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文檔簡介
1、第三章 描述統(tǒng)計分析了解總量指標的含義、作用、分類與計算方法;了解相對指標的含義和數(shù)值表現(xiàn)形式;學習目標掌握幾種常用相對指標的計算方法;了解平均指標和變異指標的基本知識;掌握算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的計算方法;掌握全距、四分位差、標準差和變異系數(shù)的計算方法;了解數(shù)據(jù)分布形狀的偏度和峰度。目錄第一節(jié) 總 量 指 標第二節(jié)相 對 指 標第三節(jié) 平 均 指 標第四節(jié)變 異 指 標第五節(jié)數(shù)據(jù)分布的偏度和峰度第一節(jié) 總 量 指 標 一、 總量指標的含義和作用總量指標又稱統(tǒng)計絕對數(shù),是用絕對數(shù)形式表現(xiàn)的反映客觀現(xiàn)象總體在一定時間、地點條件下的總規(guī)模、總水平或工作總量的統(tǒng)計指標。其數(shù)
2、值大小隨總體范圍的大小而變化。(一) 總量指標的含義一、 總量指標的含義和作用1. 總量指標是對社會經(jīng)濟現(xiàn)象總體認識的起點,常用來反映國情國力的基本狀況2. 總量指標是編制計劃、實行經(jīng)營管理的主要依據(jù)3. 總量指標是計算相對指標和平均指標的基礎(chǔ)(二) 總量指標的作用二、 總量指標的分類(一) 總體單位總量指標和總體標志總量指標1. 總體單位總量指標總體單位總量指標是表明總體單位數(shù)量的總量指標。例如,全國零售商店的總數(shù)、全國高等院校的總數(shù)等。二、 總量指標的分類(一) 總體單位總量指標和總體標志總量指標2.總體標志總量指標總體標志總量指標是表明總體單位某一數(shù)量標志值總和的總量指標。例如,研究某地
3、區(qū)工業(yè)企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營情況,那么該地區(qū)工業(yè)企業(yè)的利潤總額、工資總額等就是總體標志總量指標。二、 總量指標的分類(二) 時期指標和時點指標1. 時期指標時期指標是反映某種社會經(jīng)濟現(xiàn)象在一段時間發(fā)展變化結(jié)果的總量指標。例如,國內(nèi)生產(chǎn)總值、工業(yè)增加值、人口出生數(shù)等。2. 時點指標時點指標是反映社會經(jīng)濟現(xiàn)象在某一時間(瞬間)狀況上的總量指標。例如,年末人口總數(shù)、年末居民儲蓄存款余額等。二、 總量指標的分類(二) 時期指標和時點指標3. 時期指標與時點指標的區(qū)別(1) 時期指標的數(shù)值可連續(xù)統(tǒng)計;時點指標的數(shù)值不能連續(xù)統(tǒng)計,只能間斷統(tǒng)計。(2) 時期指標的各項數(shù)值可直接相加,相加后表示現(xiàn)象在更長時間內(nèi)的發(fā)展
4、變化總量;時點指標的各項數(shù)值一般不能直接相加,相加后無意義,會出現(xiàn)同一單位或標志值在不同時點的重復計算。(3) 時期指標的數(shù)值大小與其所包括的時期長短直接相關(guān);時點指標的數(shù)值大小與其所間隔時間的長短無直接關(guān)系。二、 總量指標的分類(三) 實物指標、價值指標和勞動量指標1. 實物指標實物指標是以實物單位計量的統(tǒng)計指標。實物單位是根據(jù)事物的自然屬性和特點采用的自然、物理計量單位。它包括自然單位、度量衡單位、雙重單位、復合單位和標準實物計量單位等。二、 總量指標的分類(三) 實物指標、價值指標和勞動量指標1. 實物指標(1) 自然單位。它是根據(jù)事物的自然屬性來計量的單位。例如,人口以“人”為單位,汽
5、車以“輛”為單位,鞋以“雙”為單位。(2) 度量衡單位。它是按統(tǒng)一的度量衡制度來計量的單位。例如,鋼產(chǎn)量以“噸”為單位,布以“米”為單位,距離以“千米”為單位。二、 總量指標的分類(三) 實物指標、價值指標和勞動量指標1. 實物指標(3) 雙重單位。它是采用兩種或多種計量單位來表明事物的數(shù)量。例如,電動機以“臺”“千瓦”計量,船舶以“艘”“馬力”“噸位”計量。(4) 復合單位。它是兩種計量單位結(jié)合在一起的計量單位。例如,發(fā)電量以“千瓦時”計量,貨物周轉(zhuǎn)量以“噸千米”計量。(5) 標準實物計量單位。它是對同類實物產(chǎn)品按統(tǒng)一標準折合的單位。例如,將含熱量不同的煤產(chǎn)量統(tǒng)一折算為7 000千卡的標準煤
