運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)教程第二版PPT-(9)[122頁]課件

1、運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)教程（第二版）魏權(quán)齡 胡顯佑 編著第5章 多目標(biāo)規(guī)劃*5.1多目標(biāo)規(guī)劃的一般形式和特點(diǎn)5.2什么是多目標(biāo)規(guī)劃的“最優(yōu)解”-有效解5.3像 集*5.4 評(píng)價(jià)函數(shù)方法5.5福利最大化與多目標(biāo)規(guī)劃5.6福利經(jīng)濟(jì)學(xué)中的埃奇渥斯盒狀圖*5.7目標(biāo)規(guī)劃5.1多目標(biāo)規(guī)劃的一般形式和特點(diǎn)在前幾章中討論的規(guī)劃問題都是單目標(biāo)問題，也就是只通過一個(gè)性能指標(biāo)的大小來衡量方案的好壞.然而，在實(shí)際生活中，確定一個(gè)問題的方案優(yōu)劣，常常要考慮多個(gè)目標(biāo).例如，我們在制定生產(chǎn)計(jì)劃時(shí)，既要求產(chǎn)量高，又要求質(zhì)量好，還要求成本低.再如，在選擇一個(gè)新工廠的廠址時(shí)，我們要考慮的有生產(chǎn)成本、運(yùn)輸費(fèi)用、基建投資費(fèi)用、國防條件、污染等

2、多種因素.特別是有些指標(biāo)之間又往往不是那么協(xié)調(diào)，使得確定最優(yōu)方案時(shí)決策者難以做出最后決斷.例1（采購問題）設(shè)市場上有甲、乙、丙三種糖果，每斤的價(jià)格如表5-1所示：表5-1今要籌辦一樁婚事，計(jì)劃花掉（買糖果）的總錢數(shù)不得超過50元，總的糖果斤數(shù)不得少于12斤，甲種糖果的斤數(shù)不能少于7斤.問如何確定最佳的采購方案.對(duì)于該問題的約束條件是不難確定的.設(shè)x1,x2,x3分別為甲、乙、丙三種糖果的采購量.于是依題意，x1,x2,x3應(yīng)滿足條件當(dāng)我們考慮以什么作為衡量“最佳方案”的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，會(huì)有以下幾種目標(biāo)：（1）花錢總數(shù)最小，即f1(x1, x2, x3)=3x1+2x2+x3min（2）買糖的總斤數(shù)量大

3、，即f2(x1, x2, x3)=x1+x2+x3max（3）甲種糖的斤數(shù)最大，即f3(x1, x2, x3)=x1max可見，該問題可以用多目標(biāo)問題來描述.正像線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃那樣，我們可以假定每個(gè)目標(biāo)都是以求最小值為目的.于是，多目標(biāo)規(guī)劃的一般形式可以寫為：其中p=2，符號(hào)V-min表示對(duì)p個(gè)目標(biāo)函數(shù)f1(x),f2(x),fp(x)求最小，以示區(qū)別于單目標(biāo)時(shí)求最小.多目標(biāo)規(guī)劃有什么特點(diǎn)呢？可先看一下由圖5-1給出的兩個(gè)目標(biāo)的例子.由圖可以看出x1為單目標(biāo)規(guī)劃（即非線性規(guī)劃）的最優(yōu)解，但是它對(duì)于以f2(x)為目標(biāo)的規(guī)劃問題來說，卻是最壞的可行解.另一方面，由圖5-1也可看出x2是（P2

4、）的最優(yōu)解，但是它對(duì)于問題（P1）來說卻是最壞的可行解.這個(gè)例子說明多目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)之間可能不是一致的，甚至?xí)潜舜嗣艿?我們再看一下圖5-2及圖5-3，其中圖5-2是兩個(gè)變量的例子，圖5-3為單變量的例子.在這兩個(gè)例子中，可行解 x 對(duì)兩個(gè)目標(biāo)來說都是最優(yōu)解.我們稱具有這樣性質(zhì)的 x 為絕對(duì)最優(yōu)解，也即 x 對(duì)每個(gè)目標(biāo)來說都是最優(yōu)解.不難理解，多目標(biāo)規(guī)劃的絕對(duì)最優(yōu)解往往是不存在的（例如圖5-1）.圖5-3多目標(biāo)規(guī)劃問題還有一個(gè)特點(diǎn)，即對(duì)于給定的兩個(gè)方案（可行解），例如x1R,x2R,這兩個(gè)方案誰優(yōu)些、誰劣些，往往是不可比較的.實(shí)際上，對(duì)于x1來說，我們需要用p個(gè)目標(biāo)值來衡量;對(duì)x2來說，也

5、同樣需用p個(gè)目標(biāo)值來衡量.比較x1與x2的優(yōu)劣，則需要比較兩個(gè)p維向量F1與F2.我們知道，兩個(gè)向量往往是不能比較大小的.例如，這樣兩個(gè)向量就不能比較誰大誰小.總之，多目標(biāo)規(guī)劃問題中目標(biāo)之間往往是不一致的，甚至是相互矛盾的；最理想的情況是：找到一個(gè)可行解，使其對(duì)每個(gè)目標(biāo)都是最優(yōu)的.但是，這樣的可行解（即絕對(duì)最優(yōu)解）往往是不存在的。最根本的問題是：可行解（即方案）之間用多個(gè)目標(biāo)去判斷優(yōu)劣，由于是用多個(gè)目標(biāo)值去比較，相當(dāng)于比較兩個(gè)向量的大小，而向量之間往往是不能進(jìn)行比較的.5.2什么是多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解-有效解由以上的討論可知，對(duì)多目標(biāo)規(guī)劃問題需要引進(jìn)新的概念，在新概念之下定義多目標(biāo)問題的解.為此

