離心率問題02教師版

1、離心率問題02 教師版橢圓離心率的解法橢圓的幾何性質(zhì)中，對于離心率和離心率的取值范圍的處理，同學(xué)們很茫然，沒有方向性。題型變化很多，難以駕馭。以下，總結(jié)一些處理問題的常規(guī)思路，以幫助同學(xué)們理解和解決問題。一、運(yùn)用幾何圖形中線段的幾何意義。基礎(chǔ)題目：如圖，O為橢圓的中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)，A為頂點(diǎn)，準(zhǔn)線L交OA于B,P、Q在橢圓上，PD L于D,QFL AD于F,設(shè)橢圓的離心率為e,則e=3e=)e=Oe=，| PD| BF | BO| BA | AO|評：AQP橢圓上的點(diǎn)，根據(jù)橢圓的第二定義得，。2a I AO| =a, | OF | =c, . 有； | AO| =a, | BO| = 一. .有。

2、c22題目1:橢圓，+、L=1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為Fi、F2 ,以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的兩邊,則橢圓的離心率e?AE的中點(diǎn)B,連接BFi ,把已知條件放在橢圓內(nèi)，構(gòu)思路：A點(diǎn)在橢圓外，找a、b、c的關(guān)系應(yīng)借助橢圓，所以取 造 FiBFa分析三角形的各邊長及關(guān)系。解：|F1F2 I=2c 1BFiI =c 1BF2 1=V3cc+/3c=2a. . e=-c=,-1a22Fi、F2 ,點(diǎn)P在橢圓上，使 OPF為正三角形，求橢圓離變形1：橢圓，l +=1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為心率？解：連接 PF2 ,則 | OF I = I OF I = I OP| , / F1PF2

3、 =90 圖形如上圖，e=b 0)的兩焦點(diǎn)為 F1、F2 , AB為橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且 PF1 XX軸，PF2 /AB,求橢圓離心率?解： | PF1 I = | F2F1 a| =2c | OB| =b I OA| =a, PF2 / ABI PF1 I _ _b1F2 Fi i = a又 b= 1Ja2-c2a2=5c2 e=點(diǎn)評：以上題目，構(gòu)造焦點(diǎn)三角形，通過各邊幾何意義及關(guān)系，推導(dǎo)有關(guān)a與c的 方程式，推導(dǎo)離心率。二、運(yùn)用正余弦定理解決圖形中的三角形22題目2：橢圓，+、L=1(ab 0) , A是左頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，B是短軸的一個頂點(diǎn)，/ ABF=90 ,求e?解：| A

4、0| =a | OF| =c | BF | =a | AB | =a2+bsin75 +sin15 2變形1:橢圓，+ y-=1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為 F1值范圍?分析：上題公式直接應(yīng)用。解：設(shè)/ F1F2P= ,則/ F2F1P=120 - a ,_ sin F 1PF2sin60 1 122eb 0) , e=一2, A 是左頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，B是短軸的一個頂點(diǎn)，求/ ABF?點(diǎn)評：此題是上一題的條件與結(jié)論的互換，解題中分析各邊，由余弦定理解決角的問題。答案：90引申：此類e=51的橢圓為優(yōu)美橢圓。性質(zhì)：1、/ABF=90。2、假設(shè)下端點(diǎn)為 B ,則ABFB四點(diǎn)共圓。3、焦點(diǎn)與相應(yīng)準(zhǔn)線之間

5、的距離等于長半軸長?？偨Y(jié)：焦點(diǎn)三角形以外的三角形的處理方法根據(jù)幾何意義，找各邊的表示，結(jié)合解斜三角形公式，列出有關(guān)e的方程式。22題目3:橢圓+ Vb=1(ab 0),過左焦點(diǎn)F1且傾斜角為60的直線交橢圓與 AB兩點(diǎn)，若 | F1A | =2 | BF1 | ,求 e?解：設(shè) I BF1 | =m 貝U | AF? | =2a-am | BF2 | =2a-m在AF1F2及BFE中，由余弦定理得： 錯誤！未找到引用源。a2 c2=m(2a-c)、一 2(a 2-c 2)=m(2a+c)兩式相除親=2| F1F2 II F1PI + I PF2 I=sin F 1PF2SinF 1F2P+si

