8.3.2 第2課時　球的表面積和體積

1、第2課時球的外表積和體積學(xué)習(xí)目標核心素養(yǎng).了解并掌握球的體積和外表積公式.會用球的體積與外表積公式解決實 際問題.（重點）.會解決球的切、接問題.（難點、易 混點）.通過對球的概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想 象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；.通過學(xué)習(xí)球的外表積、體積公式， 培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算的 數(shù)學(xué)素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)0探新MlZIZHUYUXI TAZXIZNHI匚新知初探二.球的外表積設(shè)球的半徑為R,那么球的外表積S=47求2,即球的外表積等于它的大圓面積 的生倍.思考：球有底面嗎？球面能展開成平面圖形嗎？提示球沒有底面，球的外表不能展開成平面圖形.球的體積4設(shè)球的半徑為七那么球的體積V邈.匚初試身手二.假

2、設(shè)球的過球心的圓面的周長是G那么這個球的外表積是（A.C24兀71CC2C 由2兀/?=。，得R=丁,所以S球面=4兀2= Z7T兀.外表積為4冗的球的半徑是.1 設(shè)球的半徑為R,那么S=4兀改=4兀，得R=L.假設(shè)一個球的體積為36兀，那么它的外表積為.436k 由卒R = 36兀，可得R=3,因此其外表積S=36兀.兩個半徑為1的實心鐵球，熔化成一個球，這個大球的半徑是a/2 設(shè)大球的半徑為七那么有*iH3 = 2x*iX13, 2 = 2,.r=拒合作探究。提素養(yǎng)HEZUOTANIIU TISUY ANG轉(zhuǎn)型1球的外表積與體積【例1】(1)球的外表積為64兀，求它的體積；(2)球的體積為

3、空兀，求它的外表積.解(1)設(shè)球的半徑為，那么由得 4717 = 6471, r=4.所以球的體積：V=&x兀x/=等兀(2)設(shè)球的半徑為R,由得n 500“，八廠兀/?3=?-兀，所以 R = 5,所以球的外表積為：S=4兀R2=4兀義52=100兀.規(guī)律方短求球的外表積與體積的一個關(guān)鍵和兩個結(jié)論關(guān)鍵：把握住球的外表積公式S球=4成2,球的體積公式丫球=%火3是計 算球的外表積和體積的關(guān)鍵，半徑與球心是確定球的條件.把握住公式，球的體 積與外表積計算的相關(guān)題目也就迎刃而解了.(2)兩個結(jié)論：兩個球的外表積之比等于這兩個球的半徑比的平方；兩 個球的體積之比等于這兩個球的半徑比的立方.Q踢崎皿練

4、1.如果兩個球的體積之比為8 ： 27,那么兩個球的外表積之比為.4 ： 9 根據(jù)球的體積及外表積公式可知，兩個球的體積之比等于半徑之比 的立方，外表積的比等于半徑之比的平方，因為兩個球的體積之比為8 ： 27,所 以兩個球的半徑之比為2 : 3,所以兩個球的外表積的比為4 ： 9.縊型2球的截面問題例2 (1)平面a截球0的球面所得圓的半徑為1.球心0到平面a的距 離為陋，那么此球的體積為()A.加兀B. 4、/兀 C. 44兀D. 兀(2)半徑為5的球的兩個平行截面圓的周長分別為6k和8冗，那么這兩個截 面間的距離為.(1)B (2)1或7 (1)如圖，設(shè)截面圓的圓心為O , M為截面圓上

5、任一點,那么。0=6，O M=l, ：.OM=7W)2+l=5,即球的半徑為正，A V=(2)假設(shè)兩個平行截面在球心同側(cè)，如圖，那么兩個截面間的距離為后二手一5242=1 ；假設(shè)兩個平行截面在球心異側(cè)，如圖，那么兩個截面間的距離為qA學(xué)+/52-42=7.規(guī)律方法.有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決.注意一個直角三角形，即由球心距(球心到截面圓心的距離)、截面圓的 半徑、球的半徑圍成一個直角三角形，滿足勾股定理.Q跟蹤訓(xùn)卜練:2.0A為球。的半徑，過OA的中點M且垂直于OA的平面截球面得 到圓M.假設(shè)圓M的面積為3兀，那么球O的外表積等于.1671 如圖

