=(x1,y2)OBOA=AB則OAOB=(x1+x2,y1+y2)OA+AB=OB記a=(x,y)量乘積R則a=(x,y)的兩個向概量的數(shù)念量積則ab=x1x2+y1y2算加法：abba(交換律);(ab)ca(bc)(結(jié)合律)兩個向量的數(shù)量積:ab=ba;(a)b=a(b)=(ab);(a+b)c=ac+bc3.相等向量:長度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量的相等.兩向量a與b相等,記為ab.例如(ab)2=a2abb22數(shù)學基礎(chǔ)知識與典型例題平面向量平面向量相關(guān)知識關(guān)系表一、向量的有關(guān)概念1.向量:既有

2、大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用來表示向量的有向線段的長度).2.向量的表示方法:字母表示法:如a,b,c,等.幾何表示法:用一條有向線段表示向量.如AB,CD等.坐標表示法:在平面直角坐標系中,設(shè)向量OA的起點O為在坐標原點,終點A坐標為x,y,則x,y稱為OA的坐標,記為OA=x,y.注:向量既有代數(shù)特征,又有幾何特征,它是數(shù)形兼?zhèn)涞暮霉ぞ?向量概注:向量不能比較大小,因為方向沒有大小.念4.零向量:長度為零的向量叫零向量.零向量只有一個,其方向是任意的.及5.單位向量:長度等于1個單位的向量.單位向量有無數(shù)個,每一個方向都有一運個單位向量.算6.共線向量:方向相同

3、或相反的非零向量,叫共線向量.任一組共線向量都可以移到同一直線上.規(guī)定:0與任一向量共線.注:共線向量又稱為平行向量.7.相反向量:長度相等且方向相反的向量.二、向量的運算(一)運算定義向量的加減法，實數(shù)與向量的乘積，兩個向量的數(shù)量積,這些運算的定義都是“自然的”，它們都有明顯的物理學的意義及幾何意義.其中向量的加減法運算結(jié)果仍是向量，兩個向量數(shù)量積運算結(jié)果是數(shù)量。研究這些運算,發(fā)現(xiàn)它們有很好地運算性質(zhì),這些運算性質(zhì)為我們用向量研究問題奠定了基礎(chǔ),向量確實是一個好工具.特別是向量可以用坐標表示,且可以用坐標來運算,向量運算問題可以完全坐標化.刻劃每一種運算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號、坐標

4、語言。主要內(nèi)容列表如下：運算圖形語言符號語言坐標語言加法與OBOA=（x2-x1,y2-y1）實數(shù)與向向量的AB=aababcosa,b記a(x,y),b(x,y)1122及(二)運算律運實數(shù)與向量的乘積：(ab)ab;()aaa;(a)()a注：根據(jù)向量運算律可知，兩個向量之間的線性運算滿足實數(shù)多項式乘積的運算法則，正確遷移實數(shù)的運算性質(zhì)可以簡化向量的運算，(三)運算性質(zhì)及重要結(jié)論平面向量基本定理:如果e,e是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量,那么對于這12個平面內(nèi)任一向量a,有且只有一對實數(shù),使aee，稱ee1211221122為e,e的線性組合。12其中e,e叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底;

5、12平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量e,e的方向分解為兩個向量的12和,并且這種分解是唯一的.這說明如果aee且aee,那么.112211221122當基底e,e是兩個互相垂直的單位向量時,就建立了平面直角坐標系,因此12平面向量基本定理實際上是平面向量坐標表示的基礎(chǔ).學習必備歡迎下載即若A(x，y)，則OA=（x,y）；當向量起點不在原點時，向量AB坐標為終點例3.設(shè)a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共線，則：坐標減去起點坐標，即若A（x1,y1），B（x2,y2），則AB=(x2-x1,y2-y1)符號語言：a/bab(b0)(ab)c(ca)b=0|a|-|b|0；當a與b異向

6、時,0。|=|a|,的大小由a及b的大小確定。因此,|b|例4.OAB中,OA=a,OB=b,OP=p,若p=t(ab)，tR，則點P在()|a|b|例5.正方形PQRS對角線交點為M，坐標原點O不在正方形內(nèi)部，且OP=量當a,b確定時，的符號與大小就確定了.這就是實數(shù)乘向量中的幾何意念符號語言：abab0及坐標語言：設(shè)非零向量ax,y,bx,y，則abxxyy0運a|a|即|a|a(求線段的長度);（0，3），OS=（4，0），則RM=()念小.abab0(垂直的判斷);向量坐標與點坐標的關(guān)系：當向量起點在原點時，定義向量坐標為終點坐標，兩個向量平行的充要條件1122xx即12,或x1y2-

7、x2y1=0,在這里,實數(shù)是唯一存在的,當a與b同向時,y1y2向的義。概兩個向量垂直的充要條件11221212算兩個向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：222(A)-5(B)-1(C)1(D)5真命題是()(A)(B)(C)(D)(A)AOB平分線所在直線上(B)線段AB中垂線上(C)AB邊所在直線上(D)AB邊的中線上(A)（7,1）(B)（7,1）(C)（7，4）(D)（7,7）222222例6.已知ax,3,b2,4,ab,則實數(shù)x=_.向例7.已知ab2,8,ab6,4,則a_,b_,a與b的夾角量的余弦值是_.的例8.已知ABC的三個頂點分別為A3,3,B6,0,C5,3,求ACB的大概及ab(

