空間解析幾何數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)

1、范文范例學(xué)習(xí)指導(dǎo)空間解析幾何數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)一.向量代數(shù)1、已知空間中任意兩點(diǎn)M 1(x1, y/J和M 2(x2, y2,z2),則向量TM1M 2 = (x2 - Xi, y2 - yi, z2 - z1)2、已知向量 a =(a1,a2, a3)、b = (b1,b2,b3),則(1)向量 a 的模為 | a |= . a： , a22 a32a 二 b 二(a1 二b1,a2 二b2,a3 ：b3)/- T / - _ - _ - _ , a = (.；.a，.a2, .a3)3、向量的內(nèi)積a b/人、a b =| a | | b | cos : a, ba b = a1bl a2b2 -

2、 a3b3其中為向量a , b的夾角，且0 W b_a a b_bj TOC o 1-5 h z TTTijkT Ta b = a1a2a3b1b2b3ab： ab=電二生二曳 b1b2b3T f f fa b = a b = 0 = a1bla2b2a3b3 = 0幾何意義：|a、b|代表以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積word完美格式范文范例學(xué)習(xí)指導(dǎo)平面上三點(diǎn)A(%,y,0), B(x2,y2,0) , C(x3,y3,0)構(gòu)成的三角形的面積為S ABCi r F i| AB AC |X2 一 X1y2 一 yiX3 一 Xiy3 一 yii X2 -Xi2 X3 . Xiy2 一 Viy

3、3 一Vi的絕對(duì)值yi也可以寫成SABCX2X3y2y3的絕對(duì)值5.混合積：(a，b，c)=(b c)(i)注意：(兄，占)=(b,c, a) = (c,a,b)Xi坐標(biāo)表示：(a，b，c)= a(-0 =X2Viy2ZiZ2其中,X3y3Z3a= Xi,yi,Zi , b= x?2% , c= %*、入 (3)幾何意義：(a,b,C)的絕對(duì)值表示以a,b,c為三條鄰邊的平行六面體的體積。a，b，c共面的充要條件是(a，b，.c)=0?？臻g不共面的四點(diǎn) 人(不，乂，馬)，B(X2, y2，Z2)，C(X3，y3，Z3)，D(X4, y4，z4)構(gòu)成的四面體的體積為word完美格式范文范例學(xué)習(xí)指

4、導(dǎo)xi yi zi 1w 1 X2 y2 Z2 1 v= 一6 X3 y3 4 1X4 V4 Z41X2 -x1X3 -為x4 - X1y2 - %y3 一、1y，一 y1Z2 - ZZ3-z1Z4Z1的絕對(duì)值?？?r r ，人一一一一u八、(它實(shí)際是以AB, AC, AD為鄰邊的平行六面體的體積的六分之一)例 1 設(shè)徑矢 OA = r1 , OB = r2 , OC = r3,證明R = r1 m r2 + r2 x r3 + r3 M 口 垂直于 ABC?F面.證明：由于 AB Q = (2 -rJ & 義 L) + (2 父自)+(個(gè)J a -* &J i II- -i-Li- B IJ

5、- -if i-二(r2 r1r2)(r2 r2 r3) (r2 r3 rl) Yr1r1r2) -(r1r2 r3) -(r1r3 rjp- r * *二 (nr2 r3) -(r1 r2 r3)=。，所以 aB_lr.同理可證 AC_LR.所以 R_L平面ABC例2.設(shè)P是球內(nèi)一定點(diǎn)，A, B, C是球面上三個(gè)動(dòng)點(diǎn)./APB = /BPC =2CPA = n/2.以pa, pb, PC為棱作平行六面體，記與P相對(duì)的頂點(diǎn)為Q求Q點(diǎn)的軌跡.（見北京大學(xué)2007考研題）【帆】役球的中心為。.單褂為，戶則由=0戶+戶工有r-+ 2而+百+|丙同理,由麗二麗+麗及歷二而:正可得產(chǎn)=/+20戶“哨十|