6、，引進(jìn)一個(gè)符號(hào)“ “.設(shè)a與b為兩個(gè)p維向量，即設(shè)向量a與向量b具有關(guān)系：a b這意味著向量a的每個(gè)分量都要小于或等于向量b的對(duì)應(yīng)分量，并且a至少有一個(gè)分量要嚴(yán)格地小于向量b對(duì)應(yīng)的分量.用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，即有（1）對(duì)于i=1,2,p均有ai bi;（2）至少存在某i0（1 i0 p），有ai0bi0.現(xiàn)在，利用符號(hào)“ ”來考察方案 的優(yōu)劣.若存在另一個(gè)方案 滿足則方案 比方案 劣.這是因?yàn)榉桨?的p個(gè)目標(biāo)值都不比方案 的對(duì)應(yīng)目標(biāo)值差（即對(duì)所有的i=1,2,p均有fi( ) fi( ) ）,并且至少有一個(gè)目標(biāo)值要好（即至少存在某個(gè)i0，有fi0（ ）fi0 ( )）.此時(shí)，我們稱 為劣解.顯然，若

7、不存在 R，滿足式（5.1），則方案 不為劣解，于是可得如下的定義.定義1 設(shè) R，若不存在xR滿足則稱 為多目標(biāo)規(guī)劃問題（VP）的非劣解（或稱有效解，也稱Pareto解）.多目標(biāo)規(guī)劃（VP）的有效解全體記為R*pa.例2 求多目標(biāo)規(guī)劃的有效解集合R*pa，其中解：對(duì)問題（VP）可以畫出圖形，見圖5-4.當(dāng)0 x1時(shí)，由圖形可知即也有因此，當(dāng)0 x1時(shí)，x為劣解；當(dāng)x3時(shí)，有即也有因此，當(dāng)x3時(shí)，x為劣解；當(dāng)1 x 3時(shí)，我們找不到一個(gè) 0，使得因此x為有效解，即R*pa=x1 x 3例3 求多目標(biāo)規(guī)劃的有效解集R*pa，其中解:對(duì)問題(VP)畫出圖形,見圖5-5.當(dāng)0 x1時(shí)，由圖可知f1(

8、1)f1(x)f2(1)f2(x)即也有因此，當(dāng)0 x1時(shí)，x為劣解；當(dāng)1 x 2時(shí)，我們找不到一個(gè) 0，2，使得因此x為有效解，即R*pa=x1 x 2例4 考慮由圖5-6給出的兩個(gè)目標(biāo)的問題，其中x=（x1,x2）T.從圖中不難看出， R*pa，這是因?yàn)槲覀冋也坏搅硪粋€(gè)可行解，滿足下面再給出一個(gè)比有效解更弱的、被稱為弱有效解的定義.定義2 設(shè) R，若不存在 R，滿足則稱 為多目標(biāo)問題（VP）的弱有效解（或稱弱Pareto解）.多目標(biāo)問題（VP）的弱有效解全體記為R*wp.不難看出有 例5 考慮由圖5-7給出的具有兩個(gè)目標(biāo)、一個(gè)變量的例子，xE1.不難看出，此時(shí)5.3像 集*對(duì)于多目標(biāo)規(guī)劃問

9、題，有別于單目標(biāo)問題的是需要研究像集.像集的研究有助于找出（VP）的有效解集合和弱有效解集合(特別是對(duì)于兩個(gè)目標(biāo)的情況,即p=2);也會(huì)對(duì)處理多目標(biāo)規(guī)劃問題的辦法給出幾何解釋;更會(huì)對(duì)像集的研究提供一些處理多目標(biāo)問題的辦法.記可以看出：若x0R，F(xiàn)0=F（x0），則F0F（R）；反之，若F0F（R），則至少存在某x0R，有F0=F（x0）.由此可以定義一個(gè)由R到F（R）的映象F：（在數(shù)學(xué)上，稱滿足上述性質(zhì)的映象F是映上（或稱滿射）的，但不是一對(duì)一的）.我們稱F（R）為多目標(biāo)規(guī)劃（VP）的像集.例6 考慮問題(n=1，p=2)其中f1(x)=(x-2)x,f2(x)=-x記f1=(x-2)x,f2

10、=-x求出像集，也就是需要求出當(dāng)x0,2時(shí)，f1與f2之間的函數(shù)關(guān)系.當(dāng)我們將x看做參數(shù)時(shí)，上式可看做以x為參數(shù)時(shí)的f1與f2之間的函數(shù)關(guān)系.由f2=-x，得出x=-f2,代入f1=(x-2)x，得到f1=f2(f2+2)并且由知并且多目標(biāo)規(guī)劃（VP）的幾何圖形及像集分別由圖5-8和圖5-9給出.對(duì)于像集F（R），也可以定義絕對(duì)最優(yōu)點(diǎn)、有效點(diǎn)和弱有效點(diǎn)，在像空間中，我們考慮如下的多目標(biāo)問題有如下的定義3和定義4.定義3 設(shè)F（R）.若不存在FF（R）有F ，則稱為（ ）的有效點(diǎn)，（ ）的有效點(diǎn)的集合記為E*pa.定義4設(shè)F（R）.若不存在FF（R）有F ，則稱為（ ）的弱有效點(diǎn)，（ ）的弱有效

