[PPT]靜定結(jié)構(gòu)位移計算(著名院校)

1、第五章 靜定結(jié)構(gòu)位移計算Displacement of Statically Determinate Structures5-1 概述5-2 變形體的虛功原理5-3 結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式（單位荷載法）5-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算5-5 圖乘法5-6 靜定結(jié)構(gòu)在廣義荷載作用下的位移計算5-7 線彈性體系的互等定理結(jié) 構(gòu) 力 學(xué)5-1 概述 一、結(jié)構(gòu)的位移 (Displacement of Structures) 結(jié)構(gòu)位移線位移角位移A點線位移A點水平線位移A點豎向線位移A截面角位移（轉(zhuǎn)角） 位移（Displacement）與變形（Deformation）的區(qū)別位移指位置的變化。線位移

2、主體一般是點，角位移主體一般是截面或桿件。 變形指物體在外部作用下，由于材料應(yīng)變引起的尺寸或形狀的變化。如桿件拉伸、彎曲、剪切等。變形一般會引起位移。 位移不一定產(chǎn)生變形（剛體位移無變形）。靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章 產(chǎn)生位移的原因一般荷載力的作用廣義荷載溫度變化支座位移制造誤差一般荷載溫度變化支座位移制造誤差靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章為了控制位移，需要起拱。二、位移計算的目的 剛度要求結(jié)構(gòu)設(shè)計計算應(yīng)考慮的內(nèi)容強度校核穩(wěn)定性驗算剛度驗算在工程上，吊車梁允許的撓度1/600跨度； 房屋主梁允許撓度1/350跨度。高層建筑框架結(jié)構(gòu)，風(fēng)荷載作用下的最大位移1/450高度， 最大層間位移1/550層高； 地震

3、作用下的最大位移1/400高度； 最大層間位移1/500層高。 超靜定結(jié)構(gòu)的計算基礎(chǔ)超靜定結(jié)構(gòu)必須考慮幾何條件(位移約束或變形協(xié)調(diào))方可求解。 施工要求靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章小變形 (Small Deformation)假定：變形很小以致于不影響荷載的作用， 故，可忽略變形對平衡方程的影響。三、本章位移計算的基本假定滿足上述兩個假定的結(jié)構(gòu)體系稱為線彈性體系。線彈性 (Linear Elastic)材料假定：材料服從虎克定律(Hookes Law)，應(yīng) 力應(yīng)變成線性關(guān)系。 線彈性體系的特征變形與作用力成正比。非線性結(jié)構(gòu)體系材料非線性：不滿足假定幾何非線性：不滿足假定 基本假定位移符號一般規(guī)則：靜

4、定結(jié)構(gòu)位移計算第五章三、本章位移計算的基本假定疊加原理（Principle of Superposition)適用。 線彈性體系的特征變形與作用力成正比。位移符號一般規(guī)則：靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章5-2 變形體的虛功原理 (Principle of Virtual Work)一、功(Work)、實功(Real Work)和虛功(Virtual Work)力對物體作用的累計效果的度量。功=力力作用點沿力方向上的位移 功力在自身所產(chǎn)生的位移上所做的功。 實功力在非自身所產(chǎn)生的位移上所做的功。 虛功【例】靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章二、廣義力(Generalized force)、廣義位移(Generali

5、zed displacement)一個力系作的總虛功 W=P其中，P廣義力； 與P對應(yīng)的廣義位移?！纠?作虛功的力系為一個集中力作虛功的力系為一個集中力偶作虛功的力系為兩個等值 反向的集中力偶作虛功的力系為兩個等值反向 的集中力靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章三、變形體的虛功原理 原理的表述變形體平衡的充分必要條件是，對于任意微小的虛位移，外力所做虛功之和等于變形體所接受的應(yīng)變能（即內(nèi)力虛功之和），即 原理的證明狀態(tài)(力狀態(tài))：外力作用下AB桿平衡狀態(tài) (位移狀態(tài))：其它原因引起的位移和變形ds微段受力圖ds微段變形圖靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章三、變形體的虛功原理 原理的證明狀態(tài)(力狀態(tài))：外力作用下AB

