人教版九年級數學上冊一元二次方程的應用(2)(教師版)

1、奮斗沒有終點任何時候都是一個起點信達一兀一次方程的應用(2)人教九上初中激r學試卷21-9一、學習目標.會利用一兀二次方程解答數字問題.會利用一元二次方程解答營銷問題；.會利用一元二次方程解答動態(tài)幾何問題 .二、知識回顧.用一兀二次方程解決實際問題，一般要經歷以下幾個基本步驟：(1)審題找等量關系；(2)設元列方程；(3)求解并檢驗；(4)寫出答案.數字問題中常用的數量關系有：兩位數表示為：十位數字X 10+個位數字；二位數表不為：百位數字X 100+十位數字X 10+個位數字；三個連續(xù)整數可表示為：x-1,x,x+1;三個連續(xù)奇數可表示為：2x-1,2x+1,2x+3;三個連續(xù)偶數可表示為：

2、2x-2,2x,2x+2.三、新知講解一元二次方程的應用一一營銷問題（“每每型”問題）每每型問題指“每降低多少單價，每次就增加多少銷量”或“每增加多少單價，每次就減少多少銷四、典例探究且個位數字比十位數字大3,量”的問題，關鍵是找出兩個“每次”代表的數量，并用未知數表達出來，然后根據等量關系列出 方程求解.每降價1元，每星期可多賣出 20件.已知商品的進價為每件 40元，在顧客得實惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，應將銷售單價定位多少元？總結：.用一元二次方程解決的營銷問題中，常用的關系式有：利潤 =售價-進價，單件禾仰閏X銷售量 =總 利潤.用一元二次方程解決的每每型問題，通常指“每

3、降低多少單價，每次就增加多少銷量”或“每增 加多少單價，每次就減少多少銷量”的問題，注意兩個“每次” .每每型問題中，每次漲(降)價，會引起定價和銷量的變化，定價的變化又影響單件利潤，等量關系式一般是單件利潤x銷售量 =總利潤.每每型問題中要注意題設中“在顧客得實惠的前提下”“減少庫存壓力”等語句，這是進行答案取舍的重要信息.練3 (2015?淮安)水果店張阿姨以每斤 2元的價格購進某種水果若干斤，然后以每斤4元的價格出售，每天可售出100斤，通過調查發(fā)現，這種水果每斤的售價每降低0.1元，每天可多售出20斤，為保證每天至少售出 260斤，張阿姨決定降價銷售.(1)若將這種水果每斤的售價降低x

4、元，則每天的銷售量是斤(用含x的代數式表示)；(2)銷售這種水果要想每天盈利300元，張阿姨需將每斤的售價降低多少元？3. 一元二次方程的應用一一動態(tài)幾何問題【例3】(2015春?壽縣校級月考)如圖 ABC /B=90 , AB=6, BC=8.點P從A開始沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動，與此同時，點 Q從點B開始沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動.如果 P、Q 分別從A B同時出發(fā)，當點 Q運動到點C時，兩點停止運動，問：(1)經過幾秒， PBQ勺面積等于8cR?(2) PBQ勺面積會等于10c嗎？若會，請求出此時的運動時間；若不會，請說明理由.動態(tài)幾何問題指圖形中存在動點、動線、動

5、圖等方面的問題.解決這類題，要搞清楚圖形的變化過程，正確分析變量和其他量之間的聯系，動中窺靜，以靜制動.動態(tài)幾何問題中常關心“不變量”.在求某個特定位置或特定值時，經常建立方程模型求解練4 (2015春?慈溪市校級月考)如圖，一架 2.5米長的梯子AB斜靠在豎直的墻 AC上，這時B到墻C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么點B將向外移動多少米?(1)請你將小明對“思考題”的解答補充完整:解：設點B將向外移動x米，即BB=x, 貝UBiC=x+0.7, AC=AC- AA=飛打二0.4=2而 AiBi=2.5 ,在 RtAiBiC 中，由 BC2+AiC2=ABi2得方程,解方

6、程得xi=, X2=，點B將向外移動米.(2)解完“思考題”后，小聰提出了如下問題:梯子的頂端從 A處沿墻AC下滑的距離與點 B向外移動的距離，有可能相等嗎？為什么？請你解答小聰提出的這個問題.五、課后小測一、選擇題1.已知兩數之差為 4,積等于45,則這兩個數是（）A. 5和 9 B 9 和5 C .5和5 或9和 9 D .5和 9或9和5（2014?鄂城區(qū)校級模擬）西瓜經營戶以2元/千克的價格購進一批小型西瓜，以3元/千克的價格出售，每天可售出 200千克.為了促銷，該經營戶決定降價銷售.經調查發(fā)現，這種小型西瓜每降價O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共 2

