數(shù)字電路課程課件：第2章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

1、第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.1 概述1、二值邏輯不同的數(shù)碼不僅可以表示數(shù)量的不同大小，而且還能用來表示不同的事物。在數(shù)字邏輯電路中，用1位二進(jìn)制數(shù)碼的0和1表示一個(gè)事物的兩種不同邏輯狀態(tài)。例如:可以用1和0分別表示一件事情的是和非、真和偽、有和無、好和壞，或者表示電路的通和斷、電燈的亮和暗、門的開和關(guān)等。這種只有兩種對(duì)立邏輯狀態(tài)的邏輯關(guān)系稱為二值邏輯。二、邏輯運(yùn)算所謂“邏輯”，在這里是指事物間的因果關(guān)系。當(dāng)兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)碼表示不同的邏輯狀態(tài)時(shí)，它們之間可以按照指定的某種因果關(guān)系進(jìn)行推理運(yùn)算。這種運(yùn)算稱為邏輯運(yùn)算。 三、布爾代數(shù)1849年英國數(shù)學(xué)家喬治布爾（George Boole）首先提出了進(jìn)行邏輯

2、運(yùn)算的數(shù)學(xué)方法 布爾代數(shù)。后來，由于布爾代數(shù)被廣泛用于開關(guān)電路和數(shù)字邏輯電路的分析與設(shè)計(jì)中，所以也將布爾代數(shù)稱為開關(guān)代數(shù)或邏輯代數(shù)。邏輯代數(shù)中也用字母表示變量，這種變量稱為邏輯變量。邏輯運(yùn)算表示的是邏輯變量以及常量之間邏輯狀態(tài)的推理運(yùn)算，而不是數(shù)量之間的運(yùn)算 。2.2 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算條件：開關(guān)閉合結(jié)果：燈亮1、邏輯與（AND） 定義：只有決定事物結(jié)果的全部條件同時(shí)具備時(shí)，結(jié)果才發(fā)生。 這種因果關(guān)系叫邏輯與，或叫邏輯相乘。 A B Y斷開 斷開 不亮斷開 閉合 不亮閉合 斷開 不亮閉合 閉合 燈亮與邏輯功能表YABE1 表示開關(guān)閉合，燈亮。0 表示開關(guān)斷開，燈不亮。真值表 A B Y

3、0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1與邏輯真值表與邏輯表達(dá)式 Y = AB A B Y斷開 斷開 不亮斷開 閉合 不亮閉合 斷開 不亮閉合 閉合 燈亮與邏輯功能表?xiàng)l件：開關(guān)閉合結(jié)果：燈亮2、邏輯或（OR） 定義：決定事物結(jié)果的諸條件中只要有任何一個(gè)條件 滿足， 結(jié)果就會(huì)發(fā)生， 這種邏輯關(guān)系叫邏輯或，也叫邏輯相加。 A B Y斷開 斷開 不亮斷開 閉合 燈亮閉合 斷開 燈亮閉合 閉合 燈亮或邏輯功能表BYAE真值表1 表示開關(guān)閉合，燈亮。0 表示開關(guān)斷開，燈不亮。 A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1或邏輯真值表或邏輯表達(dá)式 Y = A+B A B Y斷開 斷開

4、不亮斷開 閉合 燈亮閉合 斷開 燈亮閉合 閉合 燈亮或邏輯功能表?xiàng)l件：開關(guān)閉合結(jié)果：燈亮3、邏輯非（NOT）定義：只要條件具備了，結(jié)果就不會(huì)發(fā)生； 而條件不具備時(shí)，結(jié)果一定發(fā)生， 這種邏輯關(guān)系叫邏輯非，也叫邏輯求反。 A Y 斷開 燈亮 閉合 不亮非邏輯功能表真值表1 表示開關(guān)閉合，燈亮。0 表示開關(guān)斷開，燈不亮。 A Y 0 1 1 0 非邏輯真值表非邏輯表達(dá)式 Y = A A Y 斷開 燈亮 閉合 不亮非邏輯功能表圖形符號(hào)幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算1.與非(NAND) A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0與非邏輯真值表與非邏輯表達(dá)式：圖形符號(hào)： A B Y 0 0 1 0

