現(xiàn)值與凈現(xiàn)值

1、第三章現(xiàn)值與凈現(xiàn)值第二章介紹了財(cái)務(wù)管理中最重要的概念：貨幣的時(shí)間價(jià)值(time value of money)。貨幣的時(shí)間價(jià)值決定本期貨幣和未來(lái)期間貨幣間的關(guān)系。未來(lái)的現(xiàn) 金流量若考慮到時(shí)間因素時(shí)，不同時(shí)點(diǎn)的貨幣價(jià)值應(yīng)如何轉(zhuǎn)換以本期貨幣來(lái)衡 量？我們并說(shuō)明現(xiàn)值的概念將下一期的現(xiàn)金流量轉(zhuǎn)換以本期貨幣來(lái)衡量。本章將現(xiàn)值的概念由一期的延伸至多期。設(shè)想某廠商正考慮一個(gè)投資計(jì)劃，這個(gè)計(jì)劃需要本期1000萬(wàn)元的資本支出，從明年開始的往后九年，預(yù)計(jì)每年將有 200萬(wàn)元的投資收益。請(qǐng)問(wèn)該廠商 應(yīng)否選擇這個(gè)投資計(jì)劃？通常，看到這些數(shù)字后，最直接的反應(yīng)是：每年 200 萬(wàn)元，九年就有1800萬(wàn)元的收益，1800萬(wàn)

2、元大于今年1000萬(wàn)元的資本支出， 所以，廠商應(yīng)選擇這個(gè)投資計(jì)劃。在計(jì)算投資收益時(shí)，顯然是將明年的200萬(wàn)元和后年的200萬(wàn)元，甚至往后七年的200萬(wàn)元皆視為相同的貨幣價(jià)值來(lái)處理。 其次，今年1000萬(wàn)元的資本支出是確定的支出，但往后九年每年 200萬(wàn)元的 收益卻只是推估預(yù)測(cè)值，由于投資收益受當(dāng)時(shí)的景氣影響，它有不確定性存在。以上的討論看出，一旦涉及時(shí)間因素，至少有兩個(gè)問(wèn)題值得探討：本期的 200萬(wàn)元和未來(lái)的200萬(wàn)元是否等值？若不等值，應(yīng)如何將不同時(shí)間的現(xiàn)金流 量轉(zhuǎn)換為相同的貨幣價(jià)值？由于未來(lái)涉及不確定性投資決策者應(yīng)如何考慮風(fēng) 險(xiǎn)因素？首先，我們將以下面的例子說(shuō)明第二章已介紹過(guò)的現(xiàn)值以及終值

3、的概 念： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark0 o Current Document 例子：朱勝現(xiàn)任K&K公司財(cái)務(wù)經(jīng)理，該公司現(xiàn)正考慮利用自有資金購(gòu)買； 一塊位于恒春的土地，土地成本為一億元。由于墾丁公園觀光人數(shù)呈現(xiàn)：;快速成長(zhǎng)，K&K公司估計(jì)這塊土地到了下一期的價(jià)值將增為 1億1500 : ：萬(wàn)元。也就是說(shuō)，這筆土地若在下一期出售，其資本利得為1500萬(wàn)元。：I假設(shè)目前均衡利率為10%,請(qǐng)問(wèn)K&K公司應(yīng)不應(yīng)該購(gòu)買這塊土地？：|首先，這個(gè)購(gòu)地計(jì)劃的現(xiàn)金流量圖為：Ii:現(xiàn)金流入1億1500萬(wàn)元 TOC o 1-5 h z tI01現(xiàn)金流出 -1億元；朱勝接到?jīng)Q

4、策階層指示后提出評(píng)估報(bào)告，他認(rèn)為這一億元若存放在，銀行，下一期K&K公司本金加利息的收入合計(jì)為：，1.1 x 1億元=1億1000萬(wàn)元。【此項(xiàng)收益和下一期土地售價(jià)1億1500萬(wàn)元相比，K&K公司當(dāng)然要選擇： :購(gòu)地計(jì)劃。因?yàn)椋乱黄诔鍪弁恋仡A(yù)期收益1億1500萬(wàn)元，比存放在銀： TOC o 1-5 h z 行的收益1億1000萬(wàn)元要多出500萬(wàn)元。這種計(jì)算方式是以投資收益的：終值做為評(píng)估投資計(jì)劃的比較基準(zhǔn)。，I先勝亦可利用凈現(xiàn)值來(lái)比較投資計(jì)劃的收益。假設(shè)朱胖以均衡利率:10%做為折現(xiàn)率，下一期出售土地所得價(jià)款的現(xiàn)值為：，i115,000,000-PV= =104,545,455 元。1.1:由