11、點(diǎn)的集合記為E*wp.正如5.2討論的那樣，可以完全類似地證明如下的關(guān)系式成立：例7 設(shè)由圖5-10可見現(xiàn)在用幾個(gè)簡單的例子說明在多目標(biāo)問題中研究像集的目的.（）研究像集的目的之一（特別是對(duì)于兩個(gè)目標(biāo)的情況，即p=2）：能夠找出（VP）的有效解集R*pa和弱有效解集R*wp.如果我們已經(jīng)求得像集F（R），對(duì)于多目標(biāo)問題（VP），找出有效點(diǎn)和弱有效點(diǎn)比較容易.從有效點(diǎn)和弱有效點(diǎn)出發(fā)，它們的原像（在R中映射到有效點(diǎn)和弱有效點(diǎn)的那些可行解的集合）即為（VP）的有效解和弱有效解.我們?nèi)砸员竟?jié)的例1為例加以說明（圖5-11和圖5-12）.在圖5-12中，像集F（R）為弧AC.因?yàn)樵诨B（不包括端點(diǎn)B）

12、上的任何一點(diǎn)F，向其左下方移動(dòng)時(shí)，總可以在弧BC段上找到另外一點(diǎn) F（R），有 F，因此弧AB（不包括端點(diǎn)B）上的點(diǎn)不是弱有效點(diǎn)，即F E*wp.再由E*paE*wp，知F E*pa.然而，在弧BC（包括端點(diǎn)B和C）上的任何一點(diǎn) ，在其左下方都找不到像集F（R）中的點(diǎn)，因此BC段（包括端點(diǎn)B和C）為有效點(diǎn)（因此也為弱有效點(diǎn)）. 我們再觀察一下弧BC的原像.由于（B和C在圖5-11中）進(jìn)而可知，在圖5-11中的區(qū)間B，C的像是圖5-12中的弧BC，即因此，是弧BC的原像，區(qū)間B，C正是（VP）的有效解集（正如圖5-11所示）.例8 考慮線性多目標(biāo)問題由圖5-13，有而故像集見圖5-14，在像空間

13、中，有效點(diǎn)為：AD和DC，類似于例6中的分析（見圖5-11和圖5-12），可知AD的原像AD和DC的原像DC為Pareto解.（）研究像集的目的之二：對(duì)一些處理多目標(biāo)問題的辦法給出幾何解釋.我們考慮下面具有兩個(gè)目標(biāo)的問題，xj（j=1，n）為第j種產(chǎn)品的數(shù)量，并且總投資額最?。?為成本總收益最大： 為收益以乘除法作為處理多目標(biāo)問題的一種辦法，是考慮利率最大為目的，即從像空間來看，對(duì)應(yīng)的是其幾何意義由圖5-15所示，圖中 為（P）的最優(yōu)點(diǎn)， 的原像 ( 滿足： R,F( ) = )為（P）的最優(yōu)解.（）研究像集的目的之三（也是最主要的目的）：可以提供一些處理多目標(biāo)問題的辦法，我們以下例來說明.例

14、9 （“理想點(diǎn)法”）為了簡單，我們只討論兩個(gè)目標(biāo)的情況（更一般的情況詳見下節(jié)）：令其中先考慮一種最理想的情況，如圖5-16所示，此時(shí)F*F（R）并且滿足記 F*=（f*1,f*2）T由于F*F（R），故存在x*R，有F(x*)=(f1(x*),f2(x*)T=F*并且對(duì)任意xR，記 F=（f1，f2）T=F（x）=（f1(x),f2(x)）T則 (f1,f2)TF（R）因此有 即對(duì)任意xR有F（x）F（x*）可見，x*R*ab，因此我們在像空間稱F*為理想點(diǎn)(即（VP）的絕對(duì)最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)).一般來說，多目標(biāo)規(guī)劃（VP）的絕對(duì)最優(yōu)解不一定存在，正如圖5-17所示，F(xiàn)* F（R）.由圖5-17可

15、以看出，像集F（R）中與理想點(diǎn)F*最近的點(diǎn)似乎是可取的，即求如下問題的解F：如圖5-17所示.現(xiàn)在，借助上面的分析求出的原像.考慮規(guī)劃問題這里，（P）與（ P ）的不同在于：在（ P ）中，令f1=f1(x)，f2=f2(x),并且將在（ P ）中變量F限制在F（R）中求最小，變?yōu)樵冢≒）中變量x限制在R中求最小.問題（P）是一個(gè)非線性規(guī)劃，它的幾何解釋如圖5-18所示，有如下定理（證明略）.定理1 設(shè)像空間中的問題（P）的最優(yōu)解為 ，其中并且 R,有與(P)相對(duì)應(yīng)的非線性規(guī)劃問題為：設(shè)其最優(yōu)解為 ，并且 ，則如下結(jié)論成立：（） 為（P）的最優(yōu)解；（） 為（ ）的最優(yōu)解.5.4 評(píng)價(jià)函數(shù)方法在

16、本節(jié)中將對(duì)多目標(biāo)規(guī)劃問題給出一些處理的方法.這些方法都是基于某種評(píng)價(jià)意義，把多目標(biāo)規(guī)劃問題化為單目標(biāo)規(guī)劃問題去求解.這里只給出五種處理方法.（一）線性加權(quán)和方法事先我們對(duì)p個(gè)目標(biāo)f1（x），f2(x),fp(x)的重要性，通過邀請一批對(duì)這個(gè)問題有經(jīng)驗(yàn)、有專門研究的老手（如專家、教授、技術(shù)人員、干部、工人等）發(fā)表意見，最終確定出一組權(quán)系數(shù)并且滿足令評(píng)價(jià)函數(shù)為：求規(guī)劃問題的最優(yōu)解 .可以證明：當(dāng)10，20,p0時(shí)， 為（VP）的有效解，即 x R*pa（二）平方和加權(quán)法先對(duì)每一個(gè)目標(biāo)估計(jì)一個(gè)盡量好的希望值，例如對(duì)于第i個(gè)目標(biāo)fi(x)給出一個(gè)估計(jì)值f0i，它滿足條件： 再對(duì)p個(gè)目標(biāo)f1(x),f2

