DMU-對(duì)坐標(biāo)的曲線積分課件

1、 大 連 海 事 大 學(xué) 數(shù) 學(xué) 系王志平2005年11月高等數(shù)學(xué)第十章積分學(xué) 定積分二重積分三重積分積分域 區(qū)間域 平面域 空間域 曲線積分曲線域曲面域曲線積分曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分 第十章 曲線積分與曲面積分第一節(jié) 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分第二節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 第三節(jié) 格林公式及其應(yīng)用 第四節(jié) 曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件第五節(jié) 對(duì)面積的曲面積分第六節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分第七節(jié) 高斯公式 通量 散度第八節(jié) 斯托克斯公式 環(huán)流量 與旋度第一節(jié) 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 定義及性質(zhì) 計(jì)算 總結(jié)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分定義 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分定義：

2、設(shè) L 是xoy面內(nèi)的一條光滑曲線弧, f(x,y)在 L上有界, 都存在,L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,記作若通過(guò)對(duì) L 的任意分割局部的任意取點(diǎn), 下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)，L 稱為積分弧段 .注：和對(duì)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分性質(zhì)（k 為常數(shù))( L由 組成) ( l 為曲線弧 L 的長(zhǎng)度)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化定理:且上的連續(xù)函數(shù),解釋:是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分弧微分： 又(x,y)在L上 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分如果曲線 L 的方程為則有如果方程為極坐標(biāo)形式:則推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則例1. 計(jì)算其中 L 是拋

3、物線與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 解:上點(diǎn) O (0,0)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分注：化為定積分時(shí)上限一定大于下限例2. 計(jì)算曲線積分 其中為螺旋的一段弧.解: 線對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分例3. 計(jì)算其中為球面 被平面 所截的圓周. 解: 由對(duì)稱性可知對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分也有類似于重積分的對(duì)稱性對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分質(zhì)量質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分總結(jié)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分第二節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 定義及性質(zhì) 計(jì)算 兩類曲線積分之間的關(guān)系 總結(jié)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1. 引例: 變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用從點(diǎn) A 沿光滑曲線弧 L 移動(dòng)到點(diǎn) B,

4、 “大化小” “常代變”“近似和” “取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:變力所作的功W.對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分1) “大化小”.2) “常代變”把L分成 n 個(gè)小弧段,有向小弧段近似代替, 則有所做的功為F 沿則用有向線段 上任取一點(diǎn)在3) “近似和”4) “取極限”(其中 為 n 個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度)記作對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分2. 定義.設(shè) L 為xoy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑弧,若對(duì) L 的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn), 都存在,在有向弧 L 上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.在L 上定義了一個(gè)向量函數(shù)極限記作對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì) x

5、的曲線積分;對(duì) y 的曲線積分.若 為空間曲線弧 , 記若記, 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也可寫作類似地, 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分性質(zhì) 定積分是第二類曲線積分的特例.說(shuō)明: 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向 !對(duì)坐標(biāo)的曲線積分計(jì)算定理:在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),證明: 下面先證存在, 且有對(duì)應(yīng)參數(shù)設(shè)根據(jù)定義對(duì)應(yīng)參數(shù)同理可證對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分若 L 的方程為則對(duì)空間光滑曲線弧 :類似有對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分例2. 求其中從 z 軸正向看為順時(shí)針?lè)较?解: 取 的參數(shù)方程對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分兩類曲線積分之間的關(guān)系設(shè)有向光滑弧 L 參數(shù)方程

6、為則L上(x,y)處的切向量為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系對(duì)坐標(biāo)的曲線積分類似地, 在空間曲線 上的兩類曲線積分的聯(lián)系是令記 A 在 t 上的投影為則對(duì)坐標(biāo)的曲線積分總結(jié)第三節(jié) 格林公式及其應(yīng)用 格林公式 格林公式的應(yīng)用 總結(jié)格林公式及其應(yīng)用格林公式復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域格林公式及其應(yīng)用yxoab格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用格林公式的應(yīng)用1.直接用格林公式及其應(yīng)用2. L不封閉，取L+l封閉格林公式及其應(yīng)用3. P(x,y), Q(x,y)一階偏導(dǎo)不連續(xù)A. 代入法：將積分弧段的方程直接代入分母中。B. 直接法格林公式及其應(yīng)用C. 將不連續(xù)的點(diǎn)挖去（積分弧的方程與分母不同）格林公式及其應(yīng)用格林公

