三重積分習題課-優(yōu)質課件

1、三重積分第十章習題課一、關于三重積分性質和應用的題類二、關于三重積分的題類三、雜題定 義幾何意義(無)性 質計算法應 用三重積分主要內(nèi)容物理意義（一）、三重積分常見題目類型1.一般三重積分的計算：a. 選擇坐標系使積分域多為坐標面圍成;被積函數(shù)用此坐標表示簡潔或變量分離.b. 確定積分序積分域分塊要少, 累次積分易算為妙 .圖示法列不等式法(從內(nèi)到外: 面、線、點)c. 寫出積分限 累次積分法d. 計算要簡便充分利用對稱性應用換元公式( 先積一條線, 后掃積分域 )2.改變累次積分的積分次序題目要求改變積分次序或按原積分次序積不出來，必須改變積分次序.3.求由曲面所圍立體的體積4.用二重積分求

2、曲面的面積6.三重積分性質的應用題（二）、三重積分計算的基本技巧分塊積分法利用對稱性(1) 交換積分順序的方法(2) 利用對稱性簡化計算(3) 消去被積函數(shù)絕對值符號(4)被積函數(shù)為1時巧用其幾何意義【例1 】計算【解】由對稱性知（球面坐標）作業(yè)題一、關于三重積分性質和應用的題類【例2】 設比較M,N,P的大小.【分析】通過計算比較大小很煩瑣,注意到積分區(qū)域為一以原點為球心的球體,具有對稱性,于是想到是否可利用對稱性直接作出比較呢? 故 【例3】【分析】利用球面坐標【解】二、關于三重積分的題類【解】利用柱面坐標【解】利用直角坐標【例4】 【解】面積 【解】柱面坐標計算較繁 【解】球面坐標計算較

3、繁【補例】【解】略得于是（1）（2）得于是Dxy:z =00y x11。Dxy雙曲拋物面教材P106 習題9-3 第1(1)題【例5】1x+ y=1yozx1z=xy.教材P106 習題9-3 第1(1)題【例5】z =01x+ y=1ozx1yz=xy.教材P106 習題9-3 第1(1)題【例5】11z =0ozxx+ y=1y。z=xy.教材P106 習題9-3 第1(1)題【例5】azobyxcz=xy.練習教材P106 習題9-3 第1(4)題zz = 0acz=xyyxb.o教材P106 習題9-3 第1(4)題練習azoxycz=xyb.教材P106 習題9-3 第1(4)題練習

4、azoxycz=xyb.Dxy:z = 0直角坐標用哪種坐標？abDxyy x01.Dxy:z = 0用哪種坐標？.柱面坐標0 xz yDxy【例6】計算I =1解法1.Dxy:z = 0用哪種坐標？.球面坐標0 xz yDxy【例6】計算I =1解法【注】選擇合適的坐標系是計算三重積分的關鍵(1).區(qū)域由平面圍成,常選擇直角坐標系;一般的:(3).區(qū)域由球面錐面圍成,被積函數(shù)形如 常選擇球面坐標系.(2).區(qū)域由圓柱面圍成,被積函數(shù)形如 常選擇柱面坐標系;三、雜題【例7】【解】 在球面坐標系下利用洛必達法則與導數(shù)定義,得其中 【練習】【提示】先用柱面坐標積分后展成關于t 的定積分z 0 xy

5、a化為球坐標系下的方程r=2a cos.M.r例81Dxy10 xz y【例9】【解】1Dxy10 xz y【解】1Dxy10 xz y【解】1Dxy10 xz y【解】【補充：利用對稱性化簡三重積分計算】使用對稱性時應注意：、積分區(qū)域關于坐標面的對稱性；、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關于三個坐標軸 的奇偶性一般,若在的表達式中,以y代x,以z代y,以x代z則問：是否有我們知道, 在定積分中, 但在二, 三重積分中, 這一結論一般不對,不過, 當滿足某些條件時, 結論成立。后,的表達式不變(即具有“輪換對稱性”),( t 為時間) 的雪堆在融化過程中,其表面滿足方程設長度單位為厘米, 時間單位為小時, 設有一高度為已知體積減少的速率與表面積成正比(比例系數(shù) 0.9 ),問高度為130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小時? (2