5、 1 0 1 0 0 1 1 0或非邏輯真值表或非邏輯表達(dá)式：圖形符號(hào)：2. 或非(NOR)3.與或非(AND-NOR)圖形符號(hào)：與或非邏輯表達(dá)式：與或非邏輯真值表4.異或(XOR)兩輸入變量A、B不同時(shí)，輸出Y為 1。 而A、B相同時(shí)，輸出Y為 0。 A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0異或邏輯真值表異或邏輯表達(dá)式：圖形符號(hào)：5. 同或(NXOR)兩輸入變量A、B相同時(shí)，輸出Y為 1。 而A、B不同時(shí)，輸出Y為 0。 A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1同或邏輯真值表或Y=AB同或邏輯表達(dá)式：圖形符號(hào)：同或、異或互為反邏輯： A B=(A B) A

6、 B=(A B) 思考： A 0= A 1= A A = A A= A 0= A 1= A A = A A= N位二進(jìn)制中1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，每位異或的結(jié)果為？N位二進(jìn)制中1的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，每位異或的結(jié)果為？2.3 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.3.1 基本公式2.3.2 常用公式2.3.1 基本公式結(jié)合律交換律分配律德摩根定理 (反演律)還原律序號(hào)公 式序號(hào)公 式10 1 = 0; 0= 110 A = 0111 + A= 121 A = A120 + A = A3A A = A13A + A = A4A A= 014A + A = 15A B = B A15A +B = B + A6A (

7、B C) = (A B) C16A + (B +C) = (A + B) + C7A (B +C) = A B + A C17A + B C = (A +B)(A +C)8(A B) = A + B18(A+ B) = AB9(A ) = A證明方法：推演 真值表公式（17）的證明（公式推演法）：公式（17）的證明（真值表法）：ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)00000000001000100100010001111111100011111010111111001111111111112.3.2 若干常用公式序 號(hào)公 式21A + A B = A22A +A B = A +

8、B23A B + A B = A24A ( A + B) = A25A B + A C + B C = A B + A CA B A C + B CD = A B + A C26A (AB) = A B ; A (AB) = A 2.4 邏輯代數(shù)的基本定理2.4.1 代入定理 -在任何一個(gè)包含A的邏輯等式中，若以另外一個(gè)邏輯式代入式中A的位置，則等式依然成立。2.4.1 代入定理應(yīng)用舉例： 式（17） A+BC = (A+B)(A+C) A+B(CD) = (A+B)(A+CD)= (A+B)(A+C)(A+D)2.4.1 代入定理應(yīng)用舉例： 式 （8）2.4 邏輯代數(shù)的基本定理2.4.2 反

9、演定理 對(duì)任一邏輯式 Y，若將其中所有的乘換成加，加換成乘，0 換成 1 ，1 換成 0，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到的結(jié)果就是 Y 的反。注意： 遵守“括號(hào)、乘、加”的運(yùn)算優(yōu)先次序。 （即保持運(yùn)算順序與原式相同） 不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保留不變。若則若則2.4.3 對(duì)偶定理對(duì)偶式：對(duì)于任何一個(gè)邏輯式 Y， 若將其中的 “” 換成 “+”， “+” 換成 “”，0 換成 1，1 換成 0， 則得到一個(gè)新的邏輯式 YD， 則 YD 叫做 Y 的對(duì)偶式。若則若則對(duì)偶定理：若兩邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也相等。已知根據(jù)對(duì)偶定理，則2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法2.5.1 邏輯函數(shù) 若以

10、邏輯變量為輸入，運(yùn)算結(jié)果為輸出，則輸入變量值確定以后，輸出的取值也隨之而定。輸入/輸出之間是一種函數(shù)關(guān)系。 表示為： Y=F(A,B,C,) 任何一個(gè)具體的因果關(guān)系都可以用一個(gè)邏輯函數(shù)描述。 注：在二值邏輯中，輸入/輸出都只有兩種取值0/1。例: 三人表決電路： 三人A、B、C當(dāng)中有兩人或兩人以上同意時(shí)，表決結(jié)果Y為通過，否則表決結(jié)果Y為沒通過。表決結(jié)果Y的狀態(tài)（通過與沒通過）是三人A、B、C狀態(tài)（同意與不同意）的函數(shù)。邏輯函數(shù)為：2.5.2 邏輯函數(shù)的表示方法真值表邏輯式邏輯圖波形圖卡諾圖計(jì)算機(jī)軟件中的描述方式各種表示方法之間可以相互轉(zhuǎn)換1.邏輯真值表將輸入變量所有的取值下對(duì)應(yīng)的輸出值 找出

