2021-2022學(xué)年吉林省長春市東北師大附中高三(上)第一次摸底數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版)

1、2021-2022 學(xué)年吉林省長春市東北師大附中高三（上）第一次摸底數(shù)學(xué)試卷（文科）一、單選題（共 12 小題，每小題 5 分）1已知集合 A2，1，0，1，2，Bx|x21，則 AB（）A1，0，1B2，1，1，2 Cx|1x1Dx|x1 或 x1已知 a，b 均為實(shí)數(shù)，則下列命題是真命題的是（）若 lgalgb，則 ab C若 ab，則若 a2b2，則 ab D若 ab，則 3命題“xR，x2x+50”的否定是（）AxR，x2+x+50 CxR，x2x+50BxR，x2x+50 DxR，x2x+504（）ABCD函數(shù) f（x）A2，2的定義域?yàn)椋ǎ〣（，1）（1，2C2，1）（1，2D（2

2、，2）如圖，中不屬于函數(shù) ylog2x，ylog0.5x，ylog3x 的一個(gè)是（）A 7已知 acbaBCD，b20.8，c40.2，則 a，b，c 的大小關(guān)系為（）cabCbacDbca已知，則 sin2+cos2 等于（）BCD9“a1”是“函數(shù) f（x）+充分不必要條件C充要條件為偶函數(shù)”的（）必要不充分條件 D既不充分也不必要條件已知函數(shù) f（x）Asin（x+）（xR，A0，0，| 所示，則 f（x）的解析式是（）的圖象（部分）如圖Af（x）2sin（x+）Cf（x）2sin（x+）Bf（x）2sin（2x+）Df（x）2sin（2x+）定義域?yàn)?R 的函數(shù) f（x）滿足 f（x）

3、f（x）且 f（2x）f（x），當(dāng) x0，1時(shí)， f（x）x3，函數(shù) g（x）log4|x|，則函數(shù) h（x）g（x）f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A3B4C5D612若 a2021ln2019，b2020ln2020，c2019ln2021，則（）AacbBcbaCabcDbac二、填空題（本大題共 4 小題。每小題 5 分）函數(shù) f（x）已知cos（ 15函數(shù) y+的值域是+）2cos（），則tan 的最大值為16已知函數(shù) f（x）若函數(shù) g（x）f（x）24f（x）+m+1 恰有8 個(gè)零點(diǎn)，則 m 的范圍為三、解答題（17 題 10 分，18-22 每題 12 分，解答寫出文字說明、證明過程或

4、演算步驟）17已知 p：x2x+60，q：|1|m（m0）若p 是 q 的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍設(shè) f（x）是定義在實(shí)數(shù)集 R 上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù) x 恒滿足 f（x+2）f（x）， 當(dāng) x0，2時(shí)，f（x）2xx2求證：f（x）是周期函數(shù)；當(dāng) x2，4時(shí)，求 f（x）的解析式；（3）計(jì)算：f（0）+f（1）+f（2）+ +f（2021）已知函數(shù)求函數(shù) f（x）的最小正周期；，xR將 f（x）的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù) g（x）的圖像，求 g（x）的單調(diào)減區(qū)間已知函數(shù) f（x）（x2ax+1）ex，aR若函數(shù) f（x）在 x1 時(shí)取得極值，求 a 的值；討論函數(shù) f（x

5、）的單調(diào)性已知橢圓 C 的一個(gè)焦點(diǎn)是直線 x+my求橢圓 C 的方程；0 所過的定點(diǎn)，且短軸長為 4過點(diǎn) D（1，0）的直線 l 與橢圓 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)，求OAB 面積的最大值已知函數(shù) f（x）alnx+，aR若 a2，且直線 yx+m 是曲線 yf（x）的一條切線，求實(shí)數(shù) m 的值；若不等式 f（x）1 對任意 x（1，+）恒成立，求 a 的取值范圍；若函數(shù) h（x）f（x）x 有兩個(gè)極值點(diǎn) x1，x2（x1x2），且 h（x2）h（x1），求 a 的取值范圍參考答案一、單選題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)）1已知集合 A2，1，0，1，2，Bx|x