6、桿平衡狀態(tài) (位移狀態(tài))：其它原因引起的位移和變形ds微段受力圖ds微段變形圖狀態(tài)的外力在狀態(tài)的位移上做的虛功為靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章狀態(tài)的外力在狀態(tài)的位移上做的虛功為上式代入We中，得靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章狀態(tài)的內(nèi)力在狀態(tài)的位移上做的虛功為該項即為內(nèi)力虛功之和Wi從而，靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章必要性的證明：即由AB平衡證明We=Wi由AB平衡可知：微元體的平衡力的邊界條件由得（必要性證畢）充分性的證明：即由We=Wi證明AB平衡由上述We的表達式，并根據(jù)，可得靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章（充分性證畢） 從而得到AB的平衡條件，即AB平衡。 由于虛位移 是滿足位移約束條件的任意位移，故，上式積分號內(nèi)和

7、方括號內(nèi)每一項均應(yīng)為零。即靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章 變形體虛功原理的必要性也可以通過功的物理含義得到證明1.利用變形連續(xù)性條件計算 所有微段的外力虛功之和W微段外力分為兩部分體系外力微段間相互作用力微段外力功分為兩部分體系外力功dWe相互作用力功dWn微段總外力功 dW= dWe+dWn2.利用平衡條件條件計算 所有微段的外力虛功之和W微段外力功分為兩部分在剛體位移上的功dWg在變形位移上的功dWi微段總外力功 dW= dWg+dWi所有微段的外力功之和: W=dWg +dWi =Wi微段位移分為兩部分剛體位移變形位移故有We=Wi成立。所有微段的外力功之和: W=dWe+dWn =dWe =W

8、e相鄰微段間作用力與反作用力大小相等，方向相反；截面變形連續(xù)，位移相同；故相互作用力虛功和為零。平衡力系在剛體位移上做的虛功之和為零（剛體體系的虛功原理）。靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章 變形體虛功原理應(yīng)用的幾點說明 虛功原理涉及到同一體系的兩個不同狀態(tài)： 力狀態(tài)和位移狀態(tài)是相互獨立的，二者之間不存在因果關(guān)系。 力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿足變形協(xié)調(diào)條件。 虛位移必須是約束所允許的任意微小的位移。 虛功原理的適用范圍： 上述虛功原理的論述和證明過程中沒有涉及到結(jié)構(gòu)類型、材料性質(zhì)、加載過程、變形大小等問題，所以虛功原理適用于任何變形體和任何結(jié)構(gòu)。包括線彈性問題、非線性彈性問題、彈塑性問題、塑性

9、問題等等。 虛功原理的應(yīng)用方式： 虛功原理講述了充分和必要兩個條件，對應(yīng)地反映了兩個方程： 反映了幾何方程（變形協(xié)調(diào)條件）； 反映了平衡方程（力的平衡條件）。 相應(yīng)地有兩個方面的應(yīng)用： 虛力原理應(yīng)用方式（虛設(shè)力的狀態(tài)，求位移）； 虛位移原理應(yīng)用方式（虛設(shè)位移狀態(tài)，求未知約束力）。靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章四、虛功原理的兩種應(yīng)用方式例題【例1】求 A 端的支座反力(Reaction at Support)?！窘狻咳サ鬉端約束并代以反力 X，構(gòu)造相應(yīng)的虛位移狀態(tài)。待分析的力狀態(tài)虛設(shè)的位移狀態(tài)由外力虛功總和為零，得單位位移法(Unit-Displacement Method) 虛位移原理虛功原理用于虛設(shè)

10、的位移狀態(tài)與實際的力狀態(tài)之間。單位位移法本質(zhì)：將力的平衡問題化為幾何問題來求解。(a)X(b)(c)將代入，得通常取單位位移法的虛功方程 平衡方程靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章【例2】求 A 支座發(fā)生豎向位移 c 時引起C點的豎向位移 C?！窘狻渴紫葮?gòu)造出相應(yīng)的虛設(shè)力狀態(tài)。通常，在擬求位移點（C點）沿擬求位移方向（豎向）設(shè)置與擬求位移對應(yīng)得單位荷載。待分析的位移狀態(tài)虛設(shè)的力狀態(tài)上述方法稱為單位荷載法 (Dummy-Unit Load Method)。它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出的，故也稱為Maxwell-Mohr Method。 虛力原理虛功原理用于虛設(shè)的力狀態(tài)與實際的位

