第五課分式比例的性質(zhì)

1、第五課 分式，比例的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)： 理解分式的基本性質(zhì) ，會用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行簡單恒等變形；理 解比例的性質(zhì)，會應(yīng)用比例的性質(zhì)化簡。一、基本概念1. 分式的基本性質(zhì) 分式的分子與分母都同時乘以或除以同一個 不為零 的整式，分式的值不變 這個性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì) 。用式子表示是 A=A? ； A=A（其中 M是不為零的整式）。B B? B B2（1） 當(dāng)分子、分母都含有負(fù)號時，分子、分母應(yīng)同乘以 -1, 使分式的值不變， 且分子分母都不含負(fù)號。當(dāng)分子或分母含有負(fù)號時， 利用分式的基本性質(zhì)及有關(guān)法則， 把分子或分母的符 號變?yōu)榈姆枴?合比性質(zhì)的表達(dá) 文字：在一個比例里， 第一個比的前后項的和

2、與它后項的比， 等于第二個比的前 后項的和與它的后項的比，這稱為比例中的合比定理，這種性質(zhì)稱為合比性質(zhì)。字母：已知 ，且有 ， 如果，則有。推導(dǎo)過程：4 分比性質(zhì)的表達(dá) 文字：在一個比例等式中，第一個比例的前后項之差與第一個比例的后項 的比，等于第二個比例的前后項之差與第二個比例的后項的比。字母 ：已知 ，且有 ，如果 ，則有。推導(dǎo)過程合分比性質(zhì)的表述文字：在一個比例等式中， 第一個比例的前后項之和與第一個比例的前后項之差的比，等于第二個比例的前后項之和與第二個比例的前后項之差的比。字母：已知 ，且有 ，如果 ，則有。推導(dǎo)過程令則等比性質(zhì)的表達(dá)文字：在一個比例等式中，兩前項之和與兩后項之和的比

3、例與原比例相等字母：已知 ，且有 ，如果 ，則有推導(dǎo)過程證法證法二由合比性質(zhì)推論已知 ，且有 ，如果，則有更比性質(zhì)的表達(dá)文字：把一個比例的一個比的前項與另一個比的后項互調(diào)后 , 所得結(jié)果仍是 比例.字母：如果 a/b=c/d 那么 a/c=b/d （b、 d0）推導(dǎo)過程a/b=c/d 等號兩邊同乘 bd 得 ad=cb 同除 dc 得 a/c=b/d外項的積等于內(nèi)項的積文字：兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積，這叫做比例的 基本性質(zhì) 。字母：如果 （ ， ， ， 都不等于零），那么 推導(dǎo)過程用 去乘的兩邊， 得 bd ，所以 典型例題yxy例 1若 a、 x、y 都是不為 0 的數(shù)，將 1 的分子與

4、分母都乘以 y ，得到x則分式 1 與 y 相等嗎？ （ 相等 ）x xya 1 a b例 2： 1、若, 則_例 ： b 2 b,a b _,a 2bbba b 3 a b 分析： ,1,a 2b5b 2 b 2 b 22、如圖，已知 AE 2， EC 3且 AD AEDB EC 則 AB DB將分式 2x的分子與分母都除以 x，得到 2，分式 2x與2相等嗎？ （ 相等 ） ax a ax a1)1)AB AD DB分析：AE EC235DB DBEC333、已知x2,則3yxxyyx; 2xy分析：yx22 x y235x325; 2x y2g2314、若 a bc de f2,則bac

5、 def_a 2c 3eb2d3f(其中 bdf0,b2d3f0)分析：ace2b2c2f2; a2c3e 2bdfbdfb2d3f5、若 ace2,且ace 4，則bdfbdf3(其中 bdf0)分析：ace2,且ace4，則ace4bdbdf3bdf6例3 1、已知 x:y:z 1:2:3,則x 2y z zxx 2 y z x 4x 3x41zx3x x2、已知 xyz , 且2x yz 4, 則 x y z _235分析：xyz k,責(zé)2 x yz 4k 3k 5k 4235k 2則xy z 2k 3k5k 203、若2x 3y 4z,則 x: y: zxz xy分析：2x 3y 4z