6、，圓M面積為3兀，那么圓M半徑M3為小，04 = 2,那么球。的 外表積等于4tiX22= 16兀y型3與球有關(guān)的切、接問題探究問題.假設(shè)長方體的長、寬、高分別為Q,。，C,那么其外接球半徑R與三條棱長 有何關(guān)系？提示.棱長為Q的正方體的外接球，其半徑H與棱長a有何數(shù)量關(guān)系？其內(nèi)切 球呢？1提示外接球半徑R=*a;內(nèi)切球半徑R=ci.假設(shè)一球與正方體的12條棱相切，那么球半徑R與棱長。有何數(shù)量關(guān)系？提示R=a.【例3】(1)一球與棱長為2的正方體的各個面相切，那么該球的體積 為.(2)正方體的全面積是片,它的頂點都在一個球面上，那么這個球的外表積 是.4兀/(1)不 (2) -5- (1)由題

7、意可知球是正方體的內(nèi)切球，因此球的半徑為1,4其體積為彳兀(2)正方體內(nèi)接于球，那么由球及正方體都是中心對稱圖形知，它們的中心重 合.可見，正方體的對角線是球的直徑.設(shè)球的半徑是r,那么正方體的對角線長 是2r.依題意，2r=小、邑,即=乂2,所以球=4兀=4兀M OOO Z母題探究.將本例(1)變?yōu)椋洪L方體的一個頂點處的三條棱長分別是S，小，,， 這個長方體它的八個頂點都在同一個球面上，這個球的外表積是()A. 12兀B. 18k C. 36兀 D. 6兀A 由題意可知，該長方體的體對角線即為球的直徑，其長度為23，從而 球的半徑為正，球外表積為1271.2.將本例變?yōu)椋簣A柱內(nèi)接于球，圓柱的

8、底面半徑為3,高為8,那么球的 外表積為.IOOtt 如圖，由條件知，0A = 3, OO =4,所以。4 = 5,所以球的外表積 為100兀規(guī)律方法常見的幾何體與球的切、接問題的解決策略：(1)處理有關(guān)幾何體外接球或內(nèi)切球的相關(guān)問題時，要注意球心的位置與幾 何體的關(guān)系，一般情況下，由于球的對稱性，球心總在幾何體的特殊位置，比方 中心、對角線的中點等.(2)解決此類問題的實質(zhì)就是根據(jù)幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)求球的直徑或半徑，關(guān) 鍵是根據(jù)“切點”和“接點”，作出軸截面圖，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來計 算.二課堂小結(jié)二.球的外表積、體積基本性質(zhì)是解決有關(guān)問題的重要依據(jù)，它的軸截面圖 形，球半徑、截面圓半徑

9、、球心到截面的距離所構(gòu)成的直角三角形是把空間問題 轉(zhuǎn)化為平面問題的主要方法.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時要認真分析 圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面 圖.判斷正誤球的體積之比等于半徑比的平方.()(2)球面展開一定是圓形的平面.()(3)長方體既有外接球又有內(nèi)切球.()答案(1)X (2)X (3)X.某幾何體的三視圖如下圖，那么其外表積為371 由三視圖可知，該幾何體為一個半徑為1的半球，其外表積為半個球 面面積與截面面積的和，即：X4兀+兀=3兀4. 一個正方體的八個頂點都在體積為針 的球面上，那么正方體的外表積 為.8 設(shè)球的半徑為R,正方體的棱長為44I-2那么Q7rR3=e兀，故r=i ,由小a = 2R=2