結(jié)構(gòu)隨機振動——歐進萍課件

1、結(jié)構(gòu)隨機振動01教材:1.Stochastic Structural Dynamics In Earthquake Engineering G.D.Manolis P.K.Koliopoulos2.結(jié)構(gòu)隨機振動 歐進萍 王光遠第一章 工程系統(tǒng)中的隨機性1.1 隨機結(jié)構(gòu)動力學的研究對象我們知道有這樣一類載荷:作用在樓房和橋梁上的風載荷;作用在海洋平臺和船艦上的水動力荷載;作用在樓房和壩體上的地震荷載. 這類荷載的特點是隨時間在強度和頻率含量有很大的變化.對于這類載荷中的一條記錄, 它是確定的, 用在以前的結(jié)構(gòu)動力學的課程中知識我們可以求得數(shù)值觧.但是這樣的一個觧很少有實用價值, 原因是我們用的一

2、條記錄, 那是以前發(fā)生的, 將來發(fā)生的記錄是不會和過去的記錄一樣的.這樣,我們不能知道將來的精確的情況, 但還要估計一個大概可能的結(jié)果. 這就是隨機動力學要解決的問題. 如果結(jié)構(gòu)本身的參數(shù)也存在不確定性, 這更是隨機結(jié)構(gòu)動力學要解決的問題.我們把這類載荷稱為隨機過程, 我們知道這類載荷的輸入具有一定的統(tǒng)計特性, 即均值, 方差等等, 我們想知道輸出的統(tǒng)計特性.這就是隨機結(jié)構(gòu)動力學要研究的對象, 顯然它不同于我們已經(jīng)學過的結(jié)構(gòu)動力學課程. 這門課程的先修課程為概率論, 隨機過程,和確定性振動理論.1.2 問題的分類按隨機性的來源分:一個是激勵過程的隨機性,這是隨機振動理論主要解決的問題; 一個是

3、振動系統(tǒng)的參數(shù)的隨機性,這是參數(shù)隨機振動理論.正問題和反問題:已知輸入和系統(tǒng)求輸出這是正問題,稱為響應(yīng)確定問題; 已知輸入和輸出求系統(tǒng)的參數(shù)這是反問題,稱為系統(tǒng)識別問題,我們這門課程不涉及,有專門課程.非線性的來源分:一個是振蕩系統(tǒng)的力學參數(shù)的非線性, 對于地震工程來說,一般是指遲滯行為,這樣的系統(tǒng)常常顯示復雜的非線性現(xiàn)象,例如多吸引子,跳躍現(xiàn)象,分岔和混沌;3.(續(xù)上)另一個非線性來源于力函數(shù)機理,指輸入的非線性.4.最后,另一個分類準則是基于動力問題的力和響應(yīng)的統(tǒng)計特性,例如高斯分布, 平穩(wěn)性等等.第二章 隨機變量和隨機過程2.1 引論這一章的目的是介紹概率論的基本概念, 隨機變量的統(tǒng)計特

4、征和隨機過程. 這些知識和結(jié)構(gòu)動力學知識在一起就可以了解以后的章節(jié)的內(nèi)容. 這一章具體要掌握:1.什么是隨機變量和隨機向量?怎樣描述它們的統(tǒng)計特性?2. 作用在隨機變量和隨機向量的算子怎樣改變它的統(tǒng)計特性?3.哪些統(tǒng)計分布通常利用于描述物理現(xiàn)象?4.什么是隨機過程?它與隨機變量怎樣不同?5.平穩(wěn)的,非平穩(wěn)的和各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程的差別是什么?6.從設(shè)計者的角度來看,描述結(jié)構(gòu)動力學涉及的隨機過程的必要的統(tǒng)計測量是什么?2.2 概率論的概念 在自然界或社會活動的許多方面存在著不確定性參數(shù).它們都是一些可測的量(一場地每天最大的溫度,機場乘客數(shù),某種股票交易指數(shù),一指定場地期望出現(xiàn)的下一次嚴重地震的震

5、級)和不可測的量(下一次選舉的贏者,某一任務(wù)的后果). 對于這些不確定性參數(shù)的可能取值(或可能后果)需要用概率來描述. 我們把某一不確定性參數(shù)說成一個事件, 這個事件的一個可能后果為 , 所有可能后果組成一個集合 ,把它稱為樣本空間; 樣本空間的每個元素稱為樣本點. 現(xiàn)在我們對某個事件做試驗,試驗次數(shù)是一個大數(shù) , 那么可能的樣本點 出現(xiàn)的次數(shù)為 那么有 為樣本空間的樣本點數(shù)每一個可能后果出現(xiàn)的相對頻率為很清楚有 和 概率 在相對頻率中 趨于無窮大時, 那么某一后果 出現(xiàn)的概率為Bernoulli大數(shù)定理可以證明上面的式子, 即有2.3 隨機變量 定義隨機變量 是一個函數(shù), 是樣本空間到實數(shù)域

6、的映射. 這樣就可以用代數(shù)來運算概率.樣本空間實數(shù)域映射我們用大寫字母來表示隨機變量, 用相應(yīng)的小寫字母表示它的一個實現(xiàn), 并且為了簡單隨機變量 寫成 . 隨機變量分為離散的和連續(xù)的.2.3.1 隨機變量的概率分布 在概率意義上如何完整描述一個隨機變量? 它依賴于確定控制樣本空間中每一樣本點實現(xiàn)的相對頻率的概率分布.對于離散隨機變量的概率分布一般是根據(jù)概率函數(shù)來表示. 而連續(xù)隨機變量是利用概率密度函數(shù)來表示. 這兩類隨機變量都可以用累積分布來表示. 定義累積分布(cumulative distribution) . 考慮事件 ,這個可能事件是對應(yīng)這個隨機變量X的許多值(或無窮多個值)成為現(xiàn)實,