6、嚴(yán)后產(chǎn)=小十赤正+|正word完美格式范文范例學(xué)習(xí)指導(dǎo)2萬(丙+麗十斤+|而+|而無i：廠到門。門尸一上尸出一尸八，根據(jù)13Ml PAPH-O. PNPH - 0，P 4 mo.并利用向量?jī)?nèi)積的性腦,得|而|舊而+2麗可+而+反)+|兩+|而+ |斤= t/2+3(r2-d2) = 3r2-2d這表明動(dòng)點(diǎn)Q到球心。(定點(diǎn))的即離是常數(shù)R = 歷二百7、因此，Q點(diǎn)的軌漣是以。為中心,R為半徑的球面.二.直線與平面方程(一)、平面1、平面的點(diǎn)法式方程已知平面過點(diǎn)P(X0,y0，Z0),且法向量為T*=(A,B,C),則平面方程為A(x - Xo) B(y - yo) - C(z - z0) = 0

7、注意：法向量為n=(A,B,C)垂直于平面2、平面的一般方程 Ax + By+Cz + D=0,其中法向量為U=(A, B,C)3、求平面方程的主要方法(1)過直線jAx + B1y+Gz + Di =。的平面方程可設(shè)為 Ax + Bzy+C2Z+ D2 =0(Aix Biy Ciz Di) ，(A2x B2y C?z D2) =0如果直線方程是點(diǎn)向式或參數(shù)式可轉(zhuǎn)化為上述形式處理, x + y + z+ 4 = 0 _ _. .，_. _. . . _ . .、例(i)在過直線,x y z 4 0的平面中找出一個(gè)平面，使原點(diǎn)到它、x +2y + z = 0的距離最長(zhǎng)。(2)平面過OZ軸，且與平

8、面y-z = 0的夾角為60,求該平面方程word完美格式范文范例學(xué)習(xí)指導(dǎo)(兩平面夾角等于兩法向量的夾角或兩法向量的夾角的補(bǔ)角)求過點(diǎn)M(1QT和直線等=彳=彳的平面方程過直線藍(lán):二:作平面，使它平行于直線x - y-4 = 0y z 6 = 0(5)過平面2x + y =0和4x+2y+3z =6的交線作切于球面x2 + y2 + z2 = 4的平面(6)求由平面2xz+12=0,x+3y +17 = 0所構(gòu)成的兩面角的平分面方程(2)利用點(diǎn)法式求平面方程注意：(i)任何垂直于平面的向量二均可作為平面的法向量(ii )和平面 Ax+ By +Cz + D =0平行的平面可設(shè)為 Ax + By

9、 + Cz + D1 = 0(iii )如存在兩個(gè)向量a =(a1, a2,a3)、b =也,b2, b3)和平面平行(或在T i 平面內(nèi))，則平面的法向量為n=aMb = aibi例1 (1)已知兩直線為 二二二二三1,左3 =口=上求過兩11-11-12直線的平面方程(2)求過A(8,-3,1)和B(4,7,2)兩點(diǎn)，且垂直于平面3x + 5y - z - 21 = 0的平面一平面垂直于向量(2,1,2)且與坐標(biāo)面圍成的四面體體積為9,求平面方程(4)已知球面x2+y2 +z2 -2x + 4y _6z = 0與一通過球心且與直線,x二 垂直的平面相交，求它們的交線在 xoy面上的投影J-

10、z=0例2.已知橢球面word完美格式范文范例學(xué)習(xí)指導(dǎo)222 HYPERLINK l bookmark6 o Current Document x yz,+ +=1222a bc(c a /3和子 交的直線方程 解：設(shè)所求直線的方向向量為（a,b,c）,已知兩直線的方向向量為（1,2,3）、(2,1,4),且分別過點(diǎn)(0,0,0)、(1,2,3)1 1 1貝(J 1 2 3 =0 ,即 a2b + c = 0;a b c-11b-24 =0 ,即 a+2b-c=0c故a=0,c=2b,故(a,b,c)=(0,1,2)所求直線為二012已知兩異面直線廣9r!和、1=一=、！,求它們的距離 與公垂

