狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器課件

1、第五章 狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器狀態(tài)反饋及極點(diǎn)配置系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題狀態(tài)觀測器帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)2022/7/191第一節(jié) 狀態(tài)反饋及極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋與輸出反饋狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置條件和算法狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀測性2022/7/192將系統(tǒng)每一個(gè)狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)饋送到輸入端與參考輸人相加，其和作為受控系統(tǒng)的控制輸入。一、狀態(tài)反饋反饋的兩種基本形式：狀態(tài)反饋（1種）、輸出反饋（2種）原受控系統(tǒng) ： 線性反饋規(guī)律：2022/7/193狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)：反饋增益矩陣：狀態(tài)反饋閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為： 一般D=0，可化簡為：狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)表示：狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征方程為：2022/7/194

2、原受控系統(tǒng) ：二、輸出到參考輸入的反饋（又稱為輸出反饋）將系統(tǒng)輸出量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)饋送到參考輸人，其和作為受控系統(tǒng)的控制輸入。（同古典控制，不作過多說明）輸出反饋控制規(guī)律：輸出反饋系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：2022/7/195輸出反饋增益矩陣：閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：結(jié)論3：由于反饋引自系統(tǒng)輸出，所以輸出反饋不影響系統(tǒng)的可觀測性。結(jié)論1：當(dāng)HCK時(shí)，輸出到參考輸入的反饋與狀態(tài)反饋等價(jià)。即對于任意的輸出反饋系統(tǒng)，總可以找到一個(gè)等價(jià)的狀態(tài)反饋，即KHC。故輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控性。結(jié)論2：對于狀態(tài)反饋，從KHC中，給定K值，不一定能夠解出H。所以，輸出反饋是部分狀態(tài)反饋，輸出信息所包含的不一定是系統(tǒng)的

3、全部狀態(tài)變量，適合工程應(yīng)用，性能較狀態(tài)反饋差。2022/7/196原受控系統(tǒng) ：三、輸出到狀態(tài)微分的反饋將系統(tǒng)的輸出量乘以相應(yīng)的負(fù)反饋系數(shù)，饋送到狀態(tài)微分處。這種反饋在狀態(tài)觀測器中應(yīng)用廣泛，結(jié)構(gòu)和觀測器很相似。輸出反饋系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：2022/7/197極點(diǎn)配置：通過反饋增益矩陣K的設(shè)計(jì)，將加入狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在S平面期望的位置上。四、狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置條件和算法1、極點(diǎn)配置算法(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。1）直接法求反饋矩陣K（維數(shù)較小時(shí)，n 3）定理：(極點(diǎn)配置定理) 對線性定常系統(tǒng) 進(jìn)行狀態(tài)反饋，反饋后的系統(tǒng)其全部極點(diǎn)得到任意配置的充要條件是：

4、 狀態(tài)完全能控。注意：矩陣 的特征值就是所期望的閉環(huán)極點(diǎn)。對不能控的狀態(tài)，狀態(tài)反饋不能改變其特征值。2022/7/198(2)求狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式：(3)根據(jù)給定（或求得）的期望閉環(huán)極點(diǎn)，寫出期望特征多項(xiàng)式。(4)由 確定反饋矩陣K：解：（1）先判斷該系統(tǒng)的能控性例1 考慮線性定常系統(tǒng)其中：試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)為-2j4和-10。2022/7/199該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，通過狀態(tài)反饋，可任意進(jìn)行極點(diǎn)配置。（2）計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式設(shè)狀態(tài)反饋增益矩陣為：（3）計(jì)算期望的特征多項(xiàng)式2022/7/1910由 得（4）確定K陣求得：所以狀態(tài)反饋矩陣K為：例2 對如下的線性

5、定常系統(tǒng)，討論狀態(tài)反饋對系統(tǒng)極點(diǎn)的影響解：（1）先判斷該系統(tǒng)的能控性由對角線標(biāo)準(zhǔn)型判據(jù)可知，特征值為1的狀態(tài)不能控。(2)假如加入狀態(tài)反饋陣K，得到反饋后的特征多項(xiàng)式為：2022/7/1911從中可以看出，對于1的極點(diǎn)，狀態(tài)反饋不起作用，狀態(tài)反饋只能通過k2去影響2這個(gè)極點(diǎn)。即狀態(tài)反饋對不能控部分狀態(tài)，不能任意配置其極點(diǎn)。求 將相等繁瑣，所以引入第二能控標(biāo)準(zhǔn)型法。2）第二能控標(biāo)準(zhǔn)型法求反饋矩陣（維數(shù)較大時(shí)，n3）1、首先將原系統(tǒng) 化為第二能控標(biāo)準(zhǔn)型2、求出在第二能控標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài) 下的狀態(tài)反饋矩陣3、求出在原系統(tǒng)的狀態(tài) 下的狀態(tài)反饋矩陣2022/7/1912證明：原系統(tǒng)：第二能控標(biāo)準(zhǔn)型：其中：式

