龍文教育數(shù)列遞推復(fù)習(xí)學(xué)科導(dǎo)學(xué)案

1、課 題遞推數(shù)列復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)與考點(diǎn)分析1.等差數(shù)列、等比數(shù)列公式、性質(zhì)的綜合及實(shí)際應(yīng)用；2.掌握常見的求數(shù)列通項(xiàng)的一般方法；3.能綜合應(yīng)用等差、等比數(shù)列的公式和性質(zhì)，并能解決簡單的實(shí)際問題.4.用數(shù)列知識(shí)分析解決帶有實(shí)際意義的或生活、工作中遇到的數(shù)學(xué)問題.學(xué)習(xí)重點(diǎn)1.掌握常見的求數(shù)列通項(xiàng)的一般方法；3.用數(shù)列知識(shí)解決帶有實(shí)際意義的或生活、工作中遇到的數(shù)學(xué)問題學(xué)習(xí)方法學(xué)練結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容與過程 知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系任意數(shù)列的前n項(xiàng)和；注意：由前n項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，要分三步進(jìn)行：（1）求，（2）求出當(dāng)n2時(shí)的，（3）如果令n2時(shí)得出的中的n=1時(shí)有成立，則最后的通項(xiàng)公式可以統(tǒng)一寫成

2、一個(gè)形式，否則就只能寫成分段的形式.知識(shí)點(diǎn)二：常見的由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的方法1.迭加累加法：，則，2.迭乘累乘法：，則，知識(shí)點(diǎn)三：數(shù)列應(yīng)用問題1.數(shù)列應(yīng)用問題的教學(xué)已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個(gè)重要內(nèi)容,解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型,有關(guān)平均增長率、利率（復(fù)利）以及等值增減等實(shí)際問題，需利用數(shù)列知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型.2.建立數(shù)學(xué)模型的一般方法步驟.認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意，達(dá)到如下要求：明確問題屬于哪類應(yīng)用問題；弄清題目中的主要已知事項(xiàng)；明確所求的結(jié)論是什么.抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量或適當(dāng)建立坐標(biāo)系，將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá).將實(shí)際問

3、題抽象為數(shù)學(xué)問題，將已知與所求聯(lián)系起來，據(jù)題意列出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式（如函數(shù)關(guān)系、方程、不等式）.規(guī)律方法指導(dǎo)1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解決數(shù)列問題的重要思想；2.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，學(xué)習(xí)時(shí)要善于利用函數(shù)的思想來解決.如通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等.3.加強(qiáng)數(shù)列知識(shí)與函數(shù)、不等式、方程、對數(shù)、立體幾何、三角等內(nèi)容的綜合.解決這些問題要注意：（1）通過知識(shí)間的相互轉(zhuǎn)化，更好地掌握數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想；（2）通過解數(shù)列與其他知識(shí)的綜合問題，培養(yǎng)分析問題和解決問題的綜合能力.類型一：迭加法求數(shù)列通項(xiàng)公式1在數(shù)列中，求.總結(jié)升華：1. 在數(shù)列中，若為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列；若不是一個(gè)常數(shù)，而是

4、關(guān)于的式子，則數(shù)列不是等差數(shù)列.2.當(dāng)數(shù)列的遞推公式是形如的解析式，而的和是可求的，則可用多式累（迭）加法得.舉一反三：【變式1】已知數(shù)列，求.【答案】【變式2】數(shù)列中，求通項(xiàng)公式.【答案】.類型二：迭乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式2設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，求它的通項(xiàng)公式.解析：.總結(jié)升華：1. 在數(shù)列中，若為常數(shù)且，則數(shù)列是等比數(shù)列；若不是一個(gè)常數(shù)，而是關(guān)于的式子，則數(shù)列不是等比數(shù)列.2若數(shù)列有形如的解析關(guān)系，而的積是可求的，則可用多式累（迭）乘法求得.舉一反三：【變式1】在數(shù)列中，求.【答案】【變式2】已知數(shù)列中，求通項(xiàng)公式.【答案】由得， ， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，符合上式類型三：倒數(shù)法求通項(xiàng)公式3數(shù)列

5、中，,，求.總結(jié)升華：1兩邊同時(shí)除以可使等式左邊出現(xiàn)關(guān)于和的相同代數(shù)式的差，右邊為一常數(shù)，這樣把數(shù)列的每一項(xiàng)都取倒數(shù)，這又構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，而恰是等差數(shù)列.其通項(xiàng)易求，先求的通項(xiàng)，再求的通項(xiàng).2若數(shù)列有形如的關(guān)系，則可在等式兩邊同乘以，先求出，再求得.舉一反三：【變式1】數(shù)列中，求.【答案】【變式2】數(shù)列中，,，求.【答案】.類型四：待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式4已知數(shù)列中，求.總結(jié)升華：1一般地，對已知數(shù)列的項(xiàng)滿足，（為常數(shù)，）,則可設(shè)得，利用已知得即，從而將數(shù)列轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的通項(xiàng).第二種方法利用了遞推關(guān)系式作差，構(gòu)造新的等比數(shù)列.這兩種方法均是常用的方法.2若數(shù)列有形如（k、b為常數(shù)）的線性遞

6、推關(guān)系，則可用待定系數(shù)法求得.舉一反三：【變式1】已知數(shù)列中，求【答案】.【變式2】已知數(shù)列滿足,而且，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】.類型五：和的遞推關(guān)系的應(yīng)用5已知數(shù)列中，是它的前n項(xiàng)和，并且,.(1)設(shè),求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.解析：（1）.（2）.（3）是.總結(jié)升華：該題是著眼于數(shù)列間的相互關(guān)系的問題，解題時(shí)，要注意利用題設(shè)的已知條件，通過合理轉(zhuǎn)換，將非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，求得問題的解決利用等差（比）數(shù)列的概念，將已知關(guān)系式進(jìn)行變形，變形成能做出判斷的等差或等比數(shù)列，這是數(shù)列問題中的常見策略.舉一反三：【變

7、式1】設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的公比為，作數(shù)列，使，求的通項(xiàng)公式. 【變式2】若,()，求.， .【變式3】等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和，若.求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 類型六：數(shù)列的應(yīng)用題6.在一直線上共插13面小旗，相鄰兩面間距離為10m，在第一面小旗處有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，應(yīng)集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？【變式4】某種汽車購買時(shí)的費(fèi)用為10萬元，每年應(yīng)交保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)合計(jì)9千元，汽車的維修費(fèi)平均為第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差數(shù)列遞增，問這種汽車使用多少年后報(bào)廢最合算？（即年平均費(fèi)用最少）【變式5】某市2006年底有住房面積1200萬平方米，計(jì)劃從2007年起，每年拆除20萬平方米的舊住房.假定該市每年新建住房面積是上年年底住房面積的5%.（1）分別求2007年底和2008年底的住房面積；（2）求2026年底的住房面積.（計(jì)算結(jié)果以萬平方米為單位，且精確到0.01）課內(nèi)訓(xùn)練1 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.（）求；（）證明：是等比數(shù)列