7、 并且這個不等式實現(xiàn)的概率包括隨機變量X的這些值的每一個實現(xiàn)的概率. 因此我們定義累積分布為 這是x的單調(diào)增加函數(shù), 具有 對于離散隨機變量, 假定實現(xiàn)值 , 那么相應(yīng)的累積分布定義為 對于連續(xù)隨機變量, 定義累積分布 的導數(shù)為概率密度函數(shù)p(x)(the probability density function).即有2.3.2 隨機向量的概率分布 許多物理現(xiàn)象是被隨機向量所描述. 這個向量是由兩個或兩個以上的隨機變量所組成, 這些隨機變量在統(tǒng)計意義上可能是互相獨立,也可能是互相不獨立. 隨機向量的統(tǒng)計描述是這些隨機變量的聯(lián)合概率分布(the joint probability distri

8、bution). 假定有兩個隨機變量描述一個隨機事件. 定義聯(lián)合累積概率函數(shù) 為很清楚, 這個函數(shù)要滿足下面的邊界條件: 隨機向量 的聯(lián)合概率密度函數(shù)定義為 的偏導數(shù):因此 邊緣一維概率函數(shù)(the marginal one-dimensional probability functions)可以從相應(yīng)的聯(lián)合概率密度函數(shù)導出, 即 條件概率. 定義為在已知隨機變量 取一個值 的條件下,另一個隨機變量 取一個值 的概率. 條件概率密度函數(shù)為 上式要求 . 進一步當 , 那么 如果兩個隨機變量統(tǒng)計獨立,那么和 N維概率密度函數(shù), 邊緣概率密度函數(shù)和條件概率密度函數(shù)分別為(mn):2.3.2.1數(shù)值

9、例子. 如果兩個隨機變量 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為證明 是統(tǒng)計獨立的.因為所以 是統(tǒng)計獨立的.2.3.3 統(tǒng)計矩(Statistical Moment) 引言 實際上想要確定一個概率函數(shù)是很困難的, 甚至是不可能的, 有時也不是絕對需要的. 例如, 混凝土的強度的實驗估計幾乎不可能確定支配樣本強度值的精確概率法則. 通常實驗室試驗的目的是估計平均強度值和偏離這個平均強度值的程度. 從設(shè)計的觀點看, 確定某些統(tǒng)計參數(shù)-所謂統(tǒng)計矩-是足夠的,因為這些參數(shù)包含了概率函數(shù)形狀和性質(zhì)的重要信息. 平均(期望)值 mean (expected)value 為了定義統(tǒng)計矩, 我們需要介紹隨機變量 或隨機變量 的

10、函數(shù) 的平均(期望)值的概念, 它被定義為以下的一個線性操作.對于離散隨機變量 :對于連續(xù)隨機變量 : 如果 , 那么函數(shù) 的平均值被稱為n-階統(tǒng)計矩, 記為 . 最有用的統(tǒng)計矩是一階矩和二階矩, 分別稱為均值和均方值:如果 ,那么函數(shù) 的平均值被稱為n-階中心統(tǒng)計矩, 記為 . 最有用的中心統(tǒng)計矩是二階中心矩,被稱為方差 (variance) ,即方差和它的根 (標準差standard deviation)是測量隨機變量偏離均值的離散程度. 變異系數(shù)(coefficient of variation)定義為:它是無量綱測量隨機變量偏離均值的離散程度. 偏度系數(shù)(skewness)定義為:這個

11、無量綱系數(shù)提供概率密度函數(shù)形狀的對稱性信息. 概率密度函數(shù) 是對稱于平均值. 概率密度函數(shù)集中在左邊, 而 概率密度函數(shù)集中在右邊. 峰度系數(shù)(kurtosis)定義為:這個系數(shù)提供隨機變量的概率密度函數(shù)離開均值接近于零的速率. 值大表明分布的尾部厚度增加, 這樣在離平均值一定距離的極值實現(xiàn)的概率比較高.值得注意,了解 對于一個隨機變量的統(tǒng)計特性往往是足夠的, 并不要求概率密度函數(shù)的完整的描述. 把上面的關(guān)系推廣到 個隨機變量的情況, 函數(shù) 的平均值定義為 假定有兩個隨機變量 和 的均值分別為 和 , 那么定義兩個隨機變量的相關(guān)(corelation) 和協(xié)方差(covarince) 定義兩個

12、隨機變量的無量綱的相關(guān)系數(shù)可以證明 如果兩個隨機變量的均值為零,那么 如果 , 那么兩個隨機變量 的被稱為不相關(guān). 如果 那么兩個隨機變量 被稱為統(tǒng)計獨立, 因此有2.3.3.1 數(shù)值例子 求證證明:2.3.3.2 數(shù)值例子 求證 證明:2.3.3.3 數(shù)值例子 求證兩個隨機變量 的相關(guān)系數(shù) 的范圍為證明: 假定這兩個隨機變量 的均值分別為 , 那么我們定義兩個新隨機變量 對于任何實數(shù) , 兩個隨機變量取任意值,不等式 都成立. 因此有 要使上面的右邊的不等式,即關(guān)于 的一元二次方程的不等式,成立, 那么它的判別式一定要小于等于零. 即有我們來進一步證明上面推理成立, 上面左式得到即得到上面右

13、式2.3.4 特征函數(shù) 特征函數(shù)定義為特征函數(shù)或矩生成函數(shù)可以用來確定統(tǒng)計矩的另外一種方法. 對特征函數(shù)做泰勒級數(shù)在 處的展開:其中:所以, 對特征函數(shù)的對數(shù)也做泰勒級數(shù)在 處的展開:所以:其中:系數(shù) 被稱為半不變量或累積量(semi-invariants),它與統(tǒng)計矩有關(guān), 即無量綱系數(shù) 可以用半不變量來表示: 上面的關(guān)系也可以推廣到n個變量的情況. 這里給出前三個聯(lián)合半不變量, 定義如下:2.3.5 車比雪夫不等式 (Chebyshevs Inequality) 引入車比雪夫不等式的目的. 在結(jié)構(gòu)分析和設(shè)計中,目的是估計應(yīng)力或應(yīng)變響應(yīng)超過某一極限的概率. 為了完成這個目的, 我們需要確定感

