非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)介與描述函數(shù)

1、CHAPTER 8roduction to Nonlinear ControlBy Hui Wanghwan FTP:9/1681Outline of Chapter 8roductionDescription Function（描述函數(shù)）Lyapunov（.夫）Stabilityysis2Outline of Section 1roductionPreview非線性系統(tǒng)特點(diǎn)非線性系統(tǒng)的意義與方法典型非線性特性的數(shù)學(xué)描述3roduction1. PreviewWith the exception of our treatment of actuator limits, all previous

2、material by the facthe book has been aimedinear systems. This is justifiedt most real-world systems exhibit (near) linear behaviorwithin a limited operating range and by the significantly enhancedinsights availablehe linear case.However, one occaally meets a problem on which the non-linearities are

3、so importantt they cannot be ignored. Thischapter isended to give a briefroduction to nonlinear control.Our objective is not to be comprehensive but to simply give somebasic extens of linear strategiest might allow a designer tomake a start on a nonlinear problem.4roduction2. 非線性系統(tǒng)特點(diǎn)非線性系統(tǒng)與線性控制系統(tǒng)相比，具

4、有一系列新的特點(diǎn)1) 線性系統(tǒng)滿足疊加原理，而非線性控制系統(tǒng)不滿足疊加原理（指同時(shí)滿足疊加性與均勻性)雖然非線性系統(tǒng)通過(guò)利用非線性濾波，可使系統(tǒng)滿足疊加性（如圖示），但不可能滿足均勻性。濾波器 I非線件 IY1Y2X1+X2濾波器 II件 II非線帶濾波器的非線性系統(tǒng)5roduction2. 非線性系統(tǒng)特點(diǎn)非線性系統(tǒng)與線性控制系統(tǒng)相比，具有一系列新的特點(diǎn)2) 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅取決于控制系統(tǒng)的固有結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而且與系統(tǒng)的初始條件以及外加輸入有關(guān)系對(duì)非線性系統(tǒng)而言，穩(wěn)定性總是針對(duì)某一平衡點(diǎn)（狀態(tài)）所謂平衡點(diǎn)（狀態(tài)）：設(shè) x ( t )f (x, t)求出滿足 f(x,)t 0的所有xe, 即

5、為非線性系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的。6roduction2. 非線性系統(tǒng)特點(diǎn)) 描述的非線性系例：對(duì)于一由非線性微分方程統(tǒng)，顯然有兩個(gè)平衡點(diǎn)，即x1=0和x2=1。將上式改寫為設(shè)t0時(shí)，系統(tǒng)的初態(tài)為x 。積分上式0 x(t)1t0一階非線性系統(tǒng)7ln x0 x0 1若初始條件x01，隨著時(shí)間 t, x(t)0，即平衡狀態(tài)x1=0是小范圍穩(wěn)定的; 當(dāng)x01時(shí)，當(dāng)t=ln(x0/(x0-1)時(shí)， x(t) ,這說(shuō)明x2=1是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。xetx(t) 01xxte00dxdt x(1 x )roduction2. 非線性系統(tǒng)特點(diǎn)非線性系統(tǒng)與線性控制系統(tǒng)相比，具有一系列新的特點(diǎn)非線性系統(tǒng)可能存在自激振蕩現(xiàn)

6、象（即維持等幅振蕩運(yùn)動(dòng)）對(duì)于二階非線性系統(tǒng)，這種自激振蕩狀態(tài)稱為極限環(huán)。非線性系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下，其輸出存在極其復(fù)雜的情況：A( )跳躍諧振和多值響應(yīng)2321.44.5 跳躍諧振與多值響應(yīng)8roduction2. 非線性系統(tǒng)特點(diǎn)分頻振蕩和倍頻振蕩非線性系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下，其穩(wěn)態(tài)分量除產(chǎn)生同頻率振蕩外，還可能產(chǎn)生倍頻振蕩和分頻振蕩。波形。輸入信號(hào)t倍頻信號(hào)t分頻信號(hào)t倍頻振蕩與分頻振蕩9roduction非線性系統(tǒng)的意義與方法3.1）實(shí)際的控制系統(tǒng)，存在著大量的非線性。這些非線性的存在，使得用線性系統(tǒng)理論進(jìn)行分析時(shí)所得出的結(jié)論，與實(shí)際系統(tǒng)的控制效果不一致。線性系統(tǒng)理論無(wú)法解釋非線性產(chǎn)生的影響

