中考數(shù)學(xué)圓的綜合培優(yōu)易錯(cuò)難題練習(xí)(含答案)附答案

1、一、圓的綜合真題與模擬題分類(lèi)匯編（難題易錯(cuò)題）1.如圖，CD為。的直徑，點(diǎn)8在上，連接8C、8D,過(guò)點(diǎn)8的切線4E與CD的延長(zhǎng) 線交于點(diǎn)4 ZAEO = ZC, 0E交BC于點(diǎn)F.（1）求證：OEII BDx2（2）當(dāng)00的半徑為5, sinNO8A =二時(shí)，求EF的長(zhǎng).21E5的長(zhǎng)為一 2【解析】試題分析：（1）連接0B,利用已知條件和切線的性質(zhì)證明；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)和相似三角形的性質(zhì)，直接求解即可.試題解析：（1）連接08, 二cd為00 的直徑，NCBD = NCBO+/OBD = 90。.,.ME是。的切線，ZABO = ZABD+ZOBD = 90.二 ZABD = /CB0.

2、： OB. oc是。的半徑，O8=oc. ZC = ZCB0.ZC = ZABD.：NE = NC, ZE = ZABD.OEW BD.9BD 2（2）由（1）可得 sinN C= N。8A二二，在 R3 OBE 中，sinNC= -z0C=55CD 5BD = 4:. NCBD = ZEBO = 90。/ ZE = ZC /. CBD- EBO.BD CDE吟OFII BD, CO=OD.：.CF=FB.OF = -BD = 2.2, EF = OE-OF = 22.如圖，在。中，直徑48_1弦8于點(diǎn)E,連接AC, 8C,點(diǎn)F是84延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且N FC4 = N B.求證：CF是00的

3、切線：（2）若AE=4, tanN 4CD=-,求AB和FC的長(zhǎng).【答案】見(jiàn)解析;AB=20, CF = 【解析】分析：（1）連接0C,根據(jù)圓周角定理證明0CJ_CF即可：（2）通過(guò)正切值和圓周角定理，以及NFCA = NB求出CE、BE的長(zhǎng)，即可得到AB長(zhǎng)，然 后根據(jù)直徑和半徑的關(guān)系求出0E的長(zhǎng)，再根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似（或射影定 理）證明AOCEs CFE,即可根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例求解.詳解：證明：連結(jié)0CAB是。0的直徑 Z ACB=90Z B+Z BAC=90OA=OC/. Z BAC=Z OCA; Z B=Z FCA Z FCA+Z OCA=90即N OCF=90c

4、在00上,CF是00的切線,、AE 1（2）,/ AE=4, tanZ ACD =-EC 2,CE=8直徑AB_L弦CD于點(diǎn)E*- AD = ACZ FCA=Z B.Z B=Z ACD=Z FCA.Z EOC=Z ECACE 1.tanZ B=tanZ ACD=BE 2.BE=16.AB=20.OE=AB4-2-AE=6 CEAB.Z CEO=Z FCE=90. OCE-么 CFEPC _OECFCECF = 3點(diǎn)睛：此題主要考查了圓的綜合知識(shí)，關(guān)鍵是熟知圓周角定理和切線的判定與性質(zhì)，結(jié)合 相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形的知識(shí)求解，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想是解題的 突破點(diǎn)，有一定的難度，是

5、一道綜合性的題目.如圖，AB是。0的直徑，PA是。的切線，點(diǎn)C在00上，CBII P0.（1）判斷PC與00的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由：（2）若 AB=6, CB=4,求 PC 的長(zhǎng).3【答案】（2）PC是。0的切線，理由見(jiàn)解析；（2）,正【解析】試題分析：（1）要證PC是00的切線，只要連接0C,再證N PCO=90。即可.（2）可以連接AC,根據(jù)已知先證明 ACBs PCO,再根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì) 求出PC的長(zhǎng).試題解析：（1）結(jié)論：PC是00的切線.證明：連接0C/ CBII P0/. Z P0A=Z B, Z POC=Z OCBOC=OB/. Z OCB=Z B/. Z POA=

6、Z POC又.,OA=OC, OP=OP/. APO合 CPOZ OAP=Z OCP,/ PA是。O的切線/. Z OAP=90/. Z OCP=90AB是00的直徑Z ACB=900 （6 分）由（1）知N PCO=90, Z B=Z OCB=Z POC Z ACB=Z PCOJ a ACB- PCO,BC ,ACOCPC.OC-AC 3VaB2-BC2 3/62-42 3展PC=BC-= 4二-4-=-點(diǎn)睛：本題考查了切線的判定.要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與 這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可.同時(shí)考查了勾股定理和相似三角形的性質(zhì).如圖，PA、PB是。0的切線，A, B為

