3.1.1 兩角和與差的余弦5

1、蘇教版高中數(shù)學(xué)必修4 3.1.1 兩角和與差的余弦 教案 6/63.1.1 兩角和與差的余弦江蘇豐縣華山中學(xué) 劉國良【教學(xué)目標(biāo)】1.知識目標(biāo)：理解兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)過程，熟記兩角和與差的余弦公式，運(yùn)用兩角和與差的余弦公式，解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題。2能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密而準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)能力；培養(yǎng)學(xué)生逆向思維和發(fā)散思維能力；培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，邏輯推理能力和合作學(xué)習(xí)能力。3.情感目標(biāo)：通過觀察、對比體會數(shù)學(xué)的對稱美和諧美，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)表達(dá)和思考的能力，學(xué)會從已有知識出發(fā)主動探索未知世界的意識及對待新知識的良好情感態(tài)度。 【高考等級要求】 C級【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的余弦公

2、式的理解與靈活運(yùn)用。教學(xué)難點(diǎn)：兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)過程，特別是一般性的推廣?！窘虒W(xué)方法與教學(xué)手段】 問題教學(xué)法、合作學(xué)習(xí)法，多媒體課件【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境、自主先學(xué)問題1：前面學(xué)習(xí)了三角函數(shù)，能否用的三角函數(shù)和的三角函數(shù)來表示.問題2：不用計(jì)算器，求的值，能否寫成兩個(gè)特殊角的和或差的形式? 問題3：成立嗎? 問題4：能否用的三角函數(shù)來表示? 設(shè)計(jì)意圖: 通過創(chuàng)設(shè)問題情境，自然流暢地提出問題，揭示課題，引發(fā)學(xué)生思考,使學(xué)生目標(biāo)明確、迅速進(jìn)入角色。二、動手操作、實(shí)例驗(yàn)證(1)向量的數(shù)量積 則 （2）單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示試在直角坐標(biāo)系中畫出終點(diǎn)在單位圓上的向量，并求出它們的兩種形式的數(shù)量

3、積？由圖可知：( ) , ( )則 問題5： 問題6：由出發(fā)，你能推廣到對任意的兩個(gè)角都成立嗎圖1yxP(cos,sin)Q(cos,sin)OP0設(shè)計(jì)意圖:通過動手操作、實(shí)例驗(yàn)證，復(fù)習(xí)回顧使學(xué)生熟悉基礎(chǔ)知識、特別是用角的正、余弦表示特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，讓學(xué)生通過特殊值在轉(zhuǎn)化到一般情況，符合學(xué)生的認(rèn)知律.三、小組合作、建構(gòu)概念 問題7 ： （一）兩角差的余弦公式設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(cos,sin)，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為Q(cos,sin)(見圖1) 記 =(cos,sin)，=(cos,sin),則=|cos(-)=cos(-)；又應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，=cos cos

4、+ sin sin，所以cos(-)=cos cos+ sin sin 當(dāng)點(diǎn)在直線上或上方時(shí)角與角終邊相同，當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)角與角終邊相同，綜上所述， ，對于任意的角都成立。設(shè)計(jì)意圖: 通過動態(tài)演示，給學(xué)生以直觀感受。兩角和余弦公式的證明中存在困難：三角函數(shù)表示單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，它雖然簡單，但學(xué)生由于陌生而很不習(xí)慣，通過前面習(xí)環(huán)節(jié)應(yīng)該有所熟悉。學(xué)完之后，要強(qiáng)調(diào)其中兩角均為任意角.問題8：根據(jù)兩角差的余弦公式，你可以猜猜提示：令 （二）兩角和的余弦公式（學(xué)生回答） 設(shè)計(jì)意圖: 這樣一來，兩角和的余弦只是兩角差的余弦的特殊形式結(jié)論： 注： 1、公式中兩邊的符號正好相反（一正一負(fù)）2、式子右邊同名三

5、角函數(shù)相乘再加減，且余弦在前正弦在后.可簡記為：余余正正，符號相反， abab 同名之積相加減，運(yùn)算符號左右反。正因?yàn)椤⒌娜我庑?，所以賦予C(+)公式的強(qiáng)大生命力設(shè)計(jì)意圖: 讓學(xué)生注意觀察、對比兩角和與差的余弦公式中正弦、余弦的順序、角的順序關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，并通過觀察體會公式的對稱美. 小結(jié)以12字口訣概括兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系式，既體現(xiàn)了公式的本質(zhì)特征，又朗朗上口，便于記憶，有助于學(xué)生對本節(jié)課的內(nèi)容更好地掌握.四、交流展示，小組活動 公式應(yīng)用闖關(guān)第一關(guān)：小試身手請用特殊角分別代替公式中、，你能求哪些非特殊角的值呢？（選擇的特殊角可以是306045等） (1) ；(2) ；(3)

6、；問題預(yù)測：學(xué)生動筆自由嘗試、主動探索。有的同學(xué)說會求cos15、cos75、cos105、cos(-15)、cos165的值。甚至可能有的同學(xué)會說他驗(yàn)證了cos30=sin60.（讓同學(xué)感受獲得公式后的第一份喜悅）由于初學(xué)公式的應(yīng)用，我選擇其中之一作示范。第二關(guān)：再接再厲 若固定，分別用 代替，你將會發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？ 設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)同學(xué)發(fā)現(xiàn)余弦的誘導(dǎo)公式可用C()公式得到證明：初步讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)C()公式是誘導(dǎo)公式的推廣。（從而讓同學(xué)感受獲得公式后的第二份喜悅）第三關(guān)：各顯神通 倘若讓你對C()公式中的、自由賦值，你又將發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？ (1)；(2) (3)(4)問題預(yù)測：可能有的同學(xué)發(fā)現(xiàn)co