6、。二、 總量指標的分類(三) 實物指標、價值指標和勞動量指標1. 實物指標實物指標的最大特點是直接反映產(chǎn)品的使用價值或現(xiàn)象的具體內(nèi)容,因而能夠具體地表明事物的規(guī)模和水平。它的局限性是指標的綜合性比較差,不同的實物的內(nèi)容、性質(zhì)、計量單位均不同,無法進行匯總,因而無法反映國民經(jīng)濟的總規(guī)?;蚩偟陌l(fā)展速度。二、 總量指標的分類(三) 實物指標、價值指標和勞動量指標2. 價值指標價值指標是以貨幣單位計量的統(tǒng)計指標,如國內(nèi)生產(chǎn)總值以“元”為單位。價值指標的最大特點是具有高度的綜合性。它可以綜合反映不同國家或地區(qū)、部門、企業(yè)生產(chǎn)不同產(chǎn)品的總成果。其局限性在于脫離了物質(zhì)內(nèi)容,比較抽象。價值指標只有和實物指標結(jié)
7、合使用,才能充分發(fā)揮作用。二、 總量指標的分類(三) 實物指標、價值指標和勞動量指標3.勞動量指標勞動量指標是以勞動單位計量的統(tǒng)計指標。勞動單位是反映勞動力資源及其利用狀況所采用的一種復合計量單位,如工時、工日等。這種統(tǒng)計指標雖然不多,但經(jīng)常遇到。例如,工廠考核職工出勤情況,每天要登記出勤人數(shù),對一個月的出勤人數(shù)進行匯總就不能用“人”而應用“工日”來計量。由于各企業(yè)的定額水平不同,因此勞動量指標不適宜在各企業(yè)之間進行匯總,往往只限于企業(yè)內(nèi)部的業(yè)務核算。三、 總量指標的計算方法(一) 直接計算法統(tǒng)計報表或普查中的總量資料基本上都是用直接計算法計算出來的。例如,在統(tǒng)計某企業(yè)的職工人數(shù)時,只需要把該
8、企業(yè)的每個在冊職工相加即可;而在統(tǒng)計該企業(yè)的本月總產(chǎn)值時,只需要把該企業(yè)本月每一天的產(chǎn)量相加即可。這是總量指標的主要計算方法。三、 總量指標的計算方法(二) 間接推算法間接推算法是采用社會經(jīng)濟現(xiàn)象之間的平衡關(guān)系、因果關(guān)系、比例關(guān)系,或利用非全面調(diào)查資料進行推算總量的方法。平衡推算法1因素關(guān)系推算法2比例關(guān)系推算法3三、 總量指標的計算方法(二) 間接推算法平衡推算法是依據(jù)現(xiàn)象之間的平衡關(guān)系式,并根據(jù)已知指標來推算未知指標的計算方法。例如,企業(yè)在報告期末推算產(chǎn)品庫存量時經(jīng)常采用如下關(guān)系式進行推算:期末產(chǎn)品庫存量=期初產(chǎn)品庫存量+本期產(chǎn)品生產(chǎn)量-本期產(chǎn)品銷售量平衡推算法1三、 總量指標的計算方法(
9、二) 間接推算法在社會經(jīng)濟現(xiàn)象中,當一個指標可以分解為兩個或兩個以上因素的乘積時,就可以根據(jù)它們的關(guān)系推算出關(guān)系式中的未知指標。以下關(guān)系式便是如此:工業(yè)總產(chǎn)值=產(chǎn)品產(chǎn)量出廠價格總成本=產(chǎn)品產(chǎn)量單位成本因素關(guān)系推算法2三、 總量指標的計算方法(二) 間接推算法比例關(guān)系推算法是根據(jù)已知的比例關(guān)系對未來進行推算的計算方法。例如,已知某企業(yè)2015年完成的銷售額為2.8億元,該企業(yè)2014年的銷售利潤率為5%。假設(shè)該企業(yè)2015年的銷售利潤率與2014年基本相同,那么該企業(yè)2015年的銷售利潤為1 400萬元(28 0005%)。比例關(guān)系推算法3第二節(jié)相 對 指 標一、 相對指標的含義和數(shù)值表現(xiàn)形式(
10、一) 相對指標的含義相對指標又稱統(tǒng)計相對數(shù),是將兩個性質(zhì)相同或相關(guān)的指標數(shù)值通過對比求得商數(shù)或比例,并借此反映現(xiàn)象總體內(nèi)部的結(jié)構(gòu)、比例、發(fā)展狀況等。也可以說,相對指標是兩個有聯(lián)系的現(xiàn)象數(shù)值的比率,可以用來反映現(xiàn)象的發(fā)展程度、結(jié)構(gòu)、強度、普遍程度或比例關(guān)系。一、 相對指標的含義和數(shù)值表現(xiàn)形式(一) 相對指標的含義相對指標的計算公式如下:注意:相對指標首先表現(xiàn)為一個抽象化的數(shù)值,反映現(xiàn)象之間的相對程度;其次表現(xiàn)為數(shù)值的大小與研究總體范圍的大小無直接聯(lián)系。一、 相對指標的含義和數(shù)值表現(xiàn)形式(二)相對指標的數(shù)值表現(xiàn)形式1. 有名數(shù)有名數(shù)是在計算相對指標時,保持兩個對比指標原來的計量單位。它主要在強度相