6、21，則 AB（）A1，0，1B2，1，1，2 Cx|1x1Dx|x1 或 x1【分析】求出集合 B，由此能求出 AB 解：集合 A2，1，0，1，2， Bx|x21x|x1 或 x1，AB2，1，1，2 故選：B已知 a，b 均為實(shí)數(shù)，則下列命題是真命題的是（）若 lgalgb，則 ab C若 ab，則若 a2b2，則 ab D若 ab，則 【分析】A 用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)判斷；B 由平方運(yùn)算判斷；C 由開方運(yùn)算判斷；D 由分式運(yùn)算判斷解：對于 A，lgalgb10lga10lgbab，所以 A 對；對于 B，當(dāng) a1，b1 時(shí)，滿足 a2b2，但 ab 不成立，所以 B 錯(cuò)；對于 C，當(dāng) ab1

7、 時(shí)，滿足 ab，但無意，不成立，所以 C 錯(cuò)； 對于 D，當(dāng) ab0 時(shí)，滿足 ab，但 無意，不成立，所以 D 錯(cuò)故選：A3命題“xR，x2x+50”的否定是（）AxR，x2+x+50 CxR，x2x+50BxR，x2x+50 DxR，x2x+50【分析】利用含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結(jié)論，求解即可 解：由含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結(jié)論，則命題“xR，x2x+50”的否定是“xR，x2x+50” 故選：D4（）ABCD【分析】原式中的角度變形后，利用誘導(dǎo)公式化簡，計(jì)算即可得到結(jié)果 解：sinsin（4+）sin 故選：A函數(shù) f（x）的定義域?yàn)椋?/p>

8、）A2，2B（，1）（1，2C2，1）（1，2D（2，2）【分析】由題意根據(jù)函數(shù)的解析式，可得，由此求得 x 的范圍解：由函數(shù) f（x），可得，求得2x2 且 x1，故選：C如圖，中不屬于函數(shù) ylog2x，ylog0.5x，ylog3x 的一個(gè)是（）ABCD【分析】直接利用函數(shù)的圖象和函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用判斷結(jié)果 解：根據(jù)函數(shù)的圖象，函數(shù)的底數(shù)決定函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)?shù)讛?shù) a1 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng) 0a1 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減， 當(dāng)?shù)讛?shù) a1，滿足底數(shù)越大函數(shù)的圖象在 x1 時(shí)，越靠近 x 軸， 故對應(yīng)函數(shù) ylog2x 的圖象，根據(jù)對稱性，對應(yīng)函數(shù) ylog0.5x 的由圖象，對應(yīng)函數(shù) ylog3

9、x 的圖象，與函數(shù)的圖象相矛盾，故錯(cuò)誤 故選：B7已知 a，b20.8，c40.2，則 a，b，c 的大小關(guān)系為（）cbaBcabCbacDbca【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解解：a20.5，b20.8，c40.220.4，20.420.520.8，cab， 故選：B8已知A，則 sin2+cos2 等于（）CD【分析】先利用兩角和的正切公式求出tan，然后利用二倍角公式以及“1”的代換，結(jié)合弦化切，轉(zhuǎn)化為tan，求解即可解：因?yàn)?，解得，所?sin2+cos2故選：D9“a1”是“函數(shù) f（x）充分不必要條件C充要條件+為偶函數(shù)”的（）必要不充分條件 D既不充分也不必要條件【分析】由偶函數(shù)

10、的定義可得f（x）f（x），整理得（a ）（ex 恒成立，分析可得答案）0 對 xR解：函數(shù) f（x）f（x）f（x），+為偶函數(shù)，即+，（a ）（ex）0 對 xR 恒成立，a 0，a1，a1 是函數(shù) f（x） 故選：A+為偶函數(shù)的充分不必要條件，已知函數(shù) f（x）Asin（x+）（xR，A0，0，|所示，則 f（x）的解析式是（）的圖象（部分）如圖Af（x）2sin（x+）Cf（x）2sin（x+）Bf（x）2sin（2x+）Df（x）2sin（2x+）【分析】根據(jù)圖象可得周期T2，A2，利用周期公式可求，利用2sin（ +）2及 的范圍可求 的值，即可確定函數(shù)解析式解：根據(jù)圖象判斷：周期

