線性代數(shù)期末考試卷+答案合集5

1、-PAGE . z.大學(xué)線性代數(shù)期末考試題一、填空題將正確答案填在題中橫線上。每題2分，共10分1. 假設(shè)，則_。2假設(shè)齊次線性方程組只有零解，則應(yīng)滿足。 3矩陣，滿足，則與分別是階矩陣。4矩陣的行向量組線性。5階方陣滿足，則。二、判斷正誤正確的在括號內(nèi)填，錯(cuò)誤的在括號內(nèi)填。每題2分，共10分1. 假設(shè)行列式中每個(gè)元素都大于零，則。 2. 零向量一定可以表示成任意一組向量的線性組合。 3. 向量組中，如果與對應(yīng)的分量成比例，則向量組線性相關(guān)。 4. ，則。 5. 假設(shè)為可逆矩陣的特征值，則的特征值為。 ( )三、單項(xiàng)選擇題 (每題僅有一個(gè)正確答案，將正確答案題號填入括號內(nèi)。每題2分，共10分)

2、 1. 設(shè)為階矩陣，且，則 。42. 維向量組3 s n線性無關(guān)的充要條件是 。中任意兩個(gè)向量都線性無關(guān)中存在一個(gè)向量不能用其余向量線性表示中任一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示中不含零向量3. 以下命題中正確的選項(xiàng)是( )。 任意個(gè)維向量線性相關(guān) 任意個(gè)維向量線性無關(guān) 任意個(gè)維向量線性相關(guān) 任意個(gè) 維向量線性無關(guān)4. 設(shè)，均為n 階方陣，下面結(jié)論正確的選項(xiàng)是( )。 假設(shè)，均可逆，則可逆 假設(shè)，均可逆，則 可逆 假設(shè)可逆，則 可逆 假設(shè)可逆，則 ，均可逆5. 假設(shè)是線性方程組的根底解系，則是的解向量 根底解系 通解 A的行向量四、計(jì)算題 ( 每題9分，共63分)1. 計(jì)算行列式。解2. 設(shè)，且

3、 求。解.，3. 設(shè)且矩陣滿足關(guān)系式求。4. 問取何值時(shí)，以下向量組線性相關(guān)？。5. 為何值時(shí)，線性方程組有唯一解，無解和有無窮多解？當(dāng)方程組有無窮多解時(shí)求其通解。當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)時(shí)方程組無解當(dāng)時(shí)，有無窮多組解，通解為6. 設(shè) 求此向量組的秩和一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。7. 設(shè)，求的特征值及對應(yīng)的特征向量。五、證明題 (7分)假設(shè)是階方陣，且 證明 。其中為單位矩陣。大學(xué)線性代數(shù)期末考試題答案一、填空題1. 5 2. 3. 4. 相關(guān) 5. 二、判斷正誤1. 2. 3. 4. 5. 三、單項(xiàng)選擇題1. 2. 3. 4. 5. 四、計(jì)算題1. 2.，3. 4.

4、 當(dāng)或時(shí)，向量組線性相關(guān)。5. 當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)時(shí)方程組無解當(dāng)時(shí)，有無窮多組解，通解為6. 則 ，其中構(gòu)成極大無關(guān)組，7. 特征值，對于11，特征向量為五、證明題， 一、選擇題此題共4小題，每題4分，總分值16分。每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求1、設(shè)，為n階方陣，滿足等式，則必有 (A)或; (B)； C或; (D)。2、和均為階矩陣，且，則必有 (A) ；(B)； C.(D) 。3、設(shè)為矩陣，齊次方程組僅有零解的充要條件是 (A)的列向量線性無關(guān)； (B)的列向量線性相關(guān)；C 的行向量線性無關(guān)； (D)的行向量線性相關(guān).4、 階矩陣為奇異矩陣的充要條件是 (A)的秩小于

5、；(B)；(C) 的特征值都等于零；(D)的特征值都不等于零；二、填空題此題共4小題，每題4分，總分值16分5、假設(shè)4階矩陣的行列式，是A的伴隨矩陣，則=。6、為階矩陣，且，則。7、方程組無解，則。8、二次型是正定的，則的取值*圍是。三、計(jì)算題此題共2小題，每題8分，總分值16分9、計(jì)算行列式10、計(jì)算階行列式四、證明題此題共2小題，每題8分，總分值16分。寫出證明過程11、假設(shè)向量組線性相關(guān)，向量組線性無關(guān)。證明：(1) 能有線性表出；(2)不能由線性表出。12、設(shè)是階矩方陣，是階單位矩陣，可逆，且。證明1 ；2。五、解答題此題共3小題，每題12分，總分值32分。解容許寫出文字說明或演算步驟

