統(tǒng)計心理-第三章-集中量數 課件

1、第三章 集中量數9，13，10，8，9，11，7，12，10，13，10，855，57，52，56，55，56，59，58，51，53， 54，5425，28，12，-1，-10，39，10，18，-7，-13，22，-3數據分布的基本特征集中趨勢 (位置)偏態(tài)和峰態(tài)（形狀）離中趨勢 (分散程度)集中趨勢與離中趨勢集中趨勢是指數據分布中大量數據向某方向集中的程度。集中趨勢與離中趨勢集中趨勢是指數據分布中大量數據向某方向集中的程度。離中趨勢是指數據分布中數據彼此分散的程度。 集中量數與差異量數：描述一組數據集中趨勢和離中趨勢的統(tǒng)計量，共同描述一組數據的全貌及統(tǒng)計特征。 測度集中趨勢即尋找數據水平

2、的代表值或中心值集中量數包括算術平均數、中數、眾數、加權平均數、幾何平均數、調和平均數等。第一節(jié) 算術平均數一、算術平均數的定義 算術平均數，一般簡稱為平均數，或均數，或均值。一般用字母M或 表示。第一節(jié) 算術平均數二、算術平均數的計算方法（一）未分組數據計算平均數第一節(jié) 算術平均數二、算術平均數的計算方法（二）用估計平均數計算算術平均數AM為估計平均數N為數據個數9，13，10，8，9，11，7，12，10，13，10，855，57，52，56，55，56，59，58，51，53，54，5425，28，12，-1，-10，39，10，18，-7，-13，22，-3第一節(jié) 算術平均數二、算術平

3、均數的計算方法（三）使用次數分布表計算平均數1.由次數分布表求平均數2.用估計平均數計算分組次數分布表平均數第一節(jié) 算術平均數三、平均數的特點 各變量值與均值的離差之和等于零3.各變量值與均值的離差平方和最小4. 所有的觀測值都加上常數C，則平均值也增加常數C5. 所有觀測值都乘以不等于0的常數C，則平均值也增大C倍6. 7. 算術平均數是“真值”的漸進、最佳的估計值第一節(jié) 算術平均數二、平均數的特點推導：設觀測值與平均數的差為：觀測值與真值的差為：則：因為：代入可得：平均數的優(yōu)缺點（一）優(yōu)點1.反應靈敏2.計算嚴密3.計算簡單4.簡明易解5.適合于進一步代數運算6.較少受抽樣變動的影響平均數

4、的優(yōu)缺點（二）缺點1.易受極端數據影響 修剪平均數：也稱截尾平均數，是從一組數據中去除一定百分比（如5%）的最大值和最小值數據后，再次計算的算術平均數。2.若出現(xiàn)模糊不清的數據時，無法計算平均數小結如果一組數據比較準確，可靠又同質，而且需要每一個數據都加入計算，同時還要作進一步代數運算時，這時就要用算術平均數表示其集中趨勢。如果一組數據中出現(xiàn)兩個極端的數目，或有一些數據不清楚，數據不同質時，就不宜使用算術平均數。在報告平均數時，要按特別指定的單位來表達。在書寫平均數時，習慣上平均數保留的小數位數要比原來的測量數據多一位小數。計算和應用平均數的原則同質性原則 同質數據：指使用同一個觀測手段，采用

5、相同的觀測標準，能反映某一問題的同一方面特質的數據。平均數與個體數值相結合的原則平均數與標準差、方差相結合原則（即平均數的代表性受標準差和方差所影響）第二節(jié) 中數和眾數一、中數（一）中數的意義和特點1.定義： 中數又稱中點數，中位數，中值，是指按順序排列在一起的一組數據中居于中間位置的數。符號為Md或Mdn。2.特點： 受極端數目的影響較小 Mdn50%50%（二）中數的計算方法1. 未分組數據求中數的方法 （1）一組數據中無重復數值的情況 先將數據排序，若數據個數為奇數時，則 為中數；若數據個數為偶數時，則 為中數。求數列4，6，7，8，12的中數。有2，3，5，7，8，10，15，19共8

