高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案：壓軸題放縮法技巧教案

1、高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案：壓軸題放縮法技巧教案【】歡送來到查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)高三數(shù)學(xué)教案欄目，教案邏輯思路明晰，符合認(rèn)識(shí)規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)習(xí)慣和才能。因此小編在此為您編輯了此文：高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案：壓軸題放縮法技巧教案希望能為您的提供到幫助。本文題目：高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案：壓軸題放縮法技巧教案高考數(shù)學(xué)備考之 放縮技巧證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿考慮性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考察學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)才能，因此成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的構(gòu)造，深化剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)展恰當(dāng)?shù)胤趴s;其放縮技巧主要

2、有以下幾種：一、裂項(xiàng)放縮例1.1求 的值; 2求證: .解析:1因?yàn)?,所以2因?yàn)?,所以技巧積累:1 23例2.1求證:2求證: 3求證:4 求證：解析:1因?yàn)?,所以23先運(yùn)用分式放縮法證明出 ,再結(jié)合 進(jìn)展裂項(xiàng),最后就可以得到答案4首先 ,所以容易經(jīng)過裂項(xiàng)得到再證 而由均值不等式知道這是顯然成立的，所以例3.求證:解析: 一方面: 因?yàn)?,所以另一方面:當(dāng) 時(shí), ,當(dāng) 時(shí), ,當(dāng) 時(shí), ,所以綜上有例4.2019年全國一卷設(shè)函數(shù) .數(shù)列 滿足 . .設(shè) ，整數(shù) .證明: .解析: 由數(shù)學(xué)歸納法可以證明 是遞增數(shù)列,故 假設(shè)存在正整數(shù) , 使 , 那么 ,假設(shè) ,那么由 知 , ,因?yàn)?,

3、于是例5. ,求證: .解析:首先可以證明:所以要證只要證:故只要證 ,即等價(jià)于 ,即等價(jià)于 而正是成立的,所以原命題成立.例6. , ,求證: .解析:所以從而例7. , ,求證:證明: ,因?yàn)?,所以所以二、函數(shù)放縮例8.求證： .解析:先構(gòu)造函數(shù)有 ,從而cause所以例9.求證:1解析:構(gòu)造函數(shù) ,得到 ,再進(jìn)展裂項(xiàng) ,求和后可以得到答案函數(shù)構(gòu)造形式: ,例10.求證:解析:提示:函數(shù)構(gòu)造形式:當(dāng)然此題的證明還可以運(yùn)用積分放縮如圖,取函數(shù) ,首先: ,從而,取 有, ,所以有 , , , ,相加后可以得到:另一方面 ,從而有取 有, ,所以有 ,所以綜上有例11.求證: 和 .解析:構(gòu)

4、造函數(shù)后即可證明例12.求證: 解析: ,疊加之后就可以得到答案函數(shù)構(gòu)造形式: 加強(qiáng)命題例13.證明:解析:構(gòu)造函數(shù) ,求導(dǎo),可以得到:,令 有 ,令 有 ,所以 ,所以 ,令 有,所以 ,所以例14. 證明 .解析: ,然后兩邊取自然對(duì)數(shù),可以得到然后運(yùn)用 和裂項(xiàng)可以得到答案放縮思路：。于是 ，即注：題目所給條件 為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探究放縮方向的作用;當(dāng)然，此題還可用結(jié)論 來放縮：即例16.2019年福州市質(zhì)檢函數(shù) 假設(shè)解析:設(shè)函數(shù)函數(shù) 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減. 的最小值為 ，即總有而即令 那么例15.2019年廈門市質(zhì)檢 函數(shù) 是在 上處處可導(dǎo)的函數(shù),假設(shè) 在 上恒成立.