7、s2=cos(+)=cos2-sin2，這是以后要學(xué)的二倍角公式，還有的同學(xué)發(fā)現(xiàn)： cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin，甚至有調(diào)皮的同學(xué)發(fā)現(xiàn)cos0=cos(-)=cos2+sin2=1，這就無意中證明了平方關(guān)系， （據(jù)此，讓同學(xué)感受到C()公式的強(qiáng)大功能）。（必要時(shí)，教師可適當(dāng)提示）。注：按課本編排未必能讓同學(xué)注意公式中,的任意性，（而正是因、的任意性，所以才賦予C(+)公式的強(qiáng)大生命力）。于是我設(shè)計(jì)上述三個(gè)有層次的A ,B,C級的問題，留時(shí)間先讓同學(xué)用特殊角自由賦值，逐漸摸索、嘗試，不斷總結(jié)、歸納。這樣更能使同學(xué)親自感受公式的強(qiáng)大功能，并掌握賦值法。五、質(zhì)疑拓展

8、，強(qiáng)化應(yīng)用例1：化簡解：（1）原式=； （2）原式=；（3）原式=；設(shè)計(jì)意圖:例1進(jìn)一步強(qiáng)化公式的應(yīng)用，有助于學(xué)生熟悉公式，加深學(xué)生對公式的理解和認(rèn)識,回饋教學(xué)效果.例2：知，求的值。解：由 ，得又由，得 由余弦的和角公式得 注意：注意角、的象限，也就是符號問題.設(shè)計(jì)意圖:例2的目的在于熟悉公式，同時(shí)對同角三角函數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)在各象限符號的判斷有復(fù)習(xí)的作用，其難度不是很大，在復(fù)習(xí)了公式之后，學(xué)生應(yīng)當(dāng)能夠完成2.變式練習(xí) 能力提高 解：由 ，得又由，則得 由余弦得差角公式得 設(shè)計(jì)意圖：階段概括用公式的方法，感悟在解決問題的過程中，如何合理的使用這幾組公式。當(dāng)然，公式的熟練使用不是一節(jié)課就可以完

9、成的，需要學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中不斷體會，不斷總結(jié)和概括，進(jìn)而將誘導(dǎo)公式內(nèi)化到自己的知識結(jié)構(gòu)中去。五、課堂檢測，能力提升化簡:(1)(2)【引申】求函數(shù)的最大、最小值。（課本第8題）六、 學(xué)習(xí)體會，相互分享 讓學(xué)生談?wù)勛约涸诒竟?jié)課上的收獲和體會. 提示：（1）公式； （2）運(yùn)用公式時(shí)注意角的范圍、三角函數(shù)值的正負(fù)，注意前后知識的聯(lián)系； （3）學(xué)完后能解決的問題.設(shè)計(jì)意圖: 小節(jié)以14字口訣概括兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系式，既體現(xiàn)了公式的本質(zhì)特征，朗朗上口，便于記憶，有助于學(xué)生對本節(jié)課的內(nèi)容更好地掌握.同名之積相加減，運(yùn)算符號左右反。八 自主作業(yè) 鞏固訓(xùn)練中拓展1、閱讀課本，體會兩角和與差余弦公式推導(dǎo)

10、過程中的思想方法；2. 教材第94頁，感受理解第 1， 3 題3. 探究：知道了，你覺得也有類似的規(guī)律嗎？九 板書設(shè)計(jì) 課題：3.1.1兩角和與差的余弦兩角差的余弦公式 兩角和的余弦公式例題變式練習(xí)【教學(xué)反思】本節(jié)課主要任務(wù)是兩角和的余弦公式的推導(dǎo)和簡單應(yīng)用。這節(jié)課是本單元的開篇公式，它是后續(xù)公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)，地位十分重要。因此我通過創(chuàng)設(shè)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望的數(shù)學(xué)情境，營造積極的活躍的學(xué)習(xí)氛圍，使學(xué)生參與教學(xué)中來。下面對兩角和與差的三角函數(shù)教學(xué)反思概括如下：1.創(chuàng)設(shè)問題情境針對這節(jié)課的課題，從課題分析中提出問題，我鼓勵學(xué)生大膽猜想，并驗(yàn)證。學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性得到了充分的調(diào)動，思維活躍。俗話說，擒賊先擒王。兩角和與差的余弦公式就是他們中的“王”！我們從兩角和與差的余弦公式研究起。這樣，才能使本節(jié)知識納入本單元的知識結(jié)構(gòu)中.2.兩角和的余弦公式的探究過程：分成兩部分完成：一是公式的準(zhǔn)備工作，有向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)運(yùn)算。二是公式的推導(dǎo)步驟。在直角坐標(biāo)系的單位圓中作出角；利用三角函數(shù)定義寫出角的終邊和單位元的交點(diǎn)坐標(biāo)；利用向量的數(shù)量積