6、n PF 1F2變形得點(diǎn)評：在焦點(diǎn)三角形中，使用第一定義和正弦定理可知sin F 1PF2 e=sin F 1F2P +sin PF 1F22= e=o322題目4：橢圓，+=1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為 F1 (-c, 0)、F2 (c,0) , P是以I F1F2 I為直徑的圓與橢圓的一個交點(diǎn)，且/ PF1F2 =5/PEE ,求 e?分析：此題有角的值，可以考慮正弦定理的應(yīng)用?！?、-I F1F2 II F1PII PF2 I , ，一解：由正弦定理：而中T = sin F 1F2P=淅至根據(jù)和比性質(zhì):I F1F2 Isin F 1PE2cI PF2 I + I F1P I = sin F

7、1F2P +sin PF 1F2 =2a / PF1F2 =75 / PF2F1 =15sin90 (-c, 0)、F2 (c,0) , P 是橢圓上一點(diǎn),且/F1PF2 =60 求 e 的取=1 (t0) F1F2為橢圓兩焦點(diǎn)，M為橢圓上任意一點(diǎn)(M不與長軸兩端點(diǎn)重合)設(shè)/PF1F2_ 4 1. a .=a , Z PF2F1 = 3 右 “tan *tanR 1E六2，求e的取值范圍?解;根據(jù)上題結(jié)論e=sin Fsin F 1PF2sin( a + 3 )1F2P +sin PF 1F2sin a +sin 32sin2sina + 32cos+cosa + 32a - 32acos 2

8、- cos3.2-sinacos -2-cos，一.a 3+sin 三sin 1- tan=ea 32-tan 1 1-e13 1+e 21 1eb 0),斜率為1,且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于 A、B兩點(diǎn)，OA+OBf a =(3,-1)共線，求e?法一：設(shè)2cx+a2c2-a 2b2=02a2c-2b 2c2a2c ,X1+X2=a2+b2法二：設(shè)2 X1 + a2 X2 + aAB的中點(diǎn)N,2y121bOAOB=(x 1+X2,y 1+V2)與則 2ON=OAhOB-得：厚(3, -1 )共線,則-(X1+X2)=3(y 1+y2),即a 2=3b2e=32 b 2 aX1 +X 2y

9、 1+y22/ b , c、 - 1=- f(-3)既 a2=3b2分析：運(yùn)用三角函數(shù)的公式，把正弦化正切。四、由圖形中暗含的不等關(guān)系，求離心率的取值范圍。22題目6:橢圓 9+9=1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為Fi (-c, 0)、F2 (c,0),滿足MR MF2 =0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則e的取值范圍？分析：: MR-MR =0 .以F1F2為直徑作圓，M在圓O上，與橢圓沒有交點(diǎn)。a2=b2+c2 2c20eb 0)的兩焦點(diǎn)為Fi(-c, 0)、F2(c,0) ,P為右準(zhǔn)線L上一點(diǎn)，F(xiàn)iP的垂直平分線恰過F2點(diǎn)，求e的取值范圍？分析：思路1,如圖FiP與F2M垂直，根據(jù)向量垂直，找 a、b、c的不等關(guān)系。思路2：根據(jù)圖形中的邊長之間的不等關(guān)系，求 e2aa?-cb 2-a2解法一：F1(-c,0)F 2 (c,0) P(氏y。) M( -r，?)即(羨，yT)則 PF =-(失+c, y 0 )c22 2c 2cMF =-(b2y02cC,丁)PFiMF =0/c, yo )cb 2 .( 2c-c,y。T)=03e