概率統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)明教程第八章假設(shè)檢驗(yàn)

1、 第八章假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)推斷的另一個(gè)問(wèn)題是假設(shè)檢驗(yàn)，即在總體的分布未知或總體的分布形式已知但參數(shù)未知的情況下，為推斷總體的某些性質(zhì)，提出關(guān)于總體的某種假設(shè)，然后根據(jù)抽樣得到的樣本觀測(cè)值，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析的方法，對(duì)所提的假設(shè)作出接受還是拒絕的決策，這一決策的過(guò)程稱(chēng)之為假設(shè)檢驗(yàn).假設(shè)檢驗(yàn)分為參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)和非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn),僅涉及總體分布的未知參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)稱(chēng)為參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn),不同于參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的稱(chēng)作非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn).本章介紹假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念以及正態(tài)總體參數(shù)的顯著性檢驗(yàn).1假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念1.1假設(shè)檢驗(yàn)的思想與方法下面我們通過(guò)例子說(shuō)明假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和方法.例1D1某化肥廠用自動(dòng)打包機(jī)包裝化肥，其均值為10

2、0kg,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知每包凈重X（單位：kg）服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為1kg.某日為檢驗(yàn)自動(dòng)打包機(jī)工作是否正常,隨機(jī)地抽取9包,重量如下:99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5試問(wèn)這一天自動(dòng)打包機(jī)工作是否正常?本例的問(wèn)題是如何根據(jù)樣本值來(lái)判斷自動(dòng)打包機(jī)是否工作正常,即要看總體均值是否為為此我們給出假設(shè)H:1000現(xiàn)用樣本值來(lái)檢驗(yàn)假設(shè)H是否成立,H成立意味著自動(dòng)打包機(jī)工作正常00否則認(rèn)為自動(dòng)打包機(jī)工作不正常.在假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題中,我們把與總體有關(guān)的假設(shè)稱(chēng)之為統(tǒng)計(jì)假設(shè)把待檢驗(yàn)的假設(shè)稱(chēng)之為原假設(shè)記為H與原假設(shè)0H相對(duì)應(yīng)的假設(shè)稱(chēng)為備擇假設(shè)記為H本例中的備

3、擇假設(shè)為01H:100用樣本值來(lái)檢驗(yàn)假設(shè)H成立稱(chēng)為接受H即拒絕H否1001則稱(chēng)為接受H即拒絕H10如何檢驗(yàn)H:100成立與否我們知道，樣本均值X是的無(wú)偏0估計(jì)自然地希望用X這一統(tǒng)計(jì)量來(lái)進(jìn)行判斷在H為真的條件下X的0觀測(cè)值X應(yīng)在附近即x00比較小也就是說(shuō),要選取一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)k,使得k是一個(gè)小概率事件我們稱(chēng)這樣的小概率為顯著性水平記為1一般地取等注意到當(dāng)巴 # #為真時(shí),統(tǒng)計(jì)量X100UN,1/五對(duì)于給定的顯著性水平令XlOOI：n # 于是ku.設(shè)統(tǒng)計(jì)量U的觀測(cè)值為u如果2/pnKjnuu.2則意味著概率為的小概率事件發(fā)生了根據(jù)實(shí)際推斷原理（個(gè)小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生），我們拒絕化

4、否則接受H0在本例中若取u.u1.96/20.025Xoo/Jn99.8lOO1/的0.61.96,因此，接受原假設(shè)H即自動(dòng)打包機(jī)工作正常O從本例中可以看出假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是：為驗(yàn)證原假設(shè)H是否成O立我們首先假定H是成立的然后在H成立的條件下利用觀測(cè)到的樣OO本提供的信息如果能導(dǎo)致一個(gè)不合理的現(xiàn)象出現(xiàn)即一個(gè)概率很小的事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生了,我們有理由認(rèn)為事先的假定是不正確的從假而拒絕H，因?yàn)閷?shí)際推斷原理認(rèn)為,一個(gè)小概率事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能0發(fā)生的.如果沒(méi)有出現(xiàn)不合理的現(xiàn)象,則樣本提供的信息并不能否定事先假定的正確性從而我們沒(méi)有理由拒絕H,即接受H00為了利用提供的信息,我們需要適當(dāng)?shù)?/p>

