四川省綿陽市2022屆高三第三次診斷性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及解析

1、試卷第 =page 5 5頁，共 =sectionpages 5 5頁試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁四川省綿陽市2022屆高三第三次診斷性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題一、單選題1若復(fù)數(shù)，則（）ABCD2已知集合，則（）ABCD3某車間從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000個(gè)零件進(jìn)行一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的檢測，整理檢測結(jié)果得此項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）AB估計(jì)這批產(chǎn)品該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的眾數(shù)為45C估計(jì)這批產(chǎn)品該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的中位數(shù)為60D從這批產(chǎn)品中隨機(jī)選取1個(gè)零件，其質(zhì)量指標(biāo)在的概率約為0.54已知，是兩個(gè)不同的平面，m是一條直線，若，則“”是“”的

2、（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件5已知函數(shù)，則（）A在上單調(diào)遞增B的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C為奇函數(shù)D的圖象關(guān)于直線對(duì)稱6若拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，則（）ABC2D47函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則（）AB1CD8在2022年北京冬奧會(huì)開幕式上，二十四節(jié)氣倒計(jì)時(shí)驚艷亮相，與節(jié)氣相配的14句古詩詞，將中國人獨(dú)有的浪漫傳達(dá)給了全世界我國古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣的晷長損益相同（晷是按照日影測定時(shí)刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度），二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰

3、兩個(gè)節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復(fù)始已知雨水的晷長為9.5尺，立冬的晷長為10.5尺，則冬至所對(duì)的晷長為（）A11.5尺B13.5尺C12.5尺D14.5尺9已知曲線在處的切線為，若與相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）ABCD10將5名支援某地區(qū)抗疫的醫(yī)生分配到A、B、C三所醫(yī)院，要求每所醫(yī)院至少安排1人，則其中甲、乙兩醫(yī)生恰分配到相同醫(yī)院的概率為（）ABCD11某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖均為正方形將該幾何體完全放置在一個(gè)球內(nèi)，則滿足條件的球的最小體積為（）ABCD12在給出的；三個(gè)不等式中，正確的個(gè)數(shù)為（）A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)二、填空題13已知雙曲線（其中，）的焦距為，其

4、中一條漸近線的斜率為2，則_14在等邊ABC中，則_15已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則_16在棱長為3的正方體中，已知點(diǎn)P為棱上靠近于點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)Q為棱CD上一動(dòng)點(diǎn)若M為平面與平面的公共點(diǎn)，N為平面與平面ABCD的公共點(diǎn)，且點(diǎn)M，N都在正方體的表面上，則由所有滿足條件的點(diǎn)M，N構(gòu)成的區(qū)域的面積之和為_三、解答題17在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，已知，且(1)求角B的大小；(2)若，求ABC的面積S18隨著科技進(jìn)步，近來年，我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展以下是中國汽車工業(yè)協(xié)會(huì)2022年2月公布的近六年我國新能源乘用車的年銷售量數(shù)據(jù)：年份20162017201820192020202

5、1年份代碼x123456新能源乘用車年銷售y（萬輛）5078126121137352(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；（結(jié)果保留整數(shù)）(2)若用模型擬合y與x的關(guān)系，可得回歸方程為，經(jīng)計(jì)算該模型和第（1）問中模型的（為相關(guān)指數(shù)）分別為0.87和0.71，請分別利用這兩個(gè)模型，求2022年我國新能源乘用車的年銷售量的預(yù)測值；(3)你認(rèn)為（2）中用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？請說明理由參考數(shù)據(jù)：設(shè)，其中1444.788415.7037.71380528參考公式：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，19在四棱錐中，底面ABCD為梯形，已知，是

6、以BC為斜邊的等腰直角三角形(1)證明：平面PCD；(2)求二面角的平面角的余弦值20已知橢圓（其中）的離心率為，直線與橢圓E交于、兩點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，(1)求橢圓的方程；(2)在直線上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由21函數(shù)(1)若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)在區(qū)間上最大值為m，最小值為n，求的最小值22在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的方程為以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線E的極坐標(biāo)方程為，(1)求直線l的普通方程和曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)若E與l交于點(diǎn)A，E與C交于點(diǎn)B，求的取值范圍23已知函數(shù)(1

