第一講不定積分的概念與質(zhì)課件

1、第一講 不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)四、小結(jié) 思考題例定義：一、原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)存在定理：簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問(wèn)題：(1) 原函數(shù)是否唯一？例（ 為任意常數(shù)）(2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明：（1）若 ，則對(duì)于任意常數(shù) ，（2）若 和 都是 的原函數(shù)，則（ 為任意常數(shù)）證（ 為任意常數(shù)）任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)不定積分的定義：被積表達(dá)式積分變量例1 求解解例2 求例3 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2）所求曲線

2、方程為顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.實(shí)例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.二、 基本積分表基本積分表是常數(shù));說(shuō)明：簡(jiǎn)寫(xiě)為例4 求積分解根據(jù)積分公式（2）證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）三、 不定積分的性質(zhì)例5 求積分解例6 求積分解例7 求積分解例8 求積分解說(shuō)明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表.解所求曲線方程為基本積分表(1)不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念：不定積分的概念：求微分與求積分的互逆關(guān)系四、 小結(jié)思

3、考題符號(hào)函數(shù)在 內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？思考題解答不存在.假設(shè)有原函數(shù)故假設(shè)錯(cuò)誤所以 在 內(nèi)不存在原函數(shù).結(jié)論每一個(gè)含有第一類(lèi)間斷點(diǎn)的函數(shù)都沒(méi)有原函數(shù).練習(xí)題練習(xí)題答案第二講 換元積分法一、第一類(lèi)換元積分法二、第二類(lèi)換元積分法三、小結(jié) 思考題問(wèn)題？解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過(guò)程令一、第一類(lèi)換元法在一般情況下：設(shè)則如果（可微）由此可得換元法定理第一類(lèi)換元公式（湊微分法）說(shuō)明使用此公式的關(guān)鍵在于將化為觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同.定理1例1 求解（一）解（二）解（三）例2 求解一般地例3 求解例4 求解例5 求解例6 求解例7 求解例8 求解例9 求原式例10 求解例11 求解說(shuō)明當(dāng)被積

4、函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開(kāi)奇次項(xiàng)去湊微分.例12 求解例13 求解（一）（使用了三角函數(shù)恒等變形）解（二）類(lèi)似地可推出解例14 設(shè) 求 .令例15 求解問(wèn)題解決方法改變中間變量的設(shè)置方法.過(guò)程令（應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果）二、第二類(lèi)換元法證設(shè) 為 的原函數(shù),令則則有換元公式定理2第二類(lèi)積分換元公式例16 求解令例17 求解令例18 求解令說(shuō)明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令說(shuō)明(2)積分中為了化掉根式除采用三角代換外還可用雙曲代換.也可以化掉根式例 中, 令 積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換（或雙曲代換）并不是絕對(duì)

5、的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來(lái)定.說(shuō)明(3)例19 求（三角代換很繁瑣）令解例20 求解令說(shuō)明(4)當(dāng)分母的階較高時(shí), 可采用倒代換例21 求令解例22 求解令（分母的階較高）說(shuō)明(5)當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式 時(shí)，可采用令 （其中 為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)） 例23 求解令基本積分表三、小結(jié)兩類(lèi)積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、倒代換、根式代換基本積分表(2)思考題求積分思考題解答練 習(xí) 題練習(xí)題答案第三講 分部積分法一、基本內(nèi)容二、小結(jié) 思考題問(wèn)題解決思路利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.分部積分公式一、基本內(nèi)容例1 求積分解（一）令顯然， 選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.解（二）令例2 求積

6、分解（再次使用分部積分法）總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設(shè)冪函數(shù)為 , 使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))例3 求積分解令例4 求積分解總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為 .例5 求積分解例6 求積分解注意循環(huán)形式例7 求積分解令解兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo), 得合理選擇 ，正確使用分部積分公式二、小結(jié)思考題 在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時(shí)， 應(yīng)注意什么？思考題解答注意前后幾次所選的 應(yīng)為同類(lèi)型函數(shù).例第一次時(shí)若選第二次時(shí)仍應(yīng)選練 習(xí) 題練習(xí)題答案第四講 幾種特殊類(lèi)型函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分二、三角函