11、移狀態(tài)之間。單位荷載法本質(zhì)：將幾何問題化為力的平衡問題來求解。虛功方程解得單位荷載法的虛功方程 幾何方程由 得靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章 平面桿系結(jié)構(gòu)虛功方程表達式 We的計算：任意荷載作用下，We=PiDi+Miqi+p(s)u(s)ds+q(s)v(s)ds（集中荷載外力虛功）（分布荷載外力虛功） Wi 的計算:微段變形由如下幾部分組成:微段外力:微段剪切微段拉伸微段彎曲Wi =N+Q+Mkds對于直桿，上述三種變形互不耦連，有:結(jié)構(gòu)中截取微段dsPiDi+Miqi+puds+qvds =N+Q+Mkds可得平面桿系結(jié)構(gòu)虛功方程如下:靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章5-3 結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式（單位荷

12、載法） 一、位移計算一般公式 (General Formula of Displacements)下面從虛功方程入手，以圖示結(jié)構(gòu)為例，建立桿系結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式。 實際位移狀態(tài)【虛擬力】與待求位移對應(yīng)的單位力?！締栴}】求B點水平位移DBx=? 虛擬力狀態(tài)設(shè)內(nèi)力為：外力包括：設(shè)變形為：位移包括：虛功方程為（外力虛功）（內(nèi)力虛功）表示沿桿件長度積分表示對桿件數(shù)量求和上式就是位移計算一般表達式。 適用條件如何？靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章位移計算一般表達式 中 ，虛力狀態(tài)的內(nèi)力 可求，位移狀態(tài)的變形 與位移狀態(tài)的內(nèi)力、截面幾何特征和材料特征有關(guān)。 對于線彈性結(jié)構(gòu)，取直桿的ds微段 ，有所以，線彈性結(jié)構(gòu)

13、位移計算的一般公式為位移計算一般表達式理解和應(yīng)用中應(yīng)注意的兩個問題：兩個表達式的適用范圍有何不同？表達式及其中每項、每個符號的物理含義是什么？單位荷載法計算位移的步驟：剪力虛力狀態(tài)：在擬求位移點、沿擬求位移方向、施加與擬求位移對應(yīng)的廣義單位力。分別計算實際位移狀態(tài)的內(nèi)力 和虛力狀態(tài)的內(nèi)力 。按位移計算一般公式計算擬求位移。D正負(fù)表示真實位移的方向，如正表示位移與虛擬單位力方向相同，反之，則方向相反。靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章 結(jié)構(gòu)類型：適用于梁、剛架、桁架、拱、組合結(jié)構(gòu)； 靜定和超靜定結(jié)構(gòu)； 位移原因：該公式雖然是按一般荷載作用下的受力情況推導(dǎo)出來的， 但方法適用于荷載、溫度改變、支座移動等各種情

14、況。 材料性質(zhì)：線性、非線性； 彈性、彈塑性、塑性。（僅指變形展開前的第一個表達式） 變形類型：彎曲變形、拉(壓)變形、剪切變形。 位移種類：線位移、角位移；相對位移、絕對位移。 位移計算一般表達式的普遍性表現(xiàn)二、虛力狀態(tài)的建立 目的與要求目的：盡量簡化虛功的計算，使外力虛功恰好等于擬求的位移。要求：虛力狀態(tài)的廣義單位力與位移狀態(tài)的擬求廣義位移一一對應(yīng)。 具體三個要求：在擬求位移點沿擬求位移方向施加與擬求位移對應(yīng)的廣義單位力。靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章 求某點的絕對線位移：在擬求位移點沿擬求位移方向施加單位力。 與四種可能擬求位移類型對應(yīng)的虛力狀態(tài)求DC，在C點沿DC方向加單位力。 求受彎桿某截面

15、或桁架某桿件的轉(zhuǎn)角：在擬求轉(zhuǎn)角處施加一單位力距或 力偶矩。力偶矩仍為1，但力與桿軸不垂直可以嗎？求AB轉(zhuǎn)角，由于桁架只能承受結(jié)點荷載，虛力狀態(tài)應(yīng)在AB兩端施加一力偶矩為1的力偶。靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章外加力偶的軸向分量FN在AB軸向伸縮變形上做的功外力虛功待求位移內(nèi)力虛功待求位移靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章 求兩點的相對線位移：在擬求位移兩點沿相對線位移方向施加一對方 向相反的單位力。求DAB， 求兩截面或兩桁架桿件的相對轉(zhuǎn)角：在兩處施加一對反向作用的單位力 矩或單位力偶矩。求C左右截面相對轉(zhuǎn)角求AB、BC相對轉(zhuǎn)角靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章 桁架只有軸力，無彎矩和剪力，故，位移計算公式簡化為【例1】 求

