C題基金使用計劃

1、 2001年全國大學生數(shù)學建模競賽大專組賈玉昌 苗玉東 張寧基金使用計劃問題基金使用計劃一 題目簡介某單位基金會有一筆數(shù)額為M元的基金，打算將其存入銀行或購買國庫券。當前銀行存款及各期國庫券的利率見下表。假設國庫券每年至少發(fā)行一次，發(fā)行時間不定。取款政策參考銀行的現(xiàn)行政策。單位基金會計劃在n年內每年用部分本息獎勵優(yōu)秀職工，要求每年的獎金額大致相同，且在n年末仍保留原基金數(shù)額。單位基金會希望獲得最佳的基金使用計劃，以提高每年的獎金額。請你幫助單位基金會在如下情況下設計基金使用方案，并對M=5000萬元，n=10年給出具體結果：1. 只存款不購國庫券；2. 可存款也可購國庫券。3單位在基金到位后的

2、第八（2010年）年要舉行50年慶祝，基金會希望這一年的獎金比其它年度多20%。存款種類 活期 3個月 6個月 一年 二年 三年 五年年利率% 0.72 1.71 1.89 1.98 2.25 2.52 2.79額外條件1 實際收益利益為公布利率的80%，20%為利息稅上交國庫2 國庫券具有2年，3年，5年的三種，其存款利率與周期的定期存款利率相同，但不交利息稅。要求1 問題的提出2 模型的假設3 符號的說明4 模型的分析5 模型以及求解6 模型的檢驗7 模型的優(yōu)缺點8 模型的改進方向9 參考文獻C題 基金使用計劃某?；饡幸还P數(shù)額為M元的基金，打算將其存入銀行或購買國庫券。當前銀行存款及各

3、期國庫券的利率見下表。假設國庫券每年至少發(fā)行一次，發(fā)行時間不定。取款政策參考銀行的現(xiàn)行政策。?；饡媱澰趎年內每年用部分本息獎勵優(yōu)秀師生，要求每年的獎金額大致相同，且在n年末仍保留原基金數(shù)額。?；饡Ｍ@得最佳的基金使用計劃，以提高每年的獎金額。請你幫助?；饡谌缦虑闆r下設計基金使用方案，并對M=5000萬元，n=10年給出具體結果：只存款不購國庫券；可存款也可購國庫券。3學校在基金到位后的第3年要舉行百年校慶，基金會希望這一年的獎金比其它年度多20%。銀行存款稅后年利率（%）國庫券年利率（%）活期0.792半年期1.664一年期1.800二年期1.9442.55三年期2.1602.89

4、五年期2.3043.14 最佳基金使用計劃模型 摘要：運用基金M分成n份（M1，M2，Mn），M1存一年，M2存2年，Mn存n年這樣，對前面的（n1）年，第i年終時M1到期，將Mi及其利息均取出來作為當年的獎金發(fā)放；而第n年，則用除去M元所剩下的錢作為第n年的獎金發(fā)放的基本思想，解決了基金的最佳使用方案問題關鍵詞：超限歸納法；排除定理；倉恩定理 1問題簡介 基金使用計劃某?；饡幸还P數(shù)額為M元的基金，欲將其存入銀行或購買國庫券當前銀行存款及各期國庫券的利率見表1假設國庫券每年至少發(fā)行一次，發(fā)行時間不定取款政策參考銀行的現(xiàn)行政策?；饡嬙趎年內每年用部分本息獎勵優(yōu)秀師生，要求每年的獎金額大致

5、相同，且在n年末仍保留原基金數(shù)額?；饡Ｍ@得最佳的基金使用計劃，以提高每年的獎金額需幫助?；饡谌缦虑闆r下設計基金使用方案，并對M5 000萬元，n10年給出具體結果： 只存款不購國庫券； 可存款也可購國庫券學校在基金到位后的第3年要舉行百年校慶，基金會希望這一年的獎金比其它年度多202模型的分析、假設與建立21模型假設 每年發(fā)放的獎金額相同； 取款按現(xiàn)行銀行政策； 不考慮通貨膨脹及國家政策對利息結算的影響； 基金在年初到位，學校當年獎金在下一年年初發(fā)放；國庫券若提前支取，則按滿年限的同期銀行利率結算，且需交納一定數(shù)額的手續(xù)費；到期國庫券回收資金不能用于購買當年發(fā)行的國庫券22符號約定