11、線方程求與直線f二平平行且與下列兩直線相交的直線z = 5x - 6z = 4x + 3和z = 2x -4、z = 3y +5（4）求過點(diǎn)P（1,-2,3）與z軸相交，且與已知直線=逮垂直的43- 2直線方程（三）有關(guān)知識(shí)補(bǔ)充：1.不在一條直線上的三點(diǎn)口（為，y，乙）。=1,2,3）的平面等價(jià)于PP,PP2,P3 共面word完美格式范文范例學(xué)習(xí)指導(dǎo)u (RP,PP2，PP3)= 0ux - X1X2 一 X1X3 一 Xiy- Viy2 - yly3 一 y1z- ZiZ2 - Z1Z3 一 Z12.二條直線 L1 : P = R tG ,L2：P =B + tS2共面I T T-(PP2

12、$S)=0 =X2 - X1V2 - V1Z2 - 乙11m1n1= 0 .12m2n2于是L1與L2異面ux2 - x1I1l2V2 - V1Z2 - 4m1n1# 0m2n2,T T T（甲20）=0 TOC o 1-5 h z 另外：L1與L2相交y H HT-、父s2 = 0（即:與l2不平仃）3.點(diǎn) P(x0,y0,Z。)到平面 Ax+ By+ Cz+ D = 0 的距離7| Ax。 By。 CZ0 D |d = , A2 B2 C24.點(diǎn) P(x0，y0,Z0)到直線 L (過點(diǎn) A(a,b,c),方向向量為 S = (1,m,n)dInsiLSt-0的t-d離 距 的 TOC o

13、 1-5 h z 4ijk| a-% b- yo c- zo |(a-%,b-yO,c-z0)M(l,m,n)| _1m Jl2 m2 n2l2 m2 n2word完美格式范文范例學(xué)習(xí)指導(dǎo).兩條異面直線的公垂線方程兩條異面直線Li, L2的公垂線L可以看作是過LL的平面與過LL2的平面的交線，即0f T T(P“,Si,Si)皆=0(P-BSB S2)= 0寫成分量的形式為x X1I l1i II X - X2l21y - yiz- zi TOC o 1-5 h z mini=0mny - y2z- Z2m2n2= 0mn此處，（l,m,n） = （Ii,mi,ni）M （I2,m2,n2）。

14、.兩條異面直線之間的距離：等于 而在S上的投影，即d = 1Ppi S| = |叫,崢）|S|Si0 0例I.直線L的方程為：Ax Biy Ciz Di - 0A2x B2y C2z D2 = 0問系數(shù)要滿足什么條件，才能使得直線：（I）過原點(diǎn)；（2）平行于x軸，但不與x軸重合；（3）與y軸相交;（4）與z軸重合。（見北京大學(xué)2007考研題）word完美格式范文范例學(xué)習(xí)指導(dǎo)【解】(I)將原點(diǎn)(0.0,0)的步標(biāo)代入直線的Zi程.得R = 1): = 0.(2)因?yàn)長(zhǎng)平行于工軸，所以工軸方向的向量(L0E)與向量(4用.CJ和(4) 都垂直，由此得A = 4=O.(UL 4M軸不重自，所以9不0

15、或?yàn)鮪0至少有一個(gè)成立，(3)沒(0.小0)是上與.v軸的交點(diǎn)，則崎,0.否則為格脖(I，代入心的方程，福及 y* + 辦=0 . B 一 / + D2 = 0 .于是由芻-&.用 小(4)由(1與(2)的蒯U如.L與二軸重合當(dāng)艮僅當(dāng)。=Q = 口 = R =0.x y -1 z 1 x 1-1例2.已知二直線Li :彳=二丁 = 0一, L2：一廠(1)說明它們異面；(2)求它們的公垂線方程；(3)求它們之間的距離-14 4-1解(1)(F1P2，S1,S2)= 12一1 0 =30 0,所以異面-1 2(2)S1S2ijk1-1 0=(-2,-2,1),公垂線方程為2-12x y - 1