7、。2）非線性特性的存在，并不總是對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生不良影響。所10非線性系統(tǒng)的意義roduction非線性系統(tǒng)的意義與方法3.1）相平面法是用圖解的方法分析一階，二階非線性系統(tǒng)的方法。通過(guò)繪制控制系統(tǒng)相軌跡，達(dá)到分析非線性系統(tǒng)特性的方法。2）描述函數(shù)法是受線性系統(tǒng)頻率法啟發(fā)，而發(fā)展出的一種分析非線性系統(tǒng)的方法。它是一種諧波線性化的分析方法，是頻率法在非線性系統(tǒng)分析中的推廣。3）計(jì)算機(jī)求解法是利用計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力和高速度對(duì)非線性微分方程的一種數(shù)值解法。11非線性系統(tǒng)的方法roduction4. 典型非線性特性的數(shù)學(xué)描述飽和特性在電子放大器中常見(jiàn)的一種非線性，.x飽和裝置的輸入特性的數(shù)學(xué)描述如下：bkeee

8、e-e0ee0飽和特性12( t )0( tt)0 x(t) ke()tkesign(e )0roduction4. 典型非線性特性的數(shù)學(xué)描述死區(qū)特性死區(qū)特性也稱為不靈敏區(qū)，大量存在各種放大器中。其特性。其數(shù)學(xué)描述如下：e) eeekx(t)ke(t)-e0e0死區(qū)特性13( t )0( t t)0 x(t) 0e ( )esig(net0roduction4. 典型非線性特性的數(shù)學(xué)描述間隙特性存在于齒輪之間。其特性。其數(shù)學(xué)描述如下：x00t)0bkk-e0ee0-b間隙14ke( t ) e 0 ,x(t)x(k t) t ) e ,x(t)e(0bsigne(),tx(roduction4

9、. 典型非線性特性的數(shù)學(xué)描述繼電特性繼電特性是根據(jù)控制的需要，人為產(chǎn)生的一種非線性特性。在使用繼電特性時(shí)，有四種可供選擇的形態(tài)。x1）理想繼電特性M000e理想的繼電特性15x(t) ,Me M,eroduction4. 典型非線性特性的數(shù)學(xué)描述繼電特性繼電特性是根據(jù)控制的需要，人為產(chǎn)生的一種非線性特性。在使用繼電特性時(shí)，有四種可供選擇的形態(tài)。2）具有死區(qū)的繼電特性xeM(x)t 0 ee-e0 Mee00e具有死區(qū)的繼電特性16( t )0e0 e(t)0( t )0eroduction4. 典型非線性特性的數(shù)學(xué)描述繼電特性繼電特性是根據(jù)控制的需要，人為產(chǎn)生的一種非線性特性。在使用繼電特性時(shí)

10、，有四種可供選擇的形態(tài)。3）具有磁滯回環(huán)的繼電特性x,t () e, MMt ( )e-e0e0e0具有滯環(huán)的繼電特性17x(t) (e)t 0,e(t )e0; e (t)e0 0,M( )t0,e(t)e ;e (t )0 e ,e00roduction4. 典型非線性特性的數(shù)學(xué)描述繼電特性繼電特性是根據(jù)控制的需要，人為產(chǎn)生的一種非線性特性。在使用繼電特性時(shí)，有四種可供選擇的形態(tài)。xM4）具有磁滯回環(huán)和死區(qū)的繼電特性e0e,0M, e-e0-me00 m, eeee0,0me0 ee eme 0eee00,x(t) 000 e,0e0me eM ,0 e,e 00,0eme具磁滯回環(huán)和死區(qū)

11、的繼電特性18Outline of Chapter 8roductionDescription Function（描述函數(shù)）Lyapunov（夫）Stabilityysis.19Outline of Section 2描述函數(shù)法描述函數(shù)的概念典型非線性的描述函數(shù)用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)20描述函數(shù)法1. 描述函數(shù)的概念描述函數(shù)法是一種近似分析非線性系統(tǒng)的方法，它適用于具有以下特點(diǎn)的非線性系統(tǒng)。系統(tǒng)線性部分和非線性環(huán)節(jié)可以分離。如下圖所示，圖中NL為非線性環(huán)節(jié)，G為線性部分的傳遞函數(shù)。2) 非線性特性對(duì)稱特性，且輸入輸出關(guān)系為靜特性。3) 線性部分應(yīng)具良好的低通濾波特性。ry-NLG非線性系統(tǒng)典