6、個數，求其中數。（二）中數的計算方法（2）一組數據中有重復數值的情況當重復數值沒有位于數列中間時 求數列5，5，6，10，12，15，17的中數。（二）中數的計算方法（2）一組數據中有重復數值的情況當重復數目位于數據中間，數據的個數為奇數時 求數列11，11，11，11，13，13，13，17，17的中數。11 12 13 14 15 16 17 12 13 14 11 12 13 14 15 16 17 12 13 14 （二）中數的計算方法（2）一組數據中有重復數值的情況當重復數目位于數列中間，數據的個數為偶數時 求數列11，11，11，11，13，13，13，17，17，18的中數。（二

7、）中數的計算方法（補充說明）個數為奇數（僅與第(N+1)/2這一個數值有關）：例1：2，2，2，5，6，6，7（無重復）例2：2，3，5，5，5，6，7（對稱重復）例3：2，2，2，5，5，6，7（不對稱重復）個數為偶數（與第N/2和N/2+1兩個數值有關）：例4：2，5，5，5，5，7（自身對稱重復）例5：5，5，5，5，5，7（自身不對稱重復）例6：2，5，5，6，8(6)，9（一個或兩個有重復，連續(xù)）例7：2，5，5，8，8(9)，9（一個或兩個有重復，不連續(xù)）看組中值看上下限（二）中數的計算方法（2）3. 量數已分組求中數的方法 公式原理： 公式：N為數據總數，i為組距，f為中數所在的

8、分組區(qū)間的數據個數，Lb為中數所在分組區(qū)間的精確下限，F(xiàn)b為該組以下各組累加次數，La為中數所在分組區(qū)間的精確上限，F(xiàn)a該組以上各組累加次數。利用公式求分組次數表中中數 組限 次數自上而下累積次數自下而上累積次數 65 60 55 50 45 40 35 3 4 11 13 8 6 3 3 7 18 31 39 45 48 48 45 41 30 17 9 3中數的優(yōu)缺點與應用 （1）當一組觀測結果中出現(xiàn)兩個極端數目時 （2）當次數分布的兩端數據或個別數據不清楚時,只能取中數作為集中趨勢的代表值 （3）當需要快速估計一組數據的代表值時,也常用中數（一）眾數的意義和特點 意義：指在一組量數中，出

9、現(xiàn)頻數最多的量數。用符號 表示。 特點：（1）獲取容易；（2）在一組量數中，眾數可能不止一個；（3）在次數分布中，觀察次數最多的那個分組區(qū)間的組中值為眾數，因此眾數受組距和組限的影響很大。 二、眾數 二、眾數（二）眾數的求法1. 用觀察法求眾數 例：求2，3，3，5，3，4，3，6這一組數據的眾數。2. 用公式計算眾數 眾數的應用1.當需要快速而粗略地尋求一組數據的代表值時；2.當一組數據出現(xiàn)不同質的情況時；3.當次數分布中有兩極端的數目時，除了一般用中數外，有時也用眾數；4.當粗略估計次數分布的形態(tài)時，有時用平均數與眾數之差，作為表示次數分布是否偏態(tài)的指標。5.當一組數據中同時有兩個數值的次

10、數都比較多時，即次數分布中出現(xiàn)雙眾數時，也多用眾數來表示數據分布形態(tài)。平均數、中數與眾數之間的關系2, 3, 5, 6, 7, 10, 10, 14, 15負偏分布均值 中位數 眾數對稱分布 均值= 中位數= 眾數正偏分布眾數 中位數均值平均數、中數與眾數之間的關系在偏態(tài)分布中，平均數永遠位于尾端。一般偏態(tài)情況下，中數離平均數較近，而距眾數較遠。第三節(jié) 其他集中量數一、加權平均數 所得數據單位權重不相等時要使用加權平均數。 由各小組平均數計算總平均數是應用加權平均數的一個特例。W為權數，指各變量在構成總體中的相對重要性。加權平均數例1：某小學三年級舉行英語測驗。甲班32名學生的平均分為72.6

