數(shù)字電路 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)_P1

1、數(shù)字電路第二章、邏輯代數(shù)基礎(chǔ)PART 11第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)運(yùn)算 2.2 邏輯函數(shù)的表示方法 及其 標(biāo)準(zhǔn)形式 2.3 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)22.1 邏輯代數(shù)運(yùn)算 邏輯變量與邏輯函數(shù)邏輯運(yùn)算邏輯代數(shù)的公理和基本公式邏輯代數(shù)的基本定理邏輯代數(shù)的常用公式32.1 邏輯代數(shù)運(yùn)算邏輯代數(shù)1848年 George Boole （愛(ài)爾蘭/英，18151864）一種符號(hào)邏輯（數(shù)理邏輯）又被稱(chēng)為：布爾代數(shù)、開(kāi)關(guān)代數(shù)邏輯變量與邏輯函數(shù)邏輯代數(shù)中的變量稱(chēng)為邏輯變量；用字母A、B、C、表示；只能有兩種可能的取值：真或假；習(xí)慣上，把真記作“1”，假記作“0”；“1”和“0”不表示數(shù)量的大小，表示完全對(duì)立的

2、兩種狀態(tài)。42.1 邏輯代數(shù)運(yùn)算邏輯變量表示數(shù)字邏輯的狀態(tài)邏輯變量輸入輸出之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系例： 指示燈Y是否點(diǎn)亮取決于開(kāi)關(guān)A是否接通 定義Y=1表示燈亮， Y=0表示燈滅 A=1表示開(kāi)關(guān)接通， A=0表示開(kāi)關(guān)斷開(kāi) Y是A的函數(shù)，邏輯函數(shù)表達(dá)式 Y = A Y和A都稱(chēng)為邏輯變量 A稱(chēng)為輸入邏輯變量（簡(jiǎn)稱(chēng)邏輯變量） Y稱(chēng)為輸出邏輯變量（簡(jiǎn)稱(chēng)邏輯函數(shù)） AY52.1 邏輯代數(shù)運(yùn)算邏輯運(yùn)算通過(guò)邏輯變量的運(yùn)算得到邏輯函數(shù)的值基本邏輯運(yùn)算： 邏輯與 邏輯或 邏輯非復(fù)合邏輯運(yùn)算邏輯電平6基本邏輯運(yùn)算 與運(yùn)算 邏輯表達(dá)式：其中，“ ”為邏輯與運(yùn)算符， 也可以被省略 用真值表描述AYBA B Y0 00 11

3、01 1 0 0 0 1真值表真值表：描述各個(gè)變量取值組合和函數(shù)取值之間對(duì)應(yīng)關(guān)系。7基本邏輯運(yùn)算邏輯“與”的含義：只有當(dāng)決定一件事情的所有條件都全部具備時(shí)，這件事情才會(huì)發(fā)生；與門(mén)：在邏輯電路中，能夠?qū)崿F(xiàn)“與”運(yùn)算的基本單元邏輯符號(hào)ABY&國(guó)標(biāo)ABY美標(biāo)8基本邏輯運(yùn)算 或運(yùn)算 邏輯表達(dá)式： Y=AB其中，“”為“或”運(yùn)算符 真值表AYBA B Y0 00 11 01 1 0 1 1 1真值表9基本邏輯運(yùn)算邏輯“或”的含義：在決定一件事情的各條件中，只要有一個(gè)或一個(gè)以上條件具備，這件事情就發(fā)生?；蜷T(mén)在邏輯電路中，能夠?qū)崿F(xiàn)“或”運(yùn)算的基本單元。邏輯符號(hào)ABY美標(biāo)ABY國(guó)標(biāo)110基本邏輯運(yùn)算非運(yùn)算 邏

4、輯表達(dá)式：或 讀作“A非”或“非A” 真值表AY真值表 A Y 0 1 1 011基本邏輯運(yùn)算邏輯“非”的含義：當(dāng)條件不具備時(shí)，事情才會(huì)發(fā)生 非門(mén)在邏輯電路中，實(shí)現(xiàn)非運(yùn)算的基本單元邏輯符號(hào)： AY1國(guó)標(biāo)AY美國(guó)12復(fù)合邏輯運(yùn)算 與非運(yùn)算或非運(yùn)算與或非運(yùn)算&1&1YYYABCABCABCD說(shuō)明：為什么本PPT中非的符號(hào)不用“ ”13復(fù)合邏輯運(yùn)算邏輯運(yùn)算的優(yōu)先順序： （1）圓括號(hào) （2）非運(yùn)算 （3）與運(yùn)算 （4）或運(yùn)算14邏輯電平正邏輯與負(fù)邏輯對(duì)于一個(gè)邏輯電路，通常規(guī)定高電平為邏輯1，低電平為邏輯0，這就是正邏輯。反之，如果規(guī)定高電平為邏輯0，低電平為邏輯1，則稱(chēng)為負(fù)邏輯。 同一個(gè)邏輯電路，在不