5、于下一期收益的現(xiàn)值大于本期為取得土地所付出的價(jià)款，此購(gòu)地計(jì)劃；的凈現(xiàn)值為正：.:115,000,000 元NPV = -100,000,000 元 + 0,1.1:朱勝遂建議K&K公司接受購(gòu)地計(jì)劃。:Ii TOC o 1-5 h z 凈現(xiàn)值在投資決策過(guò)程中，扮演極重要的角色。NPV以通式表示：為：NPV= - COST+PV ,II:也就是說(shuō)，NPV是未來(lái)各期收益的現(xiàn)值扣除本期資本支出的現(xiàn)值（或當(dāng)：期資本支出）。，I:在上面的例子中，我們都假設(shè)未來(lái)的投資收益為確定的數(shù)字，即不存在任 何不確定性，而將風(fēng)險(xiǎn)因素的考慮放在以后章節(jié)再討論。: 例子：,:臺(tái)藝畫廊正考慮以80萬(wàn)元標(biāo)購(gòu)一幅王秋香的80號(hào)油

6、畫，然后在明,年售出可得款87萬(wàn)元，這項(xiàng)投資計(jì)劃若以現(xiàn)金流量圖表現(xiàn)，則為：現(xiàn)金流入87萬(wàn)元2*01現(xiàn)金流出-80萬(wàn)元圖中87萬(wàn)元除非是在事先確定的數(shù)字，不然它應(yīng)是一個(gè)預(yù)測(cè)值。假設(shè)銀行存款利率為10%,請(qǐng)問(wèn)該畫廊是否應(yīng)標(biāo)購(gòu)這幅畫？若我們忽略購(gòu)畫和存款間風(fēng)險(xiǎn)的差異，而以存款利率10%做為資金的機(jī)會(huì)成本，下一期出售畫作所得價(jià)款的現(xiàn)值為：480,000 元 =436,364 元，1.1由于436,364元的現(xiàn)值高于本期購(gòu)畫成本 400,000元，畫廊似乎應(yīng)選擇此 項(xiàng)投資計(jì)劃。然而10%是銀行存款利率，購(gòu)畫投資遠(yuǎn)較存款的風(fēng)險(xiǎn)為高， 故我們不宜以10%做為折現(xiàn)率，而恰當(dāng)?shù)睦蕬?yīng)是比10%為高以合理反 映投

7、資計(jì)劃的風(fēng)險(xiǎn)。經(jīng)過(guò)仔細(xì)評(píng)估，畫廊老板認(rèn)為 25%才能反映購(gòu)畫計(jì)劃的風(fēng)險(xiǎn)，亦即25%才是合理的資金機(jī)會(huì)成本。 此時(shí)，下一期出售油畫收益的現(xiàn)值降為：480,000 元=384,000 元。1.25由于，此項(xiàng)投資計(jì)劃的凈現(xiàn)值為負(fù)：384,000元-400,000 元=-16,000 元0,依據(jù)NPV法則，畫廊不應(yīng)選擇此項(xiàng)投資。由于投資決策涉及未來(lái)執(zhí)行期間收益的評(píng)估，而未來(lái)又充滿不確定性。這個(gè)例子說(shuō)明公司經(jīng)營(yíng)階層如何選擇合適的利率做為計(jì)劃的折現(xiàn)率是投資決策 過(guò)程中最大的挑戰(zhàn)。.多期架構(gòu)下的現(xiàn)值截至目前，我們所討論的概念或例子都僅止于一期的投資計(jì)劃，本節(jié)將現(xiàn)值與凈現(xiàn)值的概念延伸到多期的架構(gòu)下。假設(shè)黃朝貸