7、)求關(guān)于x的不等式的解集；(2)求證：答案第 = page 19 19頁，共 = sectionpages 19 19頁答案第 = page 1 1頁，共 = sectionpages 2 2頁參考答案：1D【解析】由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算求得，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義可求得結(jié)果.【詳解】，.故選：.2B【解析】【分析】由已知，分別求解出集合、集合的范圍，然后直接求解交集即可.【詳解】由已知，集合，即集合，集合，即集合，因?yàn)椋?故選：B.3C【解析】【分析】利用各組的頻率之和為1，求得的值，判定A；根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念判定BC；根據(jù)頻率估計(jì)概率值，從而判定D.【詳解】，解得，故A正確；頻率最大的一組為第二

8、組，中間值為，所以眾數(shù)為45，故B正確；質(zhì)量指標(biāo)大于等于60的有兩組，頻率之和為，所以60不是中位數(shù)，故C錯(cuò)誤；由于質(zhì)量指標(biāo)在50,70)之間的頻率之和為，可以近似認(rèn)為從這批產(chǎn)品中隨機(jī)選取1個(gè)零件，其質(zhì)量指標(biāo)在的概率約為0.5，故D正確.故選:4C【解析】【分析】由線面、面面的位置關(guān)系判斷條件間的推出關(guān)系，再結(jié)合充分、必要性的定義即可得答案.【詳解】由，若則，同理也有.所以“”是“”的充要條件.故選：C5B【解析】【分析】把化簡成，進(jìn)而得到是由先向左平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位得到的，然后根據(jù)的圖象畫出的圖象，即可判斷選項(xiàng)【詳解】化簡得，的可以看作是函數(shù)先向左平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單

9、位得到，先畫出的圖象，再進(jìn)行平移畫出的圖象，明顯可見，對(duì)于原函數(shù)，為奇函數(shù)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在和上為單調(diào)減函數(shù)，所以，經(jīng)過平移后變成的在上單調(diào)遞減，關(guān)于對(duì)稱，非奇函數(shù)也非偶函數(shù)，所以，B正確；A、C、D錯(cuò)誤.故選：B6A【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義，用點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)表示出和，再根據(jù)題中的等式求解兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)差，最后運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式求解.【詳解】設(shè) ，不妨設(shè)畫簡圖如下：根據(jù)拋物線的定義，又, 根據(jù)題意，點(diǎn)是直線與拋物線的交點(diǎn)所以即 所以，選項(xiàng)A正確.故選：A.7B【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的圖象求出函數(shù)的解析式，然后再根據(jù)函數(shù)的解析式求，最后求出的值.【詳解】由圖象可知

10、，得，所以，所以，又因?yàn)樵诤瘮?shù)的圖象上，所以，又因?yàn)?，所以，所以，將函?shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，得，所以，.故選：B8B【解析】【分析】設(shè)相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長減少或增加的量為,則立冬到冬至增加,冬至到雨水減少4,冬至的晷長為,根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，列出方程組求解即得.【詳解】解：設(shè)相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長減少或增加的量為,則立冬到冬至增加,冬至到雨水減少4,冬至的晷長為,則,解得,故選：B.9A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線，再根據(jù)圓心到直線的距離小于圓的半徑列式可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以切線的斜率為，又時(shí)，所以切點(diǎn)為，所以切線的方程為，即，由圓：得，所以圓心為，半徑為

11、，因?yàn)橹本€與圓相交，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：.故選：A10B【解析】【分析】由已知，5名醫(yī)生分配到三所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少安排1人，有“”和“”兩種人數(shù)分配方法，分別計(jì)算兩種分配方法的數(shù)目以及滿足甲、乙兩醫(yī)生恰分配到相同醫(yī)院的分配數(shù)目，然后加在一起，利用古典概型的公式即可完成求解.【詳解】由已知，5名醫(yī)生分配到三所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少安排1人，則人數(shù)的分配方法有“”和“”兩種，分別是：，若采用“”時(shí)，共有種分堆方法，再分配到三所醫(yī)院，共有種分配方法，其中甲、乙兩醫(yī)生恰分配到相同醫(yī)院，需要將甲、乙兩醫(yī)生放到3人組，并從其他3位醫(yī)生中再選一位湊夠3人，剩下的全排，共有種分配方法；，若采用

