數(shù)字電路課程課件：第2章邏輯代數(shù)基礎

1、第二章 邏輯代數(shù)基礎2.1 概述1、二值邏輯不同的數(shù)碼不僅可以表示數(shù)量的不同大小，而且還能用來表示不同的事物。在數(shù)字邏輯電路中，用1位二進制數(shù)碼的0和1表示一個事物的兩種不同邏輯狀態(tài)。例如:可以用1和0分別表示一件事情的是和非、真和偽、有和無、好和壞，或者表示電路的通和斷、電燈的亮和暗、門的開和關等。這種只有兩種對立邏輯狀態(tài)的邏輯關系稱為二值邏輯。二、邏輯運算所謂“邏輯”，在這里是指事物間的因果關系。當兩個二進制數(shù)碼表示不同的邏輯狀態(tài)時，它們之間可以按照指定的某種因果關系進行推理運算。這種運算稱為邏輯運算。 三、布爾代數(shù)1849年英國數(shù)學家喬治布爾（George Boole）首先提出了進行邏輯

2、運算的數(shù)學方法 布爾代數(shù)。后來，由于布爾代數(shù)被廣泛用于開關電路和數(shù)字邏輯電路的分析與設計中，所以也將布爾代數(shù)稱為開關代數(shù)或邏輯代數(shù)。邏輯代數(shù)中也用字母表示變量，這種變量稱為邏輯變量。邏輯運算表示的是邏輯變量以及常量之間邏輯狀態(tài)的推理運算，而不是數(shù)量之間的運算 。2.2 邏輯代數(shù)中的三種基本運算條件：開關閉合結(jié)果：燈亮1、邏輯與（AND） 定義：只有決定事物結(jié)果的全部條件同時具備時，結(jié)果才發(fā)生。 這種因果關系叫邏輯與，或叫邏輯相乘。 A B Y斷開 斷開 不亮斷開 閉合 不亮閉合 斷開 不亮閉合 閉合 燈亮與邏輯功能表YABE1 表示開關閉合，燈亮。0 表示開關斷開，燈不亮。真值表 A B Y

3、0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1與邏輯真值表與邏輯表達式 Y = AB A B Y斷開 斷開 不亮斷開 閉合 不亮閉合 斷開 不亮閉合 閉合 燈亮與邏輯功能表條件：開關閉合結(jié)果：燈亮2、邏輯或（OR） 定義：決定事物結(jié)果的諸條件中只要有任何一個條件 滿足， 結(jié)果就會發(fā)生， 這種邏輯關系叫邏輯或，也叫邏輯相加。 A B Y斷開 斷開 不亮斷開 閉合 燈亮閉合 斷開 燈亮閉合 閉合 燈亮或邏輯功能表BYAE真值表1 表示開關閉合，燈亮。0 表示開關斷開，燈不亮。 A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1或邏輯真值表或邏輯表達式 Y = A+B A B Y斷開 斷開

4、不亮斷開 閉合 燈亮閉合 斷開 燈亮閉合 閉合 燈亮或邏輯功能表條件：開關閉合結(jié)果：燈亮3、邏輯非（NOT）定義：只要條件具備了，結(jié)果就不會發(fā)生； 而條件不具備時，結(jié)果一定發(fā)生， 這種邏輯關系叫邏輯非，也叫邏輯求反。 A Y 斷開 燈亮 閉合 不亮非邏輯功能表真值表1 表示開關閉合，燈亮。0 表示開關斷開，燈不亮。 A Y 0 1 1 0 非邏輯真值表非邏輯表達式 Y = A A Y 斷開 燈亮 閉合 不亮非邏輯功能表圖形符號幾種常用的復合邏輯運算1.與非(NAND) A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0與非邏輯真值表與非邏輯表達式：圖形符號： A B Y 0 0 1 0

5、 1 0 1 0 0 1 1 0或非邏輯真值表或非邏輯表達式：圖形符號：2. 或非(NOR)3.與或非(AND-NOR)圖形符號：與或非邏輯表達式：與或非邏輯真值表4.異或(XOR)兩輸入變量A、B不同時，輸出Y為 1。 而A、B相同時，輸出Y為 0。 A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0異或邏輯真值表異或邏輯表達式：圖形符號：5. 同或(NXOR)兩輸入變量A、B相同時，輸出Y為 1。 而A、B不同時，輸出Y為 0。 A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1同或邏輯真值表或Y=AB同或邏輯表達式：圖形符號：同或、異或互為反邏輯： A B=(A B) A