5、I求證：函數(shù) 上是增函數(shù); II當(dāng) ;III不等式 時(shí)恒成立，求證：解析:I ,所以函數(shù) 上是增函數(shù)II因?yàn)?上是增函數(shù),所以兩式相加后可以得到3相加后可以得到:所以令 ,有所以方法二所以又 ,所以三、分式放縮姐妹不等式: 和記憶口訣小者小,大者大解釋:看b,假設(shè)b小,那么不等號(hào)是小于號(hào),反之.例19. 姐妹不等式: 和也可以表示成為和解析: 利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì) 可得即例20.證明:解析: 運(yùn)用兩次次分式放縮:加1加2相乘,可以得到:所以有四、分類放縮例21.求證:解析:例22.2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試改編 在平面直角坐標(biāo)系 中, 軸正半軸上的點(diǎn)列 與曲線 0上的點(diǎn)列 滿足 ，直線 在

6、x軸上的截距為 .點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 , .1證明 4， ; 2證明有 ，使得對(duì) 都有 .解析:1 依題設(shè)有： ，由 得：,又直線 在 軸上的截距為 滿足顯然，對(duì)于 ，有2證明：設(shè) ，那么設(shè) ，那么當(dāng) 時(shí)，所以，取 ，對(duì) 都有：故有 成立。例23.2019年泉州市高三質(zhì)檢 函數(shù) ，假設(shè) 的定義域?yàn)?1，0，值域也為-1，0.假設(shè)數(shù)列 滿足 ，記數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，問是否存在正常數(shù)A，使得對(duì)于任意正整數(shù) 都有 ?并證明你的結(jié)論。解析:首先求出 ,故當(dāng) 時(shí), ,因此，對(duì)任何常數(shù)A，設(shè) 是不小于A的最小正整數(shù)，那么當(dāng) 時(shí),必有 .故不存在常數(shù)A使 對(duì)所有 的正整數(shù)恒成立.例24.2019年中學(xué)教學(xué)參考

7、設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)?,設(shè) 內(nèi)整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 .設(shè) , 當(dāng) 時(shí),求證: .解析:容易得到 ,所以,要證 只要證 ,因?yàn)?,所以原命題得證五、迭代放縮例25. ,求證:當(dāng) 時(shí),解析:通過迭代的方法得到 ,然后相加就可以得到結(jié)論例26. 設(shè) ,求證:對(duì)任意的正整數(shù)k,假設(shè)kn恒有:|Sn+k-Sn|1n解析:又 所以六、借助數(shù)列遞推關(guān)系例27.求證:解析: 設(shè) 那么,從而,相加后就可以得到所以例28. 求證:解析: 設(shè) 那么,從而,相加后就可以得到例29. 假設(shè) ,求證:解析:所以就有七、分類討論例30.數(shù)列 的前 項(xiàng)和 滿足 證明：對(duì)任意的整數(shù) ，有解析:容易得到 ,由于通項(xiàng)中含有

8、，很難直接放縮，考慮分項(xiàng)討論：當(dāng) 且 為奇數(shù)時(shí)減項(xiàng)放縮，于是當(dāng) 且 為偶數(shù)時(shí)當(dāng) 且 為奇數(shù)時(shí) 添項(xiàng)放縮由知 由得證。八、線性規(guī)劃型放縮例31. 設(shè)函數(shù) .假設(shè)對(duì)一切 ， ，求 的最大值。解析:由 知 即由此再由 的單調(diào)性可以知道 的最小值為 ，最大值為因此對(duì)一切 ， 的充要條件是， 即 ， 滿足約束條件 ，由線性規(guī)劃得， 的最大值為5.九、均值不等式放縮例32.設(shè) 求證解析: 此數(shù)列的通項(xiàng)為即注：應(yīng)注意把握放縮的度：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式 ，假設(shè)放成 那么得 ，就放過度了!根據(jù)所證不等式的構(gòu)造特征來選取所需要的重要不等式，這里其中， 等的各式及其變式公式均可供選用。例33.函數(shù) ，