12、“”時(shí)，共有種分堆方法，再分配到三所醫(yī)院，共有種分配方法，其中甲、乙兩醫(yī)生恰分配到相同醫(yī)院，需要將甲、乙兩醫(yī)生放到2人組，分配剩下的3人，為種，然后再全排，共有種分配方法；所以，5名醫(yī)生分配到三所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少安排1人，則人數(shù)的分配方法共有種分配方法，甲、乙兩醫(yī)生恰分配到相同醫(yī)院的分配方法有種，所以甲、乙兩醫(yī)生恰分配到相同醫(yī)院的概率為.故選：B.11D【解析】【分析】根據(jù)三視圖可知，還原直觀圖，根據(jù)題意分析只需求出該幾何體的外接球的體積即可得解.【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由兩個(gè)正四棱錐組成的組合體，這兩個(gè)正四棱錐的底面都是邊長為的正方形，側(cè)棱長都為，如圖：設(shè)正四棱錐的底面中心為，如

13、圖：因?yàn)?，所以，同理，所以點(diǎn)到幾何體的6個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)是該幾何體的外接球的球心，若將該幾何體完全放置在一個(gè)球內(nèi)，則當(dāng)該幾何體內(nèi)接于球時(shí)，球的體積最小，則只需求出該幾何體的外接球的體積即可，因?yàn)樵撉虻陌霃綖?，所以該球的體積為.所以滿足條件的球的最小體積為.故選：D12C【解析】【分析】令利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而判斷，再由，即可判斷，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，再由，即可判斷；【詳解】解：令，則，所以當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減；因?yàn)?，所以，即，即，故錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，即，所以，即，故正確；再令，則，所以當(dāng)是，即在上單調(diào)遞增，所以，則，即，又，所

14、以，即，即，所以，即，所以，即，故正確；故選：C132【解析】【分析】根據(jù)漸近線斜率求得，根據(jù)焦距求得c的值，利用a,b,c的平方關(guān)系得到關(guān)于a的方程，求得a的值.【詳解】雙曲線的的漸進(jìn)線方程為，一條漸近線的斜率為2，即,又，,故答案為：214【解析】【分析】根據(jù)已知條件，利用向量的線性運(yùn)算求得，然后利用向量數(shù)量積的運(yùn)算求得結(jié)論.【詳解】由得，所以，,故答案為：15123【解析】【分析】由已知，根據(jù)給的，通過，計(jì)算出，得到之間的關(guān)系，然后構(gòu)造等比數(shù)列，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求和即可.【詳解】由已知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，得：，整理得：，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，所以.故答

15、案為：123.16【解析】【分析】利用面面平行性質(zhì)定理找到點(diǎn)、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后各自計(jì)算其區(qū)域面積，然后加在一起即可.【詳解】由已知得：平面與平面的交線與平行，M軌跡為平面與平面的交線在矩形內(nèi)線段所構(gòu)成的圖形，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，M軌跡為線段， 當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)沿往點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，M軌跡為以為一端點(diǎn),另一端點(diǎn)落在線段上的線段，其中為棱上靠近于點(diǎn)的三等分點(diǎn)，綜上，M軌跡為線段以及三角形及其內(nèi)部，所以點(diǎn)構(gòu)成區(qū)域的面積為，同理可得軌跡為平面與平面的交線在矩形內(nèi)線段所構(gòu)成的圖形，構(gòu)成區(qū)域?yàn)樘菪?面積為，所以M，N構(gòu)成的區(qū)域的面積之和為.故答案為：.17(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角(的正弦)，進(jìn)而