6、 12k,則 x: y: z 6:4:3;x z 6k 3k 9 x y 6k 4k 2三、當(dāng)堂檢測1、下面各組中的分式相等嗎？為什么？m n與 2m 2na 2a2)ab 與 b 1ac c4) a 與 a2、下面的式子正確嗎？為什么？x2 x6m 12nm2n（1）=（ 2）x 1 2 x 18m 12 n2m3n3、若 3x 2y,則 x y4、若 mx ny, 則 x y5、ab若 a b c 0, 設(shè)acbc k, 則kcba四、課堂小結(jié)與反思五、課后練習(xí)231、若 2 a 與 a ，則x x42、若3,x 2, 4,x 1成比例，則 x 3、若 a m 2,那么 a m ;a mb

7、 n 3 b nb n(其中 b n 0,b n 0)4、已知 ABC的三邊分別為 a、b、c，且滿足 ab bc ca 則 ABC的形狀是 5、若 2x 5y,則下列比例式成立的是（）x A)yB) 5xyC) xy 252552y5abcD)3x6、若b c a c a bk,則 k 5、 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca (ab c)25、 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca (ab c)2第六課 因式分解學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)會 十字相乘法， 公式法，分組分解等 各種方法進(jìn)行因式分解， 熟記平方差，完全平方等常用的一些因式分解公式 。一、基本概念定義： 把一個多項式化為幾個最簡整式

8、的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式 分解(也叫作分解因式) .因式分解與整式乘法為相反變形，同時也是解一元二次方程中公式法的重要步驟二、因式分解三原則1分解要徹底(是否有公因式，是否可用公式)2最后結(jié)果只有小括號3最后結(jié)果中多項式首項系數(shù)為正(例如：3x2 x x( 3x 1) )三、基本方法(一) 提公因式法 ma mb mc m(a b c)如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成 兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做 提取公因式法 .找公因式的一般步驟：(1)若各項系數(shù)是整系數(shù)，取系數(shù)的最大公約數(shù)；( 2)取相同的字母，字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；

9、(3)取相同的多項式，多項式的指數(shù)取次數(shù)最低的；( 4)所有這些因式的乘積即為公因式 .( 5)如果多項式的第一項是負(fù)的，一般要提出“-”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為正數(shù)，提出 “-”號時，多項式的各項都要變號.口訣： 找準(zhǔn)公因式，一次要提盡；全家都搬走，留 1 把家守；提負(fù)要變號，變形看奇偶 .(二) 公式法 由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系， 某些多項式分解因式 .221、平方差公式：a2 b2 (a b)(a222、完全平方公式： a2 2ab b2 (a3、立方和公式：a3 b3 (a b)(a24、立方差公式：a3 b3 (a b)(a2如果把乘法公式反過來， 那么就可以用來把

10、b)b)2ab b2)ab b2)6、完全立方公式： a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)37、 a3 b3 c323abc (a b c)(a2b2 c2 ab bc ca)（三）分組分解法 能分組分解的多項式一般有四項或大于四項， 分法、三一分法 .（四）十字相乘法口訣： 首尾分解，交叉相乘，求和湊中1. 二次項系數(shù)為 1 的二次三項式 直接利用公式 x2 （p q）x pq （x 特點： （ 1）二次項系數(shù)是 1；（2）常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；（3）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和2. 二次項系數(shù)不為 1條件：（1）（2）（3） 分解結(jié)果：般的分組分解有兩種形式：p）（x q） 進(jìn)行分