7、數(shù)有理式的積分三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分四、 小結(jié) 思考題有理函數(shù)的定義：兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱(chēng)之.一、有理函數(shù)的積分假定分子與分母之間沒(méi)有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式； 利用多項(xiàng)式除法, 假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例難點(diǎn)將有理函數(shù)化為部分分式之和.（1）分母中若有因式 ，則分解后為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為（2）分母中若有因式 ，其中則分解后為特殊地：分解后為真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例1代入特殊值來(lái)確定系數(shù)取取取并將 值代入例2例3整理得例4 求積分 解例5 求積分 解例6 求積分解令說(shuō)明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)

8、三類(lèi)情況：多項(xiàng)式；討論積分令則記這三類(lèi)積分均可積出, 且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).三角有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱(chēng)之一般記為二、三角函數(shù)有理式的積分令（萬(wàn)能置換公式）例7 求積分解由萬(wàn)能置換公式例8 求積分解（一）解（二）修改萬(wàn)能置換公式,令解（三）可以不用萬(wàn)能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法, 便知萬(wàn)能置換不一定是最佳方法, 故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段, 不得已才用萬(wàn)能置換.例9 求積分解討論類(lèi)型解決方法作代換去掉根號(hào).例10 求積分解 令三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分例11 求積分解 令說(shuō)明無(wú)理函數(shù)去根號(hào)時(shí), 取根指數(shù)的最小公倍數(shù)

9、.例12 求積分解先對(duì)分母進(jìn)行有理化原式簡(jiǎn)單無(wú)理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）三角有理式的積分.（萬(wàn)能置換公式）（注意：萬(wàn)能公式并不萬(wàn)能）四、小結(jié)思考題將分式分解成部分分式之和時(shí)應(yīng)注意什么？思考題解答分解后的部分分式必須是最簡(jiǎn)分式.練習(xí)題練習(xí)題答案第五講 積分表的使用一、關(guān)于積分表的說(shuō)明二、例題（1）常用積分公式匯集成的表稱(chēng)為積分表.（2）積分表是按照被積函數(shù)的類(lèi)型來(lái)排列的.（4）積分表見(jiàn)高等數(shù)學(xué)（四版）上冊(cè)（同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編）第452頁(yè)（3）求積分時(shí)，可根據(jù)被積函數(shù)的類(lèi)型直接 或經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單變形后，查得所需結(jié)果.一、關(guān)于積分表的說(shuō)明例1 求被積函數(shù)中含有

10、在積分表（一）中查得公式（7）現(xiàn)在于是二、例題例2 求被積函數(shù)中含有三角函數(shù)在積分表（十一）中查得此類(lèi)公式有兩個(gè)選公式（105）將 代入得例3 求表中不能直接查出, 需先進(jìn)行變量代換.令被積函數(shù)中含有在積分表（六）中查得公式（37）將 代入得例4 求在積分表（十一）中查得公式（95）利用此公式可使正弦的冪次減少兩次, 重復(fù)使用可使正弦的冪次繼續(xù)減少, 直到求出結(jié)果. 這個(gè)公式叫遞推公式.現(xiàn)在于是對(duì)積分 使用公式（93）說(shuō)明初等函數(shù)在其定義域內(nèi)原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù).例練 習(xí) 題練習(xí)題答案第四章習(xí)題課一、主要內(nèi)容二、典型例題積分法原 函 數(shù)選擇u有效方法基本積分表第一換元法

11、第二換元法直接積分法分部積分法不 定 積 分幾種特殊類(lèi)型函數(shù)的積分一、主要內(nèi)容1、原函數(shù)定義原函數(shù)存在定理即：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)2、不定積分(1) 定義(2) 微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.(3) 不定積分的性質(zhì)3、基本積分表是常數(shù))5、第一類(lèi)換元法4、直接積分法第一類(lèi)換元公式（湊微分法）由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不定積分的方法.常見(jiàn)類(lèi)型:6、第二類(lèi)換元法第二類(lèi)換元公式常用代換:7、分部積分法分部積分公式8.選擇u的有效方法:LIATE選擇法L-對(duì)數(shù)函數(shù)；I-反三角函數(shù)；A-代數(shù)函數(shù)；T-三角函數(shù)；E-指數(shù)函數(shù)； 哪個(gè)在前哪個(gè)選作u.9、幾種特殊類(lèi)型函數(shù)的積分（1）有理函數(shù)的積分定義兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱(chēng)之.真分式