7、4元，為了減少庫存，該經營戶要想每天盈利2O0元，應將每千克小型西瓜的售價降低（）元.A. 0.2 或 0.3 B . 0.4 C , 0.3 D , 0.2如圖，房間地面的圖案是用大小相同的黑、白正方形鑲嵌而成.圖中，第 1個黑色形由3個正方形組成，第2個黑色形由7個正方形組成，那么組成第12個黑色形的正方形個數是（）A. 44 B . 45 C . 46 D . 47.二、填空題（2014秋?婁底校級期末）若兩個連續(xù)偶數的積是224,則這兩個數的和是 .（2015?東西湖區(qū)校級模擬）商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元.為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施.經調查發(fā)現，

8、每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件.據此規(guī)律計算：每件商品降價 元時，商場日盈利可達到2100元.三、解答題（2015?谷城縣模擬）怎樣用一條長40cm的繩子圍成一個面積為 96cm2的矩形？能圍成一個面積為 102cm2的矩形嗎？如果能，說明圍法；如果不能，說明理由. （2015春?江陰市期末）某大學生利用暑假社會實踐參與了一家網店經營，該網店以每個20元的價格購進900個某新型商品.第一周以每個 35元的價格售出300個，第二周若按每個 35元的價格 銷售仍可售出300個，但商店為了適當增加銷量，決定降價銷售（根據市場調查，單價每降低1元,可多售出50個）.(1)若第二周降低價格

9、 1元售出，則第一周，第二周分別獲利多少元？(2)若第二周單價降低 x元銷售一周后，商店對剩余商品清倉處理，以每個15元的價格全部售出，如果這批商品計劃獲利9500元，問第二周每個商品的單價應降低多少元？(2014?江西模擬)等腰 ABC的直角邊AB=BC=10cm點P、Q分別從 A C兩點同時出發(fā)，均以1cm/ 秒的相同速度作直線運動，已知P沿射線AB運動，Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D.設P點運動時間為t, 4PCQ的面積為S.(1)求出S關于t的函數關系式；(2)當點P運動幾秒時，Sapc=SaABC?(3)作PU AC于點E,當點P、Q運動時，線段 DE的長度是否改變

10、？證明你的結論.(2015春?汕頭校級期中)如圖，長方形ABCD(長方形的對邊相等，每個角都是 90 ), AB=6cmAD=2cm動點P、Q分別從點A C同時出發(fā)，點P以2厘米/秒的速度向終點 B移動，點Q以1厘米/秒的速度向D移動，當有一點到達終點時，另一點也停止運動.設運動的時間為 t,問：(1)當t=1秒時，四邊形 BCQPM積是多少？(2)當t為何值時，點 P和點Q距離是3cm?(3)當t=以點P、。D為頂點的三角形是等腰三角形.(直接寫出答案)典例探究答案：【例1】【解析】設這個兩位數字的個位數字是x,則十位數字是(X-3),則這個兩位數為10 (x-3) +x,然后根據一個兩位數

11、等于它的個位數字的平方即可列出方程求解.解：設這個兩位數字的個位數字是x,則十位數字是(X-3),2根據題息得10 (x-3) +x=x原方程可化為：x2- 11x+30=0, .xi=5, x2=6,當x=5時，x- 3=2,兩位數為25;當x=6時，x- 3=3,兩位數為36.答：這個兩位數是 25或36.點評：此題主要考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解.練1.【解析】設這個兩位數字的個位數字為x,則十位數字為(x-2),則這個兩位數為 10(x-2) +x,然后根據這個兩位數等于其數字之積的3倍列方程，并解方程即

12、可.解：設這個兩位數字的個位數字為x,則十位數字為(x-2).根據題意，得 10 (x-2) +x=3x (x-2), 原方程可化為：3x2-17x+20=0,因式分解，得(3x-5 ) (x-4 ) =0,解得 xi=3 , X2=4.因為x為整數，所以x= 5不符合題意，x=4.10 (x-2) +x=24,所以這個兩位數是 24.點評：本題考查了一元二次方程的應用中的數字問題.注意：在求得解后，要進行實際意義的檢驗，舍去不符合題意的解.練2.【解析】按照相應的運算方法與順序，讓得到的含m的一元二次方程的結果為2,列式求值即可.解：由題意得：m2+( - 2倒-1=2,m2 - 2 m-