7、切點(diǎn),Z-APB=60%連接P0并延長(zhǎng)與。0交于C 點(diǎn)，連接AC、BC.（I ）求N ACB的大?。唬℉）若00半徑為1,求四邊形ACBP的面積.【解析】分析：(I)連接A0,根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理，得至IJOA_LAP, OP平分N APB,然 后根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，30。角的直角三角形的性質(zhì)，得到NACB的 度數(shù)：(II)根據(jù)30。角的直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合等底同高的性質(zhì)求三角 形的面積即可.1Z APO=-Z APB=30% 2/. Z AOP=60OA=OC,/. Z OAC=Z OCA,1Z ACO=-AOP=30, 2同理可得N BCP=3

8、0Z ACB=60；(II)在 RSOPA 中，Z APO=30AP= VJ OA= 73 OP=2OA=2, 0P=20C,而 Sa opa= - xlx ,s .小 TOC o 1-5 h z AOC- -PAO-，24. c 3。 Sa acp-，4四邊形ACBP的面積=2Saacp=WE .2點(diǎn)暗：本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟練掌握切線的性質(zhì) 是解題的關(guān)鍵.5.如圖所示，以ABC的直角邊AB為直徑作圓O,與斜邊交于點(diǎn)D. E為BC邊上的中 點(diǎn)，連接DE.（1）求證：DE是。的切線：（2） ,連接OE, AE,當(dāng)N CAB為何值時(shí)，四邊形AOED是平行四邊形？

9、并在此條件下求 sinZ CAE 的值.【答案】見(jiàn)解析;亞.10【解析】分析：（1）要證DE是。0的切線，必須證EDLOD,即N EDB+N ODB=90（2）要證AOED是平行四邊形，則DEIIAB, D為AC中點(diǎn)，又BD_LAC,所以 ABC為等 腰直角三角形，所以NCAB=45。，再由正弦的概念求解即可.詳解：（1）證明：連接0、D與B、D兩點(diǎn)，,A BDC是RS ,且E為BC中點(diǎn)，/. Z EDB=Z EBD. （2 分）又OD=OB 且N EBD+Z DBO=90%, Z EDB+Z ODB=90.DE是00的切線.（2）解:丁 Z EDO=Z B=90,若要四邊形AOED是平行四邊

10、形，則DEIIAB, D為AC中點(diǎn)，又；BDJ_AC,. ABC為等腰直角三角形. Z CAB=45.過(guò)E作EHJAC于H,設(shè) BC=2k,則 EH=*k, AE=k, 匚EH V10/. sinZ CAE=AE 10s點(diǎn)睛：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心 和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可.【答案】10cm6.某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截 而的半徑.如圖，若這個(gè)輸水管道有水部分的水而寬AB=16cm,水最深的地方的高度為 4cm,求這個(gè)圓形截面的半徑.【解析】分析：先過(guò)圓心O作半徑CO_LAB,交AB于點(diǎn)

11、D設(shè)半徑為r,得出AD、OD的長(zhǎng)，在R3AOD中，根據(jù)勾股定理求出這個(gè)圓形截而的半徑.詳解：解：過(guò)點(diǎn)O作OC_LAB于D,交。O于C,連接OB,OCJLAB1 1/. BD= AB= xl6=8cm 22由題意可知，CD=4cm,設(shè)半徑為xcm,則OD=（x-4） cm在 RtA BOD 中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2（x-4）2+82=x2解得：x=10.答：這個(gè)圓形截面的半徑為10cm.點(diǎn)睛：此題考查了垂經(jīng)定理和勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行 求解.7.已知：如圖，AB是。的直徑，PB切。0于點(diǎn)B, PA交。0于點(diǎn)C, N APB是平分線 分別交BC, AB

12、于點(diǎn)D、E,交。于點(diǎn)F, Z A=60,并且線段AE、BD的長(zhǎng)是一元二次方 程x2 - kx+2 =0的兩根（k為常數(shù)）.（1）求證：PABD=PBAE：（2）求證：。的直徑長(zhǎng)為常數(shù)k：(3)求 tan/ FPA 的值.【答案】見(jiàn)解析：（2）見(jiàn)解析；（3） tanZ FPA=2 -下.【解析】試題分析：（1）由PB切。0于點(diǎn)B,根據(jù)弦切角定理，可得NPBD=NA,又由PF平分N APB,可證 得 PBD- a PAE,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得PABD=PBAE；（2）易證得BE=BD,又由線段AE、BD的長(zhǎng)是一元二次方程x? - kx+2心0的兩根（k為常 數(shù)），即可得AE+BD=

