振動理論及工程應(yīng)用8-第八章-振動分析的有限元法課件

1、第8章 振動分析的有限元法 有限元法是力學(xué)模型系統(tǒng)上近似的數(shù)值計算方法。它先將要分析的工程結(jié)構(gòu)模型，假想地分割成有限個單元，組成離散化模型。 各個單元之間在單元的外節(jié)點處互相連接起來。然后導(dǎo)出各單元體的運動方程，然后由各個單元的運動方程組合而形成原工程結(jié)構(gòu)的有限元運動方程。 有限元法中分析的結(jié)構(gòu)，是一個由有限個單元組成的與原結(jié)構(gòu)非常接近的離散系統(tǒng)。計算所得結(jié)果的精確程度取決于單元體的劃分。 有限元計算的基本過程： （1）將結(jié)構(gòu)離散化，即把結(jié)構(gòu)劃分成離散的單元。 （2）考慮單元的性質(zhì)，建立單元的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣、載荷矩陣，推導(dǎo)出單元體的運動方程式。 （3）組合各單元的質(zhì)量矩陣、剛度矩

2、陣、阻尼矩陣，得到整個離散系統(tǒng)的運動方程。 （4）解特征方程，求出頻率與振型。 （5）求解動力響應(yīng)問題。 有限元法中采用的單元類型很多，其形狀、大小可以變化，各單元互相之間也容易連接，因此它能適應(yīng)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，也適用于各種不同的邊界條件。 有限元法中的分析順序是比較固定的，因此便于計算機(jī)計算，并有標(biāo)準(zhǔn)程序和通用程序。 取一單元體，設(shè)單元體的動能為T，應(yīng)變能為U，阻尼消耗的能量為Wd，外力的勢能為We。建立拉格朗日函數(shù)為 8.1 單元體的運動方程式 設(shè)q為單元體中任一點的位移矢量，qe為單元體上各節(jié)點的位移矢量，它是時間t的函數(shù)。令單元體中任一點的位移矢量q用單元體上各節(jié)點的位移矢量qe表示為 式

3、中N為形函數(shù)矩陣，它是坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。 式中u(t)、v(t)、w(t)分別表示該點沿x、y、z方向的位移，它們都是時間t的函數(shù)。 單元體中任一點的位移矢量q又可表示為式中r為單元體積的質(zhì)量單元體的動能為單元體中任一點的速度矢量可表示為 D為應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系矩陣，又稱為彈性矩陣，所以單元體的應(yīng)變能為由彈性力學(xué)公式，應(yīng)變與位移的關(guān)系為 式中B為應(yīng)變位移關(guān)系矩陣，是幾何矩陣，與t無關(guān)。單元體上的應(yīng)力為 設(shè)單元體振動時，阻尼系數(shù)為c，則阻尼力為 。單元體上阻尼力所消耗的能量Wd為 單元體上所受的外力分為兩部分，即體積力FV和表面力FS。它們的勢能分別為拉格朗日函數(shù)由哈密爾頓原理，將其在時間區(qū)間(t

4、1,t2)上對L積分，并使其變分等于零，考慮到D的對稱性后，有 式中qe(t1)=0，qe(t2)=0，則只剩下第二項。應(yīng)用分步積分公式，上式的第二項有用同樣的方法可得到令于是變分式成為 由于單元位移的變分 是任取的，所以可由式得到單元的運動方程為 由此得到 Keq、Meq、Ceq、Feq分別表示單元體的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和載荷矩陣 8.2 單元體的特性分析 在有限元中，形函數(shù)的作用十分重要，因為單元形狀和相應(yīng)的形函數(shù)確定以后，其它運算可依照標(biāo)準(zhǔn)步驟和普遍公式進(jìn)行。單元上任一點的位移用節(jié)點的位移表示為8.2.1 形函數(shù)矩陣N用u、v、w表示一點在空間沿x、y、z方向的位移 式中Ni為