11、解的二次三項式2axa1a2c1c2a1c2ax 2 bxbx c a1c1a2c2a2c1b a1c2 a2c1c=(a1x c1)(a2x c2)3. 二次項系數(shù)為 1 的齊次多項式 2例、 分解因式： a2分析：將 b 看成常數(shù)，( 16b)a 8b ( 16b)22例、 x2 y2 3xy 2把 xy 看作一個整體 1-11-2(-1)+(-2)= -3 解：原式 =(xy 1)(xy 2)28ab 128b 2把原多項式看成關(guān)于 a 的二次三項式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。18b1-16b8b+（-16b）= -8b 解： a2 8ab 128b2=a2 8b 4. 二次項系數(shù)不為 1

12、 的齊次多項式 例、 2x2 7xy 6y 21-2y2-3y（-3y）+（-4y）= -7y 解：原式 =（x 2y）（2x 3y）（五）換元法有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數(shù)，整體代入，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來，這種方法叫做換元法.注意：換元后勿忘還元 .（六）拆項、添項法這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數(shù)的兩項（或幾項） ，使原式適合 于提公因式法、運用公式法或分組分解法進(jìn)行分解.要注意，必須在與原多項式相等的原則下進(jìn)行變形 .（七）配方法 對于某些不能利用公式法的多項式， 可以將其配成一個完全平方式， 然后再利用平方差 公式，就能將其

13、因式分解，這種方法叫配方法.屬于拆項、添項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進(jìn)行變形 .（八）主元法先選定一個字母為主元，然后把各項按這個字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解特殊值法將2或10代入 x，求出數(shù) P，將數(shù) P分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后 的每一個因數(shù)寫成 2或 10的和與差的形式，將 2或 10還原成 x，即得因式分解式 . (十)待定系數(shù)法首先判斷出分解因式的形式， 然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)， 求出字母系數(shù)， 從而把多 項式因式分解 .(十一)長除法不足的項要用 0 補，除的時候，一定要讓第一項抵消、典型例題(一)提公因式法例 1分解因式 x

14、32x2x解：x3 2x2 xx(x22x 1)(二)公式法例 2、分解因式 a24ab4b2解： a2 4ab 4b2 (a 2b)2例 3、已知 a,b,c是 ABC的三邊，且 a2 b2 c2 ab bc ca ，則 ABC的形狀是 ( )A .直角三角形B .等腰三角形C .等邊三角形D .等腰直角三角形解：a2 b2 c2 abbcca222a2 2b222c2 2ab 2bc 2ca(a b)2 (bc)2(ca)2 0 abc(三)分組分解法例4、 分解因式 amanbmbn.解：原式 =(aman)(bm bn)= a(mn)b(mn)每組之間還有公因式！=(m n)(a b)

15、例 5、 分解因式 2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二項為一組；第三、四項為一組。解：原式 =(2ax 10ay) (5by bx) =2a(x 5y) b(x 5y) =(x 5y)(2a b)(四)十字相乘法例 6、 分解因式： x2 5x 6解法二：第一、四項為一組； 第二、三項為一組。原式= ( 2ax bx) ( 10ay 5by) = x(2a b) 5y(2a b) =(2a b)(x 5y)分析：將 6 分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5.由于 6=2 3=(-2) (-3)=16=(-1) (-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有 23 的分解適合，即 12132+3=5.

16、解：22x2 5x 6= x2 (2 3)x 2 3 = (x 2)(x 3) 用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵： 將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積， 次項的系數(shù) .例 7、 2x2 7xy 6y 21-2y2-3y12+13=5且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于22例 8、 x2 y 2 3xy 把 xy 看作一個整體解：原式 =(x(五)換元法(-3y)+(-4y)= -7y2y)(2x3y)解：21-11-2(-1)+(-2)= -3 原式 =(xy 1)(xy 2)例9、分解因式 (x2x 1)x2x 2)12解：令y x2 x則原式 (y 1)(y2)122 y3y10(y5)(y(x2 x5)(x2x2)