14、興趣的隨機響應(yīng)量的分布. 如果這樣的確定不能達到, 人們就要利用近似技術(shù)來計算它們超過某一極限的概率. 這個技術(shù)是基于車比雪夫不等式并考慮均值 和標準 差 . 車比雪夫不等式為來證明這個不等式:(a)根據(jù)定義有(b)另外有(c) 考慮到積分極限有所以:比較(a)和( c)車比雪夫不等式得到證明.結(jié)構(gòu)隨機振動022.4 隨機變量的變換 問題的提出 感興趣的工程中的許多量是隨機變量 的線性或非線性的變換 . 假定 定義為 的一一對應(yīng). 的任一值是一個隨機事件, 因為它聯(lián)系隨機變量 的一個指定值的實現(xiàn). 問題是:已知 的累積分布 和概率密度函數(shù) , 隨機變量 的累積分布 和概率密度函數(shù) 是什么? 條

15、件是隨機變量 是連續(xù)的, 函數(shù) 是單調(diào)增加(或減少)的,并且可微的, 我們得到 證明上式(a) 假定 是增函數(shù), 那么對上式求導數(shù)得到概率密度函數(shù):(b)如果 是遞減的, 那么對上式求導得到概率密度函數(shù):(a)和(b)考慮在一起就證明了上面的問題: 如果 不是一一對應(yīng) 假定隨機變量 的 個值 滿足方程 , 那么這個變換關(guān)系為 例題2.4.1 如果隨機變量 有零均值概率密度函數(shù) , 我們來確定隨機變量 的概率密度函數(shù). 我們知道隨機變量 的每一值 對應(yīng)隨機變量 的兩個值那么有考慮對稱性 上式變?yōu)?一個隨機向量 的一一對應(yīng)的n-維變量的映射 : 那么概率密度函數(shù)變換為其中 是雅克比(Jacobia

16、n)變換 如果 是 維,并且 , 這種情況可以把 擴充為 維,方法如下:利用邊緣概率密度函數(shù)的概念有如果 我們有 , 那么有2.5 一些有用的概率分布2.5.1 正態(tài)分布(或高斯分布)Normal (or Gaussian) Distribution 隨機變量 的正態(tài)分布標記為 ,概率密度函數(shù)為正態(tài)分布是關(guān)于平均值 對稱的,并且 . 另外半不變量 . 標準狀態(tài)分布為 正態(tài)隨機變量有些很有用的性質(zhì). 在工程應(yīng)用中最重要有:如果 是正態(tài)隨機變量 的線性變換, 那么 也是正態(tài)分布的隨機變量.如果 , 那么 .也就是高階統(tǒng)計矩都可以用 和 來表示. 如果 是統(tǒng)計獨立的隨機變量,并且有有限均值和標準差,

17、 那么隨機變量 當 時它的分布趨于正態(tài)分布. 這個性質(zhì)就是中心極限定理. 任何具有均值 方差 的非正態(tài)隨機變量的概率密度函數(shù)可以近似用標準正態(tài)分布 ,高階半不變量 和Hermite多項式 來表示. 令 , 這個非正態(tài)隨機變量的概率密度函數(shù)表示為其中 n-維正態(tài)分布隨機向量 的概率密度函數(shù)為其中:稱為協(xié)方差矩陣 正態(tài)隨機向量 的一個極其有用的性質(zhì)是:其中例題2.5.1.1 如果隨機變量 ,相關(guān)系數(shù)為 求證我們?nèi)∮凶C畢.2.5.2 瑞利, 韋布爾,泊松,平均分布 瑞利(Rayleigh)分布:在研究隨機振動的振幅值, 以及在噪聲理論中很有用. 韋布爾(Weibull)分布:許多產(chǎn)品的壽命(如軸承的

18、疲勞壽命)服從這個分布. 泊松(Poisson)分布, 它是離散型隨機變量的一種重要分布,它的概率分布為:其中 . 泊松分布的均值和方差都等于 . 平均分布(uniform distribution):一般隨機初相角被認為是在 區(qū)間內(nèi)是平均分布的.課堂練習:1. 如果 和 是兩個統(tǒng)計獨立的, 概率分布分別為 的隨機變量, 確定隨機變量 的概率密度函數(shù).2. 確定隨機變量 的概率密度函數(shù), 假定3. 如果兩個隨機變量 和 都服從標準正態(tài)分布N(0,1),相關(guān)系數(shù)為 , 求 . 可以利用例題2.5.1.1的結(jié)果.2.6 隨機過程(Stochastic Process) 什么是隨機過程? 我們回憶一

19、下隨機變量的定義.它是概率空間到實數(shù)域的一個映射, 即 , 簡寫為 . 如果概率空間的每一元素被映射為與時間有關(guān)的一條隨機變化的記錄, 即 ,簡寫為 , 這被稱為隨機過程. 這實際上隨機過程是這些隨時間變化的記錄的集合. 那么如何描述一個隨機過程?每給一個時刻 , 那么每一條記錄在這一時刻對應(yīng)的值,構(gòu)成一個隨機變量 . 如果在 個時刻 , 那么有 個這樣的隨機變量 即 , 簡寫為 所以隨機過程也可以定義為一組隨機變量的集合. 就可以用描述隨機向量的方法來描述這個隨機過程. 完整地描述一個隨機過程需要確定 階的聯(lián)合概率密度函數(shù).即2.7 非平穩(wěn), 平穩(wěn)和各態(tài)歷經(jīng)隨機過程這一節(jié)來處理隨機過程的兩個

20、基本性質(zhì). 第一是關(guān)于指定時刻 的隨機變量 的統(tǒng)計特性的依賴性; 第二是關(guān)于前面通過集合分析得到的統(tǒng)計特性是否可以通過對每一條記錄的統(tǒng)計特性分析來代替. 非平穩(wěn)和平穩(wěn)(Non-stationary and stationary)隨機過程如果指定時刻有一個延遲 時間 , 下面的關(guān)系成立, 那么這個隨機過程就是平穩(wěn)隨機過程.不滿足這個關(guān)系就是非平穩(wěn)隨機過程. 強地面運動就是屬于非平穩(wěn)隨機過程. 各態(tài)歷經(jīng)隨機過程(Ergodic Stochastic Processes) 平穩(wěn)隨機過程依賴于時間的統(tǒng)計特性是通過樣本空間的不同實現(xiàn)的“豎向”分析得到的, 如果它們和任意一條記錄(實現(xiàn))的“橫向”分析的統(tǒng)

