南昌大學(xué)級(jí)高等數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末試題及答案

1、南昌大學(xué)級(jí)高等數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末試題及答案1.過(guò)點(diǎn)（3,0, 1）且與平面3x7y 5z 12平行的平面方程是).(A) 3x 5z 40.(B)3x 7y 5z0.(C) 3x y 5z2.設(shè) z u2,而 u(D)x 7y 5z120.(A)v2(x 2y)(x3y)(C)z2y, v y 2x,則一().(y 2x)22(x 2y)(x 3y)y 2x(B)x2(x 2y)(D)y 2x 2(x 2y)2 (y 2x)2南昌大學(xué)20072008學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷 一、填空題（每空3分，共15分）.設(shè)a 3j, 2k, b 12j k,貝I（2a）（3 b）.函數(shù) z ln（25 x2

2、 y2）（x2 y2 4）的定義域是.設(shè)可微函數(shù)f（x,y）在點(diǎn)（x0,y0）取得極小值，則下列結(jié)論正確的是().(A) 口乂0,丫)在丫y0處的導(dǎo)數(shù)大于零.f(x0,y)在 yy。處的導(dǎo)數(shù)等于零.f(x0,yyy0處的導(dǎo)數(shù)小于零.f(x0,ySy。處的導(dǎo)數(shù)不存在.設(shè)L為取正向的圓周x2 y2 4,則曲線積分 oL(x2 y)dx (x y2)dy 之值為().(A)5.函數(shù)0.f(x)(B) 4 .(C) 4.(D)cosx關(guān)于x的哥級(jí)數(shù)展開(kāi)式為().(A) 1(B) 1 ( 1)2n xn 2nx 1).1)(C) 1(D) 1x2 x2!2 x4 x4!n(1)(12nx而x 1).(x

3、 ).三、求解下列各題(共2小題，每小題8分,共16分).求與兩平面 x 4z 3和2x y 5z 1的交線平行且過(guò)點(diǎn)(3,2,5)的直線方程.設(shè)z f(u,v),而u xy, v ey,且f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)四、求下列積分(共2小題，每小題8分，共16分):1、計(jì)算曲線積分L(xe2y 2y)dx (x2e2y y)dy,其中L是由點(diǎn)A(a,0)沿上半圓周x2 y2 ax (a 0) 到點(diǎn)O(0,0)的弧段.2、利用高斯公式計(jì)算曲面積分 xdydz ydzdx zdxdy , 其中 為上半球面z Jr2 x2 y2的上側(cè)。五、解下列各題(共2小題，每小題8分，共16分)：1、判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)口!的

4、斂散性n 1 nn4n 12、設(shè)備級(jí)數(shù)Jxn.n 1 n(1).求收斂半徑與收斂區(qū)間；(2). 求和函數(shù).六、計(jì)算題(共2小題.每小題8分，共16分)：1、求微分方程 y 10y 9y e2x的通解.2、(應(yīng)用題)計(jì)算由平面z 0和旋轉(zhuǎn)拋物面z 1 x2 y2所圍成的立體的體積.1七、(6分)已知連續(xù)可微函數(shù)f (x)滿(mǎn)足f (0)-,2且能使曲線積分Le x f (x)ydx f (x)dy 與路徑無(wú)關(guān)，求f(x).南昌大學(xué)20072008學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷及答案 一、填空題(每空3分，共15分)1.設(shè)a 3i j 2k, b i 2j k, 則(2a) (3b)18 .2.函數(shù) z

5、ln(25 x2y2)(x2y2 4)的定義域是（x,y）4x2 y2 25.設(shè)函數(shù) z ex(cos y xsin y),貝U dzx 1 e(dx dy).y 0.交換累次積分的次序:1dy01 .1 x2f (x,y)dx1dx0 f (x,y)dy .5.微分方程y心的通解為: x、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1.過(guò)點(diǎn)（3,0, 1）且與平面3x 7y 5z 12平行的平面方程是B ).3x 5z 40.3x 7y 5z0.3x y 5z2.設(shè) z u2,而 u(D) x 7y 5z120.v2(x 2y)(x(A)2(y 2x)22(x 2y)(x 3y)(C)z3y)y 2x