16、z + 11-10=0-2-21x + 1y- 1z2-12=0-2-21x y 4z 3 = 0即彳1 x-2y-2z 3-0(3)距離為T T Td =% S| = |代七斗2)1 = 3= 1|S|1sls2 |44 4 1word完美格式范文范例學(xué)習(xí)指導(dǎo)同類型題：求直線x = 3z -1l1：；y=2z-3 和直線y = 2x - 512 Tz=7x+2的公垂線l的方程及兩條直線之間的距離 解：先將給定的直線ll及12的一般方程轉(zhuǎn)化成對(duì)稱式方程,x 1 y 3 z - 0 , x - 0 y 5 z - 2 11 ：, 12 ：321127x - 3z 1 = 0再按第二題的做法。答案

17、：37x+ 20y-11z+122= 0一_ _. x -1 y 2 z-5 一例3.平面通過兩直線 L1 :-= 工一=-和 TOC o 1-5 h z 121x y 3 z 1L2： = 3 = 的公垂線L ,且平行于向量c= (1,0,- 1),求32此平面的方程.I jk解s= S1x S2 = 1 2 1 = (1,-1,1),1 3 2Ijkn = s c T -11 = (1,2,1)。10 -1設(shè)L與Li , L2的交點(diǎn)分別為A, B ,則A(1+t,-2+2t,t + 5),Bd,3“-3,2“-1),word完美格式范文范例學(xué)習(xí)指導(dǎo)AB(九一1 一 t,3人一1 2t,2九

18、一t 6)。不口 -1-t 3 -1-2t 2 -t -6八 LABs= -= , 解得 t= 6，= 5,1-11A(7,10,11),所求平面方程為(x-7) + 2(y-10) + (z-11)= 0 ,即x+2y+ z380 =例4. 一直線L過點(diǎn)（2,6,3）,與平面”:x- 2y + 3z- 5= 0平x - 2 y一 2 z - 6行，且和直線1i : - = - = 相交，求此直線方程。-5- 82a ,、，、 , x - 2 y-2 z - 6解不妨設(shè)直線方程為l :一11= ，其中l(wèi), m, n待定。 l m nL 二 1父 l - 2父 m+ 3父 n= 0。（1）L與相

19、交二L與1i共面二2-2 6-2 3-6-5-82 = 0= 16l-15m-20n = 0 ,小。 l m n由（1）和（2）彳# l = 5n, m = 4n ,代入L的方程得word完美格式范文范例學(xué)習(xí)指導(dǎo)三.曲線族形成的曲面(一)柱面1、設(shè)柱面的準(zhǔn)線方程為?1(X，y，Z)=0,母線的方向向量T=(ViY，V3), f2 (x,y,z) = 0求柱面方程方法：在準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)M(xi，yi，zi),則過點(diǎn)M (Xi, %,乙)的母線為X - Xi 二 y - yiZ - Zi TOC o 1-5 h z ViV2f2 (xi, yi , Zi ) = 0( 2 )(3)又因?yàn)镸 (Xi

20、, yi,Zi)在準(zhǔn)線上，故f i (Xi, yi,乙)=0( i)令x - Xi _ y - yi _ z - Zi _ViV2V3由(i)、(2)、(3)消去卬火？求出t,再把t代入求出關(guān)于X,y,Z的方程F (x, y, z) = 0 ,則該方程為所求柱面方程22 ,2,2,例i：柱面的準(zhǔn)線為X y, zJ1 ,而母線的方向?yàn)閂=-i,0,i, 2x2 +2y2 +z2 =2求這柱面方程。解：在柱面的準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)M (Xi,yi,Zi),則過點(diǎn)M (Xi,yi,Zi)的母線為X - Xi = y - yi _ z - Zi-i -0 一 i即 Xi =x+t , y1 =y, Zi =