9、假設(shè) ，且 在0，1上的最小值為 ，求證：解析:例34. 為正數(shù)，且 ，試證：對(duì)每一個(gè) ， .解析: 由 得 ，又 ，故 ，而 ，令 ，那么 = ，因?yàn)?，倒序相加得 = ，而 ，那么 = ，所以 ，即對(duì)每一個(gè) ， .例35.求證解析: 不等式左 = ，原結(jié)論成立.例36. ,求證:解析:經(jīng)過倒序相乘,就可以得到例37. ,求證:解析:其中: ,因?yàn)樗詮亩?,所以 .例38.假設(shè) ,求證: .解析:因?yàn)楫?dāng) 時(shí), ,所以 ,所以 ,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取到等號(hào).所以所以 所以例39. ,求證: .解析: .例40.函數(shù)fx=x2-1k2lnxkN*.k是奇數(shù), nN*時(shí),求證: fxn-2n-1fxn

10、2n2n-2.解析: 由得 ，1當(dāng)n=1時(shí)，左式= 右式=0.不等式成立.2 , 左式=令由倒序相加法得：所以所以 綜上，當(dāng)k是奇數(shù)， 時(shí)，命題成立例41. 2019年東北三校函數(shù)1求函數(shù) 的最小值，并求最小值小于0時(shí)的 取值范圍;2令 求證：例42. 2019年江西高考試題函數(shù) , .對(duì)任意正數(shù) ,證明： .解析:對(duì)任意給定的 , ,由 ,假設(shè)令 ，那么 ,而 一、先證 ;因?yàn)?， ， ，又由 ，得 .所以二、再證 ;由、式中關(guān)于 的對(duì)稱性，不妨設(shè) .那么、當(dāng) ，那么 ，所以 ，因?yàn)?，此時(shí) .、當(dāng) ，由得 , ， ，因?yàn)?所以 同理得 ，于是 今證明 , 因?yàn)?，只要證 ，即 ，也即 ，據(jù)

11、，此為顯然.因此得證.故由得 .綜上所述，對(duì)任何正數(shù) ，皆有 .例43.求證:解析:一方面:法二另一方面:十、二項(xiàng)放縮例44. 證明解析:即45.設(shè) ，求證：數(shù)列 單調(diào)遞增且解析: 引入一個(gè)結(jié)論：假設(shè) 那么 證略整理上式得 以 代入 式得即 單調(diào)遞增。以 代入 式得此式對(duì)一切正整數(shù) 都成立，即對(duì)一切偶數(shù)有 ，又因?yàn)閿?shù)列 單調(diào)遞增，所以對(duì)一切正整數(shù) 有 。注：上述不等式可加強(qiáng)為 簡證如下：利用二項(xiàng)展開式進(jìn)展部分放縮：只取前兩項(xiàng)有 對(duì)通項(xiàng)作如下放縮：故有上述數(shù)列 的極限存在，為無理數(shù) ;同時(shí)是下述試題的背景： 是正整數(shù)，且 1證明 ;2證明 01年全國卷理科第20題簡析 對(duì)第2問：用 代替 得數(shù)列

12、 是遞減數(shù)列;借鑒此結(jié)論可有如下簡捷證法：數(shù)列 遞減，且 故 即 。當(dāng)然，此題每題的證明方法都有10多種,如使用上述例5所提供的假分?jǐn)?shù)性質(zhì)、貝努力不等式、甚至構(gòu)造分房問題概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解決!詳見文1。例46.a+b=1,a0,求證：解析: 因?yàn)閍+b=1,a0,可認(rèn)為 成等差數(shù)列，設(shè) ，從而例47.設(shè) ，求證 .解析: 觀察 的構(gòu)造，注意到 ，展開得，即 ，得證.例48.求證: . 解析:參見上面的方法,希望讀者自己嘗試!例42.2019年北京海淀5月練習(xí) 函數(shù) ，滿足：對(duì)任意 ，都有 ;對(duì)任意 都有 .I試證明： 為 上的單調(diào)增函數(shù);II求 ;III令 ，試證明：.