6、（1）和式（2）比較，得：2022/7/1913第二能控標(biāo)準(zhǔn)型：此時(shí)的系統(tǒng)不變量和原系統(tǒng)相同。能控標(biāo)準(zhǔn)型下，加入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)矩陣為：第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下，狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式及 2022/7/1914第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下，狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為：根據(jù)期望閉環(huán)極點(diǎn)，寫出期望特征多項(xiàng)式：由 ，可以確定第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下的反饋矩陣為：2022/7/1915(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。(2)確定將原系統(tǒng)化為第二能控標(biāo)準(zhǔn)型 的變換陣 若給定狀態(tài)方程已是第二能控標(biāo)準(zhǔn)型，那么 ，無需轉(zhuǎn)換 第二能控標(biāo)準(zhǔn)型法，求反饋增益矩陣K的步驟：系統(tǒng)不變量：2022/7/1916(3)

7、根據(jù)給定或求得的期望閉環(huán)極點(diǎn)，寫出期望的特征多項(xiàng)式：(4)直接寫出在第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下的反饋增益矩陣：(5)求未變換前原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣：還可以由期望閉環(huán)傳遞函數(shù)得到：第二能控標(biāo)準(zhǔn)型法，非常適合于計(jì)算機(jī)matlab求解 期望的閉環(huán)極點(diǎn)有時(shí)直接給定；有時(shí)給定某些性能指標(biāo)：如超調(diào)量 和調(diào)整時(shí)間 等）2022/7/1917例用第二能控標(biāo)準(zhǔn)型法，重新求解前面例1：（2）計(jì)算原系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式：解：（1）可知，系統(tǒng)已經(jīng)是第二能控標(biāo)準(zhǔn)型了，故系統(tǒng)能控，此時(shí)變換陣（3）計(jì)算期望的特征多項(xiàng)式（4）確定K陣所以狀態(tài)反饋矩陣K為：第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下的狀態(tài)反饋矩陣為：2022/7/19183）愛克曼公式(Acke

8、rmann公式法) （維數(shù)較大時(shí)，n3）為系統(tǒng)期望的特征多項(xiàng)式系數(shù)，由下式確定：其中 是A滿足其自身的特征方程，為：推導(dǎo)過程：略此方法也非常適合于計(jì)算機(jī)matlab求解2022/7/1919例用愛克曼公式，重新求解前面例1：解：（1）確定系統(tǒng)期望的特征多項(xiàng)式系數(shù)：所以：（2）確定2022/7/1920（3）所以狀態(tài)反饋矩陣K為：2022/7/1921例已知線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋增益矩陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為1和2，并畫出閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。解：先判斷系統(tǒng)的能控性。 系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，可以通過狀態(tài)反饋任意配置其極點(diǎn)。 令2022/7/1922則狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式

9、為 期望的特征多項(xiàng)式為 由，求得 狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下： 2022/7/1923期望極點(diǎn)選取的原則： 1）n維控制系統(tǒng)有n個(gè)期望極點(diǎn)； 2）期望極點(diǎn)是物理上可實(shí)現(xiàn)的，為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)對； 3）期望極點(diǎn)的位置的選取，需考慮它們對系統(tǒng)品質(zhì)的影響（離虛軸的位置），及與零點(diǎn)分布狀況的關(guān)系。 4）離虛軸距離較近的主導(dǎo)極點(diǎn)收斂慢，對系統(tǒng)性能影響最大，遠(yuǎn)極點(diǎn)收斂快，對系統(tǒng)只有極小的影響。2、閉環(huán)系統(tǒng)期望極點(diǎn)的選取2022/7/1924五、狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀測性定理：如果SI線性定常系統(tǒng) 是能控的，則狀態(tài)反饋所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng) 也是能控的。證明:2022/7/1925結(jié)論：對SISO系統(tǒng)，引