11、對指標的計算中采用。例如,2012年我國人均鋼產(chǎn)量為533千克,2014年我國人口密度為142.5人/平方千米,等等。一、 相對指標的含義和數(shù)值表現(xiàn)形式(二)相對指標的數(shù)值表現(xiàn)形式2. 無名數(shù)無名數(shù)是一種抽象化了的數(shù)值。在計算相對指標時,若分子與分母的數(shù)值表現(xiàn)形式相同,則其數(shù)值表現(xiàn)為無名數(shù)。(2)成數(shù)(1)系數(shù)或倍數(shù)(3)百分數(shù)(4)千分數(shù)二、 相對指標的種類及其計算方法(一) 結(jié)構(gòu)相對指標1. 結(jié)構(gòu)相對指標的概念和計算方法結(jié)構(gòu)相對指標就是人們通常所說的“比重”,是在對總體分組的基礎(chǔ)上,以總體總量為比較標準,求出各組總量占總體總量的比重來反映總體內(nèi)部組成情況的綜合指標。其計算結(jié)果一般是百分數(shù)。
12、結(jié)構(gòu)相對指標的計算公式如下:結(jié)構(gòu)相對指標在經(jīng)濟研究中具有重要作用。人們計算結(jié)構(gòu)相對指標能夠反映總體內(nèi)部結(jié)構(gòu)和現(xiàn)象的類型特征。二、 相對指標的種類及其計算方法(一) 結(jié)構(gòu)相對指標2. 計算結(jié)構(gòu)相對指標應注意的問題(1) 計算條件是統(tǒng)計分組。(2) 各部分計算結(jié)果小于1,各部分比重之和等于1。(3) 分子與分母均為總量指標。(4) 分子與分母不能互換。二、 相對指標的種類及其計算方法(二) 比例相對指標1. 比例相對指標的概念和計算方法比例相對指標是總體中不同部分數(shù)量對比的相對指標,可以用來分析總體范圍內(nèi)各個局部、各個分組之間的比例關(guān)系和協(xié)調(diào)平衡狀況。比例相對指標的計算公式如下:二、 相對指標的種
13、類及其計算方法(二) 比例相對指標2. 計算比例相對指標應注意的問題(1) 計算條件是統(tǒng)計分組。(2) 分子與分母一般是總量指標對比,但有時也可以用總體各部分的相對數(shù)或平均數(shù)對比。例如,男職工平均工資女職工平均工資100%=500400100%=125。(3) 各部分之間的比例之和不等于100。(4) 分子與分母可以互換。例如,女性人口數(shù)男性人口數(shù)100%=170 000180 000100%=94.44。二、 相對指標的種類及其計算方法(三) 比較相對指標1. 比較相對指標的概念和計算方法比較相對指標是以不同單位的同類現(xiàn)象數(shù)量對比而確定的相對指標,說明某一同類現(xiàn)象在同一時間內(nèi)各單位發(fā)展的不平
14、衡程度,并表明同類事物在不同條件下的數(shù)量對比關(guān)系。比較相對指標的計算結(jié)果通常用百分數(shù)或倍數(shù)表示。比較相對指標的計算公式如下:說明:此處的總體可以是國家、地區(qū)、部門或企業(yè)等。二、 相對指標的種類及其計算方法(三) 比較相對指標2. 計算比較相對指標應注意的問題(1) 分子與分母更多采用相對數(shù)或平均數(shù)。因為總量指標的數(shù)值易受總體范圍、生產(chǎn)條件等影響,一般不具有可比性。(2) 分子與分母可以互換。二、 相對指標的種類及其計算方法(四) 強度相對指標1. 強度相對指標的概念和計算方法強度相對指標是兩個性質(zhì)不同但有一定聯(lián)系的總量指標之間的對比,用來表明某一現(xiàn)象在另一現(xiàn)象中發(fā)展的強度、密度和普遍程度。它和
15、其他相對指標的根本不同之處在于它不是同類現(xiàn)象指標的對比。強度相對指標以雙重計量單位表示,是一種復名數(shù)。二、 相對指標的種類及其計算方法(四) 強度相對指標2. 計算強度相對指標應注意的問題(1) 分子與分母為兩個性質(zhì)不同而有聯(lián)系的現(xiàn)金總量指標。(2) 其數(shù)值表現(xiàn)形式多數(shù)為有名數(shù),少數(shù)為無名數(shù)。(3) 某些強度相對指標,分子與分母可互換,形成其正、逆指標。二、 相對指標的種類及其計算方法(五) 計劃完成程度相對指標1. 計劃完成程度相對指標的概念和計算方法計劃完成程度相對指標是用來檢查、監(jiān)督計劃執(zhí)行情況的相對指標。它以現(xiàn)象在某一段時間內(nèi)的實際完成數(shù)與計劃數(shù)的對比來觀察計劃完成程度。計劃完成程度相