5、形函數(shù)，ui、vi、wi是第i個節(jié)點的位移。形函數(shù)Ni是單元內(nèi)部坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，它所滿足的條件是： (1) 在節(jié)點i處， Ni =1; (2) 在其它節(jié)點處， Ni =0; (3) 滿足 Ni =1 。 用它定義的未知量u、v、w保證了相鄰單元間的連續(xù)性。 為了保證收斂于精確解，形函數(shù)應(yīng)包含任意線性項和使單元包含有常應(yīng)變狀態(tài)和剛體位移。 單元的形狀越復(fù)雜，形函數(shù)的階次就越高，單元適應(yīng)能力就越強(qiáng)。 形函數(shù)矩陣為寫成矩陣形式于是得到形函數(shù)的邊界條件 在一維單元中，有二個節(jié)點，節(jié)點的位移為u1(t) u2(t) 。設(shè)單元上距1點距離為x點的位移為 式中N1(x)、N2(x)為形函數(shù)也稱為插值函數(shù)，它

6、們應(yīng)使點的位移滿足單元的邊界條件，即 滿足 Ni =1 。所以對于一維單元，形函數(shù)矩陣為 設(shè)形函數(shù)Ni（x）=ai+bix，包含常數(shù)項和線性項。將邊界條件代入可得形函數(shù)是用局部坐標(biāo)在單元中定義的。 對于二維單元（，），正方形單元有4個節(jié)點，經(jīng)推導(dǎo)可得其形函數(shù)為 引入新的變量0=i，0=i。其中i、i為節(jié)點i的坐標(biāo)，于是上面的四個形函數(shù)可合并表示為（i = 1，2，3，4） 對于三維單元（，），正六面體，將坐標(biāo)原點取在單元形心上，單元邊界是六個平面 =1， =1， =1，單元有8個節(jié)點，經(jīng)推導(dǎo)可得其形函數(shù)為（i = 1，2，3，4，5，6，7，8） 對于其它單元的形函數(shù)可參閱有關(guān)書籍。8.2.2

7、 應(yīng)變位移關(guān)系矩陣B 將位移函數(shù)矩陣表達(dá)式，代入由彈性力學(xué)的應(yīng)變與位移的關(guān)系其中子矩陣為可得到 決定了應(yīng)變與形函數(shù)之間的關(guān)系對于一維單元，可求得B為即其中E為彈性模量，G為剪切彈性模量，為泊松比8.2.3 彈性矩陣D材料力學(xué)中的廣義虎克定律剪應(yīng)變與剪應(yīng)力的關(guān)系為寫成矩陣形式 對于平面應(yīng)力問題，z=xz=yz=0，可得到應(yīng)力與應(yīng)變的彈性方程平面應(yīng)力問題的彈性矩陣為平面應(yīng)變問題的彈性矩陣為可得到單元體的運動方程式 將以上推導(dǎo)的形函數(shù)矩陣N，應(yīng)變與位移的關(guān)系矩陣B，彈性矩陣D代入以下有關(guān)方程 計算的質(zhì)量矩陣稱為一致質(zhì)量矩陣，它總是正定的。如果選擇的位移函數(shù)接近真實位移，那么計算的結(jié)果比較正確，頻率與

8、振型比較可靠，接近頻率的上界。但是它是一個滿矩陣。 8.2.4 質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣的計算公式為 另一種質(zhì)量矩陣。即將單元體的質(zhì)量簡單地分配于單元的節(jié)點上，每個節(jié)點上分配到質(zhì)量的多少，要根據(jù)該節(jié)點所管轄的范圍而定，這樣得到的質(zhì)量矩陣稱為集中質(zhì)量矩陣，它是一個對角矩陣。一般應(yīng)用集中質(zhì)量矩陣得到的頻率比較偏低。 其中m為三角形單元體的質(zhì)量，計算的頻率接近實際頻率的上界。 以平面問題中的三角形單元，其一致質(zhì)量矩陣為 如果用集中質(zhì)量矩陣，則只要將單元的質(zhì)量一分為三，集中作用在三個節(jié)點上，即 對角矩陣。得到的頻率比實際頻率偏低。 在有限元法中，所用的坐標(biāo)系是局部坐標(biāo)系，由于單元在空間的局部坐標(biāo)系不同。但描述