11、來列成表格，即可得到邏輯真值表。輸入變量A B C輸出Y1 Y2 遍歷所有可能的輸入變量的取值組合輸出對(duì)應(yīng)的取值以三人表決電路為例，輸入變量A、B、C為1表示同意，0表示不同意，輸出（函數(shù)）Y為1表示通過，0表示沒通過。A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111三人表決電路真值表2.邏輯函數(shù)式把輸入與輸出之間的邏輯關(guān)系寫成與、或、非等運(yùn)算的組合式，就得到了邏輯函數(shù)式。根據(jù)電路功能的要求和與、或的邏輯定義，三人表決電路的邏輯函數(shù)式為：000101110 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1Y

12、A B C三人表決電路真值表3.邏輯圖ABYACBC將邏輯函數(shù)中各變量之間的與、或、非等邏輯關(guān)系，用圖形符號(hào)表示出來，就可畫出表示函數(shù)關(guān)系的邏輯圖。 將輸入變量所有取值可能與對(duì)應(yīng)輸出按時(shí)間順序排列起來，就得到表示該邏輯函數(shù)的波形圖。4.波形圖舉重裁判電路的波形圖卡諾圖EDA中的描述方式 HDL (Hardware Description Language) VHDL (Very High Speed Integrated Circuit ) Verilog HDL 5.各種表示方法間的互相轉(zhuǎn)換 從真值表寫出邏輯函數(shù)式 一般方法：（1）找出真值表中使邏輯函數(shù)為1的那些輸入變量取值的組合。（2）每

13、組輸入變量取值的組合對(duì)應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)， 其中取值為 1 的寫入原變量， 取值為 0 的寫入反變量。（3）將這些乘積項(xiàng)相加，即得輸出的邏輯函數(shù)式。A B C Y0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0例 ：已知一個(gè)奇偶判斷函數(shù)的真值表如圖所示，試寫出它的邏輯函數(shù)式。這三種取值的任何一種都使Y=1,所以 Y= ? 從邏輯函數(shù)式列出真值表將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一代入邏輯式, 求出函數(shù)值，列成表。例：已知邏輯函數(shù)表達(dá)式：求它對(duì)應(yīng)的真值表。A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1

14、 111110011解： 從邏輯函數(shù)式畫出邏輯圖用圖形符號(hào)代替邏輯函數(shù)式中的運(yùn)算符號(hào)。例 ：已知邏輯函數(shù)式為，畫出對(duì)應(yīng)的邏輯圖。 從邏輯圖寫出邏輯函數(shù)式從輸入端到輸出端逐級(jí)寫出每個(gè)圖形符號(hào)對(duì)應(yīng)的邏輯式，即可得到對(duì)應(yīng)的邏輯式。A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101100101 從波形圖寫出真值表 從真值表畫出波形圖A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100000111真值表 邏輯式 邏輯圖2.5.3 邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式 最小項(xiàng)之和 最大項(xiàng)之積一、最小項(xiàng)和最大項(xiàng)1. 最小項(xiàng)定義：在n

15、變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個(gè)因子的乘積項(xiàng)，而且這幾個(gè)變量均以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次，則稱m為該組變量的最小項(xiàng)。最小項(xiàng)舉例：兩變量A, B的最小項(xiàng)三變量A,B,C的最小項(xiàng) n變量的最小項(xiàng)應(yīng)為2n個(gè)。 輸入變量的每一組取值，都使一個(gè)對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)的值等于1。為方便，可把每個(gè)最小項(xiàng)用一個(gè)號(hào)碼表示，這個(gè)號(hào)碼為使其為1的取值對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。如A=1、B=0、C=1時(shí)，ABC=1。因此本最小項(xiàng)的號(hào)碼為5，表示為m5m0m1m2m3m4m5m6m7012345670 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C編號(hào)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)使最小項(xiàng)為1的變量取值最小