16、對指標的計算公式如下:二、 相對指標的種類及其計算方法(五) 計劃完成程度相對指標2. 計劃完成情況的檢查分類中長期計劃檢查兩種短期計劃檢查二、 相對指標的種類及其計算方法(五) 計劃完成程度相對指標(1) 短期計劃檢查。 實際完成數(shù)與計劃任務數(shù)都是同一時期的,可按上述計劃完成程度相對指標的公式計算。 計劃期中某一段實際累計數(shù)與全期計劃相比,從時間上考核計劃執(zhí)行的均衡性,以便及時發(fā)現(xiàn)問題、采取措施,保證計劃的完成和超額完成的,可按計劃執(zhí)行進度的公式計算。具體公式如下:二、 相對指標的種類及其計算方法(五) 計劃完成程度相對指標(2) 中長期計劃檢查。 累計法。 水平法二、 相對指標的種類及其計
17、算方法(五) 計劃完成程度相對指標3. 計算計劃完成程度相對指標應注意的問題注意問題(2) 分子與分母不能互換。(1) 分子與分母既可以是絕對數(shù),也可以是相對數(shù)或平均數(shù)。二、 相對指標的種類及其計算方法(六) 動態(tài)相對指標動態(tài)相對指標又稱發(fā)展速度,是某一事物報告期數(shù)值與基期數(shù)值對比的結(jié)果,用以說明事物在時間上發(fā)展的快慢程度。動態(tài)相對指標的計算公式如下:通常,作為比較標準的時期稱為基期,與基期對比的時期稱為報告期。二、 相對指標的種類及其計算方法(七) 幾種相對指標的區(qū)分1. 結(jié)構(gòu)相對指標與比例相對指標的區(qū)別結(jié)構(gòu)相對指標是以總體總量為比較標準,通過計算各組總量占總體總量的比重來反映總體內(nèi)部組成情
18、況的綜合指標。例如,各工種的工人占全部工人的比重。比例相對指標是總體不同部分數(shù)量對比的相對數(shù),用以分析總體范圍內(nèi)各個局部之間的比例關(guān)系和協(xié)調(diào)平衡狀況。例如,輕重工業(yè)比例。二、 相對指標的種類及其計算方法(七) 幾種相對指標的區(qū)分2. 比例相對指標與比較相對指標的區(qū)別1) 子項與母項的內(nèi)容不同。比例相對指標是同一總體內(nèi),不同組成部分的指標數(shù)值的對比;比較相對指標是同一時間同類指標在空間上的對比。(2) 說明問題不同。比例相對指標說明總體內(nèi)部的比例關(guān)系,比較相對指標說明現(xiàn)象發(fā)展的不均衡程度。比較相對指標是不同單位的同類指標對比而確定的相對數(shù),用以說明同類現(xiàn)象在同一時期內(nèi)各單位發(fā)展的不平衡程度。例如
19、,甲地職工平均收入是乙地職工平均收入的1.3倍。二、 相對指標的種類及其計算方法(七) 幾種相對指標的區(qū)分3. 強度相對指標與其他相對指標的區(qū)別(1) 其他各種相對指標都屬于同一總體內(nèi)的數(shù)量對比,而強度相對指標還可以是兩種性質(zhì)不同但又有聯(lián)系的屬于不同總體的總量指標之間的對比。(2) 計算結(jié)果表現(xiàn)形式不同。其他相對指標用無名數(shù)表示,而強度相對指標主要用有名數(shù)表示。(3) 當計算強度相對指標的分子、分母的位置互換后,會產(chǎn)生正指標和逆指標,而其他相對指標不存在正、逆指標之分。三、 相對指標的應用原則(一) 正確選擇對比標準的基數(shù)如果基數(shù)的選擇不準確,就無法使相對數(shù)正確地反映事物之間的數(shù)量對比關(guān)系。至
20、于選擇什么樣的基數(shù),必須從現(xiàn)象的性質(zhì)特點出發(fā),并根據(jù)研究目的來確定。例如,人們在計算教育普及程度時,如果用全國識字人口數(shù)除以全國人口數(shù),那么顯然是不合理的。因為全國人口數(shù)包括未達到學齡的人數(shù),不能如實反映教育普及程度,所以必須從全國人口數(shù)中扣除6歲以下學齡前兒童人數(shù)。三、 相對指標的應用原則(二) 保持相對指標的可比性所謂相對指標的可比性,是指兩個對比指標在所表明的經(jīng)濟內(nèi)容、總體范圍、計算方法、計量單位、時間長短等方面的一致性。如果違反可比性這一基本原則,計算相對指標就會失去實際意義,會得出不準確的結(jié)論。三、 相對指標的應用原則(三) 相對指標和總量指標必須結(jié)合起來運用在利用相對指標進行分析時
21、,人們要考慮相對數(shù)背后所代表的絕對水平,即要將相對指標與總量指標結(jié)合起來應用。特別是在動態(tài)分析時,要注意到每增長1增加的絕對值。三、 相對指標的應用原則(四) 要將多種相對指標結(jié)合起來運用為了從各方面分析和研究問題,分析人員需要把各種相對指標結(jié)合起來使用。因為不同的相對指標都是從某一側(cè)面來說明現(xiàn)象之間的數(shù)量對比關(guān)系的,而現(xiàn)象之間及現(xiàn)象內(nèi)部的相互聯(lián)系往往是錯綜復雜的,所以,在實際統(tǒng)計工作中,只利用某一種相對指標對現(xiàn)象總體進行分析和研究是不能滿足需要的,必須靈活運用各種相對指標,以便對所研究的現(xiàn)象總體有一個比較全面、正確的認識。第三節(jié) 平 均 指 標 平均指標又稱統(tǒng)計平均數(shù),是用以反映社會經(jīng)濟現(xiàn)象