11、，乙班40名學生平均分為80.2，丙班36名學生的平均分為75分。求全年級英語測驗的總平均分數。加權平均數例2：某課題組在8個省區(qū)進行一項調查，各省區(qū)的取樣人數和平均分數見下表，求該項調查的總平均數。省區(qū)代碼人數平均分數162798226860340082467096541180631465761096850088合計3800665二、幾何平均數（一）幾何平均數的定義二、幾何平均數（二）幾何平均數的應用條件一組實驗數據中有少數數據偏大或偏小，數據的分布呈偏態(tài)。在心理物理學的等距與等比量表實驗中，只能用幾何平均數。主要用于計算平均增長率或平均進步率等。 幾何平均數的計算（平均進步率）時間2019

12、201920192019成績65758088比率計算某生閱讀能力每周進步情況測驗次數第一次第二次第三次第四次第五次閱讀能力分數345260.6769.3377.33每次增進率的比率X三、調和平均數（一）調和平均數的意義定義：又稱倒數平均數。 應用：主要應用于計算平均速度或速率 情況一：任務量相同，所用時間不同 情況二：任務時間相同，工作量不同 無論哪種情況，都先求出單位時間的工作量， 然后代入公式計算。兩組學生演算速度（共15道題）的比較組別學生所需時間速度（每小時所做的題數）計算第一組ABCD3.752.501.501.25第二組EFGH2.502.501.501.50兩組學生演算速度（共1

13、5道題）的比較組別學生所需時間速度（每小時所做的題數）計算第一組ABCD3.752.501.501.25461012第二組EFGH2.502.501.501.50661010學習實驗中，6名被試在2小時的解題量依次為24題，20題，16題，12題，8題，4題。這6名被試平均每小時解多少道題？課堂練習1. 當變量數列中各變量值的頻數相等時，該數列_。A. 眾數等于中位數 B. 眾數等于均值C. 無眾數D. 眾數等于最大的數值 課堂練習2. 計算平均指標最常用的方法和基本形式是_。A. 中位數 B. 眾數C. 算術平均數D. 調和平均數 課堂練習3. 計算平均發(fā)展速度的方法有_。A. 算術平均數

14、B. 幾何平均數C. 調和平均數D. 加權平均數 課堂練習4. 計算學習速度常用的方法有_。A. 算術平均數 B. 幾何平均數C. 調和平均數D. 加權平均數 課堂練習5. 負偏態(tài)分布中，算術平均數、中數和眾數之間數值大小的關系為_。A. M Md Mo B. Md M Mo C. Mo M MdD. Mo Md M 課堂練習6. 數列11,12,12,11,13,13,13,17,17,18和數列23,25,25,26,26,26,27的中數分別是_。A. 12.66, 25.33 B. 12.83, 25.83C. 12.83, 25.66D. 12.5, 26.33 課堂練習7. 數列6

15、5,48,63,52,61,53,63,70,65的平均數和中數分別是_。A. 60, 62.75 B. 60, 63.5C. 63, 63.5D. 63, 63 課堂練習8. 某職業(yè)學校1990年招生300名，隨著國家對職業(yè)教育的重視和學校辦學規(guī)模的進一步擴大，2000年招生達800名。該校這幾年招生人數平均年增長率是_。A. 70% B. 17% C. 12% D. 10% 課堂練習9. 下列表示算術平均數性質公式中錯誤的是_。（X0為非 的任意值）（A為任意值）課堂練習10. 對于下列數據，使用何種集中量數表示集中趨勢其代表性更好？并計算它們的值。（1）4，5，6，6，7，29（2）3，4，5，5，7，5（3）2，3，5，6，7，8，9 （1）因為出現(xiàn)極端數目，適合選擇中數表示集中趨勢（2）使用眾數計算更為快捷，出現(xiàn)最多的數值為5