10、入狀態(tài)反饋后，不改變系統(tǒng)原有的閉環(huán)零點(diǎn)。所以經(jīng)過極點(diǎn)的任意配置，可能會出現(xiàn)零極點(diǎn)相約，由于可控性不變，故可能破壞可觀測性。第二能控標(biāo)準(zhǔn)型，受控系統(tǒng)傳遞函數(shù)：狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)：2022/7/1926本節(jié)小結(jié)：1、狀態(tài)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu):狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)：狀態(tài)反饋閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征方程為：2、輸出反饋:閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程：閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：系統(tǒng)的特征方程為：2022/7/19273、輸出到狀態(tài)微分的反饋：閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程：閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：系統(tǒng)的特征方程為：4、狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置條件和算法：極點(diǎn)任意配置條件：系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。極點(diǎn)配置算法：反饋陣k的求法2022/7/1

11、928(4)由 確定反饋矩陣K：(2)求狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式：(3)根據(jù)給定（或求得）的期望閉環(huán)極點(diǎn)，寫期望特征多項(xiàng)式。1）直接法求反饋矩陣K（維數(shù)較小時(shí)，n 3時(shí)）(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。2022/7/1929(4)寫出第二能控標(biāo)準(zhǔn)型下的反饋增益矩陣：(5)求未變換前原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣：2）第二能控標(biāo)準(zhǔn)型法求反饋矩陣（維數(shù)較大時(shí)，n3時(shí)）(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。(3)寫出期望的特征多項(xiàng)式：(2)確定將原系統(tǒng)化為第二能控標(biāo)準(zhǔn)型 的變換陣 2022/7/19305、狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀測性可以保持原系統(tǒng)的能

12、控性，但可能破壞原系統(tǒng)的能觀測性。3）愛克曼公式(Ackermann公式法) （維數(shù)較大時(shí)，n3）其中 是A滿足其自身的特征方程，為：為系統(tǒng)期望的特征多項(xiàng)式系數(shù)，由下式確定：2）和3）方法非常適合于計(jì)算機(jī)matlab求解2022/7/1931第二節(jié) 系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題系統(tǒng)鎮(zhèn)定的概念狀態(tài)反饋與系統(tǒng)的鎮(zhèn)定2022/7/1932一、系統(tǒng)鎮(zhèn)定的概念鎮(zhèn)定：一個(gè)控制系統(tǒng)，如果通過反饋使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)漸近穩(wěn)定，即閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部，則稱該系統(tǒng)是能鎮(zhèn)定的?？梢圆捎脿顟B(tài)反饋實(shí)現(xiàn)鎮(zhèn)定，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。定理：如果線性定常系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的，則它狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是：不能控子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。定理證明

13、：二、狀態(tài)反饋與系統(tǒng)的鎮(zhèn)定原系統(tǒng)：2022/7/1933將原系統(tǒng)按照能控性分解，得到系統(tǒng)對系統(tǒng) 引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)矩陣變?yōu)殚]環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為：能控部分，總可以通過狀態(tài)反饋使之鎮(zhèn)定要求漸近穩(wěn)定2022/7/1934結(jié)論1：如果線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則不管其特征值是否都具有負(fù)實(shí)部，一定是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。（一定存在狀態(tài)反饋陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)得到任意配置） 不穩(wěn)定但狀態(tài)完全能控的系統(tǒng)，可以通過狀態(tài)反饋使它鎮(zhèn)定結(jié)論2：可控系統(tǒng)是一定可鎮(zhèn)定的，可鎮(zhèn)定系統(tǒng)不一定是可控的2022/7/1935例系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 （2）由動(dòng)態(tài)方程知系統(tǒng)是不能控的，但不能控部分的特征值是-5，位于左半S平面，可

14、知此部分是漸近穩(wěn)定的。因此該系統(tǒng)是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。 解：（1）系統(tǒng)的特征值為1，2和5。有兩個(gè)特征值在右半S平面，因此系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。 （1）該系統(tǒng)是否是漸近穩(wěn)定的？（2）該系統(tǒng)是否是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的？（3）設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋，使期望的閉環(huán)極點(diǎn)為2022/7/1936（3）不能控部分的極點(diǎn)為5，與其中一個(gè)期望極點(diǎn)相同。此時(shí)，只能對能控部分進(jìn)行極點(diǎn)配置。設(shè) ，對能控部分進(jìn)行極點(diǎn)配置。 期望的特征多項(xiàng)式為：2022/7/1937由 得：解得：所以反饋陣為： 2022/7/1938例系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程如下 解：（1）系統(tǒng)特征方程為：（1）討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2）加狀態(tài)反饋可否使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定？特