22、總體各單位某一數(shù)量標志在一定時間、地點條件下所達到的一般水平的綜合指標。 平均指標按計算方法不同可分為眾數(shù)、中位數(shù)、分位數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)。一、 位置平均數(shù)眾數(shù)就是分布數(shù)列中最常出現(xiàn)(頻數(shù)或頻率最大)的標志值,用M0表示。某個標志值在數(shù)列中最常出現(xiàn),說明該標志值最具有代表性,可以反映數(shù)列的一般水平。(一) 眾數(shù) 眾數(shù)的概念1一、 位置平均數(shù)(1) 眾數(shù)的特點。眾數(shù)是一種位置平均數(shù),不受極端標志值或開口組的影響。所以,當總體出現(xiàn)極端標志值時,眾數(shù)比算術(shù)平均數(shù)更能反映總體各單位標志值的一般水平。(2) 眾數(shù)的應用條件。在分配數(shù)列中,只有在標志值的次數(shù)有明顯集中趨勢的情況下才能確
23、定眾數(shù)。(一) 眾數(shù)眾數(shù)的特點和應用條件2一、 位置平均數(shù)(1) 由單項式數(shù)列確定眾數(shù)。(2) 由組距數(shù)列確定眾數(shù)。在由組距數(shù)列確定眾數(shù)時,應先確定眾數(shù)組,即次數(shù)最多的一組,而后運用下列公式計算眾數(shù)的近似值: 下限公式 上限公式(一) 眾數(shù)眾數(shù)的計算3式中,L為眾數(shù)所在組的下限,U為眾數(shù)所在組的上限,1為眾數(shù)組頻數(shù)與其前一組頻數(shù)之差,2為眾數(shù)組頻數(shù)與其后一組頻數(shù)之差,d為眾數(shù)所在組的組距。一、 位置平均數(shù)將分布數(shù)列中各單位標志值依大小順序排列,位于中間位置的單位標志值稱為中位數(shù),用Me表示。中位數(shù)表明數(shù)列中有一半的單位標志值小于中位數(shù),有一半的單位標志值大于中位數(shù)。(二) 中位數(shù)中位數(shù)的概念1
24、一、 位置平均數(shù)(二) 中位數(shù)中位數(shù)的特點和數(shù)學性質(zhì)2(1) 中位數(shù)的特點。中位數(shù)也是一種位置平均數(shù),不受極端標志值或開口組的影響。因為中位數(shù)的確定僅取決于它在數(shù)列中的位置,所以它不受少數(shù)極端標志值的影響。在這一點上,它優(yōu)于算術(shù)平均數(shù)。(2) 中位數(shù)的數(shù)學性質(zhì)。總體各單位標志值與其中位數(shù)的絕對離差的總和是所有數(shù)值的絕對離差之和的最小值,即 最小值。一、 位置平均數(shù)(二) 中位數(shù)中位數(shù)的計算3(1) 由未分組數(shù)列確定中位數(shù)。Me等于第 個標志值。分析人員在確定中位數(shù)時要注意n為奇數(shù)和偶數(shù)的不同。 當n為奇數(shù)時,中位數(shù)取Me位置對應的值。 當n為偶數(shù)時,中位數(shù)取Me位置兩側(cè)值的平均數(shù)。一、 位置平
25、均數(shù)(2) 由分組數(shù)列確定中位數(shù)。第一步,確定中位數(shù)所在組(采用向上或向下累計方法)。第二步,根據(jù)下列公式確定中位數(shù)的近似值。(二) 中位數(shù)中位數(shù)的計算3一、 位置平均數(shù)(二) 中位數(shù)中位數(shù)的計算3式中,L為中位數(shù)所在組的下限;U為中位數(shù)所在組的上限;f為數(shù)列的頻數(shù)總和;f2為中位數(shù)的位次;fm為中位數(shù)所在組的頻數(shù);Sm-1為在向上累計法中中位數(shù)所在組前一組的向上累計頻數(shù);Sm+1為在向下累計法中中位數(shù)所在組后一組的向下累計頻數(shù);d為中位數(shù)所在組的組距。 下限公式 上限公式一、 位置平均數(shù)中位數(shù)是從中間點將全部數(shù)據(jù)等分成兩部分。與中位數(shù)類似的還有四分位數(shù)、十分位數(shù)和百分位數(shù)等。它們分別是用3個
