﹡數(shù)學(xué)活動(dòng)平面鑲嵌2

1、第十一章 數(shù)學(xué)活動(dòng)平面鑲嵌南昌三中 李振江內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容多邊形的平面鑲嵌.內(nèi)容解析本節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)是在學(xué)習(xí)了多邊形及其內(nèi)角和的基礎(chǔ)上展開的，通過(guò)活動(dòng)探究引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)多邊形平面鑲嵌的條件，并運(yùn)用于探究活動(dòng)。它體現(xiàn)了多邊形及其內(nèi)角和知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.本節(jié)教材從生活中存在的平面鑲嵌圖案入手，引出平面鑲嵌的概念，然后探究了三個(gè)問(wèn)題：一是一種正多邊形的鑲嵌問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：公共頂點(diǎn)處各角的和為3600，然后分析得到只有正三角形、正方形和正六邊形能單獨(dú)鑲嵌；二是邊長(zhǎng)相同的兩種正多邊形的鑲嵌問(wèn)題，學(xué)生動(dòng)手操作得到正三角形與正方形鑲嵌后，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用規(guī)律：公共頂點(diǎn)處各角的和為3

2、600，借助方程思想探究?jī)煞N正多邊形平面鑲嵌的問(wèn)題；三是形狀、大小相同的任意三角形、四邊形的鑲嵌問(wèn)題，學(xué)生動(dòng)手鑲嵌后，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)三角形、四邊形的內(nèi)角和闡述能夠鑲嵌的原理.本節(jié)課的學(xué)習(xí)，通過(guò)讓學(xué)生動(dòng)手操作，經(jīng)歷從生活經(jīng)驗(yàn)抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，綜合應(yīng)用已有知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程。從而加深對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解，并培養(yǎng)動(dòng)手能力、歸納能力，以及理論與實(shí)踐相結(jié)合的能力.基于以上分析，確定本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)：通過(guò)動(dòng)手操作發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用平面鑲嵌的規(guī)律解決問(wèn)題.目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)理解平面鑲嵌的定義.掌握多邊形平面鑲嵌的條件；體會(huì)從特殊到一般，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的研究問(wèn)題的方法.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中培養(yǎng)動(dòng)手操作、合作探究、歸納總結(jié)的能力，積累數(shù)學(xué)

3、活動(dòng)的基本經(jīng)驗(yàn).目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志：學(xué)生能辨別平面鑲嵌，會(huì)用多邊形進(jìn)行平面鑲嵌.達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：學(xué)生能運(yùn)用多邊形平面鑲嵌的條件，探究正多邊形以及形狀、大小相同的任意三角形、四邊形的鑲嵌問(wèn)題；能理解特殊問(wèn)題的結(jié)論并運(yùn)用到一般問(wèn)題中去.達(dá)成目標(biāo)(3)的標(biāo)志：學(xué)生在小組活動(dòng)中積極動(dòng)手操作，敢于發(fā)表自己的想法，并能積極合作歸納出規(guī)律。積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本經(jīng)驗(yàn)：提出問(wèn)題動(dòng)手實(shí)踐尋求規(guī)律歸納總結(jié).教學(xué)問(wèn)題診斷分析八年級(jí)學(xué)生思維活躍，求知欲強(qiáng)，對(duì)于新學(xué)年的第一次活動(dòng)課興趣高昂。但對(duì)于平面鑲嵌的認(rèn)識(shí)來(lái)源于生活實(shí)際中的感性認(rèn)識(shí)，對(duì)其內(nèi)在規(guī)律關(guān)注不夠。因而在本節(jié)教學(xué)中教師應(yīng)通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，組織學(xué)生動(dòng)

4、手活動(dòng)，在活動(dòng)中與學(xué)生共同探究加深對(duì)平面鑲嵌的認(rèn)識(shí)，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在規(guī)律，將感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí).本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用平面鑲嵌的條件探究?jī)煞N正多邊形以及形狀、大小相同的任意三角形、四邊形的鑲嵌問(wèn)題.教學(xué)支持條件分析本節(jié)教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，需要課前準(zhǔn)備卡紙制作的不同顏色的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形和形狀、大小相同的任意三角形、四邊形進(jìn)行平面鑲嵌。為了便于小組合作與展示，還需要小黑板與不同顏色的磁釘.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)了解平面鑲嵌的有關(guān)概念教師引入本節(jié)課內(nèi)容：同學(xué)們，我們先來(lái)欣賞一組圖片（圖1）.這些是生活中常見(jiàn)的地面、墻面，這是蜜蜂的巢穴，這些都是著名藝術(shù)家的作品.圖1問(wèn)題1 （1）你能發(fā)現(xiàn)它們有