13、3=0,(m- 3) ( m+1) =0,解得 m=3, n2= - 1.故選：D.點評：考查一元二次方程的應用；理解新定義的運算方法是解決本題的關鍵.【例2】【解析】設降價x元，表示出售價和銷售量，列出方程求解即可.解：降價x元，則售價為(60-x)元，銷售量為(300+20 x)件，根據題意，得(60 -x- 40) (300+20 x) =6080,解得 xi=1, x2=4,又顧客得實惠，故取 x=4 ,定價為：60-4=56 (元)，答：應將銷售單價定為 56元.點評：本題考查了一元二次方程應用，從題中找到關鍵描述語，并找出等量關系準確地列出方程是解決問題的關鍵.此題要注意判斷所求的

14、解是否符合題意，舍去不合題意的解.練3【解析】(1)銷售量=原來銷售量-下降銷售量，據此列式即可；(2)根據銷售量X每斤利潤 =總利潤列出方程求解即可.解：(1)將這種水果每斤的售價降低x元，則每天的銷售量是 1004Jx20=100+200 x斤;0.1(2)根據題意得：(4- 2-x) (100+200 x) =300,解得：x=或x=1 ,每天至少售出260斤，.x=1 .答：張阿姨需將每斤的售價降低1元.點評：本題考查理解題意的能力，第一問關鍵求出每千克的利潤，求出總銷售量，從而利潤.第二問，根據售價和銷售量的關系，以利潤做為等量關系列方程求解.【例3】【解析】(1)設經過x秒， PB

15、Q勺面積等于8cm2.先用含x的代數式分別表示 BP和BQ的長度，再代入三角形面積公式，列出方程，即可求出時間；2(2)設經過y秒，4PBQ勺面積等于10cm.根據三角形的面積公式，列出關于y的一兀二次方程，根據 =b2-4ac進行判斷.解：(1)設經過x秒， PBQ勺面積等于8cm2. AP=1?x=x, BQ=2r.BP=AB- AP=6 x,.Sa pb=L X BPX BQX (6-x) X 2x=8,2 收 . x2- 6x+8=0,解得：x=2或4,即經過2秒或4秒， PBQ的面積等于8cnf.(2)設經過y秒， PBQ的面積等于10cm2, I貝f Sa pbq= x ( 6 y

16、) x 2y=10 ,即 y2- 6y+10=0,因為 =b2- 4ac=36 - 4X 10= - 4v 0,所以 PBQ勺面積不會等于 10cR.點評：本題考查了一元二次方程的應用.關鍵是用含時間的代數式準確表示BP和BQ勺長度，再根據三角形的面積公式列出一元二次方程，進行求解并作出判斷.練4.【解析】(1)設點B將向外移動x米，即BB=x, BC=x+0.7,根據勾股定理求出 A1C=AC-AA1=,2,- 6 7之0.4=2 .在RtABC中，由勾股定理得到 B1C2+AC2=A1B2,依此列出方程方程(x+0.7 ) 2+22=2.5 2,解方程即可；(2)設梯子頂端從 A處下滑x米

17、，點B向外也移動x米，根據勾股定理可得(x+0.7 )2+ (2.4 x) 2=2.5 2,再解即可.解：(1)設點B將向外移動x米，即BB=x,貝UBC=x+0.7, AC=AO AA=Jz 52 - 口* 7 2 0.4=2 .而 AB=2.5 ,在 RtABC 中，由 BiC2+AiC2=AiB2 得方程（x+0.7 ） 2+22=2.5 2,解方程得xi=0.8, X2=-2.2 （不合題意舍去），點B將向外移動0.8m.故答案為（x+0.7 ） 2+22=2.5： 0.8, - 2.2 （不合題意舍去），0.8;（2）有可能.設梯子頂端從 A處下滑x米，點B向外也移動x米，則有（x+