15、征值為 ，系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。（2）系統(tǒng)能控，加入狀態(tài)反饋可以任意配置極點(diǎn)。設(shè)反饋陣為 ，加狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)矩陣為2022/7/1939系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為：通過k1和k2的調(diào)整可使系統(tǒng)的特征值都位于左半S平面，使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。2022/7/1940第三節(jié) 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器的原理和構(gòu)成狀態(tài)觀測器的存在條件狀態(tài)觀測器極點(diǎn)配置條件和算法構(gòu)成狀態(tài)觀測器的原則2022/7/1941狀態(tài)重構(gòu)：不是所有的系統(tǒng)狀態(tài)物理上都能夠直接測量得到。需要從系統(tǒng)的可量測參量，如輸入u和輸出y來估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài) 。狀態(tài)觀測器：狀態(tài)觀測器基于可直接量測的輸出變量y和控制變量u來估計(jì)狀態(tài)變量，是一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的模擬動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。

16、如果 是狀態(tài)完全能觀測的，那么根據(jù)輸出y的測量，可以唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài) ，系統(tǒng)任意時(shí)刻的狀態(tài)：所以只要滿足一定的條件，可從可測量y和u中把x間接重構(gòu)出來。一、狀態(tài)觀測器的原理和構(gòu)成2022/7/1942原受控系統(tǒng) ：狀態(tài)觀測器 ：原系統(tǒng)和狀態(tài)觀測器之間狀態(tài)的誤差：有： ，即： 原系統(tǒng)初始狀態(tài) 狀態(tài)觀測器的初始狀態(tài)如果 ，必有 ，即兩者完全等價(jià)，實(shí)際很難滿足。也就是說原狀態(tài)和狀態(tài)觀測器的估計(jì)狀態(tài)之間必存在誤差，從而導(dǎo)致原系統(tǒng)和狀態(tài)觀測器的輸出也必存在誤差。漸近狀態(tài)觀測器。2022/7/1943全維漸近狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)圖：維數(shù)2n。2022/7/1944狀態(tài)觀測器的特征方程為：狀態(tài)觀測器 方程

17、：由此可以得到全維漸近狀態(tài)觀測器的等價(jià)結(jié)構(gòu)圖：維數(shù)2n。2022/7/1945狀態(tài)觀測器能否起作用的關(guān)鍵：觀測器在任何初始條件下，都能夠無誤差地重構(gòu)原狀態(tài)。二、狀態(tài)觀測器的存在條件： 存在性定理：線性定常系統(tǒng)不能觀測的部分是漸近穩(wěn)定的。存在條件設(shè)狀態(tài)觀測器方程：證：將原系統(tǒng) 按照能觀測性分解：2022/7/1946令：則：得：2022/7/19471、能觀測部分：齊次狀態(tài)方程的解：2、不能觀測部分：非齊次狀態(tài)方程的解2022/7/1948要求A22的特征值均具有負(fù)實(shí)部，即不能觀部分是漸近穩(wěn)定的此時(shí)：2022/7/1949前提：設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測器， 是狀態(tài)觀測器期望的特征值。則目的是確定觀測器增

18、益矩陣，使得A-KeC具有期望的特征值。等同于狀態(tài)反饋系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。三、狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)和狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)的對偶問題：原系統(tǒng)為：則其對偶系統(tǒng)為：1、針對對偶系統(tǒng)來設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋陣K： 線性反饋規(guī)律仍然為：則希望 取得一組期望的特征值，將特征值選擇為原系統(tǒng)的觀測器的期望特征值。2022/7/1950觀察上式可以發(fā)現(xiàn)：與原系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的特征方程相比：則有：其中，K是其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣。結(jié)論：原系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器增益矩陣Ke的設(shè)計(jì)，等同于其對偶系統(tǒng)狀態(tài)反饋中反饋陣K的設(shè)計(jì)，兩者互為轉(zhuǎn)置。其中原系統(tǒng)的觀測器特征值等于其對偶系統(tǒng)狀態(tài)反饋的特征值。2022/7/1951由狀態(tài)觀測器存在性定理，可以得到以下定理：