26、點、9個點和99個點將數(shù)據(jù)4等分、10等分和100等分后各分位點上的值。這里只介紹四分位數(shù)。(三) 分位數(shù)分位數(shù)的概念1一、 位置平均數(shù)四分位數(shù)也稱四分位點,是一組數(shù)據(jù)排序后處于25%、50%和75%位置上的值。四分位數(shù)是通過3個點將全部數(shù)據(jù)等分為4部分,每部分均包含25%的數(shù)據(jù)。顯然,中間的四分位數(shù)就是中位數(shù)。因此,通常所說的四分位數(shù)是指處在25%位置上的數(shù)值(下四分位數(shù))和處在75%位置上的數(shù)值(上四分位數(shù))。(三) 分位數(shù)分位數(shù)的概念1一、 位置平均數(shù)與中位數(shù)的計算方法類似,分析人員在根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計算四分位數(shù)時,首先要對數(shù)據(jù)進行排序,然后確定四分位數(shù)所在的位置。該位置上的數(shù)值就是四分位
27、數(shù)。假設(shè)下四分位數(shù)為QL,上四分位數(shù)為QU,根據(jù)四分位數(shù)的定義,QL與QU位置的確定公式如下: (三) 分位數(shù)分位數(shù)的計算2一、 位置平均數(shù)如果位置是整數(shù),四分位數(shù)就是該位置對應的值;如果是在50%的位置上,那么取該位置兩側(cè)值的平均數(shù);如果是在25%或75%的位置上,那么四分位數(shù)等于該位置的下側(cè)值加上按比例分攤位置兩側(cè)數(shù)值的差值。(三) 分位數(shù)分位數(shù)的計算2二、 數(shù)值平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)是分布數(shù)列(總體)中各單位標志值的總和除以全部單位數(shù)。算術(shù)平均數(shù)是計算平均指標的最常用方法,基本公式如下:(一) 算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)的概念1二、 數(shù)值平均數(shù)基本公式的分子(總體標志總量)與分母(總體單位總量)必須
28、是同一總體,并且分子與分母在數(shù)量上存在直接的對應關(guān)系,即分子的數(shù)值要隨著分母數(shù)值的變動而變動。算術(shù)平均數(shù)的這一計算條件也是平均指標與強度相對指標的主要區(qū)別之一。(一) 算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)的計算2(1) 算術(shù)平均數(shù)的計算條件二、 數(shù)值平均數(shù)需要指出的是,雖然平均指標與強度相對指標都是兩個總量指標對比,并且有的強度相對指標還帶有平均的含義,其計量單位也是雙重單位,但兩者仍有明顯區(qū)別。(一) 算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)的計算2(1) 算術(shù)平均數(shù)的計算條件二、 數(shù)值平均數(shù)強度相對指標與平均指標的區(qū)別主要表現(xiàn)在以下兩個方面: 指標的含義不同。 計算方法不同。(一) 算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)的計算2(1) 算術(shù)平
29、均數(shù)的計算條件二、 數(shù)值平均數(shù) 簡單算術(shù)平均數(shù)。簡單算術(shù)平均數(shù)適用于計算未分組數(shù)列的平均數(shù)。其計算公式如下:式中,x為各單位標志值,n為總體單位數(shù)。注意:在簡單算術(shù)平均數(shù)中,各單位標志值出現(xiàn)的次數(shù)(頻數(shù))均相同。(一) 算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)的計算2(2) 算術(shù)平均數(shù)的計算形式二、 數(shù)值平均數(shù) 加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)適用于計算分組數(shù)列的平均數(shù)。其計算公式如下:或式中,x為加權(quán)算術(shù)平均數(shù);xi為各組標志值;fi為各組單位數(shù); 為各組單位數(shù)比重。(一) 算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)的計算2(2) 算術(shù)平均數(shù)的計算形式二、 數(shù)值平均數(shù) 各變量值與其平均數(shù)離差之和等于零。用算式表示如下:(一) 算術(shù)平均