18、0.7 ） 2+ （2.4 - x） 2=2.5 2,解得：xi=1.7或x2=0 （不合題意舍去）.故當梯子頂端從 A處下滑1.7米時，點B向外也移動1.7米，即梯子頂端從 A處沿墻AC下 滑的距離與點B向外移動的距離有可能相等.點評：本題主要考查了一元二次方程的應用及勾股定理的應用，根據題意得出關于x的一元二次方程是解答此題的關鍵.課后小測答案：一、選擇題【解析】設其中一個數是x,另一個數是（x+4）,依題意列出方程.解：設其中一個數是 x,另一個數是（x+4）,則x （x+4） =45,整理，得（x+2） 2=49,x+2=7,解得 x 1=5, x2= - 9.則 x+4=9 或 x+

19、4= - 5.故這兩個數是5、9或-9、-5.故選：D.點評：本題考查了一元二次方程的應用.解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解.【解析】設應將每千克小型西瓜的售價降低x元.那么每千克的利潤為：(3-2-x),由于這種小型西瓜每降價 O.1元/千克，每天可多售出40千克.所以降價x元，則每天售出數量為：200+典千克.本題的等量關系為：每千克的利潤X每天售出數量-固定成本=200.0.1解：設應將每千克小型西瓜的售價降低x元.根據題意，得(3- 2-x) (200+四5 - 24=200. M解這個方程，得 xi=0.2 , x2=0.3 .20

20、0+小)200+4。乂 。,0.10.1.應將每千克小型西瓜的售價降低0.3元.故選：C.點評：本題考查了一元二次方程的應用，通過生活實際較好地考查學生“用數學”的意識.注意題目的要求為了減少庫存，舍去不合題意的結果.【解析】看后面每個圖形中正方形的個數是在3的基礎上增加幾個 4即可.解：第1個黑色“ L 形由3個正方形組成，第2個黑色“ L 形由3+4=7個正方形組成，第3個黑色“ L”形由3+2X4=11個正方形組成，那么組成第n個黑色“ L 形的正方形個數是 3+ (n- 1) x 4=4n - 1.故組成第12個“L”的正方形個數是：4X12-1=47.故選：D.點評：考查圖形的變化規(guī)

21、律； 得到第n個圖形與第1個圖形中正方形個數之間的關系是解決本題的關鍵.二、填空題4【解析】設這兩個連續(xù)偶數為x、x+2,根據“兩個連續(xù)偶數的積是 224”作為相等關系列方程x (x+2) =224,解方程即可求得這兩個數，再求它們的和即可.解：設這兩個連續(xù)偶數為 x、x+2,則x (x+2) =224解之得x=14或x= - 16奮斗沒有終點任何時候都是一個起點信達奮斗沒有終點任何時候都是一個起點信達則 x+2=16 或 x+2= - 14即這兩個數為14, 16或-14, - 16所以這兩個數的和是 30或-30.點評： 找到關鍵描述語， 用代數式表示兩個連續(xù)的偶數， 找到等量關系準確的列

22、出方程是解決問題的關鍵5【解析】根據等量關系為：每件商品的盈利X可賣出商品的件數=2100,把相關數值代入計算得到合適的解即可解：降價1元，可多售出2件，降價x元，可多售出2x件，盈利的錢數=50- x,由題意得：(50-x) (30+2x) =2100,化簡彳導:x2 - 35x+300=0,解得： x1=15， x 2=20 ，,該商場為了盡快減少庫存，.降的越多，越吸引顧客，選 x=20,故答案為： 20點評： 此題主要考查了一元二次方程的應用； 得到可賣出商品數量是解決本題的易錯點； 得到總盈利2100 的等量關系是解決本題的關鍵三、解答題6 【解析】首先設矩形的長為xcm,則寬為(2

23、0-x) cm,再利用矩形面積公式列出方程x(20 -x) =96或x (20-x) =102,得出根據根的判別式的符號，進而得出答案.解：設所圍矩形的長為xcm,則所圍矩形的寬為(20-x) cm,(1)依題意，得 x (20-x) =96,化簡，得 x2 - 20 x+96=0 .解，得 x 1=8， x 2=12 當 x=8 時，20 - x=12;當 x=12 時，20- x=8.所以，當所圍矩形的長為12cm,寬為8cm時，它的面積為 96cmf.(2)依題意，得 x (20-x) =102化簡，得 x2- 20 x+102=0. 加2-4ac= （- 20） 2- 4X 102=4