6、 B=(A B) 思考： A 0= A 1= A A = A A= A 0= A 1= A A = A A= N位二進制中1的個數(shù)為奇數(shù)時，每位異或的結(jié)果為？N位二進制中1的個數(shù)為偶數(shù)時，每位異或的結(jié)果為？2.3 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.3.1 基本公式2.3.2 常用公式2.3.1 基本公式結(jié)合律交換律分配律德摩根定理 (反演律)還原律序號公 式序號公 式10 1 = 0; 0= 110 A = 0111 + A= 121 A = A120 + A = A3A A = A13A + A = A4A A= 014A + A = 15A B = B A15A +B = B + A6A (

7、B C) = (A B) C16A + (B +C) = (A + B) + C7A (B +C) = A B + A C17A + B C = (A +B)(A +C)8(A B) = A + B18(A+ B) = AB9(A ) = A證明方法：推演 真值表公式（17）的證明（公式推演法）：公式（17）的證明（真值表法）：ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)00000000001000100100010001111111100011111010111111001111111111112.3.2 若干常用公式序 號公 式21A + A B = A22A +A B = A +

8、B23A B + A B = A24A ( A + B) = A25A B + A C + B C = A B + A CA B A C + B CD = A B + A C26A (AB) = A B ; A (AB) = A 2.4 邏輯代數(shù)的基本定理2.4.1 代入定理 -在任何一個包含A的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中A的位置，則等式依然成立。2.4.1 代入定理應用舉例： 式（17） A+BC = (A+B)(A+C) A+B(CD) = (A+B)(A+CD)= (A+B)(A+C)(A+D)2.4.1 代入定理應用舉例： 式 （8）2.4 邏輯代數(shù)的基本定理2.4.2 反

9、演定理 對任一邏輯式 Y，若將其中所有的乘換成加，加換成乘，0 換成 1 ，1 換成 0，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到的結(jié)果就是 Y 的反。注意： 遵守“括號、乘、加”的運算優(yōu)先次序。 （即保持運算順序與原式相同） 不屬于單個變量上的反號應保留不變。若則若則2.4.3 對偶定理對偶式：對于任何一個邏輯式 Y， 若將其中的 “” 換成 “+”， “+” 換成 “”，0 換成 1，1 換成 0， 則得到一個新的邏輯式 YD， 則 YD 叫做 Y 的對偶式。若則若則對偶定理：若兩邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。已知根據(jù)對偶定理，則2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法2.5.1 邏輯函數(shù) 若以

10、邏輯變量為輸入，運算結(jié)果為輸出，則輸入變量值確定以后，輸出的取值也隨之而定。輸入/輸出之間是一種函數(shù)關系。 表示為： Y=F(A,B,C,) 任何一個具體的因果關系都可以用一個邏輯函數(shù)描述。 注：在二值邏輯中，輸入/輸出都只有兩種取值0/1。例: 三人表決電路： 三人A、B、C當中有兩人或兩人以上同意時，表決結(jié)果Y為通過，否則表決結(jié)果Y為沒通過。表決結(jié)果Y的狀態(tài)（通過與沒通過）是三人A、B、C狀態(tài)（同意與不同意）的函數(shù)。邏輯函數(shù)為：2.5.2 邏輯函數(shù)的表示方法真值表邏輯式邏輯圖波形圖卡諾圖計算機軟件中的描述方式各種表示方法之間可以相互轉(zhuǎn)換1.邏輯真值表將輸入變量所有的取值下對應的輸出值 找出

11、來列成表格，即可得到邏輯真值表。輸入變量A B C輸出Y1 Y2 遍歷所有可能的輸入變量的取值組合輸出對應的取值以三人表決電路為例，輸入變量A、B、C為1表示同意，0表示不同意，輸出（函數(shù)）Y為1表示通過，0表示沒通過。A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111三人表決電路真值表2.邏輯函數(shù)式把輸入與輸出之間的邏輯關系寫成與、或、非等運算的組合式，就得到了邏輯函數(shù)式。根據(jù)電路功能的要求和與、或的邏輯定義，三人表決電路的邏輯函數(shù)式為：000101110 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1Y

12、A B C三人表決電路真值表3.邏輯圖ABYACBC將邏輯函數(shù)中各變量之間的與、或、非等邏輯關系，用圖形符號表示出來，就可畫出表示函數(shù)關系的邏輯圖。 將輸入變量所有取值可能與對應輸出按時間順序排列起來，就得到表示該邏輯函數(shù)的波形圖。4.波形圖舉重裁判電路的波形圖卡諾圖EDA中的描述方式 HDL (Hardware Description Language) VHDL (Very High Speed Integrated Circuit ) Verilog HDL 5.各種表示方法間的互相轉(zhuǎn)換 從真值表寫出邏輯函數(shù)式 一般方法：（1）找出真值表中使邏輯函數(shù)為1的那些輸入變量取值的組合。（2）每