17、(x),fi(x),fp(x)給出一組權(quán)系數(shù)：1,2,i,，p其中令評(píng)價(jià)函數(shù)為：求非線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解 .可以證明： 為（VP）的有效解，即 R*pa平方和加權(quán)法體現(xiàn)了通常所說的自報(bào)公議的原則.即讓那些強(qiáng)調(diào)目標(biāo)fi(x)重要者預(yù)先給出最優(yōu)值 的一個(gè)盡可能好的估計(jì)f0i,然后，通過公議（例如請老手評(píng)議）給出一組表明各目標(biāo)重要性的權(quán)系數(shù)1,2, p.（三）理想點(diǎn)法先求p個(gè)單目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)值，記這樣，我們得到了一個(gè)點(diǎn)它是各目標(biāo)的理想值的點(diǎn)，稱為理想點(diǎn)（因?yàn)槎嗄繕?biāo)規(guī)劃的絕對(duì)最優(yōu)解往往是不存在的，可見，F(xiàn)*只不過是理想值而已）.令評(píng)價(jià)函數(shù)為：其中而為歐氏模（距離），即求非線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解 .可以證

18、明： 為（VP）的有效解，即 x R*pa（四）“min-max”法（“最小-最大”法）在對(duì)策論的研究中，選取最優(yōu)策略的一種思想是在最不利的情況下選取最有利的策略，即所謂最小-最大的原則.借用這一思想，我們可得到評(píng)價(jià)函數(shù)再求規(guī)劃問題的最優(yōu)解 .這里， 是變量x的函數(shù)，當(dāng)n=1時(shí)如圖5-19所示.對(duì)于問題（P），可以用增加一個(gè)變量xn+1和p個(gè)約束條件的方法，將它化為一個(gè)等價(jià)的通常形式的數(shù)學(xué)規(guī)劃：問題（P）和（P）之間的關(guān)系是：若 及 為（P）的最優(yōu)解，則 為（P）的最優(yōu)解；反之，若 x 為（P）的最優(yōu)解，令則 及 為（P）的最優(yōu)解（證明是初等的）.五）乘除法考慮具有p個(gè)目標(biāo)的多目標(biāo)問題，其中x

19、R,并且 在上述p個(gè)目標(biāo)當(dāng)中，有一些目標(biāo)希望越小越好，另一些目標(biāo)希望越大越好.不失一般，設(shè) 要求越小越好；而目標(biāo)要求越大越好.此時(shí)令評(píng)價(jià)函數(shù)為：再求規(guī)劃問題的最優(yōu)解至此，我們給出了五種評(píng)價(jià)函數(shù)方法.所謂評(píng)價(jià)函數(shù)方法，實(shí)際上是根據(jù)決策者的偏好去確定函數(shù)h(F)的形式，然后用復(fù)合函數(shù)的辦法，將多目標(biāo)規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù)F（x）=（f1(x),f2(x),fp(x)）T代入h(F)中，化為由單一目標(biāo)函數(shù) h(F(x)=h(f1(x),f2(x),fp(x)來評(píng)價(jià)和求最優(yōu)解 .由5.2我們知道，那些非有效解顯然是不可取的（非弱有效解就更不可取了），因?yàn)榭偪梢哉业搅硪粋€(gè)可行解，其每個(gè)目標(biāo)都不會(huì)比原來的差，并

20、且至少有一個(gè)目標(biāo)明顯更好（對(duì)于非弱有效解來說，我們會(huì)找到另一個(gè)可行解，其每個(gè)目標(biāo)都要比原來的好）.現(xiàn)在的問題是：用上述一些評(píng)價(jià)函數(shù)得到的規(guī)劃問題的最優(yōu)解 ，是否可保證是多目標(biāo)的有效解（或至少保證為弱有效解）.下面將指出，當(dāng)評(píng)價(jià)函數(shù)h（F）具有某種“單調(diào)性”時(shí)，可以保證規(guī)劃問題的最優(yōu)解 為有效解或弱有效解.為此，先給出兩個(gè)定義，再由定理2和定理3給出所希望的結(jié)果.定義5 設(shè)h(F)是定義在 上的函數(shù)，若對(duì)于任意滿足F1F2的F1F（R），F(xiàn)2F（R），均有則稱h(F)為單調(diào)增函數(shù).定義6 設(shè)h(F)是定義在 上的函數(shù)，若對(duì)于任意滿足F1F2的F1F（R），F(xiàn)2F（R），均有則稱h(F)為嚴(yán)格單調(diào)

21、增函數(shù).由定義5和定義6可以看出：嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)也是單調(diào)增函數(shù).有如下定理.定理2 若h(F)是定義在 上的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)， 為規(guī)劃問題的最優(yōu)解，則證：用反證法證明之，若 ,則存在 ,有 . , ,以及h(F)為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，故有此與 為（P）的最優(yōu)解相矛盾.因此必有 .得證.定理3 若h(F)是定義在 上的單調(diào)增函數(shù)， 為規(guī)劃問題的最優(yōu)解，則 .證：證明方法與定理2雷同，不另證.得證.根據(jù)定理2和定理3，可以檢驗(yàn)本節(jié)給出的一些評(píng)價(jià)函數(shù)方法得到的 是否為有效解或弱有效解，也就是只需驗(yàn)證相應(yīng)的評(píng)價(jià)函數(shù)是否為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)增函數(shù).本節(jié)給出的一些評(píng)價(jià)函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)性質(zhì)或單調(diào)增函數(shù)性質(zhì)都