5、構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量,稱(chēng)之為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，如例的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是U丁利用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量我們可以KJn確定一個(gè)由小概率事件對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的取值范圍,稱(chēng)這一范圍為假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕域記為W，如例的拒絕域?yàn)閃u當(dāng)uW時(shí)2我們拒絕H當(dāng)uW時(shí)接受H001.2假設(shè)檢驗(yàn)的兩類(lèi)錯(cuò)誤由于假設(shè)檢驗(yàn)是依據(jù)實(shí)際推斷原理和一個(gè)樣本值作出判斷的,因此，所作的判斷可以會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤如原假設(shè)H客觀上是真的我們?nèi)杂锌赡芤?的概率作出拒絕H的判斷從而犯了“棄真”的錯(cuò)誤這種錯(cuò)誤稱(chēng)為第一類(lèi)0錯(cuò)誤犯這個(gè)錯(cuò)誤的概率不超過(guò)給定的顯著性水平為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，記P拒絕HH成立()00另外，當(dāng)原假設(shè)H客觀上是假的由于隨機(jī)性而接受H這就犯了“取00偽”的錯(cuò)誤這種錯(cuò)誤稱(chēng)為第二

6、類(lèi)錯(cuò)誤犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率記為b，即PH受HH成立.()01在檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè)時(shí)，人們總是希望犯這兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率都盡量小但當(dāng)樣本容量n確定后,不可能同時(shí)做到犯這兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率都很小,因此,通常我們的做法是利用事前給定的顯著性水平來(lái)限制第一類(lèi)錯(cuò)誤,力求使犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率b盡量小這類(lèi)假設(shè)檢驗(yàn)稱(chēng)為顯著性檢驗(yàn)為明確起見(jiàn)，我們把兩類(lèi)錯(cuò)誤列于表中表8.假1設(shè)檢驗(yàn)的兩類(lèi)錯(cuò)誤真實(shí)情況判斷H成立0H成立1拒絕H0犯第一類(lèi)錯(cuò)誤判斷正確接受H0判斷正確犯第二類(lèi)錯(cuò)誤3假設(shè)檢驗(yàn)的步驟從例1.中1可以看出假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟為(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題提出原假設(shè)H和備擇假設(shè)H;01(2)確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z;(3)對(duì)于給定的顯著性水平,并

7、在H為真的假定下利用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量0確定拒絕域W;(4)由樣本值算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值z(mì),當(dāng)zW時(shí)，拒絕H.當(dāng)0zW時(shí),接受H.0需要說(shuō)明的是：原假設(shè)和備擇假設(shè)的建立主要根據(jù)具體問(wèn)題來(lái)決定.通常把沒(méi)有把握不能輕易肯定的命題作為備擇假設(shè)，而把沒(méi)有充分理由不能輕易否定的命題作為原假設(shè).在對(duì)參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)中形如H:H:的假設(shè)檢驗(yàn)稱(chēng)0010為雙邊檢驗(yàn).在實(shí)際問(wèn)題中,有些被檢驗(yàn)的參數(shù)，如電子元件的壽命越大越好而一些指標(biāo)如原材料的消耗越低越好,因此，需要討論如下形式的假設(shè)檢驗(yàn):H:00H1:0(1.)5或H:,H:(1.)60010我們稱(chēng)(1.為5右)邊檢驗(yàn),為.左6邊)檢驗(yàn)左邊檢驗(yàn)和右邊檢驗(yàn)統(tǒng)稱(chēng)為單邊檢驗(yàn).

8、2單個(gè)正態(tài)總體的均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)X,X，,X是來(lái)自正態(tài)總體N的-個(gè)樣本樣本均值為12nX樣本方差為S22.1單個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)2已知時(shí)關(guān)于的假設(shè)檢驗(yàn)為檢驗(yàn)假設(shè)H:H:0010構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量UN(0,1)當(dāng)Ho為真時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量U的觀測(cè)值u不應(yīng)偏大或偏小,故對(duì)給 # 定的顯著性水平令P骯得拒絕域?yàn)閃u2當(dāng)U的觀測(cè)值滿足U動(dòng).則拒絕Ho即認(rèn)為均值與0有顯著差異；否則接受H即認(rèn)為與無(wú)顯著差異00對(duì)假設(shè)0010取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為X/Jn可得此假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)閃()類(lèi)似地,我們可得假設(shè)檢驗(yàn)H:H:0010的拒絕域?yàn)閃()口.X在上述檢驗(yàn)中我們都用到統(tǒng)計(jì)量U來(lái)確定檢驗(yàn)的拒絕域*n這種方法稱(chēng)為U檢