8、出手中的1萬(wàn)元現(xiàn)金，到了下一期她可取回本金加利息的金額 為1萬(wàn)元X(1+r), r為均衡利率。一期后，黃朝除了可將所得的(1+ r)萬(wàn)元用于消費(fèi)或投資計(jì)劃的資本支出外，亦可將此本金加利息再借出一期。由于前 期所賺的利息，繼續(xù)當(dāng)作下期的本金再生利息，這個(gè)過(guò)程稱為復(fù)利計(jì)息過(guò)程(compounding process。若黃朝決定將(1+r)再貸出一期，則第二期結(jié)束后， 黃朝取回的收益為：1 x (1+r) x (1+r) = (1+r)2 = 1 + 2r + r2,式中r2即表示將第一期所收到的利息(r)做為下一期的本金，再借出一期所 賺到的利息(r xr),即息滾息；其次，2r表示兩年期間所賺取

9、的簡(jiǎn)單利息(simple interes兩期后，黃朝收到(1+r)2萬(wàn)元后，黃朝可將(1+r)2萬(wàn)元再借出一期， 第三期結(jié)束后本金加利息收入變?yōu)椋? x(1+r)2 x (1+r) = (1+r)3 = 1+ 3r + 3r2+ r3,式中3r是三年期間的簡(jiǎn)單利息，而3r2+3r3則是為復(fù)利計(jì)息過(guò)程中，息滾息所 產(chǎn)生額外收入，(3r+3r2+r3)稱為復(fù)利利息(compounding interest)。復(fù)利利息 和簡(jiǎn)單利息最根本不同之處在于簡(jiǎn)單利息的計(jì)算是不將前期的利息當(dāng)做下一 期本金，此即富蘭克林所說(shuō)的：復(fù)利計(jì)息就是錢滾錢。舉例說(shuō)，某人本期借出一百萬(wàn)元，放款利率為9%,若以復(fù)利計(jì)息，兩年后

10、本金加利息總額為1,188,100元，若以簡(jiǎn)單利息計(jì)息，二期后本金加利息為 1,180,000元，兩者之差為8100元。此為兩年內(nèi)由息滾息的總和。這個(gè)數(shù)字看 起來(lái)不大，但不出數(shù)年這兩種計(jì)息的方式就會(huì)出現(xiàn)巨大金額上的差異。復(fù)利計(jì)息的威力復(fù)利計(jì)息過(guò)程中錢滾錢(或息生息)的威力到底有多大？現(xiàn)以 1926年 到1996年這段期間，投資在美國(guó)股市的平均報(bào)酬率為例說(shuō)明之。 以T期后終 值的公式可算出若在1926年初投資美國(guó)股市1元，到了 1996年底投資收益 為 1370.95 元:1 X (1+ r)71 = 1370.95,經(jīng)過(guò)計(jì)算，71年間的投資美國(guó)股市的平均報(bào)酬率(r)為10.71%。10.71%

11、的 年平均報(bào)酬率看起來(lái)似乎不高，但經(jīng)過(guò)71年的復(fù)利計(jì)息過(guò)程，當(dāng)初的1元在 71年后竟會(huì)產(chǎn)生1370.95元的收益，而復(fù)利計(jì)息的威力正在于前期利息可變 成本期及未來(lái)各期的本金再用于生息，這也是錢滾錢的威力所在。假若 將1370.95元再投資70年，1926年所投資的那一塊錢，創(chuàng)造出的收益將為1,879,503元。復(fù)利計(jì)息的威力亦可用于解釋為何遺產(chǎn)的贈(zèng)與都不是給下一代 而是下一代的下一代。由于復(fù)利計(jì)息的威力，父母都寧愿讓其孫徒輩變得比較有錢，而非讓子女輩變得稍微有錢。.折現(xiàn)與現(xiàn)值依復(fù)利計(jì)息過(guò)程，本期所投資的 C0在T期后所創(chuàng)造的收益為：FV= Co x (1+r)T。式中FV為本期的C0在T期后的

12、終值，而T表示投資終止時(shí)間。由終值公式， 若均衡利率為9%,則本期貸出1元，兩期后就可創(chuàng)造出1.1881元的收入。假 設(shè)我們希望在兩期后能有1元的收入，在均衡利率為9%情形下，請(qǐng)問(wèn)本期應(yīng) 投資多少？這個(gè)問(wèn)題可用以下數(shù)式表示：PV X (1.09)2 = 1,式中PV為兩年后1元的現(xiàn)值?，F(xiàn)值所表現(xiàn)的是兩年后的1元以本期貨幣衡量 所得到的價(jià)值：1 PV= 0.84168。(1.09)2這個(gè)計(jì)算現(xiàn)值的過(guò)程稱為折現(xiàn)(discount)與復(fù)利過(guò)程正好相反。以折現(xiàn)方式 計(jì)算現(xiàn)值是將未來(lái)期間的貨幣轉(zhuǎn)換為以本期貨幣來(lái)衡量，而復(fù)利過(guò)程是將本期 貨幣轉(zhuǎn)換為以未來(lái)某特定期間的貨幣來(lái)衡量。如何驗(yàn)證0.84168確是兩