21、計特性一致, 那么這個平穩(wěn)隨機過程被稱為各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程. 平穩(wěn)和各態(tài)歷經(jīng)隨機過程的關(guān)系. 一個各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程一定是平穩(wěn)的; 而平穩(wěn)的隨機過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的. 弱平穩(wěn)和弱各態(tài)歷經(jīng)上面的隨機過程的數(shù)學分類是很嚴格的. 要求 階的聯(lián)合概率密度函數(shù)是很少能做到. 一般就要放松這個定義,只需平均值和相關(guān)函數(shù)保持平穩(wěn)就可以. 這樣就有所謂弱平穩(wěn)隨機過程, 也稱為廣義平穩(wěn)隨機過程. 如果那么這個弱平穩(wěn)隨機過程是弱各態(tài)歷經(jīng)的.2.7.1 數(shù)值例子證明隨機過程 是平穩(wěn)和各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程.其中 是正常數(shù), 而 在區(qū)間 中均勻分布.(a) 垂直分析:(b)橫向分析:證畢.2.8 平穩(wěn)-各態(tài)歷經(jīng)隨機過程

22、的統(tǒng)計描述 各態(tài)歷經(jīng)過程是被假定的, 沒有經(jīng)過數(shù)學證明. 在各態(tài)歷經(jīng)的假定下, 一條記錄分析得到的統(tǒng)計特性可以被認為是整個隨機過程的特性. 讓我們假定一個各態(tài)歷經(jīng)隨機過程 有一條足夠長的總持時為 秒記錄 . 一個隨機過程 的第一水準分析包括均值,方差,和變異,偏度和峰度等無量綱系數(shù). 這些統(tǒng)計特性的計算足夠近似估計隨機過程 包括一階統(tǒng)計描述的分布. 很自然, 第一水準統(tǒng)計描述是有限的,并且是不夠的. 它沒有關(guān)于這個隨機過程的相鄰值的相關(guān)和依賴程度的信息. 兩個具有相同一階統(tǒng)計特性的隨機過程可以顯示不同的形狀(如圖2-7).這個差別不是局限于時域變化, 它是反映這兩個記錄的頻率含量.前者有比較寬

23、的頻率含量, 后者有比較窄的頻率含量. 上面的例子說明需要了解關(guān)于隨機過程的時間進程和頻率含量. 也就是需要引入統(tǒng)計分析的二階或高階項.2.8.1 自相關(guān)函數(shù)(Autocorrelation Function) 一個平穩(wěn)/各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程 的時間進程的一個非常有用的統(tǒng)計特性被表示為自相關(guān)函數(shù) , 它揭示了隨機過程的不同的兩個時刻 的值 的相關(guān)程度. 是時間延遲 .自相關(guān)函數(shù)定義為: 自協(xié)方差函數(shù)(Cross-correlation Function)定義為: 自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 互相關(guān)函數(shù),互協(xié)方差函數(shù)與其性質(zhì)1.互相關(guān)函數(shù):2.互協(xié)方差函數(shù)3.主要特性a)不是偶函數(shù),但有b)極大值不在 處,

24、 但有2.8.2 功率譜密度函數(shù)(Power Spectrum Density Function) 隨機過程的二階統(tǒng)計信息是在時間域中求得的, 在頻率域中也有相應(yīng)的表示,即功率譜密度函數(shù). 對于 平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度函數(shù)它是和這個平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)形成Fourier變換對. 功率譜密度函數(shù)是偶函數(shù),即 在負頻率處的功率譜值沒有直觀的物理意義,在工程應(yīng)用中,往往引入單邊功率譜密度函數(shù) 功率譜密度函數(shù)下的面積等于均方值,即 互功率譜密度函數(shù)定義為主要性質(zhì):(1)它們一般不是實數(shù);(2)它們一般不是偶函數(shù), 但滿足下面關(guān)系(3)它們的模滿足下面關(guān)系注意:互譜沒有明顯的物理意義, 但隨機振動計

25、算涉及它們.2.9平穩(wěn)-各態(tài)歷經(jīng)隨機過程的線性變換 微分操作 這個式子說明一個隨機過程和它的時間導數(shù)是不相關(guān)的. 卷積積分 其中 是 的Fourier變換, 星號 表示共軛函數(shù). 例題 白噪聲過程 在頻率域 范圍, 其自功率譜為一常數(shù) , 研究其自相關(guān)函數(shù).解先研究限帶白噪聲:討論:其中 是Dirac函數(shù), 它有如下的性質(zhì):自相關(guān)函數(shù)見圖自相關(guān)函數(shù)是一直線結(jié)構(gòu)隨機振動032.10 正態(tài)-高斯隨機過程 我們已經(jīng)知道隨機過程的完整的統(tǒng)計描述是要求確定它的n-階概率密度函數(shù), 并且這也是不現(xiàn)實的. 對于大多數(shù)情況,一般僅限于了解隨機過程的一階概率密度函數(shù)(常常只通過了解某種統(tǒng)計矩)和二階功率譜密度函

26、數(shù)(或是自相關(guān)函數(shù)). 但是這些有限的信息是不可能唯一確定一個隨機過程, 因為有許多具有這樣的統(tǒng)計信息, 但它們有明顯不的性質(zhì). 盡管這樣, 對于我們經(jīng)常遇到的正態(tài)平穩(wěn)/各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程, 知道功率譜密度函數(shù)(或相關(guān)函數(shù))就足夠描述這個隨機過程的完整統(tǒng)計特性. 因為高階的統(tǒng)計信息可以從二階統(tǒng)計信息來構(gòu)成.我們在前面已經(jīng)接觸過. 上面提及的正態(tài)平穩(wěn)隨機過程性質(zhì), 再加上這種隨機過程的線性變換的正態(tài)性的保持, 使得它的功率譜密度函數(shù)和相關(guān)函數(shù)在線性隨機振動中有很大用處.2.11 窄帶隨機過程的包絡(luò)和極值 什么是窄帶隨機過程? 對于功率譜密度函數(shù)的最簡單的模型是所謂帶限噪聲如圖所示.(1)當 它是

