一次函數(shù) (11)

1、一次函數(shù)一、定義與定義式： 自變量x和因變量y有如下關(guān)系： y=kx+b 則此時(shí)稱y是x的一次函數(shù)。 特別地，當(dāng)b=0時(shí)，y是x的正比例函數(shù)。 即：y=kx （k為常數(shù)，k0） 二、一次函數(shù)的性質(zhì)： 1.y的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k 即：y=kx+b （k為任意不為零的實(shí)數(shù) b取任何實(shí)數(shù)） 2.當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的截距。 三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)： 1作法與圖形：通過如下3個(gè)步驟 （1）列表； （2）描點(diǎn)； （3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖像一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點(diǎn)，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點(diǎn)） 2性質(zhì)：（1）在一次函數(shù)上

2、的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。（2）一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數(shù)的圖像總是過原點(diǎn)。 3k，b與函數(shù)圖像所在象限： 當(dāng)k0時(shí)，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大； 當(dāng)k0時(shí)，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。 當(dāng)b0時(shí)，直線必通過一、二象限； 當(dāng)b=0時(shí)，直線通過原點(diǎn) 當(dāng)b0時(shí)，直線必通過三、四象限。 特別地，當(dāng)b=O時(shí)，直線通過原點(diǎn)O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。 這時(shí)，當(dāng)k0時(shí)，直線只通過一、三象限；當(dāng)k0時(shí)，直線只通過二、四象限。 四、確定一次函數(shù)的表達(dá)式： 已知點(diǎn)A（x1，y1）；B（x2，y2）

3、，請(qǐng)確定過點(diǎn)A、B的一次函數(shù)的表達(dá)式。 （1）設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式（也叫解析式）為y=kx+b。 （2）因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個(gè)方程：y1=kx1+b 和 y2=kx2+b （3）解這個(gè)二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。 五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用： 1.當(dāng)時(shí)間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。 2.當(dāng)水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時(shí)間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。 六、常用公式：（不全，希望有人補(bǔ)充） 1.求函數(shù)圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2) 2.求與x軸平行線

4、段的中點(diǎn)：|x1-x2|/2 3.求與y軸平行線段的中點(diǎn)：|y1-y2|/2 4.求任意線段的長：(x1-x2)2+(y1-y2)2 （注：根號(hào)下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和） 二次函數(shù)y=ax2+bx+c （a,b,c是常數(shù)，且a不等于0） a0開口向上 a0，ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根 b2-4ac0)個(gè)單位，解析式為y=a(x+b/2a+d)2+(4ac-b2)/4a,向右就是減 函數(shù)向上移動(dòng)d(d0)個(gè)單位，解析式為y=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a+d,向下就是減 當(dāng)a0時(shí)，開口向上，拋物線在y軸的上方(頂點(diǎn)在x軸上)，并向上無限延伸；當(dāng)a0時(shí)，開

5、口向下，拋物線在x軸下方(頂點(diǎn)在x軸上)，并向下無限延伸。a越大，開口越小；a越小，開口越大. 4.畫拋物線yax2時(shí)，應(yīng)先列表，再描點(diǎn)，最后連線。列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心，選取便于計(jì)算、描點(diǎn)的整數(shù)值，描點(diǎn)連線時(shí)一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢(shì)。 二次函數(shù)解析式的幾種形式 (1)一般式：yax2+bx+c (a,b,c為常數(shù)，a0). (2)頂點(diǎn)式：ya(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a0). (3)兩根式：ya(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c0的兩個(gè)根，a0. 說明：(1)任何一個(gè)二次函數(shù)通過配方都可以化為頂

6、點(diǎn)式y(tǒng)a(x-h)2+k，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k)，h0時(shí)，拋物線yax2+k的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)k0時(shí)，拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)h0且k0時(shí)，拋物線yax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn). (2)當(dāng)拋物線yax2+bx+c與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次方程ax2+bx+c0有實(shí)數(shù)根x1和 x2存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解公式ax2+bx+ca(x-x1)(x-x2),二次函數(shù)yax2+bx+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)a(x-x1)(x-x2). 求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、最值的方法 配方法：將解析式化為ya(x-h)2+k的形式，頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k)，對(duì)稱軸為直線xh，若a0，y有最小值，當(dāng)xh時(shí)，y最小值k，若a0，y有最大值，當(dāng)xh時(shí)，y最大值k. 公式法：直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式(- , ),求其頂點(diǎn)；對(duì)稱軸是直線x- ,若a0，y有最小值，當(dāng)x- 時(shí)，y最小值 ，若a0，y有最大值，當(dāng)x- 時(shí)，y最大值 . 6.二次函數(shù)yax2+bx+c的圖像的畫法 因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖像是拋物線，是軸對(duì)稱圖