6、13、設(shè)，求一個(gè)正交矩陣使得為對角矩陣。14、方程組與方程組有公共解。求的值。15、設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，是它的三個(gè)解向量，且，求該方程組的通解。解答和評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題1、C； 2、D； 3、A； 4、A。二、填空題5、-125; 6、； 7、-1； 8、。三、計(jì)算題9、解：第一行減第二行，第三行減第四行得：第二列減第一列，第四列減第三列得： 4分按第一行展開得按第三列展開得。 4分10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子，再通過行列式的變換化為上三角形行列式4分4分四、證明題11、證明：(1)、 因?yàn)榫€性無關(guān)，所以線性無關(guān)。，又線性相關(guān)，故能由線性表出。 (4

7、分)，2、反正法假設(shè)不，則能由線性表出，不妨設(shè)。由1知，能由線性表出，不妨設(shè)。所以，這說明線性相關(guān)，矛盾。 12、證明 1 4分2由1得：，代入上式得 4分五、解答題13、解：1由得的特征值為，。 4分2的特征向量為，的特征向量為，的特征向量為。 3分3因?yàn)樘卣髦挡幌嗟龋瑒t正交。 2分4將單位化得， 2分5取6 1分14、解：該非齊次線性方程組對應(yīng)的齊次方程組為因，則齊次線性方程組的根底解系有1個(gè)非零解構(gòu)成，即任何一個(gè)非零解都是它的根底解系。 5分另一方面，記向量，則直接計(jì)算得，就是它的一個(gè)根底解系。根據(jù)非齊次線性方程組解的構(gòu)造知，原方程組的通解為，。 7分15、解：將 = 1 * GB3 與

8、 = 2 * GB3 聯(lián)立得非齊次線性方程組:假設(shè)此非齊次線性方程組有解, 則 = 1 * GB3 與 = 2 * GB3 有公共解, 且 = 3 * GB3 的解即為所求全部公共解. 對 = 3 * GB3 的增廣矩陣作初等行變換得:. 4分1當(dāng)時(shí)，有，方程組 = 3 * GB3 有解, 即 = 1 * GB3 與 = 2 * GB3 有公共解, 其全部公共解即為 = 3 * GB3 的通解，此時(shí)，則方程組 = 3 * GB3 為齊次線性方程組，其根底解系為: ,所以 = 1 * GB3 與 = 2 * GB3 的全部公共解為，k為任意常數(shù). 4分2 當(dāng)時(shí)，有，方程組 = 3 * GB3 有

9、唯一解, 此時(shí)，故方程組 = 3 * GB3 的解為:,即 = 1 * GB3 與 = 2 * GB3 有唯一公共解. 4分線性代數(shù)習(xí)題和答案第一局部選擇題 (共28分)單項(xiàng)選擇題本大題共14小題，每題2分，共28分在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內(nèi)。錯(cuò)選或未選均無分。1.設(shè)行列式=m，=n，則行列式等于 A.m+nB. -(m+n) C. n-mD. m-n2.設(shè)矩陣A=，則A-1等于 A. B. C. D. 3.設(shè)矩陣A=，A*是A的伴隨矩陣，則A *中位于1，2的元素是 A.6B. 6C. 2D.24.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC，則必有

10、A.A =0B. BC時(shí)A=0C.A0時(shí)B=CD. |A|0時(shí)B=C5.34矩陣A的行向量組線性無關(guān)，則秩AT等于 A. 1B. 2 C. 3D. 46.設(shè)兩個(gè)向量組1，2，s和1，2，s均線性相關(guān)，則 A.有不全為0的數(shù)1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全為0的數(shù)1，2，s使11+1+22+2+ss+s=0 C.有不全為0的數(shù)1，2，s使11-1+22-2+ss-s=0 D.有不全為0的數(shù)1，2，s和不全為0的數(shù)1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.設(shè)矩陣A的秩為r，則A中 A.所有r-1階子式都不為0B.所有r-1階子式全為0C.至少有一個(gè)

11、r階子式不等于0D.所有r階子式都不為08.設(shè)A*=b是一非齊次線性方程組，1，2是其任意2個(gè)解，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是 A.1+2是A*=0的一個(gè)解B.1+2是A*=b的一個(gè)解C.1-2是A*=0的一個(gè)解D.21-2是A*=b的一個(gè)解9.設(shè)n階方陣A不可逆，則必有 A.秩(A)nB.秩(A)=n-1 C.A=0D.方程組A*=0只有零解10.設(shè)A是一個(gè)n(3)階方陣，以下陳述中正確的選項(xiàng)是 A.如存在數(shù)和向量使A=，則是A的屬于特征值的特征向量B.如存在數(shù)和非零向量，使(E-A)=0，則是A的特征值C.A的2個(gè)不同的特征值可以有同一個(gè)特征向量D.如1，2，3是A的3個(gè)互不一樣的特征值，1，2