13、年后1元的現(xiàn)值？我們利用復(fù)利計(jì)息公式來(lái)檢證。0.84168以9%利率借出一年，一年后可取回的本金加利息為：0.84168 X ( 1.09) =1。若將此本金加利息再借出一年，所得的本金加利息為：1= 0.84168 X (1.09)20也就是說(shuō)，均衡利率為9%情形下，本期的0.84168元和兩年后的1元是等值。9% 稱為折現(xiàn)率，而 1/(1.09)2(或 0.84168)稱為現(xiàn)值因子(present value factor。 我們可利用這個(gè)因子將未來(lái)的現(xiàn)金流量轉(zhuǎn)換為以本期貨幣衡量。例子：阿輝購(gòu)買臺(tái)北銀行所發(fā)行的第一期對(duì)對(duì)樂(lè)彩券中了頭獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金 100萬(wàn)元。阿輝想將它存入銀行、計(jì)劃五年后將本金

14、及利息用于購(gòu)車， 而阿輝看上的車子其車價(jià)為161萬(wàn)500元。假設(shè)五年內(nèi)車價(jià)不變，若 阿輝將這筆獎(jiǎng)金存入銀行,請(qǐng)問(wèn)均衡利率水平應(yīng)為多少才讓她五年后有足夠錢支付車款。首先，存入 100萬(wàn)元五年的現(xiàn)金流量圖為：現(xiàn)金流出 -100萬(wàn)元05 ,現(xiàn)金流入161萬(wàn)500元由終值的公式可得：100萬(wàn)元X (1+r) 5 =161.05萬(wàn)元，簡(jiǎn)單計(jì)算可 解出r為10%。假設(shè)某投資計(jì)劃在第1期至第n期間，預(yù)期每期現(xiàn)金流入為 Ci,此處i表示 第i期，i= 1,2,n?本期的資本支出(由于是現(xiàn)金流出，故以-C0表示),則未來(lái)n期投資收益的現(xiàn)值為：nC?PV = 2?=1(1+r)而此投資計(jì)劃的凈現(xiàn)值為:NPV =

15、- Con+ 2?=1C?O?(1+r)例子：j林金在澄清湖擁有一塊建地,價(jià)值2億元。日前有建商來(lái)洽談合建計(jì):戈上合作條件是林金提供建地并負(fù)擔(dān)部分營(yíng)造成本；待建物完成后，林_；金可取得其中3/4的樓層。整個(gè)合建計(jì)劃林金所面對(duì)的現(xiàn)金流量圖為：:- 現(xiàn)金流入；0現(xiàn)金流出 -2億元元億-2|圖中第0期、第1期以及第2期現(xiàn)金流出2億元是林金應(yīng)分?jǐn)偟臓I(yíng)造成|本，而8億元是在第二期大樓完工后出售一半樓層所得的價(jià)款。假設(shè)目 前合理的資金機(jī)會(huì)成本為7%。請(qǐng)問(wèn)林金應(yīng)否接受此項(xiàng)合作計(jì)劃？ II| 首先，土地的市場(chǎng)價(jià)值2億元應(yīng)記入為使用土地的機(jī)會(huì)成本，整個(gè) ：合建計(jì)劃的現(xiàn)金流量圖變?yōu)椋海?億元J12-2億元-2億元

16、:現(xiàn)金流入;。現(xiàn)金流出 -4億兀而合建計(jì)劃的凈現(xiàn)值為：-2億元6億元NPV = -4 億元 + + = -0.63 億元。1.07(1.07) 2；由于凈現(xiàn)值為負(fù)，故林金不應(yīng)接受和建計(jì)劃。若林金忽略使用土地的機(jī)會(huì)成本，則合建計(jì)劃的凈現(xiàn)值變?yōu)椋?-2億元6億元NPV = -2 億元 + + = 1.37 億元0。1.07(1.07) 2依NPV法則，林金應(yīng)選擇此項(xiàng)合建計(jì)劃。林金若未考慮到使用土地的；機(jī)會(huì)成本，將會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的決策。3.復(fù)利計(jì)息次數(shù)到目前，我們都假設(shè)復(fù)利計(jì)息過(guò)程中一年計(jì)息一次。若一年內(nèi)復(fù)利計(jì)息 超過(guò)一次，復(fù)利計(jì)息(或折現(xiàn))次數(shù)對(duì)貨幣的時(shí)間價(jià)值有何影響。舉例說(shuō)，銀行存款的年利率為10%