11、 T4（ ）2，A2，2sin（ +）2， +2k+，kz，2k+，kz，|，f（x）2sin（x+）故選：A定義域?yàn)镽 的函數(shù) f（x）滿足 f（x）f（x）且 f（2x）f（x），當(dāng) x0，1時(shí)， f（x）x3，函數(shù) g（x）log4|x|，則函數(shù) h（x）g（x）f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A3B4C5D6【分析】函數(shù) h（x）g（x）f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù) yf（x）與函數(shù) yg（x） 圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)題意作出兩函數(shù)的圖象，觀察圖象即可得解解：f（x）f（x），函數(shù) f（x）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于 y 軸對稱， 又 f（2x）f（x），函數(shù) f（x）關(guān)于直線 x1 對稱，又當(dāng) x0，1

12、時(shí)，f（x）x3，故可作出函數(shù) f（x）的圖象，再作出函數(shù) g（x）的圖象，結(jié)合 g（4）g（4）1，可知函數(shù) f（x）與 g（x）的圖象有 6 個(gè)交點(diǎn)，即 h（x）g（x）f（x）有 6 個(gè)零點(diǎn) 故選：D12若 a2021ln2019，b2020ln2020，c2019ln2021，則（）AacbBcbaCabcDbac【分析】由作差法和構(gòu)造函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，可得大小關(guān)系 解：由 a2021ln20191，c2019ln20211，可設(shè) f（x）（xe），可得 f（x）， 當(dāng) xe 時(shí)，f（x）0，f（x）遞減，所以，則 1，即 ac，ab2020ln20192020ln2020+ln

13、20190， 即 ab， bc2019ln20202019ln2021+ln20200，即 bc，所以 abc 故選：C二、填空題（本大題共 4 小題。每小題 5 分）13函數(shù) f（x）的值域是 （0，1【分析】結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域即可 解：對于 y1+x21，故 f（x）1，當(dāng) x時(shí)，y1+x2+，故 f（x）0， 故 f（x）的值域是（0，1，故答案為：（0，1已知cos（+）2cos（），則tan 2【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解 解：因?yàn)閏os（+）2cos（），所以sin2cos，則 tan故答案為：22函數(shù) y【分析】由值+的最大值為 2（）

14、2，即有 a+b，即可得到所求函數(shù)的最大解：當(dāng) a0，b0，（）20，可得（）2，即有 a+b，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)，取得等號則有 y+2， 當(dāng)且僅當(dāng) x1 時(shí)，取得最大值 2故答案為：2已知函數(shù) f（x）若函數(shù) g（x）f（x）24f（x）+m+1 恰有8 個(gè)零點(diǎn)，則 m 的范圍為 2m3【分析】利用分段函數(shù)的解析式，先作出函數(shù) f（x）的圖象，然后利用換元法將函數(shù) g（x）f（x）24f（x）+m+1 恰有 8 個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程 t24t+m+10 在 t（0，3必有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，再結(jié)合圖象分析即可得到答案解：畫出函數(shù) yf（x）的圖象如圖所示，設(shè) f（x）t，由 g（x）f（x）24f

15、（x）+m+10，得 t24t+m+10， 因?yàn)?g（x）有 8 個(gè)零點(diǎn)，所以方程 f（x）t 有 4 個(gè)不同的實(shí)根，結(jié)合 f（x）的圖象可得在 t（0，3內(nèi)有 4 個(gè)不同的實(shí)根， 所以方程 t24t+m+10 必有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即 m+1t2+4t 在 t（0，3內(nèi)有 2 個(gè)不同的實(shí)根， 結(jié)合圖象可知，則有 3m+14，解得 2m3， 所以 m 的范圍為 2m3故答案為：2m3三、解答題（17 題 10 分，18-22 每題 12 分，解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17已知 p：x2x+60，q：|1|m（m0）若p 是 q 的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍【分析】根據(jù)題

