(已用)24223切線長定理和三角形內(nèi)切圓

1、24.2.2.3 切線長定理和三角形內(nèi)切圓復(fù)習(xí)1：直線與圓的位置關(guān)系rrrddd直線和圓相交d r;直線和圓相交OO相交O相切相離 復(fù)習(xí)2： 1、切線的判定定理是什么？ 2、切線的性質(zhì)定理是什么 3、角平分線的性質(zhì)是什么？ 4、什么叫三角形的外接圓和外心？外心是三角形什么的交點(diǎn)？ 我們知道，過圓上一點(diǎn)可以作圓的一條切線，那么過圓外一點(diǎn)可以作圓的幾條切線呢？ 探究：切線長概念 過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長。OPAB切線和切線長區(qū)別和聯(lián)系OPAB切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量。探究： 從O外的一點(diǎn)引兩

2、條切線PA，PB，切點(diǎn)分別是A、B，連結(jié)OA、OB、OP，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？并證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。APO。BPA = PBOPA=OPB證明：PA，PB與O相切，點(diǎn)A，B是切點(diǎn) OAPA，OBPB 即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtAOPRtBOP(HL) PA = PB OPA=OPB試用文字語言敘述你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論P(yáng)A、PB分別切O于A、BPA = PBOPA=OPB 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。 切線長定理APO。BAPOB 若連結(jié)兩切點(diǎn)A、B，AB交OP于點(diǎn)M.你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.OP垂直平分AB證明

3、：PA，PB是O的切線,點(diǎn)A，B是切點(diǎn) PA = PB OPA=OPB PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線 OP垂直平分ABM試一試APO。B 若延長PO交O于點(diǎn)C，連結(jié)CA、CB，你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.CA=CB證明：PA，PB是O的切線,點(diǎn)A，B是切點(diǎn) PA = PB OPA=OPB PC=PC PCA PCB AC=BCC探究：PA、PB是O的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，直線OP交于O于點(diǎn)D、E，交AB于C。BAPOCED（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系OAPA，OB PB，AB OP（3）寫出圖中所有相等的線段（2）寫出圖中與OAC相等的角OAC=OBC=APC=BPCOA=

4、OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE 切線長定理為證明線段相等，角相等，弧相等，垂直關(guān)系提供了理論依據(jù)。必須掌握并能靈活應(yīng)用。當(dāng)堂檢測 ：1、在ABC中，A=50 （1）若點(diǎn)O是ABC的外心，則BOC= . （2) 若點(diǎn)O是ABC的內(nèi)心，則BOC= .2、如圖，PA，PB是O的切線，A，B為切點(diǎn)，OPB=30 （1）APB的度數(shù)是 ； （2）當(dāng)OA=3時(shí)，AP= . APO。B10011560已知：如圖,PA、PB是O的切線，切點(diǎn)分別是A、B，Q為AB上一點(diǎn)，過Q點(diǎn)作O的切線，交PA、PB于E、F點(diǎn)，已知PA=12CM，求PEF的周長。EAQPFBO易證EQ=EA, F

5、Q=FB, PA=PB PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PB=PA=12cm周長為24cm 例題1 變式：如圖所示PA、PB分別切圓O于A、B，并與圓O的切線分別相交于C、D，已知PA=7cm，(1)求PCD的周長(2) 如果P=46,求COD的度數(shù)C OPBDAE例1、已知：P為O外一點(diǎn)，PA、PB為O的切線，A、B為切點(diǎn)，BC是直徑。 求證：ACOPPACBDO 例題講解。PBAO（3）連結(jié)圓心和圓外一點(diǎn)（2）連結(jié)兩切點(diǎn)（1）分別連結(jié)圓心和切點(diǎn)反思：在解決有關(guān)圓的切線長問題時(shí)，往往需要我們構(gòu)建基本圖形。想一想思考 如圖,一張三角形的鐵皮,如何在它上面截下一塊圓形的用料,并且使圓的面積

6、盡可能大呢?ID三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓三角形的內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它到三角形三邊的距離相等。數(shù)學(xué)探究DEFo外接圓圓心：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)。外接圓的半徑：交點(diǎn)到三角形任意一個(gè)頂點(diǎn)的距離。三角形外接圓三角形內(nèi)切圓o內(nèi)切圓圓心：三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。內(nèi)切圓的半徑：交點(diǎn)到三角形任意一邊的垂直距離。AABBCCo三角形外接圓三角形內(nèi)切圓oAABBCC一個(gè)三角形有 個(gè)內(nèi)切圓，一個(gè)圓有 個(gè)外切三角形。一個(gè)三角形有 個(gè)外接圓，一個(gè)圓有 個(gè)內(nèi)接三角形。一個(gè)一個(gè)無數(shù)無數(shù)例2. 如圖，四邊形ABCD的邊

7、AB、BC、CD、DA和O分別相切于L、M、N、P。（1）圖中有幾對相等的線段？ADLMNPOCB（2）由此你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？ 為什么？解： AB，BC，CD，DA都與O相切，L，M，N，P是切點(diǎn)，AL=AP，LB=MB， DN=DP，NC=MCAL+ LB+ DN+ NC = AP+ MB+DP+MC即 AB+ CD = AD+BC圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等（可做定理用）例3 ABC的內(nèi)切圓O與BC、CA、AB分別相切于 點(diǎn)D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的長.解:設(shè)AF=x(cm), BD=y(cm),CEz(cm) AF=4(cm),

8、 BD=5(cm), CE=9(cm). O與ABC的三邊都相切AFAE,BDBF,CECD則有xy9yz14xz13解得x4y5z9 例題3BDEFOCA如圖，ABC的內(nèi)切圓的半徑為r, ABC的周長為l,求ABC的面積S.解：設(shè)ABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)OA、OB、OC、OD、OE、OF，則ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF lr設(shè)ABC的三邊為a、b、c，面積為S，則ABC的內(nèi)切圓的半徑 r結(jié)論2Sabc三角形的內(nèi)切圓的有關(guān)計(jì)算 思考ABCEDFO 如圖，RtABC中，C90,BCa,ACb, ABc,O為RtABC的內(nèi)切圓. 求：RtABC的內(nèi)切圓的半徑 r.設(shè)AD= x , BE= y ,CE r O與RtABC的三邊都相切ADAF,BEBF,CECD則有xrbyraxyc解：設(shè)RtABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)OD、OE、OF則OAAC，OEBC，OFAB。解得rabc2結(jié)論設(shè)RtABC的直角邊為a、b，斜邊為c，則RtABC的內(nèi)切圓的半徑 r 或rabc2ababc 變式1、切線長的定義2、切線長定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的