16、項(xiàng)三變量最小項(xiàng)的編號(hào)表最小項(xiàng)的性質(zhì)在輸入變量任一取值下，有且僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1。全體最小項(xiàng)之和為1 。任何兩個(gè)最小項(xiàng)之積為0 。兩個(gè)相鄰的最小項(xiàng)之和可以合并，消去一對(duì)因子，只留下公共因子。 -相鄰：僅一個(gè)變量不同的最小項(xiàng) 如 2. 最大項(xiàng) n變量的最大項(xiàng)應(yīng)為2n個(gè)。 輸入變量的每一組取值，都使一個(gè)對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)的值等于0。 使某個(gè)最大項(xiàng)為0的這組取值對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)作為該最大項(xiàng)的編號(hào)。定義：在n變量邏輯函數(shù)中，若M為n個(gè)變量之和，而且這幾個(gè)變量均以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)一次，則稱M 為該組變量的最大項(xiàng)。如：兩變量A, B的最大項(xiàng)最大項(xiàng)使最大項(xiàng)為0的變量取值對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)編號(hào)A B C0

17、 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101234567M0M1M2M3M4M5M6M7三變量最大項(xiàng)的編號(hào)表最大項(xiàng)的性質(zhì)在輸入變量任一取值下，有且僅有一個(gè)最大項(xiàng)的值為0；全體最大項(xiàng)之積為0；任何兩個(gè)最大項(xiàng)之和為1；只有一個(gè)變量不同的最大項(xiàng)的乘積等于各相同變量之和。最大項(xiàng)和最小項(xiàng)之間的關(guān)系例：已知最小項(xiàng)二、邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和形式：全部由最小項(xiàng)相加而構(gòu)成的與-或表達(dá)式（標(biāo)準(zhǔn)與或式）利用可以把任何一個(gè)邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式。例：例 ：將邏輯函數(shù)展開為最小項(xiàng)之和的形式。三、邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)之積形式（標(biāo)準(zhǔn)或與式）方法1：先用A+BC=(A+B)(A+C)

18、變成或與式再用 將缺少的變量補(bǔ)齊例：將邏輯函數(shù)展開成最大項(xiàng)之積的形式。方法2：若給定邏輯函數(shù)最小項(xiàng)之和表達(dá)式：可得其反函數(shù)最小項(xiàng)之和表達(dá)式：則該邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)之積形式為：例：將邏輯函數(shù)展開成最大項(xiàng)之積的形式。2.5.4 邏輯函數(shù)形式的變換 同一邏輯函數(shù)可以有不同的表達(dá)式；表達(dá)式不同，實(shí)現(xiàn)電路所選用的器件就不同例：將邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化為與非-與非形式二次取反以后再介紹如何轉(zhuǎn)換為與或非形式或非-或非形式2.6 邏輯函數(shù)的化簡法最簡與或式 -包含的乘積項(xiàng)已經(jīng)最少，每個(gè)乘積項(xiàng)的因子也最少，稱為最簡的與-或邏輯式。 同一邏輯函數(shù)可以有不同的表達(dá)式。表達(dá)式簡單，使用的元器件就少?；喌哪康模旱玫竭壿嫼瘮?shù)的最簡

19、形式。2.6.1公式化簡法 反復(fù)應(yīng)用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項(xiàng)和多余的因子。以得到函數(shù)式的最簡形式。 一、并項(xiàng)法利用公式二、吸收法利用公式3.消項(xiàng)法利用公式四、消因子法利用公式五、配項(xiàng)法 根據(jù)公式可在邏輯函數(shù)式中重復(fù)寫入某一項(xiàng)。 根據(jù)公式可在邏輯函數(shù)式中的某一項(xiàng)乘然后拆成兩項(xiàng)分別與其他項(xiàng)合并。綜合法另一方法：2.6.2 卡諾圖化簡法一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法 將n變量的全部最小項(xiàng)各用一個(gè)小方塊表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰地排列起來，所得到的圖形叫做n變量的卡諾圖。實(shí)質(zhì)：將邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和形式以圖形的方式表示出來，也可看為圖形化的真值表。表示最小項(xiàng)的卡諾圖二變