22、可以用初等方法證明.我們不一一給出驗(yàn)證，只給出相應(yīng)的結(jié)論.（一）線性加權(quán)和方法評(píng)價(jià)函數(shù)為：（1）當(dāng)=(1,2,p)T0時(shí)，h(F)為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，故 R*pa.（2）當(dāng)=(1,2,p)T0，且0時(shí)，h(F)為單調(diào)增函數(shù)，故 R*wp.(二)平方和加權(quán)法評(píng)價(jià)函數(shù)為:（1）當(dāng)=(1,2,p)T0時(shí)，h(F)為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，故 R*pa.（2）當(dāng)=(1,2,p)T0，且0時(shí)，h(F)為單調(diào)增函數(shù)，故 R*wp.(三)理想點(diǎn)法評(píng)價(jià)函數(shù)為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，故 R*pa.(四)“min-max”法（“最小-最大”法）當(dāng)評(píng)價(jià)函數(shù)為(這里 )此時(shí)h(F)都為單調(diào)增函數(shù)，故 R*wp.（五）乘除法評(píng)價(jià)函數(shù)為：

23、此時(shí)可證為（f1,f2,fs）及（fs+1,fp）的嚴(yán)格增-減函數(shù)，即若則有可以類似于定理2的證明，知規(guī)劃問題的最優(yōu)解 為下面多目標(biāo)問題的有效解(即 R*pa)在結(jié)束本節(jié)的討論之前,我們以兩個(gè)目標(biāo)的情況為例(p=2的情況),簡單地介紹一下如何在評(píng)價(jià)函數(shù)中有目的地調(diào)節(jié)參數(shù),以求得更加令人滿意的解.這種通過調(diào)節(jié)參數(shù)、重復(fù)計(jì)算求解的過程，有人稱其為對(duì)話式方法（或交互型方法）.然而，我們在這里給出的方法只不過是最簡單的對(duì)話式方法而已.在處理多目標(biāo)的過程中，可認(rèn)為有分析者和決策者.分析者的任務(wù)是向決策者提供有效解（非有效解顯然是不可取的）；決策者的任務(wù)是向分析者提出對(duì)方案的偏好信息，以便使分析者提供令決

24、策者更滿意的有效解.當(dāng)然，最終決定采用哪個(gè)方案，要由決策者來決定.他們之間的關(guān)系由圖5-20給出.考慮兩個(gè)目標(biāo)的規(guī)劃問題（p=2）線性加權(quán)和法先給定一組權(quán)求解規(guī)劃問題設(shè)其最優(yōu)解為x1，相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為： f1(x1) f2(x1)如果“決策者”認(rèn)為第一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值f1(x1)還不夠理想，即希望求一新的解，其相應(yīng)的f1(x)的值要比f1(x1)好，那么“分析者”可以增大對(duì)應(yīng)于目標(biāo)f1(x)的權(quán)系數(shù)，令相應(yīng)的有其中再求規(guī)劃問題（此工作也由分析者借用計(jì)算機(jī)完成）的最優(yōu)解，設(shè)其為x2.可以證明這個(gè)性質(zhì)說明，當(dāng)我們增大對(duì)應(yīng)于目標(biāo)f1(x)的權(quán)系數(shù)時(shí)，可能會(huì)改進(jìn)f1(x)的值，但是，對(duì)另一個(gè)目標(biāo)f2(x

25、)來說則需要做些讓步.如果決策者對(duì)解x2還不滿（或認(rèn)為f1(x2)偏大，或認(rèn)為f2(x2)過小)，則可用類似的原則改變相應(yīng)的權(quán)系數(shù)，而后重新求解.5.5福利最大化與多目標(biāo)規(guī)劃西方經(jīng)濟(jì)學(xué)可以分為實(shí)證經(jīng)濟(jì)學(xué)（positive economics）和規(guī)范經(jīng)濟(jì)學(xué)（normative economics）.實(shí)證經(jīng)濟(jì)學(xué)回答“是什么”的問題；規(guī)范經(jīng)濟(jì)學(xué)回答應(yīng)當(dāng)是什么的問題.可見，規(guī)范經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究將涉及道德規(guī)范和價(jià)值判斷.福利經(jīng)濟(jì)學(xué)是經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)重要分支，它是研究整個(gè)經(jīng)濟(jì)的資源配置與社會(huì)成員福利的關(guān)系，于是不可避免地要涉及應(yīng)當(dāng)是什么，即價(jià)值判斷.假設(shè)有p個(gè)社會(huì)成員，我們稱為社會(huì)經(jīng)濟(jì)人，每個(gè)社會(huì)經(jīng)濟(jì)人都有一個(gè)表

26、明其偏好程度的效用函數(shù)（其數(shù)值越大，表示滿意程度越高），設(shè)為u1(x),u2(x),up(x)其中，x=(x1,x2,xn)TR，R為“政策集”，xR稱為一種“政策”，例如工資分配政策、稅收政策等；R表示對(duì)政策的一種“規(guī)定”.于是可以用如下的多目標(biāo)規(guī)劃問題描述（由于效用值越大，滿意程度越高，故相應(yīng)的多目標(biāo)問題與前幾節(jié)不同之處是取最大，即V-max）設(shè) R，若存在xR，有稱對(duì)“政策” 存在Pareto改進(jìn).存在Pareto改進(jìn)，是說存在另一種政策x，它可以使p個(gè)“社會(huì)經(jīng)濟(jì)人”中的部分人境況好轉(zhuǎn)，而又不損害其他人的利益.顯然，存在Pareto改進(jìn)是何樂而不為的事.現(xiàn)在，若不存在xR,使得在經(jīng)濟(jì)學(xué)中