27、簡諧(單色)隨機過程;(2)當 它是白噪聲隨機過程.窄帶隨機為什么研究過程?對于一個振蕩系統(tǒng),它相當于一個濾波器, 它的輸出一般是比輸入的帶寬要窄. 這個窄帶輸出的較高階的統(tǒng)計特性是很重要的,因為它超過極值的概率涉及結(jié)構(gòu)的倒塌;它超越某一中間界限的次數(shù)涉及結(jié)構(gòu)的疲勞損傷. 窄帶隨機過程的極值的研究.一般對于對于一個隨機過程的極值的研究是相當復雜的, 因為在指定時間間隔內(nèi)某一幅值的極值出現(xiàn)的概率要涉及高階聯(lián)合統(tǒng)計特性.但是對于一個窄帶隨機過程這種分析要簡單得多.我們假定一個窄帶隨機過程 , 它具有隨機幅值 (它相當于 的包絡(luò)),循環(huán)頻率 (相應(yīng)于 的中心頻率)和隨機相角 ,設(shè)為假定這個窄帶隨機過

28、程 是正態(tài)分布的,上面提及的參數(shù)可以確定如下:期望中心頻率 是包絡(luò) 是隨機相角 的概率假定為在 是均勻分布考慮到 和它的導數(shù) 是正態(tài)平穩(wěn)/各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程, 那么包絡(luò)過程 的概率密度函數(shù) 是瑞利分布(Rayleigh distribution). 隨機過程的交差問題 如果隨機過程 表示一個振蕩器的響應(yīng), 那么上面提及的包絡(luò)過程的統(tǒng)計特性提供了一個期望交差率(單位時間交差次數(shù)的期望值)的估計手段和響應(yīng)界限 之間的時間的估計手段. 正交差率(即從下面向上穿過界限 的次數(shù) )的期望值 是對于正態(tài)隨機過程, 這個量等于從上面公式可以得到一個正態(tài)窄帶隨機過程0界限( )的交差率為它可以用來估計振動的平

29、均頻率, 進而估計在給定時間內(nèi)的振動的平均循環(huán)數(shù).第三章 單自由度系統(tǒng)對隨機輸入的響應(yīng)3.1 引言 這一章的目的:(1)介紹一些基本動力性質(zhì), 包括SDOF系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和復頻率響應(yīng)函數(shù);響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù);在時間域和在頻率域響應(yīng)都等于結(jié)構(gòu)性質(zhì)乘以荷載. (2)詳細介紹荷載為正態(tài)分布的白噪聲的解. (3)SDOF系統(tǒng)的動力響應(yīng)的極值的統(tǒng)計分析.3.2 問題的描述圖示SDOF系統(tǒng)是地震動,假定是各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機過程的一個實現(xiàn).是對 的一個響應(yīng).我們希望這個響應(yīng)不要超過某一極限值 ,否則結(jié)構(gòu)要倒塌.這里必須在統(tǒng)計意義上來研究.即要研究:其中 是y的概率密度函數(shù), 是倒塌的概率.

30、是概率密度函數(shù),是所有可能的實現(xiàn) 的概率描述. 那么我們怎樣來得到它, 本質(zhì)上說是這一章的任務(wù).3.3 SDOF系統(tǒng)圖示系統(tǒng)的運動方程為為了方便兩邊除以M,得到3.3.1 時間域求解注意: (1)上面積分在 為零,因為此時荷載 為零.(2)對初始條件即初位移和初速度的響應(yīng)沒有包括,因為這部分隨時間推移會衰減掉的.(3) 是脈沖響應(yīng)函數(shù)(脈響函數(shù)).因為我們輸入一個脈沖得到的響應(yīng)就是它 .3.3.2 頻率域求解我們對運動方程 作Fourier變換得到解為其中 為復頻率響應(yīng)函數(shù)等于注意: (1) 是 的FT.(2) 時間域的單位脈沖函數(shù)的卷積積分被頻率域的簡單乘法所替代.(3) 復頻率響應(yīng)函數(shù)說復

31、數(shù)可以寫成3.4 SDOF系統(tǒng)的隨機響應(yīng)3.4.1正態(tài)分布的假定 假定響應(yīng) 是正態(tài)分布的, 那么就需要計算兩個統(tǒng)計量當 的極限. 通常對于處于彈性,并且在初始平衡位置的SDOF系統(tǒng) . 如何計算 ?如果利用上面的式子, 它需要很長的持時,理論上是無窮長.所以我們可以用別的方法.下面先介紹Parseval定理.3.4.2 Parseval定理Parseval定理為: 如果 是兩個各態(tài)歷經(jīng)的過程,它們相應(yīng)的Fourier變換為 ,那么令 , 上面關(guān)系變?yōu)樽詈笪覀兊玫? 在上面式子中定義為功率譜密度函數(shù).可以證明這個定義和我們前面定義的相關(guān)函數(shù)的Fourier變換為功率譜密度函數(shù)是一致的.最后我們得

32、到物理意義:3.5 頻率域解 3.5.1 功率譜密度函數(shù) 我們知道兩邊作Fourier變換有所以這和前面得到的式子一樣. 上面式子兩邊乘以它們的共軛再除以T,并令 得到有 這樣得到用上面公式可以計算 ,另外 , 這樣就可以利用Chebychev不等式或者正態(tài)分布函數(shù)來計算超過預(yù)定位移限值的概率.3.5.2 自相關(guān)函數(shù) 各態(tài)歷經(jīng)型的隨機過程,例如荷載函數(shù) ,它的自相關(guān)函數(shù)定義為兩邊作Fourier變換得到再作Fourier逆變換得到 上式如果 , 我們得到3.5.3 舉例3.5.3.1例題13.5.3.2例題23.6 在隨機荷載下的單層框架結(jié)構(gòu)的設(shè)計通過兩個例題來說明.3.6.1.1例題13.6