17、(x2x5)(x2)(x(六)拆項、添項法例10、分解因式 bc(bc)ca(ca)ab(ab)解：原式 bc(ca a b)ca(c a)ab(a b)bc(ca)bc(ab)ca(ca)ab(ab)bc(ca)ca(ca)bc(ab)ab(ab)(bcca)(ca)(bcab)(ab)c(ca)(ba)b(ca)(ab)2)1)(cb)(c a)(ba)七)配方法例 11、分解因式x24x 3解：原式 x2 4x4 4 3 (x 2)2 1(x 2 1)(x1) (x 3)(x 1)八)主元法2 2 2b)例 12、分解因式 a2(b c) b2(c a) c2(a解：原式 a 2 ( b

18、 c)a(b2c2)(b2cc2b)(bc)a2a(bc)bc(bc)(ab)(ac)(九)特殊值法例 13、分解因式 x 39x223x15解：令x 2 ，則 x39x223x158 3646 15 105將105分解成 3 個質(zhì)因數(shù)的積，即105 357注意到多項式中最高項的系數(shù)為 1，而 3、5、7分別為 x+1，x+3，x+5，在 x=2時的值 32則 x3 9x2 23x 15 (x 1)(x 3)( x 5)(十)待定系數(shù)法例 14、 分解因式 x4 x3 5x2 6x 4 解：由分析知，這個多項式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式于是設(shè) x4 x3 5x2 6x 4 ( x

19、22ax b)( x cx d )所以解得所以x 4 (ac)x 3 (ac baacadbd1，b 1， c2d ) x2 (ad bc) x bdc1bdbc42，dx3 5x2 6 x4 (x22x 1)(x2 2x 4)長除法例 15、 分解因式 3x3 5x2解：提示： x 1可以使該式 0，有因式 (x 1) ，如下圖，所以原式 (x 1)(3x2 2x 2)三、當(dāng)堂檢測1分解因式： a2 8ab 128b 22. 分解因式： 3x2 11x 103. 分解因式( 1) 2005x2 (20052 1)x 20054.5y 6 能分解因式，并分解此多項式 1和x 2，求 a b的值

20、 .2 (2) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x21）當(dāng) m 為何值時，多項式 x2 y 2 mx2）如果 x3 ax2 bx 8有兩個因式為 x四、課堂小結(jié)與反思五、課后練習(xí)1分解因式： x2 y 2 ax ay2 2 22. 分解因式： a2 2ab b2 c 23. 分解因式： x2 7x 64. 分解因式 x 2 xy 6y2 x 13y 6225、分解因式 x2 5xy 6y 2 8x 18y 126、 分解因式 ab b2 a b 2第七課 解方程（組）的方法學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)會解一元一次方程，一元二次方程，簡單的分式方程，及學(xué)會解二元一次方程組 。一、基本概念1. 解一元一

21、次方程的步驟： 去分母；去括號；移項；合并同類項：把方程化成 ax=b（a 0） 的形式； 得到方程的解 x=b/a.2 、解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”將它化為兩個一元一次方 程。一元二次方程有四種解法：（1）、直接開平方法；（2）、配方法；（3）、公式法；（4）、因式分解法。3. 解分式方程的基本思想就是設(shè)法將分式方程“轉(zhuǎn)化”為整式方程。（ 1）解分式方程的基本方法去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法，在方程兩邊同時乘以各分式的最簡公分 母，使分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程， 但要注意，可能會產(chǎn)生增根， 所以，必須驗根（ 2）解分式方程的其它方法1. 拆項法 2. 通分法 3. 交