17、,每半年復(fù)利計(jì)息一次。根若本期期 初存入1,000元。六個(gè)月后，本金加利息的金額為：10%1,000 元 X ( 1+ ) = 1,050 元，2再過(guò)六過(guò)月(即存款滿一年)，本金加利息的金額就變?yōu)椋?0%1050元 X (1 + ) = 1,102.5元。2每年復(fù)利計(jì)息一次情形下，一年后本金加利息的金額為：1,000元 X 1.1 = 1,100元。兩相比較，每半年復(fù)利計(jì)息一次較每年復(fù)利計(jì)息一次所得的金額會(huì)多出2.5元。由于復(fù)利計(jì)息和簡(jiǎn)單計(jì)息方式最大不同就是復(fù)利計(jì)息所產(chǎn)生的利息可轉(zhuǎn) 成本金再生利息，所以，同一期間內(nèi)復(fù)利計(jì)息次數(shù)愈多，就會(huì)有愈多的利息 愈早轉(zhuǎn)為本金再生利息。假設(shè)每季復(fù)利計(jì)息一次，

18、一年后本金加利息所得的 金額為：10%1,000 元 X ( 1 + )4 = 1,103.81 元。4這個(gè)金額又比每半年復(fù)利計(jì)息所得的金額(1,102.5元)為多。假設(shè)每年復(fù)利 計(jì)息m次，則本期期初借出C0元。一年后，本金加利息的金額為：morC0. (1+ m上面的公式適用于一期本金與利息的計(jì)算。在多期的情形下，上面的公式就 變?yōu)椋簃TrC0. ( 1+ m式中T為投資終止的期間。為了方便比較，我們以有效年利率(Effective Annual Interest Rate,以EAIR簡(jiǎn)記)來(lái)衡量不同復(fù)利計(jì)息次數(shù)的年平均報(bào)酬率。：rEAIR = (1 +) m - 1。m例子：黃朝考慮在本期

19、期初借出100萬(wàn)元，年利率為24%,利息計(jì)算將采： 復(fù)利計(jì)息方式，每月計(jì)算一次。請(qǐng)問(wèn)一年后，收益有多少？：:0.24100 萬(wàn)元 X ( 1 +) 12= 126.82萬(wàn)元。12此時(shí)，年平均收益率為：126.82-10026.82% = X100。1004.幾個(gè)簡(jiǎn)化的現(xiàn)值公式說(shuō)完了現(xiàn)值以及終值的概念后，本節(jié)將介紹以下幾個(gè)簡(jiǎn)化的公式以方便 應(yīng)用：一永續(xù)年金(perpetuity)一成長(zhǎng)型永續(xù)年金(growing perpetuity)一年金(annuity)一成長(zhǎng)型年金(growing annuity)永續(xù)年金而r為資金的機(jī)會(huì)成本永續(xù)年金是每期給付固定金額的現(xiàn)金流量且無(wú)終止給付的日期。永續(xù) 年金

20、最佳的例子為英國(guó)政府所發(fā)行 Consols公債。Consols公債持有人每期 都可收到固定金額的息票給付(coupon payment。請(qǐng)問(wèn)永續(xù)年金的現(xiàn)值為 何？現(xiàn)以C表示永續(xù)年金持有人每期所收到的固定金額息票給付，其現(xiàn)金 流量圖為：現(xiàn)金流量CC.C .V*012.n .CCCPV=一+ +?,1+r(1+r) 2(1+r) 3將此式代入現(xiàn)值公式可得:式中最右邊的三點(diǎn)表示這個(gè)數(shù)列一直下去直到永遠(yuǎn),只要r大于零，上式右邊的總和為有限值，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算，上式可化簡(jiǎn)為:CPV =r永續(xù)年金的價(jià)值就是未來(lái)各期固定現(xiàn)金流量（C）的現(xiàn)值，這個(gè)價(jià)值亦反映 債券持有人所愿意出的最高價(jià)格。永續(xù)年金的持有人若每一