12、型結(jié)構(gòu)示意圖21描述函數(shù)法1. 描述函數(shù)的概念若滿足以上條件，描述函數(shù)可定義為非線性環(huán)節(jié)輸出基波分量與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比。假定，給非線性環(huán)節(jié)的輸入為正弦量e(一般情況下，其輸出為周期函數(shù)，可展開(kāi)成級(jí)數(shù)t式中，由于非線性為奇對(duì)稱特性，所以A00。而12 ( x )Ad (Bt)tn0取基波分量，有Bt )A(t22) 121(0 x)t sin td ( 1 21 (x)t cos td0 1 2n ( x )d(0 x(t)A0A const B sin n2nnn 1描述函數(shù)法1. 描述函數(shù)的概念取基波分量，有Bt )A(t則基波分量x 為t )x式中即，描述函數(shù)是輸出的基波分量與輸入正弦量

13、的復(fù)數(shù)比。則描述函數(shù)定義為N由上式可知，描述函數(shù)是輸入振幅A的函數(shù)，是一個(gè)可變?cè)鲆娴姆糯笙禂?shù)。23(A) x1 e j1AA 2 2B 1111Bsin t1sin( x 1) 121(0 x)t sin td ( 1 21 (x)t cos td0描述函數(shù)法2. 典型非線性的描述函數(shù)xx x (t) 0b10bte(t)00bbe(t)e(t因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，x(t理想的繼電特性An0，故24理想繼電特性1)tB1sinx3(t)x(t) , be b,e 描述函數(shù)法2. 典型非線性的描述函數(shù)理想繼電特性BtN理想繼電特性的描述函數(shù)為，三次諧波系數(shù)為：Bt即，三次諧波頻率增加了3倍，而幅值減弱了

14、3倍。25 1 24 /64b3 bsin td3tsinb3td003(4 bsin t 4bA)A sin t A 1 24 /24b1 bsintdtsibntd00描述函數(shù)法2. 典型非線性的描述函數(shù)理想繼電特性理想繼電特性的描述函數(shù)為0e(0 x(t)e(t)x(t)e(t)x ( t )e(26)te(B s1int N(A)N(A) 4bAx(t) , be b,e 描述函數(shù)法2. 典型非線性的描述函數(shù)注：對(duì)于單值非線性環(huán)節(jié)的基波分量沒(méi)有相移，這類非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)是一個(gè)實(shí)數(shù)，其值隨輸入信號(hào)的振幅值大小而變化，即N僅是A的函數(shù)，如理想繼電特性，相當(dāng)于一個(gè)等效線性環(huán)節(jié)的放大系數(shù)；

15、在非單值的情況下，環(huán)節(jié)的輸出不僅與輸入有關(guān)，而且與輸入的變化情況有關(guān)。如中文版P326圖812，即使是相同的輸入，因輸入的變化不同，特性也就不同。P228330列出了常見(jiàn)非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。27描述函數(shù)法2. 典型非線性的描述函數(shù)飽和特性。該飽和特性輸入e(x(t)x(t)kte(t)e(t)飽和特性及輸入輸出波形t28描述函數(shù)法2. 典型非線性的描述函數(shù)飽和特性當(dāng)Aa時(shí)，飽和特性輸出x(t)為 t 0tttt式中由于輸出波形為奇函數(shù)A 0 ,129tg 1 A101B1 sin 1 aAKA sin x(t) KaKA sin描述函數(shù)法2. 典型非線性的描述函數(shù)飽和特性B飽和特性描述函數(shù)求

16、得如下：N飽和特性的描述函數(shù)是輸入振幅A的函數(shù)，而且是非線性關(guān)系，因此，可將描述函數(shù)看作是一可變放大系數(shù)的放大器。30B2aa a 2 (A)1 K sin 1 1 AAA A 2 2aa a 2 1 ( x)t sin td( tK)Asin 1 10AA A 描述函數(shù)法2. 典型非線性的描述函數(shù)死區(qū)特性當(dāng)輸入e(，非線性特性輸入輸出波形。x(t)x(t)k.t-aae(t)e(t)t死區(qū)特性及輸入輸出波形31描述函數(shù)法2. 典型非線性的描述函數(shù)死區(qū)特性由圖所示，當(dāng)e( aA sin 1，且Aa，式中, 死區(qū)輸出為0 t xt)att輸出為奇函數(shù)，A10 ， 1 0死區(qū)描述函數(shù)求得為N322