5、同的邏輯假定下，其邏輯功能是不同的。15 正邏輯與負(fù)邏輯與或162.1 邏輯代數(shù)運(yùn)算邏輯代數(shù)的公理和基本公式邏輯代數(shù)的公理(1)(2)(3)(4)(5) 如 則 ，如 則17邏輯代數(shù)的基本公式組名稱(chēng)對(duì)偶的公式對(duì)備注(1)01律1+A=1變量與常量0+A=A(2)重疊律A+A=A同一個(gè)變量(3)互補(bǔ)律原變量與反變量之間的關(guān)系(4)還原律-(5)交換律A+B=B+A(6)結(jié)合律(A+B)+C= A+(B+C) (7)分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)(8)反演律DeMorgan(應(yīng)用)182.1 邏輯代數(shù)運(yùn)算定律的證明方法公理和法則真值表對(duì)于邏輯變量的所有可能的組合求邏輯

6、函數(shù)的值。例如：證明反演律AB001111011100101100110000得證：得證：192.1 邏輯代數(shù)運(yùn)算邏輯代數(shù)的基本定理（代數(shù)運(yùn)算規(guī)則）代入定理反演定理 inversion theorem對(duì)偶定理 dual theorem代入定理在任何一個(gè)不包含邏輯常量，且包含變量A的邏輯等式中，若以另外一個(gè)邏輯式代入式中的所有A的位置，則等式依然成立。因?yàn)檫壿嬜兞康娜≈禐?或1，無(wú)論0、1等式成立；而邏輯式的取值也不外乎0和1兩種。202.1 邏輯代數(shù)運(yùn)算代入定理（續(xù)）可以用來(lái)擴(kuò)大定律和公式的應(yīng)用范圍例如：212.1 邏輯代數(shù)運(yùn)算反演定理將函數(shù) Y 式中所有的“ ” 換成 “ + ”，“ + ”

7、 換成 “ ” ；“ 0” 換成 “1”，“1” 換成 “0” ；原變量換成反變量，反變量換成原變量， 則所得到的表達(dá)式是 的表達(dá)式。注意：變換時(shí)要保持原式中邏輯運(yùn)算的優(yōu)先順序；不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保持不變。222.1 邏輯代數(shù)運(yùn)算反演定理（續(xù)）例：DeMorgan定理是反演定理的一個(gè)特例，故被稱(chēng)之為“反演律”已知 ，求已知 ，求23說(shuō)明：應(yīng)用反演定理中的一個(gè)細(xì)節(jié)問(wèn)題注意2：不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保持不變但在局部，根據(jù)反演律，存在：為何局部不等!？說(shuō)明：對(duì)等式兩端根據(jù)反演定理進(jìn)行操作是整體性的 “原子操作” 不允許在進(jìn)行操作的同時(shí)，對(duì)局部的邏輯項(xiàng)進(jìn)行所謂的“代入”、“反演律”等操作。這樣

8、考慮是錯(cuò)誤的！可根據(jù)上式驗(yàn)算，證明 的表達(dá)式是正確的。24反演的應(yīng)用例題：已知 Y=A(B+C)+CD，求解：由反演定理，展開(kāi) 又解： 反復(fù)使用反演律，求“與或”表達(dá)式252.1 邏輯代數(shù)運(yùn)算對(duì)偶定理若兩個(gè)邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也相等。對(duì)偶式的定義對(duì)于一個(gè)邏輯式Y(jié)，將其中所有：將 “ ” 換成 “+” ， “+” 換成 “ ” ；將 “1” 換成 “0” ， “0” 換成 “1” ；變量保持不變；原表達(dá)式中的運(yùn)算優(yōu)先順序保持不變。262.1 邏輯代數(shù)運(yùn)算對(duì)偶定理（續(xù)）如果兩個(gè)邏輯表達(dá)式相等，那么它們的對(duì)偶式也相等。注意：這里X和XD是不同的邏輯函數(shù)。當(dāng)?shù)忍?hào)兩端都是含有邏輯變量的表達(dá)式時(shí)，對(duì)