27、，稱 為Pareto最優(yōu)，即多目標(biāo)問題中的Pareto解.可見，Pareto最優(yōu)是不會(huì)存在Pareto改進(jìn)的一種狀態(tài).設(shè) R，若存在xR，使得稱政策 存在弱Pareto改進(jìn).這就是說存在另一種政策x，它可以使所有的社會(huì)經(jīng)濟(jì)人的境況都要好，這是皆大歡喜的事.現(xiàn)在，若不存xR，使得在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，稱 為弱Pareto最優(yōu)，即多目標(biāo)問題中的弱Pareto解，可見，弱Pareto最優(yōu)是不會(huì)存在弱Pareto改進(jìn)的一種狀態(tài).當(dāng)xR，并且記在福利經(jīng)濟(jì)學(xué)中，稱集合為福利空間中的效用可能性集合（即多目標(biāo)問題中的像集）.可以證明：當(dāng)R為凸集，Uj（x）（j=1，p）為凹函數(shù)時(shí)，集合為凸集.例10 企業(yè)最優(yōu)工資比例分

28、配問題某企業(yè)的工資分配針對(duì)兩種人群：一般員工和管理層員工，工資的分配比例分別為x1和x2，其效用函數(shù)分別為：效用函數(shù)u1(x1)，u2（x2）表示董事會(huì)對(duì)兩類人員獲得工資比例分別為x1和x2時(shí)的認(rèn)可程度的一種描述，u1(x1)=x1，表明董事會(huì)認(rèn)為對(duì)一般員工來說，所占份額（工資比例）越大越好；u2(x2)=x2(1-x2)，表明董事會(huì)認(rèn)為對(duì)管理層員工來說，按有關(guān)規(guī)定，所占份額太大或太小都不好.見圖5-21和圖5-22.“政策集”為：如果寫為多目標(biāo)問題為：以下求效用可能性集合.由x2=1-x1得u2=x2(1-x2)=(1-x1)x1=(1-u1)(u1)故（見圖5-23和圖5-24）福利經(jīng)濟(jì)學(xué)

29、家關(guān)心的另一個(gè)問題是研究如何由“社會(huì)經(jīng)濟(jì)人”的效用函數(shù)Ui（x）（i=1,p）得出“社會(huì)福利函數(shù)”，進(jìn)而研究福利最大化問題.社會(huì)福利函數(shù)是各個(gè)社會(huì)經(jīng)濟(jì)人的效用函數(shù)的函數(shù)，即W(u1(x),u2(x),up(x)實(shí)際上，它就是多目標(biāo)問題中的評(píng)價(jià)函數(shù).福利最大化問題為：一般要求W(u1,u2,up)是變量U=（u1,u2,up）的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)（或增函數(shù)），這將保證（P）的最優(yōu)解 為Pareto最優(yōu)（或弱Pareto最優(yōu)），見上一節(jié)的定理2和定理3.例11 福利最大化的配置問題設(shè)有p個(gè)消費(fèi)者，他們分配m種商品，已知m種商品的數(shù)量分別為a1,a2，am.令xij（i=1,m;j=1,p）為第j個(gè)消費(fèi)

30、者獲有第i種商品的數(shù)量，這樣，求社會(huì)福利最大化的問題為：其中，xj=（x1j,x2j,xmj）T，j=1，p.當(dāng)具有兩個(gè)消費(fèi)者（p=2）、一種商品（m=1）時(shí)，（P）化為式中，x1為消費(fèi)者1的商品數(shù)量；x2為消費(fèi)者2的商品數(shù)量.在福利空間中，當(dāng)p=2時(shí)，福利最大化問題的幾何解釋是：福利空間中相應(yīng)于（P）的問題為：在圖5-25中，U（R）為效用可能性集合，W(u1,u2)為常數(shù)，為福利曲線（即相應(yīng)于W（u1,u2）的等高線）， =（1，2）T為（P）的最優(yōu)解.圖5-25不難證明，（P）的最優(yōu)解（即社會(huì)福利最大化的配置）為：通常，社會(huì)福利函數(shù)可取做各社會(huì)經(jīng)濟(jì)人的效用函數(shù)總和（有時(shí)被稱為古典效用主義

31、或邊沁福利函數(shù)）上述社會(huì)福利函數(shù)的一個(gè)推廣，是加權(quán)的效用和福利函數(shù)其中 ,被稱為權(quán)重，表示每個(gè)“社會(huì)經(jīng)濟(jì)人”的效用在整個(gè)社會(huì)福利中的重要性.可以看出，加權(quán)的效用福利函數(shù)，即為多目標(biāo)問題的線性加權(quán)和評(píng)價(jià)函數(shù).由于函數(shù)為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，故（P）的最優(yōu)解為Pareto最優(yōu).當(dāng)p=2時(shí)，在福利空間中，（P）為類似于圖5-25，此時(shí)相應(yīng)的幾何圖形如圖5-26所示.圖5-26 在應(yīng)用社會(huì)福利函數(shù)尋求福利最大化時(shí)，可取另一種有意義的最小-最大社會(huì)福利函數(shù)（有時(shí)也被稱為羅爾斯社會(huì)福利函數(shù)）這一社會(huì)福利函數(shù)表明社會(huì)福利由境況最差的“社會(huì)經(jīng)濟(jì)人”的福利決定；相應(yīng)的福利最大化問題（P）是在境況最差的福利函數(shù)值中尋求