21、期以所支領(lǐng)息票 收入做為其消費(fèi)支出的財(cái)源，則她可永遠(yuǎn)維持這個(gè)消費(fèi)型態(tài)而不必?fù)?dān)心未來(lái) 各期消費(fèi)支出的財(cái)源。C/r就是她為了永遠(yuǎn)維持這種消費(fèi)型態(tài)在本期所必須 提存的金額。若將C/r存入銀行，從下一期開始，她每期可支領(lǐng)的利息：若將此利息收入用于消費(fèi)支出，則每期可供消費(fèi)金額就等于該期息票收入 （即利息），而且可依此永遠(yuǎn)運(yùn)作下去。 TOC o 1-5 h z 例子：某一永續(xù)年金每年給付給永續(xù)年金持有人 1000元。若資金的；【機(jī)會(huì)成本為8%,請(qǐng)問(wèn)此永續(xù)年金的價(jià)值是多少？；利用永續(xù)年金的現(xiàn)值公式：！:1,000 元PV= 12,500 元，0.08；假設(shè)機(jī)會(huì)成本降為5%,永續(xù)年金的現(xiàn)值變?yōu)椋篿1,000

22、元PV= = 20,000 元。0.05I:此例亦可看出永續(xù)年金的現(xiàn)值和資金機(jī)會(huì)成本r成反向變動(dòng)。成長(zhǎng)型永續(xù)年金成長(zhǎng)型永續(xù)年金和永續(xù)年金不同之處在于成長(zhǎng)型永續(xù)年金持有人每年 可收到的息票給付是以固定成長(zhǎng)率增加。成長(zhǎng)型永續(xù)年金的現(xiàn)金流量圖為:現(xiàn)金流量C C (1+g). C (1+g) n-2 C (1+g)*e012.n-1 n成長(zhǎng)型永續(xù)年金的現(xiàn)值為:10CPV =C (1+g)C (1+g) N-11+r +(1+r) 2+(1+r) N式中C為下一期(即第一期)的現(xiàn)金流量,C (1+g) N-1為第N期的現(xiàn)金流量，g為現(xiàn)金流量的年成長(zhǎng)率，而r為折現(xiàn)率。若rg,則成長(zhǎng)型永續(xù)年金 的現(xiàn)值可簡(jiǎn)化

23、為：CPV=。r - gI:例子：許根在淡水擁有一棟公寓,計(jì)劃將此公寓分租給當(dāng)?shù)貙W(xué)生，;預(yù)計(jì)下一年度的房租總收入為10萬(wàn)元。許根在房租契約上、明訂 ；;房租和物價(jià)指數(shù)連動(dòng)，即房租租金率按物價(jià)膨脹率調(diào)整。許根預(yù)測(cè):未來(lái)各年年平均物價(jià)膨脹率為3%,均衡利率為8%,請(qǐng)問(wèn)許根將 ：此公寓出租預(yù)期房租的現(xiàn)值為多少？:未來(lái)各期都有房租收入，但由于房租收入隨物價(jià)膨脹率調(diào)整，；故每年房租收入不再是固定值，而是依某固定成長(zhǎng)率(3%)增加，： 我們將有此現(xiàn)金流量型態(tài)稱為成長(zhǎng)型永續(xù)年金。將r = 8%以及各；:期房租收入代入成長(zhǎng)型永續(xù)年金現(xiàn)值的定義式可得：100,000 元 100,000 (1.03)元100,0

24、00 (1.03) 2 元；PV= + + TOC o 1-5 h z 1.081.081.08 N-1 100,000 (1.03)兀+. . . +.1.08將上述例子中的數(shù)字代入成長(zhǎng)型永續(xù)年金公式，可得:100,000 元PV= = 2,000,000 元，0.08-0.03運(yùn)用成長(zhǎng)型永續(xù)年金公式時(shí)，以下幾點(diǎn)值得注意：(1)現(xiàn)值公式中分子的C值，系指下一期而非本期的現(xiàn)金流量。(2)現(xiàn)值公式成立的條件是rg。若gr,表示現(xiàn)金流量成長(zhǎng) 速度大于折現(xiàn)率，此將造成各期現(xiàn)金流量的現(xiàn)值不再是有 限值。換句話說(shuō)，未來(lái)的現(xiàn)金流量隨著時(shí)間愈久遠(yuǎn)，而對(duì) 目前的價(jià)值愈重要，此和一般現(xiàn)值概念相違背。一般現(xiàn)值11