9、偶定理才體現(xiàn)出應(yīng)用的意義。例如：AB+AC=A(B+C) 對(duì)偶式 (A+B)(A+C)=A+BC27利用對(duì)偶定理寫(xiě)出這些公式2.1 邏輯代數(shù)運(yùn)算邏輯代數(shù)的常用公式組對(duì)偶的公式對(duì)杜撰的助記標(biāo)記/說(shuō)明(9) 吸收冗余項(xiàng)法(10) 合并消去因子，消元法(11) 推廣的吸收法(12) 推廣的吸收法(13)將 作DeMorgan展開(kāi)后，是另一種形式的吸收法。(14)將 作DeMorgan展開(kāi)后，是另一種形式的消元法。28提示：邏輯等式證明的方法方法一、分別列出等式兩邊邏輯式的真值表，若真值表完全相同，則等式成立；方法二、分別畫(huà)出等式兩邊邏輯式的卡諾圖（是一種鄰接真值表，見(jiàn)2.3），若卡諾圖相同，則等式成

10、立。由于邏輯變量個(gè)數(shù)的增多而使用不便29提示：邏輯等式證明的方法（續(xù)）方法三、若能利用邏輯代數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、公式和定理將兩邊轉(zhuǎn)化成完全相同的形式，則等式成立；公理和法則代入定理、反演定理 和 對(duì)偶定理基本公式和常用公式方法四、機(jī)器證明。案例研究：邏輯代數(shù)常用公式的證明練習(xí)通過(guò)常用公式的證明說(shuō)明邏輯代數(shù)的公理、法則、定理、公式的應(yīng)用方法：30邏輯代數(shù)常用公式的證明(9) 證： A+AB=A(1+B)=A （分配律、 01律）(10)證法1： 思考：關(guān)鍵步驟如何得到？證法2：根據(jù) 對(duì)偶定理， 證明該式的對(duì)偶式，即： （根據(jù) 分配律 互補(bǔ)律 易證）（讓我們記?。骸盎颉睂?duì)“與”的分配律，參見(jiàn)）31邏輯代

11、數(shù)常用公式的證明(11) 證： （互補(bǔ)律、分配律、01律；或者：互補(bǔ)律、吸收法）(12) 證：同上，互補(bǔ)律、吸收法（含：代入定理）或者，反用(11)，然后用吸收法，最后再正用(11)322.1 邏輯代數(shù)運(yùn)算 之 異或代數(shù)回顧三種基本邏輯運(yùn)算“與”、“或”、“非”可以表示出任何邏輯問(wèn)題?！芭c非”、“或非”、“與或非”基本的復(fù)合邏輯，用其中的任一種就能描述任何邏輯問(wèn)題。異或代數(shù)“異或邏輯”和“同或邏輯”雖然僅用它們不能描述所有的邏輯問(wèn)題，但是它們是兩種重要的復(fù)合邏輯332.1 邏輯代數(shù)運(yùn)算Exclusive-OR and Coincidence-OR 異或邏輯（異或運(yùn)算）真值表表達(dá)式：變量A、B取

12、值相異時(shí)，函數(shù)值為1變量A、B取值相同時(shí)，函數(shù)值為0同或邏輯對(duì)于雙邏輯變量，是異或邏輯的非表達(dá)式：變量A、B取值相異時(shí)，函數(shù)值為0變量A、B取值相同時(shí)，函數(shù)值為1A B Y0 00 11 01 1 0 1 1 0AB模2加法342.1 邏輯代數(shù)運(yùn)算邏輯符號(hào)運(yùn)算規(guī)則和基本公式交換律結(jié)合律“分配律”（見(jiàn)后）反演律：互補(bǔ)律：國(guó)標(biāo)美國(guó)35異或/同或運(yùn)算的公式異或同或說(shuō)明“分配律”“與”對(duì)“異或”的分配率；“或”對(duì)“同或” 調(diào)換律又稱(chēng)為“因果互換關(guān)系”移非律這種“移非律”的特例也叫作“消非律”換門(mén)律不用死記，用01律可證奇偶律聯(lián)系“模2加”的定義以及“奇偶換門(mén)律”（此術(shù)語(yǔ)為杜撰，見(jiàn)后）可得“01律”注意：模2加1等于對(duì)邏輯變量求反36異或/同或運(yùn)算的公式同或邏輯和異或邏輯具有如下的關(guān)系：根據(jù)代入規(guī)則，推導(dǎo)出三變量邏輯的表達(dá)式：可得：推廣：多個(gè)邏輯變量進(jìn)行“異或”（或者為“同或”）運(yùn)算的情況下，運(yùn)算符 和 可以互換，規(guī)則是：奇數(shù)個(gè)邏輯變量，運(yùn)算符 和 互換時(shí)，邏輯關(guān)系不變；偶數(shù)個(gè)邏輯變量，運(yùn)算符 和 互換時(shí)，變換后的結(jié)果取反