9、驗(yàn)例2.1設(shè)某廠生產(chǎn)的一種電子元件的壽命(單位：小時(shí))XN(,40000)，從過(guò)去較長(zhǎng)一段時(shí)間的生產(chǎn)情況來(lái)看，此電子元件的平均壽命不超過(guò)1500小時(shí)，現(xiàn)在采用新工藝后，在所生產(chǎn)的電子元件中抽取25只，測(cè)得平均壽命x=1675小時(shí).問(wèn)采用新工藝后，電子元件的壽命是否有顯著提高（顯著性水平=0.05）？解:建立假設(shè)H:1500H:150001已知n25,200 xu.u1.6450.05U的觀測(cè)值為X4.375u0.05E因此，拒絕H0，接受H,即認(rèn)為采用新工藝后，電子元件的壽命有顯著提高12未知時(shí)關(guān)于的假設(shè)檢驗(yàn)作單個(gè)總體均值的U檢驗(yàn)，要求總體標(biāo)準(zhǔn)差已知，但在實(shí)際應(yīng)用中，2往往并不知道，我們自然想

10、到用2的無(wú)偏估計(jì)s2代替它，構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為T(mén)Xot（）S/W考慮假設(shè)H:H:0010對(duì)給定的顯著性水平有TOC o 1-5 h zpy：t.嶋,（）5s/n2因此，檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)閃t（）2當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T的觀測(cè)值t二滿足t則拒絕H即認(rèn)s/4n20為均值與有顯著差異否則接受H即認(rèn)為與無(wú)顯著差異000類(lèi)似地假設(shè)檢驗(yàn)H:H:的拒絕域?yàn)?010W斗.（）假設(shè)檢驗(yàn)H:H:的拒絕域?yàn)?010W斗.（）稱(chēng)上述檢驗(yàn)方法為t檢驗(yàn).例2.2健康成年男子脈搏平均為72次/分，高考體檢時(shí)，某校參加體檢的26名男生的脈搏平均為74.2次/分，標(biāo)準(zhǔn)差為6.2次/分，問(wèn)此26名男生每分鐘脈搏次數(shù)與一般成年男子有無(wú)顯著差異(

11、=0.05)？解:建立假設(shè)H:,72H01:72已知n26,x74.2,s6.20115t輕2.06/20.025V0故接受H0計(jì)算T的觀測(cè)值：tc1.81由于s/Jn即認(rèn)為此26名男生每分鐘脈搏次數(shù)與一般成年男子無(wú)顯著差別單個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)已知時(shí)關(guān)于2的假設(shè)檢驗(yàn)為檢驗(yàn)假設(shè)H:H:0010選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為丄(XM)2.2i0i當(dāng)H為真時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量2不應(yīng)偏大或偏小即對(duì)給定顯著性水平有0Pkk12一般地取kk其拒絕域?yàn)?1/22/2W或1/2/2H:10H:2210類(lèi)似地,我們可以討論左邊檢驗(yàn)H:2200和右邊檢驗(yàn)H:2200的拒絕域(見(jiàn)表8.2).未知時(shí)關(guān)于的假設(shè)檢驗(yàn)欲檢驗(yàn)假設(shè)H:H:0

12、010選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為BlS22202nl當(dāng)H為真時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量2不應(yīng)偏大或偏小即對(duì)給定顯著性水平有0PBkBkl2一般地取kk因此拒絕域?yàn)門(mén)OC o 1-5 h zll/22/2Wli或.11/2/2以上的檢驗(yàn)方法稱(chēng)為2檢驗(yàn).例2.3某廠生產(chǎn)一種電子產(chǎn)品,此產(chǎn)品的某個(gè)指標(biāo)服從正態(tài)分布N2現(xiàn)從中抽取容量為n.8的一個(gè)樣本，測(cè)得樣本均值X61.125,樣本方差s293.268.取顯著性水平0.05,試就60和未知這兩種情況檢驗(yàn)假設(shè)282. # #解檢驗(yàn)假設(shè)H:82,H:82為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由s293.268算出1未知取202g.26810.201282又亠1.690和l/20.97516.013/20