32、最大化，即min-max .于是有由于函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，故（P）的最優(yōu)解為弱Pareto最優(yōu)（見上一節(jié)的定理3）.5.6福利經(jīng)濟(jì)學(xué)中的埃奇渥斯盒狀圖*本節(jié)中，我們給出福利經(jīng)濟(jì)學(xué)中論述Pareto最優(yōu)的一個(gè)范例-埃奇渥斯盒狀圖.福利經(jīng)濟(jì)學(xué)中，用埃奇渥斯盒狀圖研究兩種既定數(shù)量的產(chǎn)品在兩個(gè)消費(fèi)者之間的分配問題，然后推廣到一般，給出交換的Pareto最優(yōu)條件.同樣的方法可以研究兩種既定的生產(chǎn)要素（例如勞動(dòng)、資金）在兩個(gè)生產(chǎn)者之間的分配情況，即所謂生產(chǎn)的Pareto最優(yōu)條件.交換的Pareto最優(yōu)條件和生產(chǎn)的Pareto最優(yōu)條件的研究方法幾乎是平行的.以下，我們僅以兩人兩種商品的交換為背景討論交換過程中

33、的Pareto最優(yōu)條件.假設(shè)有兩個(gè)人，他們都擁有一定數(shù)量的兩種商品，如表5-2所示.其中aij=第j個(gè)人擁有第i種商品的數(shù)量，i=1，2；j=1，2 ai=ai1+ai2=第i種商品的總量，i=1,2兩個(gè)商品交換者的商品交換必須在雙方都有利或者至少不被損害的情況下才能夠進(jìn)行.這就需要有一個(gè)體現(xiàn)商品交換者對(duì)于兩種不同數(shù)量的商品，表明自己滿足程度的數(shù)與其對(duì)應(yīng).這里用效用函數(shù)表示不同的商品量對(duì)商品交換者來說的滿足程度.令U1（x1,x2）,U2(x1,x2)分別為商品交換者1和商品交換者2的效用函數(shù)，其中x1表示第一種商品的數(shù)量，x2表示第二種商品的數(shù)量.如果從多目標(biāo)規(guī)劃的角度看，顯然有如下的多目標(biāo)

34、問題其中由U1(x11,x21)和U2（x12,x22）可得到它們的等效用曲線（即f1(x11,x21)和f2(x12,x22)的等高線），由圖5-27和圖5-28給出.圖中，愈偏離原點(diǎn)O1（或O2）的等效用曲線效用值愈大.埃奇渥斯盒狀圖是將上述兩個(gè)圖畫在一個(gè)盒子當(dāng)中，其中盒子長為a11+a12,盒子寬為a21+a22（即兩個(gè)商品交換者具有商品1的總和a1為盒子的長；具有商品2的總和a2為盒子的寬）.于是，盒子中的每一個(gè)點(diǎn)，都表示商品交換者1和2擁有兩種商品的數(shù)量，而該點(diǎn)所在的等效用線的數(shù)值分別表示兩個(gè)商品交換者的效用函數(shù)值.圖5-29中的點(diǎn)W表示商品交換者所具有的商品1和商品2的數(shù)量.Par

35、eto給出了以下原則進(jìn)行交換（即Pareto最優(yōu)條件）：如果每個(gè)人都不能在不損害他人利益的前提下增加自己的利益，那么就認(rèn)為他們已處于最優(yōu)狀態(tài).由圖5-29可知，當(dāng)前的狀態(tài)（即點(diǎn)W）并不是最優(yōu)狀態(tài).實(shí)際上，圖5-29中斜線構(gòu)成的梭形區(qū)域中的任意一個(gè)點(diǎn)，都可能使商品交換者的效用值增大，也就是比當(dāng)前的狀態(tài)有所改進(jìn).我們稱該梭形區(qū)域?yàn)榛ダ麉^(qū)，即多目標(biāo)規(guī)劃（VP）的約束集合確定的區(qū)域.下面我們討論P(yáng)areto的有效配置問題，即按照交換的Pareto最優(yōu)條件，確定有效配置的點(diǎn).當(dāng)商品交換者之一確定了他的效用值c后，我們?nèi)ゴ_定另一個(gè)商品交換者所可能達(dá)到的最大的效用值的點(diǎn)，即如下的單目標(biāo)規(guī)劃所描述的：由上述單

36、目標(biāo)問題確定的點(diǎn)如圖5-30所示，其中點(diǎn)M即為所求，稱點(diǎn)M為契約點(diǎn).在埃奇渥斯盒子中，所有可能的契約點(diǎn)構(gòu)成了一條曲線O1O2，稱為契約曲線.可以看出，契約曲線上的任意一個(gè)點(diǎn)都滿足交換的Pareto最優(yōu)條件.由5.2知，契約曲線上的任意一個(gè)點(diǎn)都是多目標(biāo)規(guī)劃（VP）的Pareto解.在上述的兩個(gè)人、兩種商品的交換問題中，當(dāng)兩個(gè)商品交換者擁有的商品數(shù)量確定之后，就在埃奇渥斯盒子中對(duì)應(yīng)了一個(gè)點(diǎn)W，以及相應(yīng)的梭形區(qū)域（見圖5-30）.5.7目標(biāo)規(guī)劃在這一節(jié)中將討論另一類多目標(biāo)問題-（線性）目標(biāo)規(guī)劃.先看一個(gè)例子（請注意目標(biāo)函數(shù)的形式）.例12 某家具廠只生產(chǎn)兩種產(chǎn)品：桌子和椅子.售出一張桌子的利潤為3元