6、K發(fā)放的獎金數(shù)； ri存i年的年利率，（i12，1，2，3，5）；Mi支付第i年獎金，第1年開始所存的數(shù)額（i1，2，10）； U半年活期的年利率；23模型的建立和求解231情況一：只存款不購國庫券（1）分析令：支付各年獎金和本金存款方案Mij（i1，10，i；j屬于N）根據(jù)排隊定理：一個集一定可以依一個次序排除 A中每行必存在上界， A中存在一個極大組合M萬元基金存入銀行后，每年又拿出相同數(shù)額的本息獎勵優(yōu)秀師生，因為最后剩余的金額等于原來的本金，所以用這種發(fā)放的獎金總數(shù)可以看作是n年中各種利息的總和將基金M分成n份（M1，M2，Mn），M1存1年，M2存2年，Mn存n年，對前面的（n1）年，

7、第i年的次年年初Mi到期，將Mi及其利息均取出來作為當年的獎金發(fā)放；而第10年，則用除去M元后所剩下的錢作為第n年的獎金發(fā)放 一般的模型：關鍵在于如何計算每一個Ri基金在年初到位，而學校當年的獎學金一般在次年年初發(fā)放因此，選擇存活期或不可能使得到的利息最大要盡可能提高獎金額，應選擇存定期在定期的選擇上，應把盡可能多的錢存到定期長的儲種上去；同時由于儲種有限（只有半年、1、2、3、5年定期），這就需要對某些儲種進行組合優(yōu)化即應盡可能地利用年份多的儲種（如能用3年的決不用2年定期），對于M1，為了支付第一年的獎金，顯然是存1年期拿到本金和利息最高，余者顯然亦如此對于特定年份的定期存款采用現(xiàn)有的儲蓄

8、種類的組合（如4年定期采用3年定期和1年定期組合等），要使所得的利息最大，對于該結論的說明如下所述 存4年定期時的有2種方案：N為任意存款），顯然，3年定期和一年定期組合最優(yōu)同理，通過計算各種組合，Mi得最大利息的存儲方案如表2（Q1、Q2、Q3、Q5分別表示定期存的年數(shù)） 從表中可以得出以下結論：這是一個以5年為周期的方案組合，從第6年開始相當于對應的年份再加上一個5年定期，所得的存儲方案最為合理采用超限歸納法的推論，可將模型論推廣到n年，則可得到如下的結論對于一個以m年為周期的方案組合，可以從第m1年開始，在相應的年份上再加上一個m年定期，此時所得的方案最為合理（2）每1個Mi經過i年后得

9、到的本金和利息，可用于支付獎金，下面可用反證法加以證明證明：假設有另外一種方案使K1K，則顯然存在某個n年期的存款到期后所得的總額R，可滿足RK10（因為在我們的計算方式下，RK，即剛好用完）則需要將RK1轉存入下一個存款而按照前面我們得出的結論，要使所得的利息最大，則應盡可能地利用年份多的儲種可推斷，由此所得的利息要比一開始就將RK1存一個更長時間的定期要少與假設相矛盾所以上述方式使得每年獲得的獎金額度最大 （3）求解：根據(jù)以上的討論，可以建立以下的方程組： 其中ri是i年期的存儲的一個增長系數(shù)由MATLAB編程的線性優(yōu)化函數(shù)LP（Linear Programming），可得K109800

10、0（萬元）這樣，我們就可以通過把分成這10份，前9份剛好付當年的獎金，第10份剛好滿足獎金和原有的基金，并得到了最優(yōu)化的解（見表3）232情況二：可存款也可購國庫券我們對情形二外加了一個購買國庫券的方式同樣把M分成M1，M2，Mn；存n年；且n年終將本金和利息一起取出來作為獎金發(fā)放，在外加購買國庫券后，對Mn達到最大本金和利息有更多的組合及考慮因素因為國庫券發(fā)行時間任意，且銀行結算與發(fā)放獎金均在年終，因此得到購券基金并不能馬上購券，需先存銀行，國庫券到期也不能馬上作為獎金發(fā)掉，也需存銀行 因經購買一次國庫券，必定耽誤一年的時間使它不能存整年定期，而只能存活期和半年的定期，由于半年定期的利率明顯