16、意，求出p、q 對應(yīng)的集合，由充分必要條件的性質(zhì)可得（3，2）12m，1+2m，可得關(guān)于 m 的不等式，解可得答案解：根據(jù)題意，p：x2x+60，解可得 x3 或 x2，則p 對應(yīng)的集合為（3，2），q：|1|m，解可得12mx1+2m，則 q 對應(yīng)的集合為12m，1+2m，若p 是 q 的充分不必要條件，則（3，2）12m，1+2m， 則有，解可得 m ；即 m 的取值范圍為，+）設(shè) f（x）是定義在實(shí)數(shù)集 R 上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù) x 恒滿足 f（x+2）f（x）， 當(dāng) x0，2時(shí)，f（x）2xx2求證：f（x）是周期函數(shù)；當(dāng) x2，4時(shí)，求 f（x）的解析式；（3）計(jì)算：f（0）+f

17、（1）+f（2）+ +f（2021）【分析】（1）根據(jù)題意，分析可得 f（x+4）f（x+2）f（x），即可得結(jié)論；根據(jù)題意，當(dāng) x2，4時(shí)，x20，2，結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性可得答案；根據(jù)題意，分析可得 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）0，結(jié)合函數(shù)的周期性分析可得答案解：（1）證明：f（x）對任意實(shí)數(shù) x 恒滿足 f（x+2）f（x）， 則 f（x+4）f（x+2）f（x），即 f（x）是周期為 4 的周期函數(shù)；（2）當(dāng) x2，4時(shí)，x20，2，則有 f（x2）2（x2）（x2）2x2+6x8，又由 f（x）是周期為 4 的周期函數(shù)，則 f（x）f（x4）f（x2）x26x+8，故

18、f（x）x26x+8；（3）根據(jù)題意，f（x）是定義在實(shí)數(shù)集 R 上的奇函數(shù)，則 f（0）0，f（x）對任意實(shí)數(shù) x 恒滿足 f（x+2）f（x），則 f（1）+f（3）0，f（2）+f（4）0，則有 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）0， 又由 f（x）是周期為 4 的周期函數(shù)，則 f（0）+f（1）+f（2）+f（2021）f（1）+f（2）+f（2021）f（1）+f（2）+f（3）+f（4）505+f（2021）f（1）1； 故 f（0）+f（1）+f（2）+f（2021）1已知函數(shù)求函數(shù) f（x）的最小正周期；，xR將 f（x）的圖像向左平移間個(gè)單位得到函數(shù) g（x）的圖像，求

19、g（x）的單調(diào)減區(qū)【分析】（1）直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)， 進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值正周期；（2）利用函數(shù)的圖象的平移變換和整體思想的應(yīng)用求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間解：（1）函數(shù) 故函數(shù)的最小正周期為 T（2）將函數(shù)的圖象向左平移令：整理得：故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為個(gè)單位得到函數(shù) g（x）（kZ），（kZ），（kZ）的圖象，已知函數(shù) f（x）（x2ax+1）ex，aR若函數(shù) f（x）在 x1 時(shí)取得極值，求 a 的值；討論函數(shù) f（x）的單調(diào)性【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于 a 的方程，解出即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論 a 的范圍，求

20、出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可 解：（1）f（x）（x2ax+1）ex，f（x）x2+（2a）xa+1ex，f（x）在 x1 處取得極值，故 f（1）（1+2aa+1）e0，解得：a2， a2 時(shí) ，f（x）（x22x+1）ex， f（x）（x22x+1+2x2）ex（x21）ex， 令 f（x）0，解得：x1 或 x1，令 f（x）0，解得：1x1，故 f（x）在（，1）遞增，在（1，1）遞減，在（1，+）遞增， 故 x1 是函數(shù)的極大值點(diǎn)，a2 符合題意；（2）由（1）得 f（x）x2+（2a）xa+1ex（x+1）x（a1）ex， 令 f（x）0，則 x1 或 xa1，a0 時(shí)，f（x）（x+1）