37、，售出一把椅子的利潤為4元.又知桌子和椅子需經(jīng)過兩個(gè)加工工段：裝配工段和精整工段，其中每個(gè)桌子和椅子所需工時(shí)，以及各工段的生產(chǎn)能力由表5-3給出.如果要求利潤最大，這是在第2章中討論過的線性規(guī)劃問題的模型，不難寫出，有由圖解法得到最優(yōu)解（見圖5-31）：相應(yīng)的最優(yōu)值為26.現(xiàn)在根據(jù)三種不同要求建立三種模型.（1）要求一天的利潤達(dá)到20元，兩種產(chǎn)品各應(yīng)生產(chǎn)多少？除了假設(shè)桌子的生產(chǎn)數(shù)量為x1，椅子的生產(chǎn)數(shù)量為x2之外，還設(shè)d-=利潤不足20元時(shí)的差額值（簡稱為負(fù)偏差）d+=利潤超過20元時(shí)的超出值（簡稱為正偏差）建立目標(biāo)規(guī)劃模型為：在這個(gè)問題中的目標(biāo)函數(shù)為：其原因是負(fù)偏差及正偏差都為非負(fù)變量，因此

38、，目標(biāo)值（d-+d+）0，如果能求得最優(yōu)解使得目標(biāo)值min （d-+d+）=0，這只有正偏差及負(fù)偏差都為0，于是就能實(shí)現(xiàn)我們希望利潤達(dá)到20元的目的.（2）要求一天內(nèi)的利潤值不少于20元（允許超過20元，但盡可能不要少于20元），問兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少？我們可以建立這樣的目標(biāo)規(guī)劃模型：其中x1,x2,d-,d+的意義與問題（P1）相同.在問題(P2)中的目標(biāo)函數(shù)為：min d-其原因是變量（負(fù)偏差）d-為非負(fù)變量，我們希望目標(biāo)的最優(yōu)值min d-=0,因?yàn)槿簦≒2）的最優(yōu)解 ， ， ， 中的 =0,則因?yàn)檎?，故利潤值為：即利潤值不少于目的值20元.（3）要求一天的利潤不少于23元，裝配車

39、間的總工時(shí)不超過28工時(shí)（允許少于28個(gè)工時(shí)，但盡可能不要超過28個(gè)工時(shí)），問兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少？建立的目標(biāo)規(guī)劃模型為：其中x1,x2的意義與前面的幾個(gè)問題相同，即x1為生產(chǎn)的桌子數(shù)，x2為生產(chǎn)的椅子數(shù)，但是d-，d+與前面的問題都不同，在這里d-=裝配車間工時(shí)不足28時(shí)的差額值（負(fù)偏差）d+=裝配車間工時(shí)超過28時(shí)的超出值（正偏差）問題（P3）的目標(biāo)函數(shù)為：min d+其原因是變量d+（正偏差）為非負(fù)變量，我們希望目標(biāo)的最優(yōu)值min d+=0，因?yàn)槿簦≒2）的最優(yōu)解 ， ， , ，有 =0，則因?yàn)樨?fù)偏差 ，故得到裝配車間的工時(shí)為：即工作時(shí)間少于28.從上面的例子可以看出目標(biāo)規(guī)劃的一個(gè)特點(diǎn)，

40、就是把原來的目標(biāo)函數(shù)（性能指標(biāo)）通過引進(jìn)正偏差與負(fù)偏差轉(zhuǎn)化為約束條件，而用正偏差及負(fù)偏差的不同組合形式作為目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù).一般地，假設(shè)有一個(gè)性能指標(biāo)為：它的一個(gè)給定的目的值為f0，則令d-=指標(biāo)f(x)不足f0時(shí)的差額值(負(fù)偏差)， d+=指標(biāo)f(x)超過f0時(shí)的超出值（正偏差）， 有如下的約束條件：目標(biāo)規(guī)劃可以有以下五種目標(biāo)函數(shù)的形式：1.要求性能指標(biāo)f(x)盡量達(dá)到目的值f0(即不足f0不好，超過f0也不好)，此時(shí)目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)為：min (d-+d+)2.要求性能指標(biāo)f(x)的值不少于目的值f0(即允許超過f0，但盡可能不要少于f0)，此時(shí)目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)為：min d-3.要求性能指

41、標(biāo)f(x)的值不超過目的值f0（即允許少于f0，但盡可能不要超過f0），此時(shí)目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)為：min d+以下兩種情況4與5是我們前面幾章中研究過的普通規(guī)劃問題的提法，這里只不過是用目標(biāo)規(guī)劃的語言做了統(tǒng)一處理.4.要求性能指標(biāo)f(x)的值越大越好，此時(shí)目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)為：min （d-d+）（實(shí)際上，由f(x)=f0-(d-d+)可知,要求max f(x)等價(jià)于min(d-d+）.5.要求性能指標(biāo)f(x)的值越小越好，此時(shí)目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)為：min (d+-d-)（實(shí)際上，由f(x)=f0+(d+-d-)可知,要求min f(x)等價(jià)于min (d+-d-)）.以上是為了便于說明目標(biāo)規(guī)劃的性質(zhì)，所以暫時(shí)借用單個(gè)目標(biāo)來討論.現(xiàn)在根據(jù)對(duì)單個(gè)目標(biāo)的目標(biāo)規(guī)劃的五種形式來討論多目標(biāo)的情況.例13 在例12中，有如下兩個(gè)要求：第一，要求一天內(nèi)的利潤達(dá)到20元；第二，在利潤盡可能達(dá)到20元的前提下，裝配車間剩余的工時(shí)越多越好（即在完