8、求角度)。AD，求點D和向量AD坐標。注:兩向量a,b的數(shù)量積運算結(jié)果是一個數(shù)abcos(其中a,b),這個cosab以上結(jié)論可以(從向量角度)有效地分析有關(guān)垂直、長度、角度等問題,由此可以看到向量知識的重要價值.數(shù)的大小與兩個向量的長度及其夾角的余弦有關(guān).bcos叫做向量b在a方向上的投影（如圖）.運算例9.已知ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC邊上的高為例10.在OAB的邊OA、OB上分別取點M、N，使|OM|OA|=13，|ON|OB|=14，設(shè)線段AN與BM交于點P，記OA=a，OB=b，用a，b表示向量OP.向量的概念數(shù)量積的幾何意義是數(shù)量積ab等于a的模

9、與b在a方向上的投影的積.如果P(x,y),P(x,y),則PP=(xx,yy),111222122121PP(xx)2(yy)2,這就是平面內(nèi)兩點間的距離公式.122121例1在ABCD中，BCCDBA（）(A)BC(B)DA(C)AB(D)AC算例2.平面內(nèi)三點A(0,3),B(3,3),C(x,1),若ABBC，則x的值為()及運學習必備歡迎下載的任意一點,則存在一個實數(shù)使PPPP,叫做點P分有B(a,b)對稱點的坐標是()向線段PP所成的比.(如圖)12(A)（m，n）(B)（am，bn）PP(D)（2am，1PP,內(nèi)分取“+”,外分取“一”.A(5,6),B(3,4)2.PP定比分點

10、坐標公式:設(shè)P(x,y)、P(x,y)、P(x,y)，PPPP軸于C點，則3.設(shè)曲線C：y=f(x)按a=（h，k）(D)(3,6)注:函數(shù)圖象平移口訣:左加右減,上點P的坐標由加下減.注意這里是指函數(shù)解析式的變化,另外注意順序性.則C2的方程是1,點C分AB所成則：x1的比為（）yyy1(A)5(B)3xx特殊地，當1時得中點坐標公式：yy1y22另外，注意一下定比分點的向量公式：(C)a,2平線段的定比分點例11.點1.定義:設(shè)P、P是直線上的兩點,點P是上不同于P、PA(m,n)關(guān)于點121212定比分12點P在線段PP上,P為內(nèi)分點時,0;(C)（a2m，bP在線段PP或PP的延長線上

11、,P為外分點時,0.2n）12212bn）例12設(shè)212，直線AB交x11122212xx21124x122245平移，則平移后曲線C對應的解析例14.若將曲式為ykf(xh),當h，k中有一線C1:yf(x)個為零時，就是前面已經(jīng)研究過的左平移到C2,使右及上下平移.得曲線C1上一(1,0)變?yōu)?2,2),()(A)yf(x1)2(B)yf(x1)2(C)yf(x1)2(D)yf(x1)2例15.把函數(shù)ysinx的圖象按4移后得到的函數(shù)解析式為-_.解解斜三角形：三常用的主要結(jié)論有：角(1)A+B+C=1800任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.三角形重心公式：(1S12底高=r

12、(abc)(其中r是內(nèi)切圓半徑)2absinCasinC2R(正弦定理)O為平面內(nèi)任意一點，PPPP1212則OPOPOP(1).有時直接運用它來考慮更簡便!3.三角形重心公式及推導（見課本例2）：xxxyyy23,123)33(D)23形等邊對等角:abAB;大邊對大角:abAB.1ABC21bcsinAsinBF，我們把這一過程叫做圖形的平移。a3,6平移向量ah,k平移到Px,y則xxh標表示為()yyk其中ah,k叫做平移向量.(B)(4,-11)例16.在VABC中,B45,c52,b5,則a等于()角(A)52(B)53平1.圖形平移：設(shè)F是坐標平面內(nèi)的一個圖形，將F上所有的例13

13、.設(shè)向量移點按照同一方向移動同樣長度(即按向量a平移)，得到圖形AB(7,5),則將AB按2.平移公式：點Px,y按得到AB的坐（新=舊+移）(A)(0,1)(C)(7,-5)a2b2c22bccosA,b2(余弦定理)解三(C)5(D)10形例17.在200米高的山頂上,測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為300,600,則塔高為()(A)400米(B)4003米(C)2003米(D)200米3333學習必備歡迎下載例18在ABC中，ax,b2,，B45,若這個三角形有兩解，則x的取值范圍是（）(A)x2(B)x2(C)2x22(D)2x23數(shù)學基礎(chǔ)知識與典型例題(第5章平面向量)答案例1A、例2.C、例3.D、例4.A、例5.A、例6.6、例7.(2,6),(4,2),210、例8.120例9.解:(用解方程組思想)設(shè)D（x，y），則AD=（x-2，y+1）BC=（-6，-3），ADBC=0,-6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0BD=(x-3，y-2)，BCBD,-6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0例10.解:B、P、M共線記BP=sPMx1由得：,D（1，1）,AD=（-1，2）y1OPOBOMOBOAba1s1s1s