13、解析:此題的亮點(diǎn)很多,是一道考察才能的好題.1運(yùn)用抽象函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性:因?yàn)?,所以可以得到 ,也就是 ,不妨設(shè) ,所以,可以得到 ,也就是說 為 上的單調(diào)增函數(shù).2此問的難度較大,要完全解決出來需要一定的才能!首先我們發(fā)現(xiàn)條件不是很足,嘗試探究看看按1中的不等式可以不可以得到什么結(jié)論,一發(fā)現(xiàn)就有思路了!由1可知 ,令 ,那么可以得到,又 ,所以由不等式可以得到 ,又,所以可以得到 接下來要運(yùn)用迭代的思想:因?yàn)?,所以 , , 在此比較有技巧的方法就是:,所以可以判斷 當(dāng)然,在這里可能不容易一下子發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論,所以還可以列項(xiàng)的方法,把所有項(xiàng)數(shù)盡可能地列出來,然后就可以得到結(jié)論.所以,綜合有

14、 =3在解決 的通項(xiàng)公式時(shí)也會(huì)遇到困難.,所以數(shù)列 的方程為 ,從而 ,一方面 ,另一方面所以 ,所以,綜上有例49. 函數(shù)fx的定義域?yàn)?,1，且滿足以下條件： 對(duì)于任意 0,1，總有 ，且 ; 假設(shè) 那么有求f0的值;求證：fx4;當(dāng) 時(shí)，試證明： .解析: 解：令 ，由對(duì)于任意 0,1，總有 ，又由得 即解：任取 且設(shè) 那么因?yàn)?，所以 ，即 .當(dāng) 0,1時(shí)， .證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明：1 當(dāng)n=1時(shí)， ，不等式成立;2 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，由得即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立由1、2可知，不等式 對(duì)一切正整數(shù)都成立.于是，當(dāng) 時(shí)， ，而 0,1， 單調(diào)遞增 所以，例50. ： 求證：解析:構(gòu)

15、造對(duì)偶式：令那么 =又 十一、積分放縮利用定積分的保號(hào)性比大小保號(hào)性是指，定義在 上的可積函數(shù) ，那么 .例51.求證： .解析: ， ，時(shí)， ， ， ， .利用定積分估計(jì)和式的上下界定積分產(chǎn)生和應(yīng)用的一個(gè)主要背景是計(jì)算曲邊梯形的面積，如今用它來估計(jì)小矩形的面積和.例52. 求證： ， .解析: 考慮函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分.如圖，顯然 -對(duì) 求和，例53. .求證： .解析:考慮函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分.例54. 2019年全國高考江蘇卷設(shè) ，如圖，直線 及曲線 ： ， 上的點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 .從 上的點(diǎn) 作直線平行于 軸，交直線 于點(diǎn) ，再從點(diǎn) 作直線平行于 軸，交曲線 于點(diǎn) . 的橫坐標(biāo)構(gòu)

16、成數(shù)列 .試求 與 的關(guān)系，并求 的通項(xiàng)公式;當(dāng) 時(shí)，證明 ;當(dāng) 時(shí)，證明 .解析: 過程略.證明II：由 知 ， ， .當(dāng) 時(shí)， ，證明：由 知 .恰表示陰影部分面積，顯然 奇巧積累: 將定積分構(gòu)建的不等式略加改造即得初等證明，如：十二、部分放縮尾式放縮例55.求證:解析:例56. 設(shè) 求證：解析:又 只將其中一個(gè) 變成 ，進(jìn)展部分放縮， ，于是例57.設(shè)數(shù)列 滿足 ，當(dāng) 時(shí)證明對(duì)所有 有 ;解析: 用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng) 時(shí)顯然成立，假設(shè)當(dāng) 時(shí)成立即 ，那么當(dāng) 時(shí)，成立。利用上述部分放縮的結(jié)論 來放縮通項(xiàng)，可得注：上述證明 用到部分放縮，當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮： ;證明 就直接使用了