13、組輸入變量取值的組合對應一個乘積項， 其中取值為 1 的寫入原變量， 取值為 0 的寫入反變量。（3）將這些乘積項相加，即得輸出的邏輯函數(shù)式。A B C Y0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0例 ：已知一個奇偶判斷函數(shù)的真值表如圖所示，試寫出它的邏輯函數(shù)式。這三種取值的任何一種都使Y=1,所以 Y= ? 從邏輯函數(shù)式列出真值表將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一代入邏輯式, 求出函數(shù)值，列成表。例：已知邏輯函數(shù)表達式：求它對應的真值表。A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1

14、 111110011解： 從邏輯函數(shù)式畫出邏輯圖用圖形符號代替邏輯函數(shù)式中的運算符號。例 ：已知邏輯函數(shù)式為，畫出對應的邏輯圖。 從邏輯圖寫出邏輯函數(shù)式從輸入端到輸出端逐級寫出每個圖形符號對應的邏輯式，即可得到對應的邏輯式。A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101100101 從波形圖寫出真值表 從真值表畫出波形圖A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100000111真值表 邏輯式 邏輯圖2.5.3 邏輯函數(shù)的兩種標準形式 最小項之和 最大項之積一、最小項和最大項1. 最小項定義：在n

15、變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個因子的乘積項，而且這幾個變量均以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次，則稱m為該組變量的最小項。最小項舉例：兩變量A, B的最小項三變量A,B,C的最小項 n變量的最小項應為2n個。 輸入變量的每一組取值，都使一個對應的最小項的值等于1。為方便，可把每個最小項用一個號碼表示，這個號碼為使其為1的取值對應的十進制數(shù)。如A=1、B=0、C=1時，ABC=1。因此本最小項的號碼為5，表示為m5m0m1m2m3m4m5m6m7012345670 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C編號對應的十進制數(shù)使最小項為1的變量取值最小

16、項三變量最小項的編號表最小項的性質(zhì)在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最小項的值為1。全體最小項之和為1 。任何兩個最小項之積為0 。兩個相鄰的最小項之和可以合并，消去一對因子，只留下公共因子。 -相鄰：僅一個變量不同的最小項 如 2. 最大項 n變量的最大項應為2n個。 輸入變量的每一組取值，都使一個對應的最大項的值等于0。 使某個最大項為0的這組取值對應的十進制數(shù)作為該最大項的編號。定義：在n變量邏輯函數(shù)中，若M為n個變量之和，而且這幾個變量均以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)一次，則稱M 為該組變量的最大項。如：兩變量A, B的最大項最大項使最大項為0的變量取值對應的十進制數(shù)編號A B C0

17、 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101234567M0M1M2M3M4M5M6M7三變量最大項的編號表最大項的性質(zhì)在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最大項的值為0；全體最大項之積為0；任何兩個最大項之和為1；只有一個變量不同的最大項的乘積等于各相同變量之和。最大項和最小項之間的關系例：已知最小項二、邏輯函數(shù)的最小項之和形式：全部由最小項相加而構(gòu)成的與-或表達式（標準與或式）利用可以把任何一個邏輯函數(shù)化為最小項之和的標準形式。例：例 ：將邏輯函數(shù)展開為最小項之和的形式。三、邏輯函數(shù)的最大項之積形式（標準或與式）方法1：先用A+BC=(A+B)(A+C)

18、變成或與式再用 將缺少的變量補齊例：將邏輯函數(shù)展開成最大項之積的形式。方法2：若給定邏輯函數(shù)最小項之和表達式：可得其反函數(shù)最小項之和表達式：則該邏輯函數(shù)的最大項之積形式為：例：將邏輯函數(shù)展開成最大項之積的形式。2.5.4 邏輯函數(shù)形式的變換 同一邏輯函數(shù)可以有不同的表達式；表達式不同，實現(xiàn)電路所選用的器件就不同例：將邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化為與非-與非形式二次取反以后再介紹如何轉(zhuǎn)換為與或非形式或非-或非形式2.6 邏輯函數(shù)的化簡法最簡與或式 -包含的乘積項已經(jīng)最少，每個乘積項的因子也最少，稱為最簡的與-或邏輯式。 同一邏輯函數(shù)可以有不同的表達式。表達式簡單，使用的元器件就少?；喌哪康模旱玫竭壿嫼瘮?shù)的最簡