19、定理：線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器極點(diǎn)任意配置，即具有任意逼近速度的充要條件是原系統(tǒng)為狀態(tài)完全能觀測。四、狀態(tài)觀測器極點(diǎn)配置條件和算法：證明：根據(jù)以上的對偶關(guān)系，要使原系統(tǒng)的觀測器極點(diǎn)能任意配置，則要求其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋系統(tǒng)極點(diǎn)能任意配置。所以，其對偶系統(tǒng)狀態(tài)能控。原系統(tǒng)為：則其對偶系統(tǒng)為：則要求：即：原系統(tǒng)狀態(tài)能觀2022/7/1952第二能觀測標(biāo)準(zhǔn)型下，狀態(tài)觀測器的特征多項(xiàng)式：第二能觀測標(biāo)準(zhǔn)型：能觀測標(biāo)準(zhǔn)型下狀態(tài)觀測器的系統(tǒng)矩陣：2022/7/1953狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)步驟：(3)寫出狀態(tài)觀測器的期望特征多項(xiàng)式：1、直接法（維數(shù)較小時(shí)，n 3）(2)求觀測器的特征多項(xiàng)式：(4)由 確定狀態(tài)觀測

20、器的反饋矩陣：(1)判斷系統(tǒng)能觀測性。如果狀態(tài)完全能觀測，按下列步驟繼續(xù)。2022/7/19542、第二能觀標(biāo)準(zhǔn)型法（維數(shù)較大時(shí)，n3，適合計(jì)算機(jī)求解）(2)確定將原系統(tǒng)化為第二能觀測標(biāo)準(zhǔn)型 的變換陣 。若給定的狀態(tài)方程已是能觀測標(biāo)準(zhǔn)型，那么 ，無需轉(zhuǎn)換 (1)判斷系統(tǒng)能觀測性。如果狀態(tài)完全能觀測，按下列步驟繼續(xù)。2022/7/1955(4)直接寫出在第二能觀測標(biāo)準(zhǔn)型下觀測器的反饋矩陣：(5)求未變換前系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的反饋矩陣：(3)指定的狀態(tài)觀測器的特征值，寫出期望的特征多項(xiàng)式：下面證明原系統(tǒng)和線性變換后系統(tǒng)間觀測器的狀態(tài)反饋增益矩陣的關(guān)系：2022/7/1956證明：原系統(tǒng)：第二能觀標(biāo)準(zhǔn)型

21、：其中：式（1）和式（2）比較，得：2022/7/1957為系統(tǒng)期望的特征多項(xiàng)式系數(shù)，由下式確定：其中 是A滿足其自身的特征方程，為：推導(dǎo)過程：用前面講述的對偶關(guān)系來推導(dǎo)。轉(zhuǎn)化為對偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣K的設(shè)計(jì)。此方法也非常適合于計(jì)算機(jī)matlab求解3、愛克曼公式(Ackermann公式法) （維數(shù)較大時(shí)，n3）2022/7/1958解： (1)傳遞函數(shù) 無零極點(diǎn)對消，系統(tǒng)能觀測 可以寫為第二能觀測標(biāo)準(zhǔn)型：例 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下，試設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器，使觀測器的極點(diǎn)為10，10。(2)設(shè)觀測器的反饋增益陣為：1、直接法求解：2022/7/1959(5)由系數(shù)相等，得到觀測器的反饋矩陣為：(4)狀態(tài)觀

22、測器期望的特征多項(xiàng)式為：(3)求觀測器的特征多項(xiàng)式：則觀測器的系統(tǒng)矩陣為：2022/7/1960原系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)，其A、B陣如下：設(shè)對偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣為2、用狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器的對偶關(guān)系求解：將系統(tǒng)的特征值選擇為原系統(tǒng)觀測器的期望特征值。則期望的特征多項(xiàng)式為：則對偶系統(tǒng)的加入狀態(tài)反饋后的特征多項(xiàng)式為：由系數(shù)相等，得到對偶系統(tǒng)狀態(tài)反饋矩陣K為：所以，原系統(tǒng)觀測器的反饋矩陣為：2022/7/19613、用愛克曼公式求解：（1）確定系統(tǒng)期望的特征多項(xiàng)式系數(shù)：所以：（2）確定2022/7/1962（3）所以觀測器增益Ke為：2022/7/1963例已知線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 設(shè)計(jì)狀態(tài)觀