22、叉相乘法4. 二元一次方程組的解法（1）代入消元法（ 2）加減消元法“消元”是解二元一次方程的基本思路。所謂“消元”就是減少未知數(shù)的 個數(shù)，使多元方程最終轉(zhuǎn)化為一元方程再解出未知數(shù)。 這種將方程組中的未知數(shù) 個數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。二、典型例題例 1一個三位數(shù)的百位數(shù)字是十位數(shù)字的 2 倍，個位數(shù)字比十位數(shù)字少 1，若把這個三 位數(shù)的百位數(shù)字跟個位數(shù)字對調(diào)，得到的新三位數(shù)比原三位數(shù)小396，求原三位數(shù)】分析：先找關(guān)鍵句 - “若把三位數(shù)的百位數(shù)字跟個位數(shù)字對調(diào)以后得到的新三位數(shù)比原三 位數(shù)小 396”，做這道題還要會用 x 表示三位數(shù)。若設(shè) 原三位數(shù) 的個位數(shù)字是 x，由題

23、意十位數(shù)字為 x+1，百位數(shù)字是 2（x+1） 原來三位數(shù)大小可表示為 2（x+1） 100+（x+1） 10+x對調(diào)后 新的三位數(shù) 個位數(shù)字是 2（ x+1），則十位數(shù)字為 x+1，百位數(shù)字是 x 新三位數(shù)大小可表示為 100 x+（ x+1 ） 10+2（ x+1） 解：設(shè)原來三位數(shù)的個位數(shù)字是x解：設(shè)原來三位數(shù)的個位數(shù)字是x由題意得到方程（ x+1） 100+（x+1）10+x=100 x+（x+1） 10+2（x+1）+3962（ x+1） 100+（ x+1） 10+x=100 x+（x+1）10+2（x+1）+396（約去代數(shù)式 ）2（x+1） 100+x=100 x+2 （ x+

24、1 ） +396（去括號）200 x+200+x=100 x+2x+2+39699x=198x=2（移項，合并同類項）系數(shù)化為 1）原來的數(shù)字個位 2，十位 x+1=3，百位 2（ x+1）=6。該三位數(shù)為 632 答：原來的三位數(shù)是 632例 2：（1）. 解方程： 2x 2 2 2b2-4ac （-3a） 2-4 1 （2a 2+ab-b 2） 3 5x2解：移項，得： 2x 2-5x 30，22）解方程： 2x2+7x-4 0 a 2，b7，c -4 22b2-4ac 72-4 2（-4） 49+32 81223）解方程： x2-a（3x-2a+b）-b 2 0（a-2b 0）2 2 2

25、x -3ax+2a -ab-b 022a1，b-3a ， c 2a2-ab-b 222 9a2-8a 2-4ab+4b a2-4ab+4b 2 (a-2b)當(dāng)(a-2b 0) 時，得(4) 2x2 5x 2 0解： 可以分解為( x-2)(2x-1)=0解得 x1=21x2=21221 x 1 ，約去分母，例 3：(1) x 1 x 2 1 解：方程兩邊都乘 x 得： x 1 2, x 1 。檢驗：當(dāng) x 1時， x 1 x 1 0 。 所以： x 1是增根，即：原方程無解。x 7 x 3 x 4 x 6(2) 解方程： x 9 x 5 x 6 x 8 。x 9 2 x 5 2x62x82解：

26、 x 9x5x6x822221111即 x 9x5x6x8，1111移項，整理，得 x 9x 8 x6x 5 ，x8x9x5x6x 9 x 8x 6 x5，11x 9 x 8x 6 x5，去分母，得x 6 x 5x9x8解得： x 7。經(jīng)檢驗， x7原方程的根。x 3 x4x1x2(3) 解方程：x 4 x5x2x3。方程兩邊分別通分，得222x 3 x 5 x 4 xx 5 x 411 即 x 5 x 4 x 3 x 2 ， x 5 x 4 x 2 x 3，7x解得2 。7x經(jīng)檢驗，2 是原方程的根。原方程的根是2 3x 3 2x(4) 解方程： 3x 1 2x 2 。7x解：原方程化為 2 3x 2x 2 3 2x 3x 1 ，整理得 13x 7 ， 13 7x經(jīng)檢驗 13 是原方程的根。7x原方程的根是13 。例4：(1)xy82x