9、整個結(jié)構(gòu)的運動，需要選擇一個統(tǒng)一的坐標(biāo)系，稱為總體坐標(biāo)系。在分析計算時，必須將單元特征的各個方程通過方向余弦矩陣轉(zhuǎn)換到總體坐標(biāo)系中。 設(shè) 為總體坐標(biāo)系，x，y，z為局部坐標(biāo)系，其方向余弦矩陣為8.3 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 式 中表示軸x與 軸之間夾角的余弦等等。則有將以上兩位移分量式合并，可寫成 同樣位移矢量間也適用此交換關(guān)系。對于平面二維系統(tǒng)單元 除了某些單元在空間具有相同的方位，即其局部坐標(biāo)系是平行的情況外，不同單元的矩陣L是不同的。由于l表示兩個正交軸系間的一種變換，所以矩陣L是正交的，即 。 特例：在平面結(jié)構(gòu)的特殊情況下，所有各單元的局部坐標(biāo)系中，都有一根坐標(biāo)z軸與總體坐標(biāo)系的一根z軸平行。單元體

10、上任意一點M的局部坐標(biāo)在總體坐標(biāo)系中的關(guān)系為寫為矩陣形式 稱為方向余弦矩陣。于是可得到在總體坐標(biāo)系中的該單元的運動方程式 有了變換矩陣之后，可以將單元的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣等換算至總體坐標(biāo)系中，即由單元載荷Feq按其相應(yīng)的貢獻(xiàn)疊加，可的節(jié)點載荷矢量F。于是整個結(jié)構(gòu)的運動方程式為 并將用總體坐標(biāo)系的單元質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣，按其相應(yīng)的貢獻(xiàn)疊加到總質(zhì)量矩陣、總阻尼矩陣、總剛度矩陣中。 為書寫方便，將總體坐標(biāo)系的運動方程式中的矩陣上的橫線省略。 總質(zhì)量矩陣、總阻尼矩陣、總剛度矩陣為例8.1 試用有限元法列出圖示的簡支梁的彎曲自由振動方程式。已知梁長為L，抗彎截面模量為EI，單位長度的質(zhì)量為m

11、。 解: 將梁離散分為二個單元，單元長l=L/2，現(xiàn)取其中一個單元研究，并確定形函數(shù)N及應(yīng)變與位移的關(guān)系矩陣 B。單元節(jié)點位移矢量 由于單元有四個端點位移，所以有四個待定常數(shù)a1、a2、a3、a4。寫成矩陣形式為現(xiàn)假設(shè)單元中的點的位移函數(shù)為多項式由邊界條件時得時即寫為矩陣形式由此解出四個待定常數(shù)為得到即其中于是有應(yīng)變與位移的關(guān)系矩陣B梁的應(yīng)變應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系為=E，即D = E，可求得單元剛度矩陣Keq。注意到單元剛度矩陣為單元質(zhì)量矩陣為積分得求結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣和總質(zhì)量矩陣。單元編碼 單元編碼如圖示，取統(tǒng)一的總體坐標(biāo)系，寫出結(jié)構(gòu)的位移列矩陣和單元的位移列矩陣。結(jié)構(gòu)位移列矩陣結(jié)構(gòu)位移列矩陣單元節(jié)

12、點位移轉(zhuǎn)換矩陣同理，單元節(jié)點位移轉(zhuǎn)換矩陣其中0和I都是22階子矩陣兩單元的剛度矩陣分別為總剛度矩陣其中代入上式得同樣質(zhì)量矩陣也可按類似方法疊加得到。簡支梁整個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。 因簡支梁在x = 0和x = l處，點的位移為零，即v1=v3=0，因此,可以刪去第一行、第五行及第一列、第五列 于是得簡支梁的振動方程式為將l=L/2代入，得到矩陣形式8.4 固有頻率及主振型 用有限元法求得結(jié)構(gòu)的自由振動方程式為設(shè)結(jié)構(gòu)做簡諧振動，其解為或 式中q0是位移qSe的振幅矢量，p是系統(tǒng)的固有頻率，將其代入振動方程，消去sinpt得到 用有限元法計算時，質(zhì)量矩陣總是對稱的正定矩陣，而剛度矩陣則因