25、概念應(yīng)是未來(lái)現(xiàn)金流量的重要性會(huì)隨著時(shí)間愈久遠(yuǎn)而愈 少。(3)成長(zhǎng)型永續(xù)年金的現(xiàn)值公式中，假設(shè)每年取得現(xiàn)金流量一 次。年金年金系指在固定且有限期間內(nèi)，每期給付固定金額的現(xiàn)金流量。大部分 財(cái)務(wù)工具具現(xiàn)金流量型態(tài)屬于年金型式，退休年金或房貸即是年金標(biāo)準(zhǔn)例 子。年金可用以下的現(xiàn)金流量圖表示：現(xiàn)金流量C C .C012.T年金的現(xiàn)值可用下列式子算出:C C(1+r) TPV= + + . . . +21+r(1+r)式中現(xiàn)金流量是由第1期持續(xù)到到第T期，每期現(xiàn)金流量為固定值 Co當(dāng) 然，我們可以直接計(jì)算年金現(xiàn)值，以下我們將利用永續(xù)年金現(xiàn)值的計(jì)算公 式來(lái)說(shuō)明如何計(jì)算年金的現(xiàn)值。首先，我們考慮以下永續(xù)年金A

26、和永續(xù)年金B(yǎng),兩者差異只在于現(xiàn)金流量給付的起始點(diǎn)，永續(xù)年金 A給付起始點(diǎn)為 第1期，永續(xù)年金B(yǎng)給付起始點(diǎn)為第T+1期。永續(xù)年金A:T+1永續(xù)年金B(yǎng):00.0 C C012. T T+1T+2 .永續(xù)年金A以第0期(當(dāng)期)貨幣所表示的現(xiàn)值為:PV a (0)=12而永續(xù)年金B(yǎng)以第T期貨幣所表現(xiàn)的價(jià)值亦為:CPVb (T)=r由于PVa (0)和PVb (T)是以不同時(shí)點(diǎn)貨幣所衡量的價(jià)值。兩者衡量基準(zhǔn)不同，若要比較，我們應(yīng)先將 PVb (T)轉(zhuǎn)換為以本期(第0期)貨幣所 計(jì)算的價(jià)值：PVb (0)C1 xr(1+r)此時(shí)，PVa (0)和PVb (0)的差就是年金的現(xiàn)值:CPV = PVa (0)

27、 - PVb (0)r(1+r) T若給付期間愈長(zhǎng)(即T值愈大)，則PV的值愈接近C/r (此因?yàn)楫?dāng)T值愈 來(lái)愈大時(shí)，1/ (1+r) T愈來(lái)愈接近1)。:例子：陳南日前中了計(jì)算機(jī)型千萬(wàn)元彩券頭獎(jiǎng)、獎(jiǎng)金支付方式為連 續(xù)20年每年給付獎(jiǎng)金50萬(wàn)元。第一次獎(jiǎng)金給付是一年后的今天。這個(gè)彩券之所以稱為千萬(wàn)元彩券系因 50萬(wàn)元X 20期=1000萬(wàn) 元，若市場(chǎng)均衡利率為8%,請(qǐng)問(wèn)頭獎(jiǎng)的價(jià)值為多少？利用年金現(xiàn)值公式，可得到獎(jiǎng)金的現(xiàn)值為:PV =50萬(wàn)元 廣X 1 -0.08一一 , 200.08 (1.08) 20=4,90萬(wàn)元。由此可知，千萬(wàn)元頭獎(jiǎng)只是廣告噱頭而已，此獎(jiǎng)券頭獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的現(xiàn) 值只有490萬(wàn)90

28、50元而已。4.4成長(zhǎng)型年金成長(zhǎng)型年金和年金不同處在于給付期間內(nèi)，每期現(xiàn)金流量是以固定成 長(zhǎng)率增加：現(xiàn)金流量13C(i+g)_T-2C(i+g)_T-1C(i+g)T-1 T依永續(xù)年金現(xiàn)值計(jì)算方式，成長(zhǎng)型年金的現(xiàn)值為:1+r1+gc r pv= 1-(r-g I式中C為在第一期期末的支付金額，g為每期支付金額的成長(zhǎng)率，r為利率, T為成長(zhǎng)型年金持續(xù)期間。 例子：:朱胖將于某國(guó)立大學(xué)經(jīng)濟(jì)系研究所博士班畢業(yè),某科技大學(xué)提,供朱胖助理教授一職、該職年薪為 60萬(wàn)元。朱胖預(yù)估她的年薪每年【調(diào)升3%,先勝目前25歲，距65歲退休年齡還有40年任職期間。目1前，市場(chǎng)利率為14%,請(qǐng)問(wèn)朱胖往后40年的年薪現(xiàn)