21、2ex0， 此時(shí) f（x）在 R 上單調(diào)遞增，a0 時(shí)，a11，當(dāng) x（1，a1）時(shí)，f（x）0，當(dāng) x（，1）（a1，+）時(shí)，f（x）0，故 f（x）在（1，a1）遞減，在（，1），（a1，+）遞增，a0 時(shí)，a11，此時(shí)當(dāng) x（a1，1）時(shí)，f（x）0，當(dāng) x（，a1），（1，+）時(shí)，f（x）0，f（x）在（a1，1）遞減，在（，a1），（1，+）遞增，綜上：a0 時(shí)，f（x）在（，1）遞增，在（1，a1）遞減，在（a1，+） 遞增，a0 時(shí)，f（x）在 R 上單調(diào)遞增，a0 時(shí)，f（x）在（，a1）遞增，在（a1，1）遞減，在（1，+）遞增已知橢圓 C 的一個(gè)焦點(diǎn)是直線 x+my求橢圓

22、C 的方程；0 所過的定點(diǎn)，且短軸長為 4過點(diǎn) D（1，0）的直線 l 與橢圓 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)，求OAB 面積的最大值【分析】（1）由題意可知，b2，a3，即可求得橢圓方程；（2）設(shè)直線 l 的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式，表示OAB 的面積，換元，即可求得OAB 面積的最大值解：（1）設(shè)橢圓 C 的方程：由直線恒過點(diǎn)，所以所以 a2b2+c29，所以；，由 2b4，b2，（2）由 D（1，0）在橢圓內(nèi)部，故直線 l 與橢圓必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由題意可知，當(dāng)直線 l 垂直于 y 軸時(shí)，顯然部成立，設(shè)直線 l 的方程為 xmy+1，A（x1，y1），B（x2，y2），則，

23、消去 x，整理得（4m2+9）y2+8my320，則，所以，所以，令由，在，單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng) m0 時(shí)，取“”，所以O(shè)AB 面積的最大值已知函數(shù) f（x）alnx+，aR 若 a2，且直線 yx+m 是曲線 yf（x）的一條切線，求實(shí)數(shù) m 的值；若不等式 f（x）1 對任意 x（1，+）恒成立，求 a 的取值范圍；若函數(shù) h（x）f（x）x 有兩個(gè)極值點(diǎn) x1，x2（x1x2），且 h（x2）h（x1），求 a 的取值范圍【分析】（1）代入 a 的值，根據(jù)切線方程得到關(guān)于 x0 的方程，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，解出 m即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為 alnx+10，記 g（x）alnx+1，通過

24、討論 a 的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定 a 的范圍即可；（3）法一：求出 h（x2）h（x1）的解析式，記 m（x）2（x+）lnx+x，x1， 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 a 的范圍即可；法二：由 h（x）f（x）xalnx+x，x0，以及 h（x）有兩個(gè)極值點(diǎn) x1，x2（x1x2），得到 x1+x2a，x1x21，設(shè) t2（t1），從而 h（x2）h（x1）等價(jià)于 h（t）（t+）lnt+t ，t1， 記 m（x）（x+）lnx+x，x1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 a 的范圍即可解：（1）當(dāng) a2 時(shí)，f（x）2lnx+，f（x） 設(shè)直線 yx+m 與曲線 yf（x）相切于點(diǎn) （x0，2lnx0+），則1，即2x0+10，解得 x01，即切點(diǎn)為（1，1），因?yàn)榍悬c(diǎn)在 yx+m 上，所以 11+m，解得 m0（2）不等式 f（x）1 可化為 alnx+10記 g（x）alnx+1，則 g（x）0 對任意 x（1，+）恒成立 考察函數(shù) g（x）alnx+1，x0，g（x） 當(dāng) a0 時(shí)，g（x）0，g（x）在（0，+）上單調(diào)遞減，又 g（1）0， 所以 g（2）g（1）0，不合題意；當(dāng) a0 時(shí) ，x（0， ），g（x）0；x（ ，+），g（x）0，所以 g（x）在（0， 上單調(diào)遞減，在，+）上單調(diào)遞增，若 1，即 a1