6、2y, v y 2x,則(A ).x(B) 2).y 2x(D) 2(4(y 2x)23.設(shè)可微函數(shù)f（x,y）在點(diǎn)（x0,y。）取得極小值，則下列結(jié)論正確的是 （B ）.（A） 口乂0,丫）在丫 y0處的導(dǎo)數(shù)大于零(B) f(x0,y)在 yy。處的導(dǎo)數(shù)等于零.(C) f(x0,ySy。處的導(dǎo)數(shù)小于零.(D) f(x0,ySy。處的導(dǎo)數(shù)不存在.4.設(shè)L為取正向的圓周x2 y2 4,則曲線積分L（x2 y）dx （x y2）dy 之值為（A ）.(A)0.(B) 4 .(C) 4.(D)5.函數(shù)(A) 1f(x)2xcosx關(guān)于x的哥級(jí)數(shù)展開(kāi)式為(B) 1(1)2n xn 2nx 1).(D

7、).1)(C) 1(D) 1x2 x2!2x4 x4!(1)n(12nx(2n)!x 1).x ).三、求解下列各題（共2小題，每小題8分,共16分）1.求與兩平面 x 4z 3和2x y 5z1的交線平行且過(guò)點(diǎn)（3,2,5）的直線方程.解：因?yàn)樗笾本€與兩平面的交線平行,也就是直線的方向向量s與兩平面的法向量n1、n2都垂直.所以取sn1 n2(4i 3jk).故所求直線方程為2.設(shè) z f (u,v),而 uxy, v ey,且f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)y fuy fu y fuu x eyfuV數(shù)，求:解： x2zy fu xyfuu ye fuv四、求下列積分(共2小題，每小題8分，共16分)

8、：1、計(jì)算曲線積分L(xe2y 2y)dx (x2e2y y)dy,其中L是由點(diǎn)A(a,0)沿上半圓周x22y ax (a 0)到點(diǎn)O(0,0)的弧段.解：P xe2y 2y, Qx2e2y y.-Q 2xe2y, xQ P 2.x y連接OA構(gòu)成閉路P 2xe2y yOABO,沿 OA: y0,Iia0 xdx2.其圍成區(qū)域?yàn)镈.Ii2aR3.a2T(2).2、利用高斯公式計(jì)算曲面積分xdydz ydzdx zdxdy,其中 為上半球面z Jr2 x2 y2的上側(cè)。解：記1為平面z 0的下側(cè).QR1 1, 1. yz由高斯公式有 原式1、判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)他的斂散性n 1 nn解:(n 1)!li

9、mnin (n 1)n 1un 1 lim n Unlimnlimn1.所以原級(jí)數(shù)收斂n 12、設(shè)備級(jí)數(shù) xn.n 1 n（1）.求收斂半徑與收斂區(qū)間；（2）.求和函數(shù).解：(1). lim =4. R -.n I an41 ,1當(dāng)X 1時(shí)，,發(fā)散；4 n 1 4n1 1 ,當(dāng)X 1時(shí)，(1)n，收斂.4 n 1 4n故收斂區(qū)間為1/4,1/4).4n 1.設(shè) S(x) xn.n 1 nS( x)4n 1xn1(4x)n 1n 1n 111 4xxxS(x)dxdxoo 1 4x_1即 S(x) ln(1 4x).41-ln(1 4x).1/4,1/4).(S(0) 0).六、計(jì)算題（共2小題

10、.每小題8分，共16分）1、求微分方程 y 10y 9y e2x的通解.解：r2 10r 9 0.r19, r2 1.YC1e9xC2ex.2不是特征根，所以設(shè)y*2xAe代入原方程得：Ay*1e2x7故原方程的通解為：C1e9xC2ex1e2x 72、（應(yīng)用題）計(jì)算由平面z和旋轉(zhuǎn)拋物面解法所圍成的立體的體積.解法二:七、（6分）(1zdDx22y )dxdy10(1r2)rdr2020dv1010rdr(11 r20 dzr2)rdr已知連續(xù)可微函數(shù)f (x)滿(mǎn)足 f(0)且能使曲線積分Le x f (x)ydxf(x)dy與路徑無(wú)關(guān)，求f （x）.Q _Px y-xe (x解：P e x f (x) y, Q f (x).PQ一 e x f (x), f(x).yx因?yàn)榍€積分與路徑無(wú)關(guān)，所以于是得：f(x) e x f (x).即：f(x) f (x) e x.f(x) e dx ( e x)e dxdx Ce x ( e x)exdx Ce x ( 1)dx C e