29、值為多少？：為簡(jiǎn)化計(jì)算，假設(shè)第一年年薪60萬(wàn)是在第一年年終一次給付，而以后各年年薪給付亦依此方式，依成長(zhǎng)型年金公式可得： : TOC o 1-5 h z 60萬(wàn)元1.031一一一40515.46 萬(wàn)兀=1- ()40 。0.14-0.03 I 1.14 一習(xí)題：1.朱一打算為其剛出生的兒子儲(chǔ)蓄其大學(xué)教育經(jīng)費(fèi)，假設(shè)朱一的兒子在16歲上大學(xué)。目前大學(xué)學(xué)雜費(fèi)一年需要 10萬(wàn)元，且每年以5%成長(zhǎng)率增加。若朱一打算從明年開始,連續(xù)16年，每年存一筆固定金額的錢。若年利率 為8%,試問(wèn)朱一每年應(yīng)存多少錢?2.林金5年前以12%利率向銀行借了一筆20年期500萬(wàn)元的房屋貸款，還款 條件為每個(gè)月償還相同金額。

30、林金付完第 60期款項(xiàng)后，發(fā)現(xiàn)年利率已降為 10%0林考慮是否以較低利率重新融資時(shí)，但房貸契約中有一條提前解 約條款：林金必須支付未歸還本金余額 5%做為解約金。在此條件下，林金 是否應(yīng)決定重新融資？3. ABC公司目前正評(píng)估兩項(xiàng)投資計(jì)劃。計(jì)劃 A執(zhí)行后，預(yù)期往后10年，每年14有300萬(wàn)元現(xiàn)金收益，在往后15年，每年現(xiàn)金收益增加為700萬(wàn)元，到了 第25年就沒(méi)有任何現(xiàn)金收益。至于計(jì)劃 B,預(yù)期往后10年，每年有1000 萬(wàn)元的現(xiàn)金收益；10年后，就沒(méi)有任何現(xiàn)金收益。公司財(cái)務(wù)管理人員評(píng)估 結(jié)果發(fā)現(xiàn)計(jì)劃A和計(jì)劃B的資金機(jī)會(huì)成本各為8%以及14%。(a)請(qǐng)問(wèn)何項(xiàng)投資計(jì)劃的風(fēng)險(xiǎn)較高？(b)請(qǐng)計(jì)算兩個(gè)

31、計(jì)劃各期現(xiàn)金收益的現(xiàn)值。假設(shè)政府決定全額補(bǔ)助這兩項(xiàng)計(jì)劃的投資支出。(c)但規(guī)定ABC公司必須將投資計(jì)劃執(zhí)行完畢，中途不得轉(zhuǎn)售。請(qǐng)問(wèn) ABC公司應(yīng)選擇那個(gè)計(jì)劃？(d) ABC公司可在計(jì)劃執(zhí)行期間，依市價(jià)出售投資計(jì)劃。請(qǐng)問(wèn) ABC公 司應(yīng)選擇那個(gè)計(jì)劃？.朱一計(jì)劃出售位于新店的別墅。 林金出價(jià)1150萬(wàn)元，以現(xiàn)金方式一次付清。 黃朝出價(jià)1500萬(wàn)元，但無(wú)法一次付清，打算三年后再以現(xiàn)金方式一次付清。 若目前均衡利率為10%,請(qǐng)問(wèn)朱一應(yīng)將別墅出售給誰(shuí)?.陳南擁有汽車一輛,車齡三年。林金出價(jià) 35萬(wàn)元，以現(xiàn)金方式一次付清。 陳南亦可決定現(xiàn)在不賣車,再使用一年。一年后，將車子賣給中古車行可得 款30萬(wàn)元，目前均衡利率為12%。(a)請(qǐng)問(wèn)上述信息是否足以讓陳南決定現(xiàn)在是否該賣掉車子?(b)請(qǐng)補(bǔ)上何種信息后，陳