21、z-1 (i)又因?yàn)?M (xi, yi ,Zi)在準(zhǔn)線上，故 Xi2 + yi2 + Zi2 = i ( 2) , 2x： +2y, + z，= 2(3)由(1) (2) (3)彳x2 + y2 + z2+2xz-1 = 02、圓柱面是動(dòng)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等的點(diǎn)的軌跡，該距離為圓柱面的半徑把與一條定直線的距離是一個(gè)定常數(shù)的空間動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為直圓柱面，定直線叫做直圓柱面的軸，定常數(shù)叫做直圓柱面的半徑。T T 如果軸的方程為直線P=2 + tS,半徑為R,則直圓柱面的方程為word完美格式范文范例學(xué)習(xí)指導(dǎo)(MP0MS：|S|=R,其中 M (x,y,z)。方法：在圓柱面上任取一點(diǎn) M 0(Xo，

22、y0,Zo),過Mo(X0,yo,Z0)點(diǎn)做一平面 垂直于對(duì)稱軸，該平面的法向量為對(duì)稱軸的方向向量， 把該平面方程 和對(duì)稱軸方程聯(lián)立求得平面和對(duì)稱軸的交點(diǎn) M 1(x1412),則| M 0Mli為 圓柱的半徑例2：已知圓柱面的軸為二=H=n，點(diǎn)M1 (1, -2, 1)在此圓柱 1-2-2面上，求這個(gè)圓柱面的方程。解：設(shè)圓柱面上任取一點(diǎn)M 0(X0, y0, Z0),過點(diǎn)M0(X0,y0,Z0)且垂直于軸 的平面為(x - X0) - 2( y - y0) - 2(z - z0) = 0軸方程的參數(shù)式為X=t, y=12t,z = -12t代入平面方程得X0 - 2 y0 - 2 z0 t

23、二9故該平面和軸的交點(diǎn)為X0 2y 2z0 9 2X0 4y0 4z0 -9-2x0 4y0 4z0999過點(diǎn)M1(1,2 1)和軸垂直的平面和軸的交點(diǎn)為(33( 因?yàn)閳A柱截面的半徑相等，故利用距離公式得- 2_2_2_ 一 一 一 一8x 5y5z4xy 4xz - 8yz - 18y 18z -99 = 0注意：也可找圓柱面的準(zhǔn)線圓處理 例3:求以直線x=y=z為對(duì)稱軸，半徑R=1的圓柱面方程解：在圓柱面上任取一i點(diǎn)M 0(X0, y, z),過點(diǎn)M0(x0,y0,z0)且垂直于軸 的平面為(X -X0) (y -y0) (z -z0) =0軸方程的參數(shù)式為x=t,y=t,z = t代入平

24、面方程得,x0 y0 z0T -word完美格式范文范例學(xué)習(xí)指導(dǎo) TOC o 1-5 h z 故該平面和軸的交點(diǎn)為M(Xo + yoZo,Xoyo*Zo,Xo+yo+Zo) 333則MMi的長(zhǎng)等于半徑R=1故利用距離公式得(X0 X0y0Z0、2 . Xo yo Zo 2 /Xo yo Zo 2.)(yo )(Zo ) =133即所求方程為(2X0 - yo -Zo)2 - (-Xo 2y0 - Z。)2 , (-X。- y0 - 2z。)2 = 9例4.求過三條平行直線乂=丫 =書+1 = 丫 = 2-1，與乂-1 =尸1 = 2-2的圓 柱面方程。解：過原點(diǎn)且垂直于已知三直線的平面為 X

