高中數(shù)學知識點精講精析絕對值不等式的解法

1、4.2.1 絕對值不等式的解法要點精講1含有絕對值的不等式的性質|a|- |b| |a+b| |a|+|b| 證明： -|a| a |a|, -|b|b |b|, -(|a|+|b|) a+b(|a|+|b|),|a+b| |a|+|b| 又 a=a+b-b, |-b|=|b| 由得 |a|=|a+b- b| |a+b|+|-b| ，即 |a|- |b| |a+b| 由得 |a|- |b| |a+b| |a|+|b| 由以上定理很容易推得以下的結論：|a|- |b| |a-b| |a|+|b|a 1+a2+a3| |a 1|+|a 2|+|a 3|2 幾個基本不等式的解集|x|-aa xa 或

2、 x0)|x-m|0) -aX-M m-aXa(a0) x-ma 或 x-mm+a 或 xM-A3絕對值的定義：|a|=由定義可知： |ab|=|a|b|,4絕對值不等式的解法解含有絕對值不等式的基本思路，絕對值符號的存在是解不等式的一大障礙。因此 如何去掉絕對值符號使其轉化為等價的不含絕對值符號的不等式是解決這類問題的關鍵， 常 采取劃分區(qū)間逐段討論， 從而去掉絕對值符號轉化為一般不等式， 或利用絕對值表達的幾何 意義轉化為圖像或曲線為解決。幾種主要的類型22|f(x)|g(x)| f 2(x)g 2(x)|f(x)|g(x) f(x)g(x) 或 f(x)-g(x)|f(x)| -g(x)

3、|b|(2) |a+b|a|+|b|取等號a,b同號(3) |a|-|b| |a-b|取等號a,b同號且 |a|b|(4) |a-b| |a|+|b|取等號a,b異號典型例題注意絕對值的定義，用公式法即若 a 0，|x| a，則 a x a；若 a 0，|x| a，則 x a或 xa。1 解不等式 |2x 3| 3x 1解析】由題意知 3x 1 0 ，原不等式轉化為(3x 1) 2x 3 3x 12x,5x 4,2x 3 3x 1,2x 3 3x 1,3x 1 0. 注意絕對值的非負性，用平方法題目中兩邊都是非負值才能用平方法， 否則不能用平方法， 在操作過程中用到 |x|2 x2 。2. 解

4、不等式 |x 1| |2x 3|兩邊都含絕對值符號，所以都是非負，故可用平方法?！窘馕觥吭坏仁?|x 1|2 |2x 3|2 (x 1) 2 (2x 3) 2 (2x 3) 2 (x 1)2 04解得 x 2或 x3故原不等式的解集為 x|x 2或x43. 注意分類討論，用零點分段法不等式的一側是兩個或兩個以上的絕對值符號，常用零點法去絕對值并求解。3. 解不等式 |x 2| |x 1| 3解析】利用絕對值的定義，分段討論去絕對值符號，令x 1 0 和 x 2 0 得分界點 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark31 o Current Document x 1

5、、 x22 x 1,于是，可分區(qū)間 ( ， 2), 2，1，1, ) 討論原不等式(x 2) (x 1) 3 x 2 (x 1) 3 x 2 (x 1) 3 HYPERLINK l bookmark37 o Current Document 解得 x 1或x2 HYPERLINK l bookmark39 o Current Document 綜上不等式的解為 x ( ， 2) (1，). 平方法 +定義法有些題目平方之后仍有一個絕對值號， 需要用定義去絕對值符號求解， 這種方法叫 “平 方法 +定義法”。4. 解關于 x 的不等式 |loga ax2| |loga x| 2【解析】11化 為

6、 |1 2l o agx| |l o agx| 2 后 ， 通 常 分 l o agx2 ， 2 l o agx 0 ，loga x 0 三種情況去絕對值符號，再分 a 1或0 a 1進行討論，這樣做過程冗長，極 易出錯。改變一下操作程序，思路將十分清晰，過程也簡潔得多，即原不等式兩邊平方得 4(log a x)2 4loga x 1 (loga x)2 4|loga x| 4。再由定義去絕對值號，有：loga x 0,(1)a 2 0 loga x 1 ；(loga x)2 1log a x 0,（2）2 3 log a x 0。3log a2 x 8loga x 3 0綜上知 3 loga

7、 x 1故當 a 1時，解為 a 3 x a ；當 0 a 1時，解為 a x a 3 5不等式 |8 3x| 0 的解集是 ABR88Cx|x 3D 3分析 |8 3x| 0，8 3x 0，即 x 83答 選 C6絕對值大于 2 且不大于 5 的最小整數(shù)是 A3B2C 2D 5分析 列出不等式解 根據(jù)題意得 2|x| 5從而 5x 2 或 2 x 5，其中最小整數(shù)為 5，答 選 D7 不等式 4 |1 3x| 7的解集為 分析 利用所學知識對不等式實施同解變形【解析】原不等式可化為 4|3x1|7，即 4 3x 17 或7583x14解之得 53x 83或2x1，即所求不等式解集為335x|

8、 2x1或 3x8已知集合 A x|2 |62x| 5，xN，求 A 分析 轉化為解絕對值不等式【解析】2|62x|5 可化為2 |2x 6| 552x 62或2x62，即 1 2x 8或2x 4，11 1 解之得 4x 或 x 222因為 x N，所以 A 0，1， 5說明：注意元素的限制條件9解不等式 |x 5| |2x 3|1分析 設法去掉絕對值是主要解題策略，可以根據(jù)絕對值的意義分【解析】3區(qū)間討論，事實上，由于 x5時，|x5|0，x 2 時|2x3|03所以我們可以通過，5將 x軸分成三段分別討論23解 當x 2 時， x 5 0， 2x 3 0所以不等式轉化為 （x5）（2x3）

9、1，得 x 7，所以 x 7；3當 x 5時，同理不等式化為2（x5）（2x3） 3 ，所以 3 5 時，原不等式可化為x 5 （2x 3） 9，所以 x51綜上所述得原不等式的解集為x|x 3或x |2x 3|分析 本題也可采取前一題的方法：采取用零點分區(qū)間討論去掉絕對值，但這樣比較復雜如果采取兩邊平方，即根據(jù) |a|b| a2b2 解之，則更顯得流暢，簡捷【解析】原不等式同解于（2x 1）2（2x3）2，即 4x24x 14x2 12x9，即 8x 8，得 x 1所以原不等式的解集為 x|x 1說明：本題中，如果把 2x當作數(shù)軸上的動坐標，則 |2x 1| |2x 3|表示 2x 到 1 的距離大于 2x 到 3 的距離，則 2x 應當在 2 的右邊，從而 2x 2 即 x1說明：本題實際上是利用端點的位置關系構造新不等式組11解關于 x 的不等式 |2x 1| 2m 1（m R）分析 分類討論1解 若 2m 1 0即m ，則 |2x1| 0即m ，則 （2m 1） 2x 1 2m 1，所以 1m2x 21 時，原不