23、測器，使觀測器極點(diǎn)為10和10，并畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。解：先判斷系統(tǒng)的能觀測性。 系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測，觀測器存在，且其極點(diǎn)可以任意配置。 令2022/7/1964則觀測器的特征多項(xiàng)式為觀測器期望的特征多項(xiàng)式為由，求得 觀測器方程為：或：2022/7/1965觀測器的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下： 2022/7/1966五、構(gòu)成狀態(tài)觀測器的原則：1）觀測器 以原系統(tǒng) 的輸入和輸出作為其輸入。2） 的輸出狀態(tài) 應(yīng)有足夠快的速度逼近x，這就要求 有足夠?qū)挼念l帶，將導(dǎo)致觀測器的作用接近于一個(gè)微分器，從而使頻帶加寬，不能容忍地將高頻噪聲分量放大。3） 有較高的抗干擾性，這就要求 有較窄的頻帶，因而快速性和抗干擾性是互相

24、矛盾的，應(yīng)綜合考慮。4） 在結(jié)構(gòu)上應(yīng)盡可能地簡單，即具有盡可能低的維數(shù)。5）觀測器的逼近速度選擇：只需使觀測器的期望極點(diǎn)比由此組成的閉環(huán)反饋系統(tǒng)的特征值稍大一些即可。一般地，選擇的期望特征值，應(yīng)使?fàn)顟B(tài)觀測器的響應(yīng)速度至少比所考慮的閉環(huán)系統(tǒng)快25倍。2022/7/1967本節(jié)小結(jié)：一、全維狀態(tài)觀測器的原理、構(gòu)成與極點(diǎn)配置狀態(tài)觀測器 方程： 存在性定理：線性定常系統(tǒng)不能觀測的部分是漸近穩(wěn)定的。狀態(tài)觀測器極點(diǎn)配置條件：狀態(tài)完全能觀測狀態(tài)觀測器極點(diǎn)配置算法：反饋陣Ke的設(shè)計(jì)（或用對偶原理，設(shè)計(jì)其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣K）2022/7/1968(3)寫出狀態(tài)觀測器的期望特征多項(xiàng)式：1、直接法（維數(shù)較小時(shí)，

25、n 3）(2)求觀測器的特征多項(xiàng)式：(4)由 確定狀態(tài)觀測器的反饋矩陣：(1)判斷系統(tǒng)能觀測性。如果狀態(tài)完全能觀測，按下列步驟繼續(xù)。2、第二能觀測標(biāo)準(zhǔn)型法（維數(shù)較大時(shí)，n3）(1)判斷系統(tǒng)能觀測性。如果狀態(tài)完全能觀測，按下列步驟繼續(xù)。(2)確定將原系統(tǒng)化為第二能觀測標(biāo)準(zhǔn)型 的變換陣 。2022/7/1969(4)寫出在第二能觀測標(biāo)準(zhǔn)型下，觀測器的反饋矩陣：(5)求未變換前系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的反饋矩陣：(3)指定的狀態(tài)觀測器的特征值，寫出期望的特征多項(xiàng)式：2022/7/1970為系統(tǒng)期望的特征多項(xiàng)式系數(shù)，由下式確定：其中 是A滿足其自身的特征方程，為：3、愛克曼公式(Ackermann公式法) （維數(shù)較大時(shí)，n3）2022/7/1971第四節(jié) 帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的構(gòu)成帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的輸入輸出特性2022/7/1972狀態(tài)觀測器的建立，為不能直接量測的狀態(tài)反饋提供了條件構(gòu)成：帶有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)由觀測器和狀態(tài)反饋兩個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成。用觀測器的估計(jì)狀態(tài)實(shí)現(xiàn)反饋。 是x重構(gòu)狀態(tài)，階數(shù)小于等于x階數(shù)。系統(tǒng)階數(shù)為 與x階數(shù)和一、帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的構(gòu)成全維狀態(tài)觀測器加入狀態(tài)反饋2022/7/1973帶有全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)等價(jià)結(jié)構(gòu)圖：討論：1、用觀測器的估計(jì)狀態(tài)來設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