25、+ y+z=0：它與已知直線的交點(diǎn)為(0,0,0)(-1,0,1),(1, -1,9),這三點(diǎn)所定的在平面X+y + z = 0上33 3的圓的圓心為Mo(-2,-U,),圓的方程為：98751515 15(X 急2 (y )2 回口2x y z = 0此即為欲求的圓柱面的準(zhǔn)線。又過準(zhǔn)線上一點(diǎn)乂乂”工),且方向?yàn)?1,1,1的直線方程為:X = X1 tX1 = X - ty 二 y1 t - y1 = y -1z =乙, t乙=z 7將此式代入準(zhǔn)線方程，并消去t得到：5(x2 y2 z2 -xy - yz -zx) 2x 11y -13z = 0此即為所求的圓柱面的方程。附：(09年數(shù)學(xué)專業(yè)

26、競(jìng)賽題)求經(jīng)過三條平行直線L1：x = y = z, L2：x-1 = y = z+1,L3：x = y +1 = z-1的圓柱面的方程.(15分)word完美格式范文范例學(xué)習(xí)指導(dǎo)(二)錐面錐面是指過定點(diǎn)且與定曲線相交的所有直線產(chǎn)生的曲面。這些直線是母線，定點(diǎn)為頂點(diǎn)，定曲線為準(zhǔn)線。1、設(shè)錐面的準(zhǔn)線為 J(x，y，z)=0,頂點(diǎn)為M(x,y,z。)，求錐面方程 f2(x,y,z) =0方法：在準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)Mi(Xi，yZi),則過點(diǎn)Mi(Xi, yi,Zi)的母線為 TOC o 1-5 h z x-XoL = 1-y0L=z-Z0L(i)xi - X0 yi - y0 zi - Z0又因?yàn)镸

27、(xi, yi ,zi)在準(zhǔn)線上，故fi(xi,yi,zi)=0(2)f2 (xi yi , zi) = 0(2)由(i)、(2)、(3)消去 xi,yi,z1求出關(guān)于 x, y,z 的方程 F(x,y,z) =0 ,則 該方程為所求錐面方程22x y例i錐面的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且準(zhǔn)線為二+記=1，求這錐面方程。a bz = c解：在準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)Mi(xi, yizj ,則過點(diǎn)M i(xi,yi,zi)的母線為_ y _ zyi zi22又因?yàn)镸(x11yl ,乙)在準(zhǔn)線上，故+冬=i且z1 =c a b222上面三個(gè)方程消去xi,yi,zi得三+匕J = 0a b c2、圓錐面空間動(dòng)點(diǎn)到一條定直

28、線l上的定點(diǎn)A的連線與該定直線的夾角成定角，這樣的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為 直圓錐面，定直線l和它上面的定點(diǎn)A分別叫做直圓錐面的 軸和頂點(diǎn)，定角(銳角)叫做直圓錐面的 半頂角,-TH如果軸的方程為直線l: P =2+ tS , P0為頂點(diǎn)，Q為半頂角，則直word完美格式范文范例學(xué)習(xí)指導(dǎo)圓錐面的方程為MP0 S|MPo|S|已知圓錐面的頂點(diǎn)M0(X0,y0,Z0),對(duì)稱軸(或軸)的方向向量為v = (Vi, V2 ,V3),求圓錐面方程方法：在母線上任取一點(diǎn)M(x,y,z),則過該點(diǎn)的母線的方向向量為fn = (x - X0, y - y0,z - Z0)利用V和n的夾角不變建立關(guān)于x,y,z的方程，該

29、方程為所求 例2求以三根坐標(biāo)軸為母線的圓錐面的方程。(x + y + z)2 =x2 + y2 +z2)解：在坐標(biāo)軸上取三點(diǎn)(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1),則過三點(diǎn)的平面為故對(duì)稱軸的方向向量為(1,1,1), 一條母線的方向向量為(1,0,0),J-則母線和對(duì)稱軸的夾角為1+1m0+1x0 = V3m1mcoso(,即cos二23在母線上任取一點(diǎn)M(x, y,z),則過該點(diǎn)的母線的方向向量為n = (x,y,z)x y z = x2 y2 z2 一 3cos：所以(x y z)2 = x2 y2 z2例3圓錐面的頂點(diǎn)為(1,2,3),軸垂直于平面2x+2y-z+1 = 0,