33、.1.2例題23.7 隨機動力響應(yīng)的極值3.7.1 顯著頻率 如果響應(yīng) 是正態(tài)分布,具有 的psdf, 那么在單位時間 內(nèi)穿過 的平均交差數(shù) 為上面式子中的兩個積分可以利用殘數(shù)方法去做, 在特殊情況下可以簡化.(1)是小阻尼,(2)隨機荷載譜接近常數(shù) 有這樣得到形狀頻率為 在單位時間 內(nèi)穿過非零界限 的平均交差數(shù)為其中 的方差 為3.7.2 響應(yīng)的包絡(luò)函數(shù) 的瑞利分布函數(shù)如果sdof系統(tǒng)有小阻尼, 并且隨機荷載有較寬的頻帶 即 ,那么響應(yīng)可以寫為其中位移幅值的包絡(luò) , 相角在 平均分布.我們假定隨機變量 和 的聯(lián)合分布概率密度函數(shù)為這兩個變量是獨立的所以有這是瑞利分布. 相角的概率密度函數(shù)為3

34、.7.3 舉例基于上面分析,包絡(luò)函數(shù) 超過指定值 的概率為這兩個隨機量的平均值為:結(jié)構(gòu)隨機振動04第四章 多自由度系統(tǒng)對隨機輸入的響應(yīng)4.2 Mdof系統(tǒng)隨機動力分析原則 線性系統(tǒng)的運動方程 這里阻尼是相對簡單的類型被稱為Rayleigh阻尼,阻尼矩陣可以是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合: 線性mdof系統(tǒng)的分析可以有四種方法:物理坐標廣義坐標時間域頻率域12344.2.1 時間域分析(物理坐標下). 運動方程的解為其中 是 的脈沖響應(yīng)矩陣. 其中元素 表示: 在第 個物理坐標上作用一個單位脈沖, 在第 個物理坐標上的響應(yīng). 如果荷載向量 是正態(tài)分布的, 那么正態(tài)響應(yīng) 的統(tǒng)計描述由均值向量 和相

35、關(guān)矩陣 (或協(xié)方差矩陣 )完成確定.a) 均值向量為后面的等式成立是對于平穩(wěn)過程而言, 它具有與時間無關(guān)的均值向量.b)假定是零均值,平穩(wěn)正態(tài)的激勵向量, 那么有均方值矩陣為4.2.2頻率域分析 (物理坐標) 對運動方程兩邊做Fourier變換可以得到:其中稱為頻率響應(yīng)矩陣在前一節(jié)有:兩邊做Fourier變換得到比較頻率域的有互成Fourier變換對.頻率響應(yīng)矩陣的元素 是第k個坐標有一個單位簡諧激振 , 在第j個坐標響應(yīng)幅值.即 均值向量可以寫為參考本頁第一式 對時間域的相關(guān)矩陣的公式做Fourier變換,可以得到 均方響應(yīng)矩陣4.2.3 時間域分析(廣義坐標) 將mdof系統(tǒng)解偶,成n個獨

36、立方程.坐標變換從物理坐標到廣義坐標,坐標變換矩陣為振型矩陣 . 設(shè) 為廣義坐標.代入運動方程,然后用 前乘方程兩邊得:考慮到振型矩陣對質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性, 又假定阻尼矩陣有 ,所以上面方程就可以解偶成:其中 是廣義力向量 中的第j個分量.展開寫為 解偶的方程的解為其中 最后得到mdof運動方程的解為比較時間域(物理坐標)的解得到 均值向量和相關(guān)矩陣為4.2.4 頻率域分析(廣義坐標) 上一節(jié)得到的解耦運動方程為兩邊做Fourier變換得到:其中 是解耦的第j個運動方程的頻響函數(shù),即這樣把n個解偶方程的頻率域的解寫在一起得到其中 稱為頻率域廣義坐標下的頻響矩陣,它是一個對角矩陣. 頻率

37、域物理坐標下的頻響矩陣與上面的頻響矩陣的關(guān)系為:它是 兩邊做Fourier 變換得到的. 下面我們在廣義坐標下表示響應(yīng)的功率譜密度函數(shù).我們曾經(jīng)得到物理坐標的響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)為我們把 代入上式得到:我們知道廣義力向量為 那么它的相關(guān)矩陣為即兩邊做Fourier變換得到于是得到第j個物理坐標的響應(yīng)的psdf為:這個式子可以把各個模態(tài)的獨立貢獻和耦合影響分開,即令那么對第j個物理坐標的響應(yīng)的psdf積分得到響應(yīng) 的方差4.2.5 例題 假定廣義力向量 的psdf矩陣 對所有頻率都是常數(shù)(白噪聲假定),即計算系數(shù)根據(jù)公式那么積分得到上面積分利用了Elishakoff1983年的結(jié)果.4.3 兩個

38、自由度系統(tǒng)在白噪聲激勵下的響應(yīng)分析 圖示系統(tǒng),運動方程為其中可以求出系統(tǒng)的兩個頻率和振型相應(yīng)的兩個模態(tài)阻尼比為 激勵被假定正態(tài)平穩(wěn)的白噪聲僅作用在第一個質(zhì)量上,荷載過程的psdh矩陣為: 在頻率域的物理坐標下求解, 首先要求出頻響矩陣在第一坐標作用 , 響應(yīng) 代入運動方程得到 求解上面方程得到 見書上的公式. 同理可以得到4.3.1.1 例題 上面的運動方程計算響應(yīng)的方差.a)按照方程 , 我們有所以得到系統(tǒng)響應(yīng)的psdf:b) 第一坐標響應(yīng)方差為其中 , 同樣可以計算第二坐標響應(yīng)方差 討論4.3.2頻率域廣義坐標下的解 將運動方程其中做如下的坐標變換得到這里 那么 廣義力的psdf矩陣 輸出