12、，3依次是A的屬于1，2，3的特征向量，則1，2，3有可能線性相關(guān)11.設(shè)0是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于0的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為k，則必有 A. k3B. k312.設(shè)A是正交矩陣，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是 A.|A|2必為1B.|A|必為1C.A-1=ATD.A的行列向量組是正交單位向量組13.設(shè)A是實(shí)對稱矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，B=CTAC.則 A.A與B相似B. A與B不等價(jià)C. A與B有一樣的特征值D. A與B合同14.以下矩陣中是正定矩陣的為 A.B.C.D.第二局部 非選擇題共72分二、填空題本大題共10小題，每題2分，共20分不寫解答過程，將正確的答案寫在每題的空格內(nèi)。

13、錯(cuò)填或不填均無分。15.16.設(shè)A=，B=.則A+2B=.17.設(shè)A=(aij)33，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數(shù)余子式i,j=1,2,3,則(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=.18.設(shè)向量2，-3，5與向量-4，6，a線性相關(guān)，則a=.19.設(shè)A是34矩陣，其秩為3，假設(shè)1，2為非齊次線性方程組A*=b的2個(gè)不同的解，則它的通解為.20.設(shè)A是mn矩陣，A的秩為r(n)，則齊次線性方程組A*=0的一個(gè)根底解系中含有解的個(gè)數(shù)為.21.設(shè)向量、的長度依次為2和3，則向量

14、+與-的內(nèi)積+，-=.22.設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8，A有2個(gè)特征值-1和4，則另一特征值為.23.設(shè)矩陣A=，=是它的一個(gè)特征向量，則所對應(yīng)的特征值為.24.設(shè)實(shí)二次型f(*1,*2,*3,*4,*5)的秩為4，正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)*形為.三、計(jì)算題本大題共7小題，每題6分，共42分25.設(shè)A=，B=.求1ABT；2|4A|.26.試計(jì)算行列式.27.設(shè)矩陣A=，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.28.給定向量組1=，2=，3=，4=.試判斷4是否為1，2，3的線性組合；假設(shè)是，則求出組合系數(shù)。29.設(shè)矩陣A=.求：1秩A；2A的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組。30.設(shè)矩陣A=的

15、全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D，使T-1AT=D.31.試用配方法化以下二次型為標(biāo)準(zhǔn)形f(*1,*2,*3)=，并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題本大題共2小題，每題5分，共10分32.設(shè)方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且E-A-1=E+A+A2.33.設(shè)0是非齊次線性方程組A*=b的一個(gè)特解，1，2是其導(dǎo)出組A*=0的一個(gè)根底解系.試證明11=0+1，2=0+2均是A*=b的解； 20，1，2線性無關(guān)。答案：一、單項(xiàng)選擇題本大題共14小題，每題2分，共28分1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空題本大

16、題共10空，每空2分，共20分15. 616. 17. 418. 1019. 1+c(2-1)或2+c(2-1)，c為任意常數(shù)20. n-r21. 522. 223. 124. 三、計(jì)算題本大題共7小題，每題6分，共42分25.解1ABT=.2|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=. 所以|4A|=64-2=-12826.解 =27.解 AB=A+2B即A-2EB=A，而A-2E-1=所以 B=(A-2E)-1A=28.解一 所以4=21+2+3，組合系數(shù)為2，1，1.解二 考慮4=*11+*22+*33，即 方程組有唯一解2，1，1T，組合系數(shù)為2，1，1.29.解 對矩陣A施行初等行

17、變換A=B.1秩B=3，所以秩A=秩B=3.2由于A與B的列向量組有一樣的線性關(guān)系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組。A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是30.解 A的屬于特征值=1的2個(gè)線性無關(guān)的特征向量為1=2，-1，0T， 2=2，0，1T. 經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得1=，2=.=-8的一個(gè)特征向量為 3=，經(jīng)單位化得3=所求正交矩陣為 T=. 對角矩陣 D=也可取T=.31.解 f(*1，*2，*3)=*1+2*2-2*32-2*22+4*2*3-7*32=*1+2*2-2*32-2*2-*32-5*32.設(shè)，即，因其系數(shù)矩陣C=可逆，故此線性變換滿秩。經(jīng)此變換即得f(*1，*2，*3)的標(biāo)準(zhǔn)形 y1