30、母線和軸成30,求圓錐面方程解：在母線上任取一點(diǎn)M(x,y,z),軸的方向向量為(2,2,-1),母線的方向向量為 n = (x-1, y - 2,z-3)貝U2(x-1) 2(y-2)-(z-3) = . (x -1)2 (y -2)2 (z-3)2 9cos300即 4(2x 2y -z-3)2 =27(x -1)2 27( y -2)2 27(z -3)2例2.已知兩條直線L：x = y = z, L2? = Y=b。1 a 1word完美格式范文范例學(xué)習(xí)指導(dǎo)(1)問：參數(shù)a,b滿足什么條件時(shí)，Li與L2是異面直線？(2)當(dāng)Li與L2不重合時(shí)，求L2繞Li旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)曲面n的 方程，

31、并指出曲面n的類型。(09年首屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)專業(yè)競(jìng)賽題)TT解(1) =(1,1,1),Mi(0,0,0) , S2 = (1,a,1),M2(0,0,b),1111a1 = b(a - 1)0 0b所以當(dāng)a#1且b#0時(shí)，L與L2是異面直線。(2) L與L2不重合意味著不能同時(shí)有a=1,b=0,于是當(dāng)a = 1,b，0時(shí)，L與L2平行不重合，此時(shí)L2繞L旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)曲面冗為直圓柱面，其方程滿足ijk HYPERLINK l bookmark94 o Current Document | xyz |111、1 1 1,001,% 1 1 1|(y-z,z- x,x- y)|=|(-b,b

32、,0) |化簡(jiǎn)整理得2.2.22x y z - xy - yz - xz- b = 0. x y z30時(shí),l2m此時(shí)L與L2相交于原點(diǎn),L2繞L1旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)曲面7r為直圓錐面，方程滿足|1 a 1|_ |x y z|bxv化簡(jiǎn)整理得word完美格式范文范例學(xué)習(xí)指導(dǎo)(2a + 1)(x2 + y2 + z2) - (2 + a2)(xy + yz+ xz) = 0。(三)、旋轉(zhuǎn)曲面-F(x,y,z) = 0-給定母線C:二y i 它繞直線L:P = A+tS旋轉(zhuǎn)的曲面，1G(x,y,z) = 0相當(dāng)于以A為球心AP。長(zhǎng)為半徑的球面，與過P。以S= (l,m,n)為法向量的平面的交線 為曲

33、線族形成的曲面,設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線方程為；f1(x,y=0,旋轉(zhuǎn)軸為 f2 (x,y,z) =0匚包=其二生=二之，求旋轉(zhuǎn)曲面方程X Y Z方法：在母線上任取一點(diǎn)M 1(玉,y1, zj ,所以過Mi(xhyL 的緯圓方程X(x _Xi) +Y(y -y1)+Z(z-Zi) =0= ,、2,、2,、2,、2,、2,、2、(x-Xo) +(y-y) +(z-Zo) =(xI-x) +(y-y) +(z1-z)又因?yàn)镸i(x 丫乙)在母線上，有開1G，%,乙)=0=J2(Xi, %,乙)=0由上述四個(gè)方程消去X1,y1, Zi的方程F (x, y,z) = 0為旋轉(zhuǎn)曲面例1求直線4 = 丫=馬二繞直