39、psdf矩陣其中所以 響應(yīng)的方差, 上面在頻率域內(nèi)積分得到 分析上面的式子. 前兩項是兩個模態(tài)的單獨貢獻, 第三項是模態(tài)相關(guān)的貢獻. 如果令 是第三項與前兩項和的比值, 并令那么 上式表明, 如果兩個頻率相差很大, 那么 ,說明模態(tài)相關(guān)貢獻可以忽略.如果不是這樣,不考慮模態(tài)相關(guān)貢獻誤差比較大. 圖4-3說明 小, 那么兩個頻率接近, 誤差大, 當 兩個頻率相差大,可以不考慮模態(tài)相關(guān)貢獻.4.4 荷載分量的互相關(guān)的作用 上一節(jié)我們考慮只有一個力的作用, 如果兩個質(zhì)量都有力的作用,那么會有什么不同.我們舉例來說明.4.4.1 例題 上圖中,兩個自由度系統(tǒng)遭遇基底加速度 的作用,假定它是平穩(wěn)白噪聲,

40、具有功率譜密度為 .它的運動方程為阻尼取Rayleigh型 , 我們有頻率和振型: 從物理坐標到廣義坐標的變換得到 廣義力的功率譜密度矩陣,因為所以即 計算響應(yīng)方差其中利用前面得到的公式得到結(jié)構(gòu)隨機振動05補充:結(jié)構(gòu)平穩(wěn)隨機響應(yīng)的虛擬激勵法一. 結(jié)構(gòu)受單點平穩(wěn)激勵假定外部激勵是一個平穩(wěn)隨機過程(通常還假定是服從正態(tài)分布的), 則一般給出它的自功率譜函數(shù) (對于多點激勵問題則給出激勵功率譜矩陣 ).結(jié)構(gòu)分析的主要計算量用于計算重要的位移,內(nèi)力等響應(yīng)量的功率譜密度. 然后計算出相應(yīng)的譜矩(特別是方差,二階矩). 根據(jù)這些功率譜和譜矩, 就可以計算各種直接應(yīng)用于工程設(shè)計的統(tǒng)計量, 例如導致結(jié)構(gòu)首次超

41、越破壞的概率或疲勞壽命, 評價汽車行駛平順性的指標等. 顯然,改進結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜密度的計算方法, 使其計算方便,高效,精確, 對于推進隨機振動成果的實用性具有重要意義. 虛擬激勵法就是為此目的而發(fā)展起來的假定方法. 下面先按單激勵問題來闡述其基本原理.1.基本原理我們知道輸入功率譜和輸出功率譜的關(guān)系是其中 是頻率響應(yīng)函數(shù), 它的物理意義是單位簡諧輸入時系統(tǒng)響應(yīng)的幅值,即現(xiàn)在我們構(gòu)造一個虛擬激勵 , 即在上面的輸入前乘以輸入的功率譜的開方 ,它對于時間來說是常數(shù),這樣有虛擬響應(yīng)量 . 如圖所示這樣有如果上述系統(tǒng)中有兩個虛擬響應(yīng)量即那么有利用以上式子可得關(guān)于功率譜矩陣的算式上述虛擬激勵法用起來很方

42、便, 只要是線性系統(tǒng),就能用.這是因為虛擬簡諧因子 與它的共軛 總是成對出現(xiàn),最終相乘而抵消;這反映了平穩(wěn)問題的自譜互譜非時變性.例1 用虛擬激勵法計算平穩(wěn)隨機過程各階導數(shù)的自譜及其相互之間的互譜. 設(shè)平穩(wěn)隨機過程 的自譜密度 為已知.構(gòu)造虛擬激勵其各階導數(shù)為所以利用以上簡單計算,可以避免許多記憶的麻煩.例2 用虛擬激勵法推導Kanai-Tajimi過濾白噪聲表達式.設(shè)基巖的水平加速度 為平穩(wěn)隨機過程,其自譜為白譜 . 地面運動方程為即其中構(gòu)造虛擬基巖水平加速度代入運動方程得到虛擬地面絕對加速度為于是由虛擬激勵法推導出地面加速度的自功率譜表達式為這正是Kanai-Tajimi過濾白譜公式.2.

43、 對復雜結(jié)構(gòu)的降階處理對于自由度很高的結(jié)構(gòu), 可以采用振型疊加法實現(xiàn)方程的降階, 以進一步提高計算效率. 通過下面例題說明.例3 求解結(jié)構(gòu)受均勻一致平穩(wěn)隨機激勵的響應(yīng). 設(shè)地面水平運動加速度為一零均值平穩(wěn)隨機過程, 其功率譜密度為 已知.離散結(jié)構(gòu)受地面激勵的運動方程為坐標變換到模態(tài)坐標即構(gòu)造虛擬地面加速度激勵假定阻尼矩陣為比例阻尼矩陣,這樣運動方程可以解耦為:其中 為振型參與系數(shù). 上面方程的解為其中因此這樣我們就得到響應(yīng)功率譜矩陣:這個結(jié)果和常規(guī)算法結(jié)果一樣, 但計算效率有很大提高.3. 對非正交阻尼矩陣的處理當結(jié)構(gòu)不具備正交阻尼性質(zhì)時, 用虛擬激勵法仍可以基于以上實振型而求出 的閉合解.

44、事實上, 這時 雖然不是對角陣, 但由于荷載是簡諧的, 所以仍可以求得 的閉合解.為此令把它代入下面方程可以得到其中這樣由上面方程求得 和 ,也就是得到 , 然后虛擬激勵法得到 .例4 某雙跨結(jié)構(gòu)的剛度,質(zhì)量,阻尼的分布如圖. 設(shè)地面運動加速度的功率譜密度為 , 不考慮各柱跟間地面運動的相位差.計算結(jié)構(gòu)位移向量的功率譜密度矩陣 和三根柱剪力的自功率譜密度向量構(gòu)造虛擬激勵則該結(jié)構(gòu)的運動方程為它的解可從下式得到可以求得其中三根柱虛擬剪力為所以所以二, 結(jié)構(gòu)受多點完全相干平穩(wěn)激勵火車軌道存在不平度. 火車在軌道上運行時,在同一條軌道上的任意兩車輪可以認為受到輪軌相同的隨機激勵, 但其間存在某一時間差