17、aa a 2 (A )Ksin1 1 2AA A B2 (x2 aa a 2 1 ) tsintd( tK)A sin 110 2AA A 0()(KAsin t0描述函數(shù)法3. 用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)ry-NLG非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)示意圖33描述函數(shù)法實(shí)質(zhì)上是將非線性環(huán)節(jié)近似當(dāng)作線性環(huán)節(jié)來(lái)分析和處理，其前提是系統(tǒng)具有較好的低通濾波性能。其主要用途是進(jìn)行穩(wěn)定性分析，求出系統(tǒng)出現(xiàn)極限環(huán)振蕩時(shí)的振幅和頻率的數(shù)值。前已提及，描述函數(shù)法適用于系統(tǒng)線性部分和非線性環(huán)節(jié)可以分離的系統(tǒng)。如下圖所示，圖中NL為非線性環(huán)節(jié)，G為所有線性部分的傳遞函數(shù)。描述函數(shù)法3. 用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)系統(tǒng)的閉環(huán)特性為)系

18、統(tǒng)的特征方程為1 NG( )j0由線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，當(dāng)特征方程滿足時(shí)，系統(tǒng)存在純虛根，閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)等幅振蕩，又稱為自激振蕩或極限環(huán)振蕩。即當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界。ry-NLG非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)示意圖34分部性線G(j) 1N (A)Y(j ) NG( )j R( j )1NG ( j描述函數(shù)法3. 用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)35同樣，若G (j)與 -1/N(A) 曲線相交，系統(tǒng)可能出現(xiàn)極限環(huán)振蕩，而該極限環(huán)振蕩是否穩(wěn)定，需要具體分析。將線性系統(tǒng)中的判據(jù)推廣：特征方程：G (j)1/N(A)0系統(tǒng)以G(j)是否包圍 -1/N(A) 作為是否穩(wěn)定的判據(jù)，否為穩(wěn)定?；貞浘€性系統(tǒng)中的判據(jù)：特征方程

19、：G (j)10系統(tǒng)以G(j)是否包圍(-1, j0)作為是否穩(wěn)定的判據(jù)，否為穩(wěn)定。描述函數(shù)法3. 用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)一非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，假定輸入為零，圖中N（A）為非線性A2sin環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，若xt, 則2xt)j式中N假定e則)x(ttr(t)x1x1x2x2y(t)GN(A)G12H36N ( A) G(j) (G ) j(H )jsAin( )2122(A) N (A)jG(j1) G 2(j ) H(G( )j(G ) j ( H )jsiAn(1122描述函數(shù)法3. 用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)xt如果 x2(t) 等于 x2(t)，則意味著產(chǎn)生了自激振蕩, 即 ：N(1 (

20、2 n 1 )1j )G(可見(jiàn)系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩的條件為N (A)r(t)x1x1x2x2y(t)GN(A)G12H37A )G ( 1j )G2 ( )j( H ) j2 A2sin描述函數(shù)法3. 用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng) 1公式 G(j)將乃魁判據(jù)推廣應(yīng)用于非線性系統(tǒng)，可判斷N (A)jG()不包圍系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性：線性部分為最小相位系統(tǒng)，若軌線1軌線，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若軌線包圍軌線，N (A)則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，若與相交，則意味著系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生自激振蕩，交點(diǎn)處曲線所對(duì)應(yīng)的角頻率激振蕩的角頻率，交點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的幅值A(chǔ)為自激振蕩的振幅值。自激振蕩的振幅和振蕩頻率由下面二式求得1 G (G(j )與的相互關(guān)系曲線如下頁(yè)圖所示。38 1N (A)j )N()A 1N (A)為自G(j )G(j ) 1N (A)G(j ) 1N (A)描述函數(shù)法3. 用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)ImImjG()ReRe 1N (A)G(j )(a)1N (A)(b)系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)是穩(wěn)定的39描述函數(shù)法3. 用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)ImImReRebbb1jG()1aN(A)aN(A)aj )(c)(d)G(系統(tǒng)在a、b產(chǎn)生自激振蕩系統(tǒng)不穩(wěn)定40a是不穩(wěn)定自激振蕩;b是穩(wěn)定自激振蕩。描述函數(shù)法3. 用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)Example 8-2-1 數(shù)參