34、線l ： x = y = z旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面的 210方程。解：在母線上任取一i點(diǎn)M 1(x1, Yi，Zi),則過M 1(x1,%,乙)的緯圓方程；(x Xi) +(y y)+(z Zi) = 0 x2 + y2 + z2 = x12 + y12 + z12又因?yàn)镸1(x1，y1，Z1)在母線上，有 土=叢=亙二1210由上述方程消去Xi, Yi , Zi的方程得9x2 +9y2 +9z2 =5(x + y + z-1)2 +9_x _ y - _ z例2將直線最二= = 1繞z軸旋轉(zhuǎn)，求這旋轉(zhuǎn)面的方程，并就 5P可能的值討論這是什么曲面？解：先求旋轉(zhuǎn)面的方程式： 任取母線上一點(diǎn)Mi(

35、Xi, Yi,Zi),過Mi的緯圓為:word完美格式范文范例學(xué)習(xí)指導(dǎo) TOC o 1-5 h z )=4(1)222222X2y2z2=K2yi2Zi2(2)又上=九二=二(3) HYPERLINK l bookmark24 o Current Document 01從(1) (3)消去 xi,y，zi,得到：x2 y2 T2z2 !：:;-2 : 0此即為所求旋轉(zhuǎn)面的方程。當(dāng)口=0邛#0時(shí)，旋轉(zhuǎn)面為圓柱面(以z軸為軸)；當(dāng)a=0,P=0時(shí)，旋轉(zhuǎn)面為圓錐面(以z軸為軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn))；當(dāng)見 B盧0時(shí),旋轉(zhuǎn)面變?yōu)閦軸;當(dāng)a=0,P#0時(shí)，旋轉(zhuǎn)面為單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面。四.特殊二次曲面方程222X y

36、z .1.橢球面：t rr t = 1 ；a b c2.22一一 Xy虛橢球面：2-2 ab3.2 X單葉雙曲面：Wa2c2y _b22=-12 z2 c2(1)它有漸近錐面:a2 b22X(類似于雙曲線Fa2yrr 一1有漸近線b2 X2 a2y_乒=0,即y =aX)(2)單葉雙曲面的直紋性:-*,得兩族直母線X2 z2 彳 y2,x zwX z、，人由/一 .3,(a ”a-C);(1word完美格式范文范例學(xué)習(xí)指導(dǎo)u(- -) = v(1 且) a c bvd-與二 u(1- a c bx -1 V z 例1.直線l的方程為： .求l繞z軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋 TOC o 1-5 h z

37、1- 3 3轉(zhuǎn)曲面的方程，并判斷它是何種平面2222Xq - 1 Vo Z0解 x+y=xo+yo,z=z),= t = 消去 Xo，Vo，z。得 HYPERLINK l bookmark132 o Current Document I 33所求旋轉(zhuǎn)x 1 V zz 3曲面方程。 由-二一理 yo Z, xo-, 代入1- 333222x y = Xo yo(z 3)29x2 y2 (z 13o)2 TOC o 1-5 h z 98110100222x y z與單葉雙曲面三+2-下=1相比較得出：所求旋轉(zhuǎn)曲面為單葉雙曲a b c33a、10, ,10,10面.f 3頂點(diǎn)在10,0，-行L3個(gè)軸

38、的長(zhǎng)度分別為例2 設(shè)直線與m為互不垂直的兩條異面直線，C是l與m的公垂線的中點(diǎn)，A,B兩點(diǎn)分別在直線l, m上滑動(dòng)，且/ACB = 901試證word完美格式范文范例學(xué)習(xí)指導(dǎo)直線AB的軌跡是一個(gè)單葉雙曲面。證明：以l, m的公垂線作為z軸，C作為坐標(biāo)原點(diǎn)，再令x軸與l, mzx1x2y1y2 - c2 = 0亦即(2)又設(shè)M (x, y, z)為AB上任一點(diǎn)，則x2 xy2 y1-2c從(1)(3)中7肖去 xi, yi,x2,y2,得：x -x1y - y1 z - c22、 22、 22_22_21 (1 ， )x -(1 -， )y z : c2y.2.2 1 - 11 -1丁 l不垂直m,，九八1(4)表示單葉雙曲面，即AB的軌跡是單