13、為在考慮在考慮單元體的位移模式時，考慮了剛體位移和常應(yīng)變狀態(tài)，即各單元體都被看成是不受約束的，所以剛度矩陣是半正定的，系統(tǒng)含有剛體運動模態(tài)。為了以后計算方便，可將系統(tǒng)分為約束系統(tǒng)和無約束系統(tǒng)，對于無約束系統(tǒng)要從其中消去剛體運動模態(tài)。 對于無約束系統(tǒng)，由于剛度矩陣是奇異的，所以可以給出一些位移矢量，并滿足 它們對應(yīng)于零頻率，一個完全自由的系統(tǒng)，具有六個剛體運動模態(tài)，所以有六個零頻率，對應(yīng)這些零頻率的特征矢量，相互之間應(yīng)滿足對M的正交關(guān)系，則 利用正交關(guān)系，可以找到各位移之間的變換關(guān)系。經(jīng)過坐標(biāo)變換，可以從運動方程式中消去剛體運動模態(tài)。并使得總剛度矩陣變?yōu)閷ΨQ正定矩陣，可以求解廣義特征值和特征矢量

14、。 由于總剛度矩陣是大型稀疏矩陣，常采用子空間迭代法，行列式搜索法、雅可比方法、QL方法和迭代法等進(jìn)行計算。例8-2 求解例8-1所示簡支梁的自由振動頻率。解：由例8-1，已解出簡支梁的振動方程式為 由上述計算可見，單元劃分的太粗影響計算結(jié)果的精確度。 本題的精確解為經(jīng)計算可得例8-3 某人行中承式鋼管混凝土拱橋全長126m,主橋跨中心線間距110m，橋面全寬7m，全橋鋼結(jié)構(gòu)凈重約248t。橋高8m。本橋按超靜定結(jié)構(gòu)設(shè)計，承載主體為鋼管混凝土拱肋，拱肋兩端錨固于拱座基礎(chǔ)內(nèi)，全橋采用兩根平行、對稱的主拱肋，主拱肋采用等截面單圓鋼管結(jié)構(gòu)。平面框架由橫梁、縱梁及橋面板組成，其中橫梁為主要承載結(jié)構(gòu)，縱

15、梁為次要承載結(jié)構(gòu)。荷載直接作用于橋面，經(jīng)橫梁傳遞至吊桿，吊桿兩端分別錨于主拱肋和橫梁上，垂直與主拱肋及橋面，所有吊桿均采用不銹鋼拉桿。橋臺采用實體式鋼筋混凝土橋臺,基礎(chǔ)采用鋼筋混凝土擴(kuò)大基礎(chǔ)。求該橋的前階固有頻率和振型。 解：根據(jù)橋梁的特點，采用多種單元形成混合力學(xué)模型，其中、橫梁、縱梁、橫撐、立柱、主拱肋、立柱橫聯(lián)鋼管采用空間梁單元，吊桿采用三維桿單元，橋面采用空間殼單元。共計6920個節(jié)點，8763個單元，有限元模型如圖8-8(a)所示。計算結(jié)果如圖8-8(b)(f)所示。有限元模型 橋面豎向反對稱振型(固有頻率0.707347Hz) 橋面豎向?qū)ΨQ振型(固有頻率1.295 Hz) 兩拱及橋

16、面微扭振型(固有頻率1.345 Hz) 橋面橫向?qū)ΨQ振型(固有頻率1.741 Hz) 橋面豎向反對稱振型(固有頻率2.372 Hz) 通過建立典型的中承式鋼管混凝土拱橋空間有限元模型，利用軟件計算了其前階固有頻率和相應(yīng)的振型，從而對其動力學(xué)性能加深了了解，對中承式鋼管混凝土拱橋的設(shè)計和施工提供了一定的幫助。 8.5 系統(tǒng)的響應(yīng) 用有限元法解系統(tǒng)的響應(yīng)問題就是解動力方程組 目前普遍使用的有兩種方法，一種是振型疊加法(最低幾階振型)，另一種是逐步積分法(高頻振型)。 在振型疊加法的計算中，假定結(jié)構(gòu)的響應(yīng)能用前s個較低的振型（sn來描述,這時可以將所求的個主振型依此排列，構(gòu)成一個ns階的截斷振型矩陣。 當(dāng)然也可以用正則振型構(gòu)成截斷振型矩陣。 一、振型疊加法(最低幾階振型)， 用截斷振型矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換