16、圖示桁架C點的豎向位移DCV。所有各桿EA為常量。真實位移狀態(tài)虛擬力狀態(tài)5-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章 梁和剛架對于桿系結(jié)構(gòu)，軸力和剪力對位移的影響一般要比彎矩的影響小得多，通?？梢院雎圆挥嫞?，位移計算公式簡化為【例2】 求圖示剛架C截面的轉(zhuǎn)角qC。所有各桿EI為常量。真實位移狀態(tài)虛擬力狀態(tài)靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章 組合結(jié)構(gòu)對于組合結(jié)構(gòu)，桁架桿只有軸力，而受彎桿件與梁和剛架類似，通常只考慮彎矩的影響，故，位移計算公式簡化為該項僅對桁架桿 曲桿和拱嚴(yán)格地說，位移計算的一般公式只適用于直桿，當(dāng) 時，可不考慮曲率的影響，按直桿公式近似計算位移，即靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章【

17、例3】 求圖示圓弧懸臂端B的豎向位移DBV。已知EI為常量。真實位移狀態(tài)虛擬力狀態(tài)可見，DN、DQ通?？梢院雎浴ｌo定結(jié)構(gòu)位移計算第五章梁和剛架位移計算公式 ，當(dāng)桿件數(shù)量較多，荷載復(fù)雜時，積分計算工作量很大，應(yīng)用比較麻煩。一定條件下，上述積分計算可以簡化。5-5 圖乘法（ Graphic Multiplication Method ）直桿；EI為常量；兩個彎矩圖中至少有一個是直線。靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章圖乘法是Vereshagin于1925年提出的，他當(dāng)時為莫斯科鐵路運輸學(xué)院的學(xué)生。圖乘法本質(zhì)：把復(fù)雜的數(shù)學(xué)積分計算化成求圖形的面積、形心和縱標(biāo)問題。 圖乘法應(yīng)用說明圖乘法的適用條件是什么？正負(fù)號規(guī)

18、則：若 與 在桿件的同側(cè)， 取正值；反之，取負(fù)值。常見圖形的面積和形心： 拋物線頂點處的切線應(yīng)與基線平行，否則，為非標(biāo)拋物線。非標(biāo)拋物線的面積和形心不能按上式計算，屬于復(fù)雜圖形，面積、形心計算方法后述。非標(biāo)拋物線（三角形的面積和形心此不贅述）靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章兩梯形圖乘公式：注意：abcd同側(cè)同號，異側(cè)異號。復(fù)雜圖形可根據(jù)疊加原理分解成簡單圖形【例】=+靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章如果求yc的圖形是分段直線，那么w圖形也應(yīng)該對應(yīng)地分段，即yc只能 取自一條直線?！纠可侠ǎǎ┱_做法為：【例】兩個容易犯的錯誤：縱標(biāo)yc必須取自直線圖形，即，兩圖形中如果只有一個是直線變化， 那么，曲線的求w，

19、直線的求yc。（）靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章【例1】判別下列位移計算是否正確，并說明理由。如錯誤，改正之。位移狀態(tài)虛力狀態(tài)求DCV錯誤，yc應(yīng)取自一條直線。正確做法為：位移狀態(tài)虛力狀態(tài)求DBV錯誤，MP圖非標(biāo)準(zhǔn)拋物線。正確做法為：靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章虛力狀態(tài)【例2】已知圖示梁EI=1.5105kNm2，求給定荷載作用下C點的豎向位移。【解】靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章【解】【例3】求水壓力作用下C、D之間的距離變化。已知各桿EI相同。三次拋物線二次拋物線靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章【解】【例4】求C截面轉(zhuǎn)角。已知各桿EI為常量。靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章【解】如何求M圖？復(fù)雜剛架先附屬(BDE)，再基本(ACD

20、)【例5】求E結(jié)點截面轉(zhuǎn)角。已知各桿EI為常量。靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章(轉(zhuǎn)動彈簧)(線彈簧)(EB段)(CD+DE段)【解】桿件彎曲內(nèi)力功線彈簧內(nèi)力功轉(zhuǎn)動彈簧內(nèi)力功靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章【解】【例6】求圖示結(jié)構(gòu)C點的豎向位移。已知I0.03Am2。靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章5-6 靜定結(jié)構(gòu)在廣義荷載作用下的位移計算一、靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算 (Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes)溫度變化產(chǎn)生位移計算的一般公式等式及式中各項的物理含義？要求