13、.025即l0.20l2不在拒絕域內(nèi)故接受H:28201n已知取(X)2為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量2i0i2,18017.535120.97520.025 /2 注意到，(xM)2(xx)&)(xix)Bn(xiiiiii和(xBx)2B(nBl)s2由xB61.125和s2B93.268可算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)ii量的觀測(cè)值為B2丄(xB60)20.3281即它不在拒絕域內(nèi)故接受82iiH:2820兩個(gè)正態(tài)總體均值差與方差比的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)XN,2yN,2從總體X和Y中分別獨(dú)立地取1122出樣本X,X，,X和Y,Y，,Y樣本均值依次記為X和Y樣本方差12n12m依次記為S2和S212兩個(gè)正態(tài)總體均值差的假設(shè)檢驗(yàn)2與2已

14、知時(shí)關(guān)于的假設(shè)檢驗(yàn)1212現(xiàn)檢驗(yàn)假設(shè)H:H:012112由第六章定理可知在H成立的條件下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量UjY-N2n12mXYm%可得拒絕域?yàn)?給定顯著性水平令P常用的情況是O即原假設(shè)為Ho:吧例3.1某苗圃采用兩種育苗方案作育苗試驗(yàn),已知苗高服從正態(tài)分布在兩組育苗試驗(yàn)中,苗高的標(biāo)準(zhǔn)差分別為18,20.現(xiàn)都取60株苗12作為樣本,測(cè)得樣本均值分別為X59.34厘米和y49.16厘米.取顯著性水平為0.05,試判斷這兩種育苗方案對(duì)育苗的高度有無(wú)顯著性影響解:建立假設(shè)H:H:012112由題中給出的數(shù)據(jù)我們算出統(tǒng)計(jì)量U的觀測(cè)值為 #/2 # /2 #2.9359.3449.161826020260另0

15、.05uu1.96因u2.931.96故拒絕.20.025H0:12,認(rèn)為這兩種育苗方案對(duì)育苗的高度有顯著性影響22與2未知但.222時(shí)關(guān)于的假設(shè)檢驗(yàn)121212現(xiàn)檢驗(yàn)假設(shè)H:H:012112由第六章定理可知在H成立的條件下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量0TOC o 1-5 h zXYT”一tm2（）S.1n1mwim2其中S21wnm2給定顯著性水平使得P耳tHm2得到拒絕域?yàn)閃t.m2（）2類(lèi)似地我們可得關(guān)于的單邊假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕域見(jiàn)表例3.2在針織品漂白工藝中12,要考慮溫度對(duì)針織品斷裂強(qiáng)力的影響,為比較70和80的影響有無(wú)顯著性差異.在這兩個(gè)溫度下,分別重復(fù)做了8次試驗(yàn),得到斷裂強(qiáng)力的數(shù)據(jù)如下（單位:牛頓）

16、70D:20.5,18.8,19.8,20.9,21.5,21.0,21.2,19.580口:17.7,20.3,20.0,18.8,19.0,20.1,20.2,19.1由長(zhǎng)期生產(chǎn)的數(shù)據(jù)可知,針織品斷裂強(qiáng)力服從正態(tài)分布,且方差不變,問(wèn)這兩種溫度的斷裂強(qiáng)力有無(wú)顯著差異（顯著性水平0.05）解設(shè)XY分別表示和C的斷裂強(qiáng)力因此XNYN,建立假設(shè)12H:H:012112XY為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量nm8由題中給出的數(shù)據(jù)可以計(jì) #/2 # #/2 #x20.4,y19.4,s0.928w檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值為xys1nlm2.16 #/2 # /2 #故拒絕原假設(shè)即又tm2t142.1450因/20.025認(rèn)為這兩

17、種溫度的斷裂強(qiáng)力有顯著差異.3.2兩個(gè)正態(tài)總體方差比的假設(shè)檢驗(yàn)i和已知時(shí)檢驗(yàn)假設(shè)H:H:12012112現(xiàn)檢驗(yàn)假設(shè)H:22,H:22由第六章的定理可知，在012112H成立的條件下取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量0m(X)2i1FF(n,m),n(Y)2i2i給定顯著性水平使pFkk12一般地取kF,F,m注意到1l/22/!mh一因此拒絕域?yàn)?/2Fm,n/2/21和未知時(shí)檢驗(yàn)假設(shè)H0:l2H1: #/2 #現(xiàn)檢驗(yàn)假設(shè)H:22,H:2z由第六章的定理可知，在012112H成立的條件下取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量S2F茁F(nl,ml),2給定顯著性水平使PFkk12一般地取kF,mkFm拒絕域?yàn)?1/22*/2 #/2 # /