13、k,繼而求得AB=k,即：00的直徑長(zhǎng)為常數(shù)k：（3）由NA=60。，并且線段AE、BC的長(zhǎng)是一元二次方程x2-kx+2仔0的兩根（k為常 數(shù)），可求得AE與BD的長(zhǎng)，繼而求得tanZ FPB的值，則可得tanZ FPA的值. 試題解析：（1）證明：如圖，,PB切00于點(diǎn)B,，Z PBD=Z A,PF 平分 N APB, Z APE=Z BPD, PBD- PAE, PB： PA=BD： AE,/. PABD二PBAE；（2）證明：如圖，Z BED=Z A+Z EPA, Z BDE=Z PBD+Z BPD.又 Z PBD=Z A, Z EPA=Z BPD,Z BED=Z BDE.J BE=BD

14、.線段AE、BD的長(zhǎng)是一元二次方程x2-kx+2匠0的兩根（k為常數(shù)），/. AE+BD=k,/. AE+BD=AE+BE=AB=k,即。o直徑為常數(shù)k.（3） ., PB切。0于B點(diǎn)，AB為直徑.Z PBA=90.Z A=60.J3/. PB=PA/3* BE=BD=a/5，在 R3 PBA 中，PB=AB*tan600= （2+會(huì)）、仃=3+2.在 RS PBE 中，tanZ BPF=|=_=-2 -a,Z FPA=Z BPF,，tanZ FPA=2 -【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以 及根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí).此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想

15、與方程思想的應(yīng)用.（1）請(qǐng)用圓規(guī)和直尺作出OP,使圓心P在AC邊上，且與AB, BC兩邊都相切（保留作圖 痕跡，不寫(xiě)作法和證明）.（2）若N B=60, AB=3,求OP 的面積.【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2） 3九【解析】【分析】（1）與AB、BC兩邊都相切.根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知要作N ABC的角平分線，角平分線 與AC的交點(diǎn)就是點(diǎn)P的位置.（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和30。角的直角三角形的性質(zhì)可求半徑，然后求圓的面積.【詳解】解：（1）如圖所示，則。P為所求作的圓.Z ABP=30,; Z A=90%BP=2APRtA ABP 中,AB=3,由勾股定理可得：AP=JJ, SOP=3n9.

16、已知4c=DC, ACDC.直線M/V經(jīng)過(guò)點(diǎn)4 作。8JLMA/,垂足為8,連結(jié)CB.感知如圖，點(diǎn)4、8在C。同側(cè)，且點(diǎn)8在AC右側(cè)，在射線4M上截取AE=8D,連結(jié) CE,可證8C。2AEC4 從而得出C=8C, N EC8 = 90。，進(jìn)而得出NABC=度：探究如圖，當(dāng)點(diǎn)八、8在CD異側(cè)時(shí)，感知得出的N A8c的大小是否改變？若不改變，給出證明：若改變，請(qǐng)求出NA8C的大小.應(yīng)用在直線M/V繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)N8CD=30。，8D=2時(shí)，直接寫(xiě)出8c的長(zhǎng). 【答案】【感知】：45：【探究】：不改變，理由詳見(jiàn)解析；【拓展】：8c的長(zhǎng)為、3+1或/T.【解析】【分析】感知證明 BCD EC

17、A (SAS)即可解決問(wèn)題：探究結(jié)論不變，證明 BCD ECA (SAS)即可解決問(wèn)題：應(yīng)用分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題.【詳解】解：【感知】，如圖中，在射線AM上截取4E=8D,連結(jié)CE. ACDC. DBMN.N ACD=N DBA=90Q.：.Z CD8+N CAB = 180: Z C48+N C4E=180/. Z D=Z CAE, ,CD=AC, AE=BD,：. 8但 ECA (SAS),/. BC=EC. 4 BCD=N ECA,: N ACE+N ECD=90,Z ECD+N DCS = 90%即N ECB = 90, N A8c=450.故答案為45【探究】不改變.理由如

18、下：如圖，如圖中，在射線4N上截取4E=8D,連接CE,設(shè)MN與CD交于點(diǎn)O.：ACDC. DBMN,. N ACD=N 084=90,Z AOC=N DOB,. Z D=Z EAC, CD=AC, BCD ECA (SAS),. BC=EC, 4 BCD=4 ECA,：N ACE+N ECD=90,. Z ECD+N DCS = 90%即N ECB = 90,. N A8C=45.【拓展】圖1/. Z ACD+A A8D=180,.4 C, D, 8四點(diǎn)共圓，/. Z DA8=N DC8 = 30,A8=38D=鏟，/. EB=AE+AB=$+F， EC8是等腰直角三角形， EBBC = = yP + 1如圖中，同法可得8C=B-1.綜上所述，8c的長(zhǎng)為3+1或8-1.【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性 質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬 于中考?jí)狠S題.10.如圖，四邊形4ECD為菱形，且4BAD =120。，以