16、利用同角三角函數(shù)的關(guān)系得到，再根據(jù)，結(jié)合兩角和的正切公式得到關(guān)于的方程，求得的值，同時(shí)注意根據(jù)已知條件判定角為銳角，得到角的值；（2）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系，求得三個(gè)內(nèi)角的正弦值，進(jìn)而利用正弦定理求得三角形另外兩邊的長，利用三角形面積公式計(jì)算即得S(1)，,，即,又,解得或，又，角為鈍角，角為銳角，；(2)由（1）知，及已知條件,，又，.18(1)(2)當(dāng)回歸方程為時(shí)，2022年我國新能源乘用車的年銷售量的預(yù)測值是萬輛；當(dāng)回歸方程為時(shí)，2022年我國新能源乘用車的年銷售量的預(yù)測值是萬輛(3)由于相關(guān)指數(shù)越接近于，兩個(gè)變量之間的關(guān)系就強(qiáng)，相應(yīng)的擬合程度也越好，所以模型得到的預(yù)測值更可靠【解析】【

17、分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)，得出，的值，運(yùn)用最小二乘法求回歸直線方程即可；（2）根據(jù)回歸方程，代入的值即可求出預(yù)測值；（3）相關(guān)指數(shù)越接近，兩變量的相關(guān)性越強(qiáng)，預(yù)測值越可靠(1)由表中數(shù)據(jù)得， y關(guān)于x的線性回歸方程為：(2)由（1）知，y關(guān)于x的線性回歸方程為：，當(dāng)時(shí)，2022年我國新能源乘用車的年銷售量的預(yù)測值：（萬輛）；對(duì)于回歸方程，當(dāng)時(shí)，2022年我國新能源乘用車的年銷售量的預(yù)測值：（萬輛）(3)依題意：模型和第（1）問中模型的（為相關(guān)指數(shù)）分別為0.87和0.71，由于相關(guān)指數(shù)越接近于，兩個(gè)變量之間的關(guān)系就強(qiáng)，相應(yīng)的擬合程度也越好，所以模型得到的預(yù)測值更可靠19(1)證明見解

18、析(2)【解析】【分析】（1）取為的中點(diǎn)，連接、，先證、，然后再證明，從而證明平面，找到，再根據(jù)，即可證明平面PCD.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別表示出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后計(jì)算平面、平面的法向量，通過計(jì)算兩個(gè)法向量夾角的余弦值來確定二面角的平面角的余弦值.(1)證明：設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭且訠C為斜邊的等腰直角三角形，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?在中，可知，且,又因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，在中，所以，即，又因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面PCD.(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，為軸，軸，軸為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，空間直角

19、坐標(biāo)系，由題意得：，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，得，不妨設(shè)，則，同理可得平面的一個(gè)法向量為，所以.由圖可知，所求的二面角平面角為鈍角，所以二面角的平面角的余弦值為.20(1)(2)存在，且或【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)在第一象限，由已知可得，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，求出、的值，即可得出橢圓的方程；（2）將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由可得出實(shí)數(shù)的取值范圍，列出韋達(dá)定理，分析可知，再由，結(jié)合韋達(dá)定理可得出關(guān)于的方程，可求得的值，即可得出結(jié)論.(1)解：，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線的方程為，因?yàn)椋瑒t點(diǎn)在第一象限，則，解得，即點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，所以，因此，橢圓

20、的方程為.(2)解：聯(lián)立可得，由，可得，由韋達(dá)定理可得，在直線上是否存在點(diǎn)，使得，則是以為直角的等腰直角三角形，則，直線的斜率為，解得，聯(lián)立可得，解得或.所以，存在點(diǎn)滿足題意，此時(shí)或.21(1)(2)【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性和最小值，結(jié)合函數(shù)圖象，由最小值小于即可解得結(jié)果；（2）分類討論，求出，得到，再構(gòu)造函數(shù)求出最小值即可得解.(1)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，為，因?yàn)楫?dāng)趨近于時(shí)，趨近于，當(dāng)趨近于正無窮時(shí)，也趨近于正無窮，所以要使函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得.(2)，（i）當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，所以，令，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減