11、高于活期，又不影響對獎金的發(fā)放，所以這一年一定存1個半年定期和半年的活期。由于國庫券發(fā)行時間不定，一年中任何一天發(fā)行都是可能，這就涉及到數(shù)學期望的問題?？梢园岩荒甑姆譃?60天，如果國庫券發(fā)行在上半年的第n天，則n天到期后的本金和利息為（0.792%n180),這筆錢要分半年定期和活期是最優(yōu)化的.先不考慮定期半年的本利率,那么(180-n)天的活期的本金和利息是0.792%(180-n)/360+1m,那么這筆錢有半年里的本金和利息為0.792%(180-n)/360+1 u=0.00396 由上節(jié)(2)已證了Mi經過i年的本金和利率,剛好放獎金時最優(yōu),現(xiàn)在討論Mi在i年中存銀行或購買國庫券,

12、或兩者都有,以不同組合的所得到的利息的高低來取最優(yōu)的組合.我們對每年Mi的組合都進行分析(見表4),對于M1,M2不能考慮國庫券,兩年內尚不可支取用于支付獎金.對于M3根據(jù)情形可得出要使所得的利息最大,則應盡可能地利用年份多的儲種這樣一個結論.從表4可知,最優(yōu)的方案如表達所示.根據(jù)以上的討論,可以建立以下的方程組:ro/2)(1+u)=k 與上題同法,用線優(yōu)化函數(shù)(lp)就解得: k=127.5(萬元)按照表6所述的對Mi各組達到最優(yōu)化分配，并保證了所發(fā)放的獎金k達到最優(yōu)值233學?；鸬轿缓蟮牡谌甑莫劷鸨绕渌甓榷?0要使得基金到位后第3年的獎金比其他年度多20，問題3與問題1和問題2的情

13、形類同可分為只存銀行與既存銀行又買國庫券兩種情形將情形一的（3）式改成其余保持不變 得最優(yōu)解，K10753（萬元）其本金收益計算于見表7將情形二的（3）式改成M3（1r3）12K；其余保持不變 得最優(yōu)解：K1248（萬元）其本金收益見表83模型的分析和改進情形一，我們利用超限歸納法及其推論，對結論2給出了一個完整的說明，從而對下述定理的證明及推廣也起了很大的作用，該方法使得數(shù)學模型大為簡化但情形一中，我們所考慮的是大大簡化了的模型，要考慮各方面因素，不會影響該模型，我們只需對原方程中加入一些參數(shù)，思路不變例如：不假設學校一年發(fā)兩次獎金對于該題，我們需要考慮存半年期的情況，這也就是與前面最大的不

14、同之處情形二，前面用有限枚舉法，通過與情況一的比較確定更優(yōu)值，其思想方法簡單易行，但計算太復雜可以利用集論中的倉恩定理對該模型求出一個上限或下限上限，即國庫券隨時可購，可用情況一的求解方法，直接求解，然后由倉恩定理可得出必定存在極大元素，再對各種可能的情況進行分析，計算，從中選出極大值，這就是我們所要求的最優(yōu)方案下限，就是考慮到想買買不到的情況如存9年期的M9，假如第一年國庫券發(fā)行時間是9月份，買了一個5年期的那就是到第5年的9月份才能取出來，但第5年的國庫券發(fā)行時間可能在9月份之前，也就是只有到下一個才能買到這就有一個最壞的情況，可以求出問題的一個下限同時我們也要考慮到求每個Mi的增長率時，不能單獨考慮如：對于存9年期的M9如果考慮對M6買一個五年期的國庫券時把發(fā)行時間定在第一個季度，那么對M9先買5年期的國庫券也要在第一個季度4結語這一思想的理論基礎是序數(shù)中所用的“排隊定理”和“倉恩定量”對第一問，通過計算我們得到最優(yōu)的將基金的本金（加上去）作為獎金發(fā)放，同時我們用超限歸納法及其推論，