7、式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用4. 求二重積分格林公式及其應(yīng)用5. 求面積格林公式及其應(yīng)用總結(jié)第四節(jié) 曲線積分與路徑無(wú)關(guān) 曲線積分與路徑無(wú)關(guān) 全微分求積 題型 小結(jié)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)GyxoBA曲線積分與路徑無(wú)關(guān)則稱曲線積分定義：如果在區(qū)域 G 內(nèi)有在 G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān),否則稱為與路徑有關(guān)。曲線積分與路徑無(wú)關(guān)平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件定理. 設(shè)D 是單連通域 ,在D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有(2) 對(duì)D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分(3)(4) 在 D 內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無(wú)關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià):在 D 內(nèi)是某一函數(shù)的全微

8、分,即 格林公式及其應(yīng)用說(shuō)明: 積分與路徑無(wú)關(guān)時(shí), 曲線積分可記為 證明： (1) (2)設(shè)為D 內(nèi)任意兩條由A 到B 的有向分段光滑曲線,則(根據(jù)條件(1)格林公式及其應(yīng)用 (2) (3)在D內(nèi)取定點(diǎn)因曲線積分則同理可證因此有和任一點(diǎn)B( x, y ),與路徑無(wú)關(guān),有函數(shù) (3) (4)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得則P, Q 在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有格林公式及其應(yīng)用 (4) (1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖) ,利用格林公式 , 得所圍區(qū)域?yàn)樽C畢格林公式及其應(yīng)用對(duì)坐標(biāo)的曲線積分說(shuō)明:根據(jù)定理 , 若在某區(qū)域內(nèi)則2) 可用積分法求d u = P d

9、x + Q dy在域 D 內(nèi)的原函數(shù):及動(dòng)點(diǎn)或則原函數(shù)為取定點(diǎn)1) 計(jì)算曲線積分時(shí), 可選擇方便的積分路徑;例1. 驗(yàn)證是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求出這個(gè)函數(shù). 證: 設(shè)則由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使。對(duì)坐標(biāo)的曲線積分曲線積分與路徑無(wú)關(guān)題型1. 與路徑無(wú)關(guān)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)1. 與參數(shù)有關(guān) 曲線積分與路徑無(wú)關(guān)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)小結(jié)第五節(jié) 對(duì)面積的曲面積分 概念 重要結(jié)論 對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算對(duì)面積的曲面積分概念對(duì)面積的曲面積分定義:設(shè) 為光滑曲面,“乘積和式極限” 都存在,的曲面積分其中 叫做積分曲面.據(jù)此定義, 曲面

10、形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為f (x, y, z) 是定義在 上的一 個(gè)有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對(duì) 做任意分割和局部區(qū)域則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 上對(duì)面積任意取點(diǎn),對(duì)面積的曲面積分性質(zhì)：對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分計(jì)算定理: 設(shè)有光滑曲面f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有則曲面積分證明: 由定義知而對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分例2. 計(jì)算其中 是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面. 解: 設(shè)上的部分, 則與 原式 = 分別表示 在平面 對(duì)面積的曲面積分第六節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 有向

11、曲面及投影 定義及性質(zhì) 計(jì)算 兩類曲面積分之間的關(guān)系 總結(jié) 曲面分類雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分有向曲面及投影其方向用法向量指向表示 :方向余弦 0 為前側(cè) 0 為右側(cè) 0 為上側(cè) 0 時(shí),說(shuō)明流入 的流體質(zhì)量少于 當(dāng) 0 時(shí),說(shuō)明流入 的流體質(zhì)量多于流出的, 則單位時(shí)間通過(guò) 的流量為 當(dāng) = 0 時(shí),說(shuō)明流入與流出 的流體質(zhì)量相等 . 流出的, 表明 內(nèi)有泉; 表明 內(nèi)有洞 ;根據(jù)高斯公式, 流量也可表為高斯公式 通量 散度方向向外的任一閉曲面 , 記 所圍域?yàn)? 設(shè) 是包含點(diǎn) M 且為了揭示場(chǎng)