20、量卡諾圖 三變量的卡諾圖4變量的卡諾圖五變量的卡諾圖 因?yàn)榭ㄖZ圖的每個(gè)小方格對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)，而任一邏輯函數(shù)都可變換成最小項(xiàng)表達(dá)式。所以，可以用n變量的卡諾圖表示n變量的任一邏輯函數(shù)。1. 將函數(shù)表示為最小項(xiàng)之和的形式2. 在卡諾圖上與這些最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置上添入1，其余地方添0。方法：任何一個(gè)邏輯函數(shù)，都等于它的卡諾圖中添入 1 的那些最小項(xiàng)之和。例：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)解：先將邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式，1111100000000000ABCD00 01 11 1000 01 11 10Y畫出四變量最小項(xiàng)的卡諾圖。在對(duì)應(yīng)函數(shù)式中各最小項(xiàng)的位置上填入1，其余位置上填入0。再根據(jù) 先將邏輯式變換

21、成最小項(xiàng)之和的形式再填卡諾圖的方法有時(shí)比較繁瑣、易出錯(cuò)，所以經(jīng)常采用觀察法填寫卡諾圖。例：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)通過觀察函數(shù)發(fā)現(xiàn)當(dāng)A=0、B=1、C=0、D=1時(shí)函數(shù)為1，A=1、B=0、D=0時(shí)函數(shù)為1，A=1、C=1、D=1函數(shù)為1。1111100000000000ABCD00 01 11 1000 01 11 10Y例：已知邏輯函數(shù)的卡諾圖，寫出該函數(shù)的邏輯式。1000100000000101ABCD00 01 11 1000 01 11 10Y解：函數(shù)Y等于卡諾圖中填入1的那些最小項(xiàng)之和， 所以可得：已知邏輯函數(shù)的卡諾圖還可以寫出邏輯式二、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)依據(jù)：具有相鄰性的最小項(xiàng)可以

22、合并，消去不同因子。 在卡諾圖中，最小項(xiàng)的相鄰性可以從圖形中直觀地反映出來。即邏輯相鄰在卡諾圖中位置相鄰。1、合并最小項(xiàng)的原則：兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去一個(gè)有0、1變化的變量四個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去二個(gè)有0、1變化的變量八個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去三個(gè)有0、1變化的變量0110101100 01 11 1001ABC0100111010110100ABCD00 01 11 1000 01 11 10Y合并兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)的情況：1111111100 01 11 1001ABC1101111111111101ABCD00 01 11 1000 01 11 10Y合并四個(gè)相鄰最小

23、項(xiàng)的情況：1001111111111001ABCD00 01 11 1000 01 11 10YB合并八個(gè)相鄰最小項(xiàng)的情況：2、卡諾圖化簡的步驟：畫出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖。用圈圈的方法合并相鄰的最小項(xiàng)。將化簡后的乘積項(xiàng)相加得到函數(shù)的最簡表達(dá)式圈圈的原則： 所有1均被圈到-包含所有的最小項(xiàng) 圈盡可能大-每個(gè)乘積項(xiàng)包含的因子最少 圈盡可能少-所有的乘積項(xiàng)數(shù)目最少 每個(gè)圈應(yīng)至少包含一個(gè)新的1格，否則這個(gè)圈是多余的圈圈的順序： 先圈只有一種圈法的1格0000110011101011ABCD00 01 11 1000 01 11 100000110011101011ABCD00 01 11 1000 01 11 10例：將對(duì)應(yīng)下面卡諾圖的函數(shù)化為最簡與或式不最簡例：將對(duì)應(yīng)下面卡諾圖的函數(shù)化為最簡與或式0100011111100010ABCD00 01 11 1000 01 11 100100011111100010ABCD00 01 11 1000 01 11 10有多余項(xiàng) 00 01 1 1 1 001ABC例：例： 00 01 1 1 1 00011111101ABC例： 00 01 1 1 1