5、什么共同點(diǎn)呢？（2）你們想不想拼接出這么美麗的圖案呢？師生活動(dòng)：學(xué)生仔細(xì)欣賞圖片.教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)都是由相同的圖案拼接出來(lái)的,然后通過(guò)設(shè)問(wèn)引入課題，再給出平面鑲嵌在數(shù)學(xué)中的定義.追問(wèn)1：平面鑲嵌定義中你覺(jué)得哪些字比較重要？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)研讀定義找到關(guān)鍵字. 追問(wèn)2：給出圖案，請(qǐng)學(xué)生回答是不是平面鑲嵌？為什么？師生活動(dòng)：教師出示圖案讓學(xué)生判斷是不是平面鑲嵌？為什么？設(shè)計(jì)意圖：帶領(lǐng)學(xué)生欣賞鑲嵌圖片，讓學(xué)生感受到鑲嵌美，激發(fā)學(xué)生探索鑲嵌秘密的興趣，引入活動(dòng)課題平面鑲嵌.并提煉出平面鑲嵌的概念，便于學(xué)生理解.提問(wèn)學(xué)生找出關(guān)鍵字，再通過(guò)反例讓學(xué)生直觀的理解平面鑲嵌的特點(diǎn)：不重疊，完全覆蓋.通

6、過(guò)探究一歸納平面鑲嵌規(guī)律探究一：僅用一種正多邊形鑲嵌，哪些正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖案？問(wèn)題2 了解了平面鑲嵌的定義，現(xiàn)在請(qǐng)四個(gè)小組分別用正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形動(dòng)手拼一拼，看能否圍繞一個(gè)點(diǎn)平面鑲嵌？可以的話，最少用幾個(gè)？相鄰正多邊形最好顏色不同，以方便展示，開始！ 師生活動(dòng)：小組成員分工合作，用一種正多邊形圍繞一個(gè)點(diǎn)平面鑲嵌，教師巡視點(diǎn)撥.各小組活動(dòng)結(jié)束后，請(qǐng)各組派一位同學(xué)上臺(tái)展示.展示的學(xué)生回答是否能平面鑲嵌，最少用幾個(gè)正多邊形？追問(wèn)1：出示正三角形、正方形、正六邊形圍繞公共頂點(diǎn)平面鑲嵌的過(guò)程.我們發(fā)現(xiàn)這三種正多邊形都能圍繞公共頂點(diǎn)平面鑲嵌，為什么能鑲嵌？與什么有關(guān)系？ 師生活

7、動(dòng)：教師通過(guò)不斷的追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)公共頂點(diǎn)處各角的和為3600.（如果學(xué)生回答相鄰多邊形的公共邊相等，教師可以分析一下這是可以鑲嵌成平面圖案的條件）.追問(wèn)2：我們知道正五邊形每個(gè)內(nèi)角1080，誰(shuí)能解釋為何不能平面鑲嵌？其他正多邊形能否單獨(dú)鑲嵌？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論一：一種正多邊形平面鑲嵌只能用正三角形、正方形、正六邊形.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、觀察，對(duì)平面鑲嵌有了更多的感性認(rèn)識(shí)。老師不斷的追問(wèn)，讓學(xué)生上升到理性的認(rèn)識(shí)！從而發(fā)現(xiàn)并理解多邊形平面鑲嵌的條件：公共頂點(diǎn)處各角的和為3600，并思考解決一種正多邊形鑲嵌的問(wèn)題.通過(guò)探究二理解并運(yùn)用平面鑲嵌規(guī)律探究二：用邊長(zhǎng)相等的哪兩種正多邊

8、形能夠鑲嵌？問(wèn)題3 剛才我們探究了用一種正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌，那邊長(zhǎng)相同的兩種正多邊形呢？請(qǐng)先用正三角形和正方形拼一拼，看能否平面鑲嵌？能的話，最少用幾個(gè)？相鄰正多邊形最好顏色不同，開始！師生活動(dòng)：小組成員分工合作，用正三角形和正方形繞一個(gè)點(diǎn)平面鑲嵌，教師巡視點(diǎn)撥.活動(dòng)結(jié)束后，請(qǐng)只有一種拼法的同學(xué)上臺(tái)展示，展示的學(xué)生回答是否能平面鑲嵌，最少用幾個(gè)正三角形？幾個(gè)正方形？追問(wèn)1：有沒(méi)有不同拼法展示？師生活動(dòng)：學(xué)生回答展示另一種拼法，教師引導(dǎo)得出結(jié)論：同樣的正多邊形可能有不同的拼法！追問(wèn)2：除了動(dòng)手操作，能否根據(jù)公共頂點(diǎn)處各角的和等于3600通過(guò)計(jì)算得出結(jié)論？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生想到列方程求解，師

9、生共同分析，教師板書：設(shè)公共頂點(diǎn)處有m個(gè)正三角形，n個(gè)正方形，則有一組正整數(shù)解，因而公共頂點(diǎn)處用3個(gè)正三角形，2個(gè)正方形可以平面鑲嵌.追問(wèn)3：請(qǐng)同學(xué)們列方程解決問(wèn)題.一二兩個(gè)小組解決問(wèn)題1：正三角形與正五邊形能否鑲嵌？三四兩個(gè)小組解決問(wèn)題2：正三角形與正六邊形能否鑲嵌？ 開始！師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，運(yùn)用方程思想設(shè)列解答解決問(wèn)題,教師在關(guān)鍵環(huán)節(jié)給予適當(dāng)點(diǎn)撥. 學(xué)生列方程求解完成后，請(qǐng)兩位解答過(guò)程有瑕疵的同學(xué)各自板書一個(gè)問(wèn)題.追問(wèn)4：對(duì)于兩位同學(xué)板書的結(jié)果，大家有沒(méi)有不同想法？師生活動(dòng)：鼓勵(lì)學(xué)生說(shuō)出自己的想法，并相互補(bǔ)充.引導(dǎo)學(xué)生指出板書中存在的問(wèn)題，以更好的掌握列方程求解平面鑲嵌問(wèn)題.教師