30、數(shù)算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學性質(zhì)和特點3(1) 算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學性質(zhì)二、 數(shù)值平均數(shù) 各變量值與其平均數(shù)離差的平方和是一個最小值,即 或其中 。(一) 算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學性質(zhì)和特點3(1) 算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學性質(zhì)二、 數(shù)值平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)易受極端標志值(極大值或極小值)和開口組的影響。(一) 算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學性質(zhì)和特點3(2) 算術(shù)平均數(shù)的特點二、 數(shù)值平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)是分布數(shù)列中各單位標志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù),又稱倒數(shù)平均數(shù)。假設(shè)有三個標志值,分別為x1、x2、x3,則算術(shù)平均數(shù)為調(diào)和平均數(shù)為(二) 調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)的概念1根據(jù)所掌握資料的不同,調(diào)和平均數(shù)的具體計算可分為簡單調(diào)
31、和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。(1) 簡單調(diào)和平均數(shù)。其計算公式如下:(2) 加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。其計算公式如下:調(diào)和平均數(shù)的計算2當m1=m2=m3=mn=A時,加權(quán)調(diào)和平均數(shù)等于簡單調(diào)和平均數(shù)。其具體推導過程如下:調(diào)和平均數(shù)的計算2令mi=xifi,則有:調(diào)和平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系3由此可見,在“mi=xifi”的條件下,根據(jù)同一標志值,采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)計算平均指標與采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計算平均指標的結(jié)果完全相同。這是因為兩者均符合總體標志總量與總體單位總量的對比關(guān)系。所以,加權(quán)調(diào)和平均數(shù)是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的變形。兩者的不同之處在于在計算平均指標時應用的權(quán)數(shù)資料不同,加權(quán)算術(shù)平均數(shù)是以各組單位數(shù)為
32、權(quán)數(shù),加權(quán)調(diào)和平均數(shù)是以各組標志總量為權(quán)數(shù)。調(diào)和平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系3二、 數(shù)值平均數(shù)(1) 在采用算術(shù)平均數(shù)計算平均指標時,由于資料的限制,當無法直接得到被平均標志值相對應的各組單位數(shù)時,可通過調(diào)和平均數(shù)的形式求出所需的各組單位數(shù)。(2) 在由相對數(shù)或平均數(shù)計算平均指標時,如果掌握的權(quán)數(shù)資料是相對數(shù)或平均數(shù)的母項數(shù)值,就應采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計算。如果掌握的權(quán)數(shù)資料是相對數(shù)或平均數(shù)的子項數(shù)值,就應采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)計算。調(diào)和平均數(shù)的應用場合4二、 數(shù)值平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)易受極端標志值和開口組的影響。當數(shù)列中某項標志值為零時,調(diào)和平均數(shù)無法計算得出。調(diào)和平均數(shù)的特點5二、 數(shù)值平均數(shù)(三) 幾