19、形式。2.6.1公式化簡法 反復應用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項和多余的因子。以得到函數(shù)式的最簡形式。 一、并項法利用公式二、吸收法利用公式3.消項法利用公式四、消因子法利用公式五、配項法 根據(jù)公式可在邏輯函數(shù)式中重復寫入某一項。 根據(jù)公式可在邏輯函數(shù)式中的某一項乘然后拆成兩項分別與其他項合并。綜合法另一方法：2.6.2 卡諾圖化簡法一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法 將n變量的全部最小項各用一個小方塊表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，所得到的圖形叫做n變量的卡諾圖。實質(zhì)：將邏輯函數(shù)的最小項之和形式以圖形的方式表示出來，也可看為圖形化的真值表。表示最小項的卡諾圖二變

20、量卡諾圖 三變量的卡諾圖4變量的卡諾圖五變量的卡諾圖 因為卡諾圖的每個小方格對應一個最小項，而任一邏輯函數(shù)都可變換成最小項表達式。所以，可以用n變量的卡諾圖表示n變量的任一邏輯函數(shù)。1. 將函數(shù)表示為最小項之和的形式2. 在卡諾圖上與這些最小項對應的位置上添入1，其余地方添0。方法：任何一個邏輯函數(shù)，都等于它的卡諾圖中添入 1 的那些最小項之和。例：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)解：先將邏輯函數(shù)化為最小項之和的形式，1111100000000000ABCD00 01 11 1000 01 11 10Y畫出四變量最小項的卡諾圖。在對應函數(shù)式中各最小項的位置上填入1，其余位置上填入0。再根據(jù) 先將邏輯式變換

21、成最小項之和的形式再填卡諾圖的方法有時比較繁瑣、易出錯，所以經(jīng)常采用觀察法填寫卡諾圖。例：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)通過觀察函數(shù)發(fā)現(xiàn)當A=0、B=1、C=0、D=1時函數(shù)為1，A=1、B=0、D=0時函數(shù)為1，A=1、C=1、D=1函數(shù)為1。1111100000000000ABCD00 01 11 1000 01 11 10Y例：已知邏輯函數(shù)的卡諾圖，寫出該函數(shù)的邏輯式。1000100000000101ABCD00 01 11 1000 01 11 10Y解：函數(shù)Y等于卡諾圖中填入1的那些最小項之和， 所以可得：已知邏輯函數(shù)的卡諾圖還可以寫出邏輯式二、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)依據(jù)：具有相鄰性的最小項可以

22、合并，消去不同因子。 在卡諾圖中，最小項的相鄰性可以從圖形中直觀地反映出來。即邏輯相鄰在卡諾圖中位置相鄰。1、合并最小項的原則：兩個相鄰最小項可合并為一項，消去一個有0、1變化的變量四個相鄰最小項可合并為一項，消去二個有0、1變化的變量八個相鄰最小項可合并為一項，消去三個有0、1變化的變量0110101100 01 11 1001ABC0100111010110100ABCD00 01 11 1000 01 11 10Y合并兩個相鄰最小項的情況：1111111100 01 11 1001ABC1101111111111101ABCD00 01 11 1000 01 11 10Y合并四個相鄰最小

23、項的情況：1001111111111001ABCD00 01 11 1000 01 11 10YB合并八個相鄰最小項的情況：2、卡諾圖化簡的步驟：畫出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖。用圈圈的方法合并相鄰的最小項。將化簡后的乘積項相加得到函數(shù)的最簡表達式圈圈的原則： 所有1均被圈到-包含所有的最小項 圈盡可能大-每個乘積項包含的因子最少 圈盡可能少-所有的乘積項數(shù)目最少 每個圈應至少包含一個新的1格，否則這個圈是多余的圈圈的順序： 先圈只有一種圈法的1格0000110011101011ABCD00 01 11 1000 01 11 100000110011101011ABCD00 01 11 1000 01 11 10例：將對應下面卡諾圖的函數(shù)化為最簡與或式不最簡例：將對應下面卡諾圖的函數(shù)化為最簡與或式0100011111100010ABCD00 01 11 1000 01 11 100100011111100010ABCD00 01 11 1000 01 11 10有多余項 00 01 1 1 1 001ABC例：例： 00 01 1 1 1 00011111101ABC例： 00 01 1 1 1