10、再用大屏幕顯示邊長(zhǎng)相同的正三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正方形與正八邊形、正五邊形與正十邊形平面鑲嵌的圖案.追問(wèn)5：從探究?jī)煞N正多邊形平面鑲嵌的過(guò)程，你能概括出研究多邊形平面鑲嵌的方法有哪些嗎？師生活動(dòng)：師生共同概括探究多邊形平面鑲嵌的方法：動(dòng)手操作和方程思想.教師再總結(jié)說(shuō)：科學(xué)研究也往往是綜合運(yùn)用實(shí)驗(yàn)操作和理論思想！設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作得出正三角形與正方形可以鑲嵌.再引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用規(guī)律：公共頂點(diǎn)處各角的和等于3600,借助方程思想探究?jī)煞N正多邊形平面鑲嵌的問(wèn)題.最后師生共同概括出探究多邊形平面鑲嵌的方法有：動(dòng)手操作和方程思想.通過(guò)探究活動(dòng)三，熟練掌握并運(yùn)用平面鑲嵌規(guī)律探究三：

11、用幾個(gè)形狀、大小相同的任意三角形能鑲嵌成一個(gè)平面圖案嗎？四邊形呢？問(wèn)題4 之前我們都是用正多邊形平面鑲嵌，那么請(qǐng)各組動(dòng)手拼一拼，用幾個(gè)形狀、大小相同的任意三角形能鑲嵌成一個(gè)平面圖案嗎？四邊形呢？能鑲嵌的話，最少用幾個(gè)？開始！師生活動(dòng)：小組成員分工合作，用形狀、大小相同的任意三角形或四邊形圍繞一個(gè)點(diǎn)平面鑲嵌，教師巡視點(diǎn)撥.各小組活動(dòng)結(jié)束后，請(qǐng)兩位同學(xué)上臺(tái)分別展示三角形、四邊形平面鑲嵌的圖案.展示的學(xué)生回答是否能平面鑲嵌，最少用幾個(gè)多邊形？追問(wèn)1：公共頂點(diǎn)處的角能隨意放嗎？比如都放最小的內(nèi)角？為什么？師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)公共頂點(diǎn)處的角不能隨意放！因?yàn)樾枰岔旤c(diǎn)處各角的和等于3600. 追問(wèn)2：

12、你們這種方式為什么能鑲嵌？師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生解釋用形狀、大小相同的任意三角形、四邊形圍繞一個(gè)點(diǎn)平面鑲嵌的原理.然后教師用大屏幕演示鑲嵌過(guò)程，讓學(xué)生直觀的感受到：公共頂點(diǎn)處三角形每個(gè)內(nèi)角出現(xiàn)2次，相當(dāng)于2個(gè)三角形的內(nèi)角和3600.公共頂點(diǎn)處四邊形每個(gè)內(nèi)角出現(xiàn)1次，相當(dāng)于1個(gè)四邊形的內(nèi)角和3600. 設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作得出形狀、大小完全相同的任意三角形、四邊形能鑲嵌成平面圖形.通過(guò)追問(wèn)讓學(xué)生介紹如何鑲嵌的，再引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用三角形、四邊形內(nèi)角和闡述能夠平面鑲嵌的原理.最后用大屏幕演示鑲嵌過(guò)程，讓學(xué)生直觀的感受平面鑲嵌的原理.歸納小結(jié)，提出問(wèn)題問(wèn)題5 同學(xué)們，探究活動(dòng)已經(jīng)完成了.那么今天這堂

13、課，你學(xué)到了什么？還要什么疑問(wèn)？師生活動(dòng)：教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，掌握平面鑲嵌需要滿足的條件，總結(jié)探究多邊形平面鑲嵌的方法：動(dòng)手操作和方程思想.鼓勵(lì)學(xué)生從多方面提出問(wèn)題，并布置大家課后上網(wǎng)了解更多平面鑲嵌知識(shí).設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生歸納本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，掌握多邊形平面鑲嵌的條件：公共頂點(diǎn)處各角的和等于3600.體會(huì)從特殊到一般，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的研究問(wèn)題的方法.鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和發(fā)散思維.課后延伸，拓展思維用邊長(zhǎng)相同的正三角形、正方形、正六邊形中的一種或幾種平面鑲嵌，有幾種方法？上網(wǎng)了解更多平面鑲嵌知識(shí)，并設(shè)計(jì)一幅美麗的鑲嵌圖案！設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)第一項(xiàng)作業(yè)，讓學(xué)生