33、何平均數(shù)1. 幾何平均數(shù)的概念及計算幾何平均數(shù)是分布數(shù)列中n個單位標志值連乘積的n次方根。其計算公式如下:式中,G為幾何平均數(shù);xi為用相對數(shù)表示的各單位標志值;n為標志值的個數(shù);為連乘符號。幾何平均數(shù)適合于計算現(xiàn)象的平均比率或平均速度。當變量值的連乘積等于總比率或總速度時,分析人員宜用幾何平均法進行計算。二、 數(shù)值平均數(shù)(三) 幾何平均數(shù)2. 幾何平均數(shù)的特點幾何平均數(shù)易受極端標志值的影響。當數(shù)列(總體)中某一標志值為零或負數(shù)時,幾何平均數(shù)無法計算得出。二、 數(shù)值平均數(shù)(三) 幾何平均數(shù)3. 幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)的關(guān)系幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)三種平均數(shù)有其各自的應用條
34、件和特點,但從數(shù)量關(guān)系上看,存在著一定的規(guī)律。對同一資料分別用三種方法計算,其結(jié)果是算術(shù)平均數(shù)最大,幾何平均數(shù)次之,調(diào)和平均數(shù)最小。只有當所有變量值都相同時,三者方法的計算結(jié)果才相等。三者之間的關(guān)系可用不等式表示如下:第四節(jié) 變 異 指 標 變異指標即標志變異指標,又稱標志變動度,是反映分布數(shù)列(總體)中各單位標志值差異程度的綜合指標。它從另一個角度反映總體的特征。第四節(jié)變 異 指 標 變異指標是衡量平均數(shù)代表性的尺度。它與平均數(shù)的代表性成反比,表明總體各單位標志值的分散程度。變異指標的數(shù)值越大,平均數(shù)的代表性越??;變異指標的數(shù)值越小,平均數(shù)的代表性越大。 變異指標的作用是在與平均指標結(jié)合中產(chǎn)
35、生的。離開了平均指標,它就失去了意義。而它與平均指標相結(jié)合,可全面反映總體的特征,并對平均指標的代表性做出評價。 變異指標包括全距、四分位差、標準差和變異系數(shù)。一、 全距全距又稱極差,是標志值數(shù)列(總體)中最大值與最小值之差。它說明標志值的變動范圍,一般用R表示。其用公式表示如下:全距最大標志值最小標志值概念清楚、意義明確、計算簡單是全距的優(yōu)點。但是,因它僅由最大值與最小值求得,所以易受兩極端數(shù)值的影響。如果兩極端有偶然性或異常值時,全距就會不穩(wěn)定、不可靠。它不考慮中間數(shù)值的差異,即其他數(shù)據(jù)不起作用,反應不靈敏。它明顯地受取樣變動的影響。二、 四分位差四分位差也稱內(nèi)距,是上四分位數(shù)與下四分位數(shù)
36、之差,記作Qd。其計算公式如下:Qd=QU-QL四分位差反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度。其數(shù)值越小,說明中間的數(shù)據(jù)越集中;反之,說明中間的數(shù)據(jù)越分散。四分位差不受極值的影響。此外,由于中位數(shù)處于數(shù)據(jù)的中間位置,因此四分位差在一定程度上也說明了中位數(shù)對一組數(shù)據(jù)的代表程度。四分位差主要用于測度順序數(shù)據(jù)的離散程度,也可用于測度數(shù)值型數(shù)據(jù),但它不適合測度分類型數(shù)據(jù)。三、 標準差標準差是分布數(shù)列(總體)中各單位標志值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的平均數(shù)的平方根。換句話說,標準差是各變量值離差平方平均數(shù)的平方根。標準差又叫均方差,用表示,2稱為方差。由于掌握的資料不同,標準差的計算可分為簡單標準差和加權(quán)標準差兩種形式。三、 標準差(1) 簡單標準差。簡單標準差的計算公式如下:(2) 加權(quán)標準差。加權(quán)標準差的計算公式如下:四、 變異系數(shù)標準差的數(shù)值不但取決于數(shù)列各單位標志值的差異程度,而且受數(shù)列平均水平的影響。標準差在反映標志值的差異程度時還帶有計量單位。因此,如果兩個數(shù)列平均水平不同或標志值
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