24、00- 408=- 8V 0,.方程無實數根.所以用一條長40cm的繩子不能圍成一個面積為102cm2的矩形.點評：此題主要考查了一元二次方程的應用，熟練應用根的判別式是解題關鍵.7【解析】（1）根據利潤=每個的利潤X銷售量列式計算即可求解；（2）設第二周每個商品的單價應降低x元，根據這批商品計劃獲利 9500元建立方程，解方程即可.解：（1）第一周獲利：300X （35- 20） =4500 （元）；第二周獲利：（300+50） X （ 35- 1 - 20） =4900 （元）；（2）根據題意，得： 4500+ （15-x） （300+50X）- 5 （ 900 - 300 - 300 -

25、 50 x） =9500,即：x2- 14x+40=0,解得：x1=4, x2=10 （不符合題意，舍去）答：第二周每個商品的銷售價格應降價4元.點評：本題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條 件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解.8.【解析】由題可以看出 P沿AB向右運動，Q沿BC向上運動，且速度都為 1cm/s, SQC2XPB,所以求出QC PB與t的關系式就可得出 S與t的關系，另外應注意P點的運動軌跡，它不僅在B點左側運動，達到一定時間后會運動到右側，所以一些問題可能會有兩種可能出 現的情況，這時我們應分條回答.解：（1）當tv 10秒時，P在線

26、段AB上，此時 CQ=t, PB=10- t（1_0-七）二日【10弋-J） baC-i當t 10秒時，P在線段AB得延長線上，此時 CQ=t, PB=t- 10XtX (t 10)二1(4 分)(2)Saab(=/aBBC=50(5 分) 整理得t2- 10t+100=0無解（6分） 當tv 10秒時,i ClOt - t2)二50當t 10秒時，Sap.整理得12 T0t T00=0解得t=5 5-75 （舍去負值）（7分），當點P運動5+%J虧秒時，SaPC（=SA ABC （ 8分）（3）當點P、Q運動時，線段 DE的長度不會改變.證明：過 Q作QML AG交直線 AC于點M易證 AP

27、9 QCM.AE=PE=CM=QM=t ,2，四邊形PEQM1平行四邊形，且 DE是對角線EM的一半.又 EM=AC=102. .DE=5/2，當點P、Q運動時，線段 DE的長度不會改變.同理，當點P在點B右側時，DE=5/綜上所述，當點 P、Q運動時，線段 DE的長度不會改變.廠_A PB點評：做此類題應首先找出未知量與已知量的對應關系，利用已知量來表示未知量，許多問 題就會迎刃而解.9.【解析】（1）如圖1,當t=1時，就可以得出 CQ=1cm AP=2cm就有PB=6- 2=4cm,由梯形的面積就可以得出四邊形 BCQP勺面積;（2）如圖1,作QELAB于E,在RtPEQ中，由勾股定理建

28、立方程求出其解即可，如圖2,作PE CD E,在RtPEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；(3)分情況討論，如圖 3,當PQ=DQ寸，如圖4,當PD=PQ寸，如圖5,當PD=QM,由等 腰三角形的性質及勾股定理建立方程就可以得出結論.解：(1)如圖1, 四邊形ABCD矩形，AB=CD=6 AD=BC=2 Z A=Z B=Z C=Z D=90 .CQ=1cn;i AP=2cmAB=6 2=4cm.2. S=5cm .2答：四邊形BCQP積是5cR;(2)如圖1,作QaAB于E, / B=Z 0=90 ,四邊形BCQE矩形,.QE=BC=2cm BE=0Q=t ,.AP=2t,PE=6 2t

29、t=6 3t .在RtPQE中，由勾股定理，得(63t) 2+4=9,解得：t=匹.3如圖2,作PE CD于E,/ PEQ=90 . / B=Z 0=90 ,四邊形BCQE矩形,PE=BC=2cm BP=CE=6- 2t .CQ=t, .QE=t- (6 2t) =3t - 6在RtPEQ中，由勾股定理，得(3t 6) 2+4=9, 解得：1=3匹.綜上所述：t= ；3H I 3 |(3)如圖3,當PQ=DQ寸，作Q吐AB于E,/ PEQ=90 , / B=Z 0=90 ,四邊形BCQE矩形，.QE=BC=2cm BE=0Q=t,.AP=2t,PE=6- 2t - t=6 - 3t . DQ=6- t ., PQ=DQPQ=6- t.在RtPQE中，由勾股定理，得(6 - 3t