12、內(nèi)任意點(diǎn)M 處的特性, 在式兩邊同除以 的體積 V, 并令 以任意方式縮小至點(diǎn) M 則有此式反應(yīng)了流速場(chǎng)在點(diǎn)M 的特點(diǎn): 其值為正,負(fù)或 0, 分別反映在該點(diǎn)有流體涌出, 吸入, 或沒有任何變化. 高斯公式 通量 散度定義:設(shè)有向量場(chǎng)其中P, Q, R 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 是場(chǎng)內(nèi)的一片有向 則稱曲面, 其單位法向量 n, 為向量場(chǎng) A 通過(guò)有向曲面 的通量(流量) .在場(chǎng)中點(diǎn) M(x, y, z) 處 稱為向量場(chǎng) A 在點(diǎn) M 的散度.記作divergence高斯公式 通量 散度表明該點(diǎn)處有正源, 表明該點(diǎn)處有負(fù)源, 表明該點(diǎn)處無(wú)源, 散度絕對(duì)值的大小反映了源的強(qiáng)度.若向量場(chǎng) A 處處有 ,

13、 則稱 A 為無(wú)源場(chǎng). 例如, 勻速場(chǎng) 故它是無(wú)源場(chǎng).說(shuō)明: 由引例可知, 散度是通量對(duì)體積的變化率, 且高斯公式 通量 散度*例5.置于原點(diǎn), 電量為 q 的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為解: 計(jì)算結(jié)果與僅原點(diǎn)有點(diǎn)電荷的事實(shí)相符. 高斯公式 通量 散度設(shè)小結(jié)高斯公式 通量 散度第八節(jié) 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度定理. 設(shè)光滑曲面 的邊界 是分段光滑曲線, (斯托克斯公式)的一個(gè)空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 的側(cè)與 的正向符合右手法則, 則有在包含 在內(nèi)或記為斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度例1. 利用斯托克斯公式計(jì)算積分其中為平面 x+ y+ z = 1

14、被三坐標(biāo)面解: 記三角形域?yàn)? 取上側(cè),則所截三角形的整個(gè)邊界, 方向如圖所示. 利用對(duì)稱性例2. 為柱面與平面 y = z 的交線,從 z 軸正向看為順時(shí)針, 計(jì)算解: 設(shè)為平面 z = y 上被 所圍橢圓域 ,且取下側(cè),利用斯托克斯公式得則其法線方向余弦斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度斯托克斯公式設(shè)曲面 的法向量為 曲線 的單位切向量為則斯托克斯公式可寫為 環(huán)流量與旋度斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度令 , 引進(jìn)一個(gè)向量記作向量 rot A 稱為向量場(chǎng) A 的稱為向量場(chǎng)A定義: 沿有向閉曲線 的環(huán)流量.或于是得斯托克斯公式的向量形式 : 旋度 .ro

15、tation斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度設(shè)某剛體繞定軸 l 轉(zhuǎn)動(dòng),M為剛體上任一點(diǎn), 建立坐標(biāo)系如圖,則角速度為 ,點(diǎn) M 的線速度為(此即“旋度”一詞的來(lái)源)旋度的力學(xué)意義:斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度向量場(chǎng) A 產(chǎn)生的旋度場(chǎng) 穿過(guò) 的通量 注意 與 的方向形成右手系! 為向量場(chǎng) A 沿 的環(huán)流量斯托克斯公式的物理意義:例4.求電場(chǎng)強(qiáng)度 的旋度 .解: (除原點(diǎn)外)高斯(1777 1855)德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家, 是與阿基米德, 牛頓并列的偉大數(shù)學(xué)家, 他的數(shù)學(xué)成就遍及各個(gè)領(lǐng)域 , 在數(shù)論、 級(jí)數(shù)、復(fù)變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面均有一系列開創(chuàng)性的貢獻(xiàn), 他還十分重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用, 地測(cè)量學(xué)和磁學(xué)的研究中發(fā)明和發(fā)展了最小二乘法、 曲面論和位勢(shì)論等. 他在學(xué)術(shù)上十分謹(jǐn)慎, 原