21、Dt的關(guān)鍵是溫度產(chǎn)生的變形 的計算。圖示結(jié)構(gòu)，設(shè)外側(cè)溫度升高t1，內(nèi)側(cè)溫度升高t2 ，求K點的豎向位移Dkt。為了分析 ，在結(jié)構(gòu)桿件上任意截取ds微段。靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章設(shè)溫度沿桿件截面厚度為線性分布（溫度場假定），則桿軸溫度變化t0為：上、下邊緣的溫差Dt為：微段軸向伸長 為：溫度變化不產(chǎn)生剪應(yīng)變：微段截面相對轉(zhuǎn)角 為：其中a為材料的線膨脹系數(shù)。靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章虛力狀態(tài)如下：FP=1靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章由虛功原理，得對于等截面直桿軸力圖 面積彎矩圖 面積上式中的符號判斷規(guī)則：注意：對于梁和剛架，一般荷載作用下通常忽略軸力產(chǎn)生的位移 ，而溫度變化情況下軸力產(chǎn)生的位移不可忽略。 t0

22、、Dt取絕對值。若Dt引起的桿件彎曲變形方向和由 引起的彎曲方向一致，取正，反之取負(fù)。若t0引起的桿件軸向伸縮和由 引起的桿件軸向伸縮一致，取正，反之取負(fù)。靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章【解】建立虛力狀態(tài)【例1】圖示剛架施工時溫度為20，試求冬季外側(cè)溫度 -10 ，內(nèi)側(cè)溫度為0 時A點的豎向位移DAy。已知 l=4m，a=10-5，各桿均為矩形截面桿，高度 h=0.4m。虛擬力狀態(tài)真實位移狀態(tài)虛力狀態(tài)內(nèi)力圖為：圖圖靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章（支座位移引起的位移計算一般表達式）從而二、靜定結(jié)構(gòu)支座位移時的位移計算 (Analysis of Displacements in a Statically Dete

23、rminate Structures Induced by Support Movement)圖(a)所示結(jié)構(gòu)發(fā)生支座位移C1、C2、C3，欲求K點豎向位移DKC，建立圖(b)所示的虛力狀態(tài)。K(a)K1(b)真實位移狀態(tài)虛擬力狀態(tài)虛功方程為 We=Wi。靜定結(jié)構(gòu)在支座位移情況下，既不產(chǎn)生內(nèi)力，也不產(chǎn)生變形，只發(fā)生剛體位移，故正確理解公式及其各符號的物理含義靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章【解】【例1】求C點水平位移DCx。CBAACCBA虛擬力狀態(tài)位移方向根據(jù)數(shù)值計算結(jié)果的正負(fù)判別。靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章【例2】已知l=12m，h=8m， DBx=0.04m， DBy=0.06m，求A截面轉(zhuǎn)角fA。F

24、AyFAx【解】建立虛力狀態(tài)，并求支座反力。( )靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章三、靜定結(jié)構(gòu)制造誤差引起的位移計算 (Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Manufacturing Error)制造誤差就是結(jié)構(gòu)在位移狀態(tài)的變形，故應(yīng)用位移計算一般公式計算由制造誤差引起的位移時，只需建立虛力狀態(tài)并求與制造誤差對應(yīng)的結(jié)構(gòu)內(nèi)力，然后代入位移計算一般公式即可。【例1】圖示桁架每根上弦桿加長了8mm，求由此引起的A點豎向位移。AA靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章【例2】圖示結(jié)構(gòu)AB、BC原設(shè)計為直桿，現(xiàn)加工

25、成圓弧，求由此引起的D點豎向位移。DCAB【解】本例制造誤差為彎曲變形。建立虛力狀態(tài)如下：DCAB彎矩與彎曲變形一致為正靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章5-7 線彈性體系的互等定理（ Reciprocal Theory in Linear Structures ）考慮體系受P1、P2共同作用的情況。一、功的互等定理 推導(dǎo)方法一(a)(b)是同一線彈性體系的兩個不同受力狀態(tài)。12(b)狀態(tài)12(a)狀態(tài)先加P1、再加P2：12實功虛功靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章先加P1、再加P2：12實功虛功先加P2、再加P1：12實功虛功因為功與路徑無關(guān)，是狀態(tài)的函數(shù)，所以 ，從而在線性變形體系中，I 狀態(tài)的外力在 II 狀態(tài)位移上所做虛功，等于 II 狀態(tài)外力在 I 狀態(tài)位移上所做虛功，簡稱功的互等。靜定結(jié)構(gòu)位移計算第五章 推導(dǎo)方法二12(a)狀態(tài)內(nèi)力