17、部分放縮的結(jié)論十三、三角不等式的放縮例58.求證: .解析:i當(dāng) 時(shí),ii當(dāng) 時(shí),構(gòu)造單位圓,如下圖:因?yàn)槿切蜛OB的面積小于扇形OAB的面積所以可以得到當(dāng) 時(shí)所以當(dāng) 時(shí) 有iii當(dāng) 時(shí), ,由ii可知:所以綜上有十四、使用加強(qiáng)命題法證明不等式i同側(cè)加強(qiáng)對(duì)所證不等式的同一方向可以是左側(cè),也可以是右側(cè)進(jìn)展加強(qiáng).如要證明 ,只要證明 ,其中 通過尋找分析,歸納完成.例59.求證:對(duì)一切 ,都有 .解析:從而當(dāng)然此題還可以使用其他方法,如:所以 .ii異側(cè)加強(qiáng)數(shù)學(xué)歸納法iii雙向加強(qiáng)有些不等式,往往是某個(gè)一般性命題的特殊情況,這時(shí),不妨返璞歸真,通過雙向加強(qiáng)復(fù)原其本來面目,從而順利解決原不等式.其

18、根本原理為:欲證明 ,只要證明: .例60.數(shù)列 滿足: ,求證:解析: ,從而 ,所以有,所以又 ,所以 ,所以有所以所以綜上有引申:數(shù)列 滿足: ,求證: .解析:由上可知 ,又 ,所以從而又當(dāng) 時(shí), ,所以綜上有 .同題引申: 2019年浙江高考試題數(shù)列 , , , .記 , .求證:當(dāng) 時(shí).1 ; 2 ; 3 .解析:1 ,猜測(cè) ,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:i當(dāng) 時(shí), ,結(jié)論成立;ii假設(shè)當(dāng) 時(shí), ,那么 時(shí),從而 ,所以所以綜上有 ,故2因?yàn)?那么 , , ,相加后可以得到: ,所以,所以3因?yàn)?,從而 ,有 ,所以有,從而,所以,所以所以綜上有 .例61.2019年陜西省高考試題數(shù)列

19、的首項(xiàng) , , .1證明:對(duì)任意的 , , ;2證明: .解析:1依題,容易得到 ,要證 , , ,即證即證 ,設(shè) 所以即證明從而 ,即 ,這是顯然成立的.所以綜上有對(duì)任意的 , ,法二, 原不等式成立.2由1知，對(duì)任意的 ，有取 ，那么 .原不等式成立.十四、經(jīng)典題目方法探究探究1.2019年福建省高考函數(shù) .假設(shè) 在區(qū)間 上的最小值為 ,令 .求證: .證明:首先:可以得到 .先證明方法一 所以方法二因?yàn)?,相乘得:,從而 .方法三設(shè)A= ,B= ,因?yàn)锳所以 , 從而 .下面介紹幾種方法證明方法一因?yàn)?,所以 ,所以有方法二 ,因?yàn)?,所以令 ,可以得到 ,所以有方法三設(shè) 所以 ,從而

20、,從而又 ,所以方法四運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明:i當(dāng) 時(shí),左邊= ,右邊= 顯然不等式成立;ii假設(shè) 時(shí), ,那么 時(shí), ,所以要證明 ,只要證明 ,這是成立的.這就是說當(dāng) 時(shí),不等式也成立,所以,綜上有探究2.2019年全國二卷設(shè)函數(shù) .假如對(duì)任何 ，都有 ，求 的取值范圍.解析:因?yàn)?,所以設(shè) ,那么 ,因?yàn)?,所以i當(dāng) 時(shí), 恒成立,即 ,所以當(dāng) 時(shí), 恒成立.ii當(dāng) 時(shí), ,因此當(dāng) 時(shí),不符合題意.iii當(dāng) 時(shí),令 ，那么 故當(dāng) 時(shí), .因此 在 上單調(diào)增加.故當(dāng) 時(shí), ,即 .于是，當(dāng) 時(shí)，所以綜上有 的取值范圍是變式：假設(shè) ,其中且 , ,求證:證明：容易得到由上面那個(gè)題目知道就可以知道同型衍變:2019年全國一卷函數(shù) .假設(shè)對(duì)任意 x0,1 恒有 f x 1, 求 a的取值范圍.解析:函數(shù)f