18、2 #上述檢驗(yàn)方法稱(chēng)為F檢驗(yàn).例根據(jù)本節(jié)例3.2的數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)70DO80時(shí)針織品斷裂強(qiáng)力的方差是否相等(顯著性水平為0.05)?3.) #/2 # #/2 #解建立假設(shè)H:H:012112 /2 #由數(shù)據(jù),檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值為f舊-08856-I-,2又F,mF,74.99,TOC o 1-5 h z/80.085F漏!,-1廠749-(m-/20.025顯然有17-0.20注-1.07-4.99-F-,7因此，接受HF,7S20.02500.0858即認(rèn)為C和C時(shí)針織品斷裂強(qiáng)力的方差是相等的表正態(tài)總體參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)列表顯著性水平為-原假設(shè)H0檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量備擇假設(shè)H1拒絕域單uU-20U-X-

19、00已-00u個(gè)知00u1u2正-2未-0-0-T0S/Jn00ttt-1-1-態(tài)知00t-t.2-1總-已知-2-20-2-201-(X-)22i0i-2-20-2-20-120201/2或體/222b00未2B1IS22知00122020012或常?兩口.XYuu2,12U12乂1nm12u2212uu已122個(gè)知12ttm,2正2,12121一XYT12t.m,22；112未12SJ-wynm12Ittm,2/2知但12相態(tài)等,1212m(X)2212FF,m212i1Fn(Y)2i2212FF,m1總2i已知21222122FF,m或12FF,m22222FF,m體,1212122廠.

20、S222FF,m12F亠S2121222222FF,m121212未或知FFm/2習(xí)題八1在正常情況下，某煉鋼廠的鐵水含碳量()XN(4.55,2)一日測(cè)得爐鐵水含碳量如下：，44.4，4804.，442.4，54.47在顯著性水平0.05下，試問(wèn)該日鐵水含碳量得均值是否有明顯變化2根據(jù)某地環(huán)境保護(hù)法規(guī)定，傾入河流的廢物中某種有毒化學(xué)物質(zhì)含量不得超過(guò)該地區(qū)環(huán)保組織對(duì)某廠連日傾入河流的廢物中該物質(zhì)的含量的記錄為：x,.,x經(jīng)計(jì)算得知115x48X2156.26iiii試判斷該廠是否符合環(huán)保法的規(guī)定(該有毒化學(xué)物質(zhì)含量服從正態(tài)分布)3某廠生產(chǎn)需用玻璃紙作包裝，按規(guī)定供應(yīng)商供應(yīng)的玻璃紙的橫向延伸率不

21、應(yīng)低于已知該指標(biāo)服從正態(tài)分布N(,.2),5.5從近期來(lái)貨中抽查了個(gè)樣品，得樣本均值X55.06,試問(wèn)在0.05水平上能否接受這批玻璃紙？4某紡織廠進(jìn)行輕漿試驗(yàn)，根據(jù)長(zhǎng)期正常生產(chǎn)的累積資料，知道該廠單臺(tái)布機(jī)的經(jīng)紗斷頭率（每小時(shí)平均斷經(jīng)根數(shù)）的數(shù)學(xué)期望為9.7根3，標(biāo)準(zhǔn)差為1.6根0.現(xiàn)在把經(jīng)紗上漿率降低20，%抽取20臺(tái)0布機(jī)進(jìn)行試驗(yàn)，結(jié)果平均每臺(tái)布機(jī)的經(jīng)紗斷頭率為9.8根9，如果認(rèn)為上漿率降低后均方差不變，問(wèn)斷頭率是否受到顯著影響（顯著水平a）?5某廠用自動(dòng)包裝機(jī)裝箱，在正常情況下，每箱重量服從正態(tài)分布N（100,2）某日開(kāi)工后，隨機(jī)抽查箱重量如下（單位：斤）：，98.，1900，1500，919，99.，1700，1000，929.，1500問(wèn)包9裝機(jī)工作是否正常，即該日每箱重量的數(shù)學(xué)期望與10是0否有顯著差異?（顯著性水平a）.某自動(dòng)機(jī)床加工套