45、.大跨度橋梁的抗震分析一直是工程界極為關(guān)心的問題, 現(xiàn)在已經(jīng)普遍認為對這類結(jié)構(gòu)考慮不同地面節(jié)點的運動相位差(即所謂行波效應(yīng))是很重要的;導管架海洋平臺各個支腿受到的隨機力之間也必須考慮相位差. 對于這類問題,按傳統(tǒng)的隨機振動方法計算時工作量極大,稱為隨機振動工程應(yīng)用的一大障礙.其實上述問題皆可視為廣義的單激勵問題,略微推廣前節(jié)虛擬激勵法即可簡單地解決.設(shè)n自由度的彈性結(jié)構(gòu)受多點(m點)異相位平穩(wěn)隨機激勵設(shè) 的自譜密度為 已知, 效應(yīng)的虛擬激勵為顯然,與 相應(yīng)的虛擬激勵為 ;而與前面的虛擬激勵為在此虛擬激勵作用下結(jié)構(gòu)的運動方程為其中 為 常量矩陣,表征外力分布情況.當 很大時先用振型疊加法降階.

46、先求出q個特征向量 和特征值它們滿足正交規(guī)一條件:方程降階為其中我們可以利用前面的方法來求解,不管阻尼矩陣是否正交.可以求得各種相應(yīng)量的自譜和互譜.三, 結(jié)構(gòu)多點部分相干平穩(wěn)激勵汽車運行時, 其各車輪所受的路面隨機激勵之間通常并非如上節(jié)所述的是完全相干, 又非彼此完全不相干, 而是部分相干. 大跨度橋在地震荷載作用下,除了必須考慮不同地面節(jié)點的運動相位差(行波效應(yīng))外,還應(yīng)考慮地震波并非嚴格出自一點, 以及因土壤介質(zhì)不均勻而造成各點激勵之間相干性的損失;陣風作用于建筑物上時,同一迎風面的不同點處所受的隨機陣風荷載之間也是有部分相干性的. 處理這類問題比上節(jié)處理完全相干問題更為困難. 用上節(jié)的虛

47、擬激勵方法為基礎(chǔ),再前進一步也就可以解決現(xiàn)在的問題.設(shè)n個自由度的線性結(jié)構(gòu)受多點(m點)部分相干平穩(wěn)隨機激勵作用 , 其功率譜矩陣 已知. 它一般不能分解為前面的兩個向量相乘的形式(2.2.10). 但由于功率譜矩陣必定是一厄密特矩陣,所以它可以被表達成下式我們對每一階特征對構(gòu)造下列虛擬激勵就可以將 表達為以下形式這種情況的虛擬激勵與上節(jié)的虛擬激勵有一樣的形式, 其虛擬響應(yīng)按上節(jié)的方法計算,首先得到不能證明:還可以求其它譜矩陣. 設(shè)虛擬激勵還可以有其它方法.結(jié)構(gòu)隨機振動06第五章(部分)線性系統(tǒng)對非平穩(wěn)激勵的響應(yīng)1. 分析的基本原則 假定 是具有零均值和單位方差的各態(tài)歷經(jīng)的正態(tài)隨機過程 的一個

48、實現(xiàn), 并且把它做一個下面的代數(shù)變換 上面的非正態(tài)荷載激勵一個單位質(zhì)量,固有頻率 和阻尼比 的線性系統(tǒng)得到下面的平衡方程 沒有精確的方法來確定非正態(tài)響應(yīng)的概率分布, 我們可以計算它們的前四階矩, 或相應(yīng)的無量綱參數(shù) ,然后通過(2.46)公式來近似估計響應(yīng)的分布.(a)均值 ;考慮到正態(tài)分布 隨機變量有下面的性質(zhì)(見2.5.1)我們得到所以(b) 方差計算響應(yīng)的方差需要計算激勵的相關(guān) 我們就可以得到激勵的相關(guān)為(c) 偏度系數(shù)其中 是三階自相關(guān)函數(shù)可以參照前面的方法求得這樣我們可以得到(d) 峰度系數(shù)其中 是四階自相關(guān)函數(shù)上面的結(jié)果也可以用二階自相關(guān)函數(shù) 來表示.我們也可以得到我們需要利用數(shù)值

49、計算來求解 , 最后得到峰度系數(shù): 從上面分析可以看出,響應(yīng)的分布計算是相當復雜的.下面介紹一種比較有效的方法.2. 可分性方法(Separability Method) 這個方法在計算響應(yīng)參數(shù)( )時, 避免計算高階自相關(guān)函數(shù), 用下面方法來代替:其中 很明顯, 上面的計算要比計算高階自相關(guān)函數(shù)簡單. 對于正態(tài)分布 . 動力響應(yīng)有一個正態(tài)化影響, 也就是 偽靜力響應(yīng)和激勵的非正態(tài)分布相同例題 運動方程為計算響應(yīng)的參數(shù) . 假定 利用前面的式子可以得到激勵的參數(shù) 前面公式 得到把它代入得到 這樣響應(yīng)的參數(shù)變?yōu)槲覀冎烂}沖響應(yīng)函數(shù)為其中最后得到可以看出當阻尼減小,動力放大稱為主要,但響應(yīng)參數(shù) 接近于3,正態(tài)分布的峰度系數(shù).3. 混合分布現(xiàn)在我們來估計響應(yīng)的概率分布. 剛才我們分析知道,當阻尼很小時響應(yīng)接近正態(tài)分布, 當忽略動力時響應(yīng)接近激勵的分布.于是我們可以認為在一般情況下響應(yīng)的分布在它們之間.我們令, 那么響應(yīng)的概率分布為 這里 是在0,1區(qū)間內(nèi). 那么如何來確定這個值呢?1) 首先用前面的方法計算2) 然后用我們假定的響應(yīng)概率分布來計算響應(yīng)參數(shù)得到3) 使下面均方誤差最小得到 .數(shù)值例子，還是上面的例題，計算響應(yīng)的概率密度函數(shù)。 利用書上（5.3）和（5.6）公式，以及可分性方法來計算概率的幾個參數(shù)。